一元二次方程根的判别式-课件PPT
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一元二次方程根的判别式课件
两个虚根
当判别式 (D) < 0 时，方程没有 实根，只有两个虚根。
辨别方程解的图形表示方法
两个不相等的实根
方程的图像将与x轴交于两个不 同的点。
两个相等的实根
方程的图像将与x轴交于同一个 点。
两个虚根
方程的图像将完全位于x轴上方 或下方，不与x轴交于任何点。
判别式的应用举例
1
物理学
2
判别式在抛体运动和能量守恒定律等物
计算公式
判别式(D) = b²- 4ac，其中a、b和c是一元二次方程的系数。
判别式与方程根的关系
判别式的值可以用来确定方程根的个数和类型。
判别式与方程解的类型
两个不相等的实根
当判别式 (D) > 0 时，方程有两 个不相等的实根。
两个相等的实根
当判别式 (D) = 0 时，方程有两 个相等的实根。
理问题中有广泛应用。
3
房屋销售
判别式可以帮助确定一栋房屋是否能够 被出售，以及价值如何。
金融领域
判别式被用于计算利润和决策分析，帮 助预测市场趋势和投资回报率。
结论和要点
1 判别式是用来判断一 2 判别式的值可以用来 3 判别式的应用广泛，
元二次方程根的特性
确定方程根的个数和
涵盖了房屋销售、物
的数学工具。
一元二次方程根的判别式 ppt课件
欢迎大家来参加本次关于一元二次方程根的判别式的PPT课件。本课件将帮 助你理解判别式的定义、计算公式、与方程根的关系以及解的类型，同时还 会介绍辨别方程解的图形表示方法和判别式的一些应用举例。一起来探索这 个有趣而重要的主题吧！
什么是判别式？
定义
判别式是用来判断一元二次方程的根的特性的一个数学工具。
一元二次方程的根的判别式(教学课件201908)
基于HOG特征和SVM分类器的行人检测研究作者：岳鑫来源：《科技创新与应用》2016年第05期摘 ;要：行人检测目前是机器视觉领域研究中一个热门技术。
文章利用梯度直方图特征和支持向量机对不同场景下的样本图片进行检测。
检测结果表明：在真实的应用场景中，该方法可以满足大部分的行人检测需求，但不同的光照、不同的遮挡和不同的样本复杂度对检测结果有一定影响。
关键词：HOG特征;SVM分类器;行人检测行人检测技术是计算机视觉领域中的一个重要的分支，在智能交通、智能监控、行人行为分析以及智能机器人领域有着广泛的应用，是通过判断图片或视频序列中是否有行人出现，并给出准确位置的一项图像理解技术。
行人检测主要分两大类方法[1]分别为基于背景建模的方法[2]和基于统计学习的方法[3]。
前者主要利用图像差分的思想，分割出前景，提取其中的运动目标，从而达到目标检测的目的。
该方法对背景的要求比较苛刻，在下雨、下雪、背景中树叶的晃动、光线不稳定的场景中该方法的抗干扰能力较差。
基于统计学习的方法，首先对目标进行特征提取，然后训练相应的分类器，再通过滑窗技术，把训练好的分类器应用于图像中，检测用户感兴趣的目标[4]。
文章使用基于统计学习的方法利用HOG特征和SVM分类器进行行人检测。
1 行人检测原理1.1 梯度直方图特征描述梯度直方图特征主要是用来描述图像局部重叠区域的一种描述符，将图像中局部区域像素的梯度方向直方图来做为人体的特征，该特征可以很好的描述出人体的边缘，并且不敏感于光照条件和微小的偏移。
图像中任意一像素点（x，y）的梯度表示为：（1）其中Gx（x，y）、Gy（x，y）和H（x，y）分别表示图像中在（x，y）处的水平方向梯度、垂直方向梯度和像素值。
像素点（x，y）处的梯度幅值和梯度方向分别由下面公式计算可得：（2）在梯度直方图特征-简称HOG的提取过程中，Dalal曾提出：对于一个样本图像，我们可以将它看成若干个像素的单元，图像像素的梯度方向平均可以分割为9个区间，用直方图来统计每个像素单元里面所有像素梯度方向的所有方向区间，这样就可以得到一个比较直观的9维特征向量，块是由每4个相邻的单元构成，再把这个块中4个特征向量连接起来，就可以得到方便理解的36维特征向量，然后以一个单元作为步长用块进行扫描样本图像，最终串联起所有块的特性，人体特征就得到了。
人教版九年级数学上册《解一元二次方程——一元二次方程的根的判别式》教学课件
2
2 −2 + = 3 − 1；
2
解： 化方程为 2 + 2 − 1 = 0.
= 2， = 2， = −1.
2
2
= − 4 = 2 −4 × 2 × (−1)
= 4 + 8 = 12 > 0.
∴ 此一元二次方程有两个不相等的实数根.
归纳
归纳
不解方程，判断一元二次方程根的情况的一般步骤：
2
当 − 4 < 0 时，方程没有实数根.
例1 不求出一元二次方程的根，判断下列方程根的情况：
2
= − 4
2
1 2 − 5 + 1 = 0；
2
2 −2 + = 3 − 1；
3 + 2 = − 2 2 − 1 +
2
4 + 2 2 + 6 = 0.
9
；
2
2
= − 4 = − 2 + 1
= 2 + 1
2
2
−4××2
− 8
2
= 4 + 4 + 1 − 8
2
= 4 − 4 + 1
= 2 − 1
2
2
≥ 0.
所以 − 2 + 1 + 2 = 0 ≠ 0 有实数根.
例3 在不解方程的情况下，判断下列关于 的方程
2
变式2 如果关于 的一元二次方程 x − 4x + − 5 = 0,
没有实数根，求 的取值范围.
2
变式1 如果关于 的一元二次方程 x − 4x + − 5 = 0,
有两个不相等的实数根，求 的取值范围.
2 −2 + = 3 − 1；
2
解： 化方程为 2 + 2 − 1 = 0.
= 2， = 2， = −1.
2
2
= − 4 = 2 −4 × 2 × (−1)
= 4 + 8 = 12 > 0.
∴ 此一元二次方程有两个不相等的实数根.
归纳
归纳
不解方程，判断一元二次方程根的情况的一般步骤：
2
当 − 4 < 0 时，方程没有实数根.
例1 不求出一元二次方程的根，判断下列方程根的情况：
2
= − 4
2
1 2 − 5 + 1 = 0；
2
2 −2 + = 3 − 1；
3 + 2 = − 2 2 − 1 +
2
4 + 2 2 + 6 = 0.
9
；
2
2
= − 4 = − 2 + 1
= 2 + 1
2
2
−4××2
− 8
2
= 4 + 4 + 1 − 8
2
= 4 − 4 + 1
= 2 − 1
2
2
≥ 0.
所以 − 2 + 1 + 2 = 0 ≠ 0 有实数根.
例3 在不解方程的情况下，判断下列关于 的方程
2
变式2 如果关于 的一元二次方程 x − 4x + − 5 = 0,
没有实数根，求 的取值范围.
2
变式1 如果关于 的一元二次方程 x − 4x + − 5 = 0,
有两个不相等的实数根，求 的取值范围.
一元二次方程根的判别式(ppt课件)
练习4：关于x的方程(a－1)x2－2x＋1＝0有实数根，求a
的取值范围
解：①当原方程是一元一次方程时 则有a-1=0，a=1
②当原方程是一元二次方程时 则有Δ≥0，（a-1）≠0
b2-4ac=（-2）2-4×（a-1）×1≥0，a≠1 解得：a＜2且a≠1.
【类型三】运用根的判别式判断三角形的形状
(1)2x2＋3x－4＝0； 有两个不相等的实数根
(2)x2－x＋1＝0；
4
有两个相等的实数根
(3)x2－x＋1＝0.
无实数根
练习 2：不解方程，判断下列方程根 的情况
(1)4(x－3)2－25(x－2)2＝0. (2)(x－5)(x－6)＝x－5. (3)4x2＋4x＋10＝1－8x.
有两个不相等的实数根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根
课
有两个不__相__等__的__实数根， (2)b2－4ac＝0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)
堂
有__俩__个__相__等__的__实数根。 (3)b2 － 4ac<0⇔ 一 元 二 次 方 程 ax2 ＋ bx ＋ c ＝
小
0(a≠0)解决问题时，如果二次项系数中
（4）由于 a≠0，方程 ax2＋bx＋c＝0
移项，得：ax2＋bx＝－c
二次项系数划为 1：x2＋bx＝－c， aa
b
b
配方，得：x2＋bx＋
2a
2＝－
c
＋
2a
2，
a
a
b
x＋ 2a
2＝b2－4ac，
4a2
可以看出
只有当b²-4ac≥0时，方 程才有实数根，这样b²-
4ac就决定着一元二次方
《一元二次方程根的判别式》PPT课件 (公开课获奖)2022年湘教版 (2)
第二章 一元二次方程
2.3 一元二次方程根的判别式
b2 -4ac>0 等的实根；b2 -4ac =0 两个相等的实根；b2 -4ac<0 程没有实根.
从具体题目来推出一元二次方程ax2 +bx +c =0〔a≠0〕的b2 -4ac的情况与根的情况 的关系.
一、创设情境 ,导入新课
能否用配方法解一般形式的一元二次方程ax2 +bx +c =0〔a≠0〕 ?
的值分别与零有怎样的关系 ? 让学生讨论 ,交流 ,探索后 ,教师再展示此 推导过程. 能直接开平方吗 ? 让学生思考分析 ,发表意见.得出结论.
问题2：你能得出什么结论 ? 结论：当b2 -4ac>0时 ,方程ax2 +bx +c(a≠0)有两 个不相等的实数根；当b2 -4ac =0时 ,方程有两个相等的 实数根；当b2 -4ac<0时 ,方程没有实数根. 一般地 ,式子b2 -4ac叫做方程ax2 +bx +c =0 〔a≠0〕根的判别式 ,通常用希腊字母Δ表示它.
2.探索：
方程ax2 +bx +c =0〔a≠0〕. 因为a≠0 ,方程两边都除以a ,得x2 +ax +a =0. 移项 ,得x2 +ax = -a. 配方 ,得x2 +2·x·2a +2〔a〕2 =2〔a〕2 -a , 即〔x +2a〕2 = 4a2.
问题1： 当b2 -4ac>0,b2 -4ac =0,b2 -4ac<0； 且a≠0时 ,
2
教师引导学生回忆配方法解一元二次方程的根本思路及 根本步骤.
学生观察、分析、思考找出解决问题的途径 ,小组内讨 论交流.
2.3 一元二次方程根的判别式
b2 -4ac>0 等的实根；b2 -4ac =0 两个相等的实根；b2 -4ac<0 程没有实根.
从具体题目来推出一元二次方程ax2 +bx +c =0〔a≠0〕的b2 -4ac的情况与根的情况 的关系.
一、创设情境 ,导入新课
能否用配方法解一般形式的一元二次方程ax2 +bx +c =0〔a≠0〕 ?
的值分别与零有怎样的关系 ? 让学生讨论 ,交流 ,探索后 ,教师再展示此 推导过程. 能直接开平方吗 ? 让学生思考分析 ,发表意见.得出结论.
问题2：你能得出什么结论 ? 结论：当b2 -4ac>0时 ,方程ax2 +bx +c(a≠0)有两 个不相等的实数根；当b2 -4ac =0时 ,方程有两个相等的 实数根；当b2 -4ac<0时 ,方程没有实数根. 一般地 ,式子b2 -4ac叫做方程ax2 +bx +c =0 〔a≠0〕根的判别式 ,通常用希腊字母Δ表示它.
2.探索：
方程ax2 +bx +c =0〔a≠0〕. 因为a≠0 ,方程两边都除以a ,得x2 +ax +a =0. 移项 ,得x2 +ax = -a. 配方 ,得x2 +2·x·2a +2〔a〕2 =2〔a〕2 -a , 即〔x +2a〕2 = 4a2.
问题1： 当b2 -4ac>0,b2 -4ac =0,b2 -4ac<0； 且a≠0时 ,
2
教师引导学生回忆配方法解一元二次方程的根本思路及 根本步骤.
学生观察、分析、思考找出解决问题的途径 ,小组内讨 论交流.
一元二次方程根的判别式PPT课件(北师大版)
4
∴方程有两个相等的实数根
(2)原方程化为:
x2 2x 1 0, 2 2 41 1 = 2 0,
3
33
∴方程有两个不相等的实数根
感悟新知
归纳
知2－讲
判断方程根的情况的方法： ①若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中的左边是一个完全平
方式，则该方程有两个相等的实数根； ②若方程中a，c异号，或b≠0且c＝0时，则该方程有两 个不相
b 2a
2
,
x
b 2a
2
＝b2
4ac
a2
.
即
知1－讲
因为a≠0，所以4a2＞0. 式子b2－4ac的值有以下三种情
b2 4ac 0
况:
b2 4ac 0
(1)
b2 新知
归纳
知1－讲
一般地，式子b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋
bx＋c＝0根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，
课堂小结
一元一次方程
(1)今天我们是在一元二次方程解法的基础上，学习了根的判 别式的应用，它在整个中学数学中占有重要地位，是中 考命题的重要知识点，所以必须坚固掌握好它。
(2)注意根的判别式定理与逆定理的使用区分：一般当已知△ 值的符号时，使用定理；当已知方程根的情况时，使用 逆定理。
课堂小结
一元一次方程
感悟新知
例11：不解方程，判断下列方程根的情况．
(1) - 1 x2 x 1;
4
(2) x2
2x 1 3
知2－讲
导引：根的判别式是在一般情势下确定的，
因此应先将方程化成一般情势，然后
算出判别式的值．
感悟新知
解：(1)原方程化为:
1一元二次方程根的判别式课件
x1
x2
. 2
适时小结：
1.根据方程根的情况,可得到判别式的取值 范围;
2. 求根的判别式的前提是一元二次方程的一 般式；在求方程的根时，可以把已确定的字 母系数的值代入原方程，再求不含字母系数 的方程的根.
自主探究：
怎样的条件才能得到 有实数根？
当k 为何值时,关于x的方程 x2 4kx （2k 1）2 0 有实数根?并求出这时方程的根.(用含k 的代数 式表示)
当x2m取(m何值2时)x，关1 于m2x的1方程0
解：
(m
2)2
4
(
1
4
m2
1)
4
4m 8
(1)当 4m 8 0,即m 2时,方程有两个不相等的实数根.
(2)当 4m 8 0,即m 2时, 方程有两个相等的实数根.
(3)当 4m 8 0,即m 2时, 方程没有实数根.
适时小结：由方程根的情况得到判别式的取值范围， 进而求出方程中一个字母系数的取值范围.
上述结论反过来也能成立，所以可以得到：
0
方程有两个不相等的实数根.
0
方程有两个相等的实数根.
0
方程没有实数根.
判别式的符号
根的情况
新知学习
当m取何值时，关于x的方程
x2 (m 2)x 1 m2 1 0 4
怎样的条件才能 得到相应的根的 情况？
（1）有两个不相等的实数根？ （2）有两个相等的实数根？ （3）没有实数根？
答： (b2 +c2 a2 )2 4b2c2
(b c a)(b c a) (b c a)(b c a)
由三角形的三边关系得：b c a, a b c, a c b 即b c a 0,b c a 0,b c a 0,
初中数学沪教版八年级上册一元二次方程根的判别式 课件PPT
逆定理的用途是： 在已知方程根的情况下，用逆定理来确定△
值的符号，进而可求出系数中某些字母的取值范 围。
注意： 运用定理和逆定理时，必须把所给的方
程化成一般形式后方可使用。
1.不解方程，判断下列方程根的情况. (1)2x2－5x－4=0； (2)7t2－5t+2=0； (3)x(x+1)=3； (4)3y2+25=10 3y.
①把方程化为一般形式，确定a、b、c的值，计算△。
②用配方法等将△变形，使之符号明朗化后，判断△ 的符号。 ③根据根的判别式定理，写出结论。
例3、利用一元二次方程的判别式求字母的取值范围
已知关于x的方程x2－3x＋k＝0，问k取何值时， 这个方程：
(1)有两个不相等的实数根？ (2)有两个相等的实数根？ (3)没有实数根？
记住了， 别搞错!
我们把 b2 4ac 叫做一元二次方程
ax2 bx c 0a 0 的根的判别式，
用符号“ ”表示，即 b2 4ac
对于一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0)
你能谈论一下它的根的情况吗? (1)在什么情况下，一元二次方程有解? (2)有什么样的解?它的解是多少？ (3)什么情况下一元二次方程无解?
2、同步练习17.3
x b b2 4ac b2 4ac 0 2a
老师的 “绝活”
不解一元二次方程，就能很快 知道它的根的大致情况。 你相信吗？
1、用公式法解下列方程
（1）x2 3x 2 0 （2）x2 8x 16 0
（3）3y2 10 2 y
2、一元二次方程根的判别式
初中数学沪教版八年级上册 《一元二次方程根的判别式》
值的符号，进而可求出系数中某些字母的取值范 围。
注意： 运用定理和逆定理时，必须把所给的方
程化成一般形式后方可使用。
1.不解方程，判断下列方程根的情况. (1)2x2－5x－4=0； (2)7t2－5t+2=0； (3)x(x+1)=3； (4)3y2+25=10 3y.
①把方程化为一般形式，确定a、b、c的值，计算△。
②用配方法等将△变形，使之符号明朗化后，判断△ 的符号。 ③根据根的判别式定理，写出结论。
例3、利用一元二次方程的判别式求字母的取值范围
已知关于x的方程x2－3x＋k＝0，问k取何值时， 这个方程：
(1)有两个不相等的实数根？ (2)有两个相等的实数根？ (3)没有实数根？
记住了， 别搞错!
我们把 b2 4ac 叫做一元二次方程
ax2 bx c 0a 0 的根的判别式，
用符号“ ”表示，即 b2 4ac
对于一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0)
你能谈论一下它的根的情况吗? (1)在什么情况下，一元二次方程有解? (2)有什么样的解?它的解是多少？ (3)什么情况下一元二次方程无解?
2、同步练习17.3
x b b2 4ac b2 4ac 0 2a
老师的 “绝活”
不解一元二次方程，就能很快 知道它的根的大致情况。 你相信吗？
1、用公式法解下列方程
（1）x2 3x 2 0 （2）x2 8x 16 0
（3）3y2 10 2 y
2、一元二次方程根的判别式
初中数学沪教版八年级上册 《一元二次方程根的判别式》
1一元二次方程根的判别式课件
相等实数根,
（2） b-4ac=0, 一元二次方程ax+bx+c=0( a≠0） ，有两个相
等实数根,
（3） b-4ac<0, 一元二次方程ax+bx+c=0( a≠0） ， 没有相等
实数根。
反之，同样成立，即
（1） 一元二次方程有两个不相等实数根， b 2-4ac > 0，
（2） 一元二次方程有两个相等实数根, b 2-4ac = 0，
所以原方程没有实数根.
(3)x(x+1)=3； 解：原方程可变形为x2+x－3=0，
因为∆=12－4×1×(－3)=13＞0， 所以原方程有两个不相等的实数根.
(4)3y2+25=10 3 y. 解：原方程可变形为3y2－10 3y+25=0，
因为 ∆=(10 3 )2－4×3×25=0， 所以原方程有两个相等的实数根.
1、一元二次方程的一般情势是什么?
ax2 bx c （0 a 0）
2、解一元二次方程都有哪些方法？ 3、公式法解一元二次方程的具体步骤是
什么？
探究与发现 思考并总结
用公式法解下列一元二次方程，并结合你 以往解一元二次方程的经验完成以下探究
(1)x2 5x 6 0
(2)x2 4x 4 0
17.3一元二次方程根的判别式
复习回顾：
一元二次方程的根的情况：
1.当 b2 4ac 0时，方程有两个不相等的实数根 2.当 b2 4ac 0 时，方程有两个相等的实数根 3.当 b2 4ac 0 时，方程没有实数根
反过来： 1.当方程有两个不相等的实数根时， b2 4ac 0 2.当方程有两个相等的实数根时， b2 4ac 0 3.当方程没有实数根时， b2 4ac 0
一元二次方程根的判别式ppt课件
2.3 一元二次方程根的判别式
第2章 一元二次方程
基础主干落实 重点典例探析 5+2思维赋能
基础主干落实
一元二次方程根的判别式 1．定义：b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式，记作 “Δ”，即Δ＝b2－4ac. 2．与一元二次方程的根的关系
判别式 Δ>0
Δ=0 Δ<0
【挑战】(2021·邵阳中考)在平面直角坐标系中，若直线 y＝－x＋m 不经过第一象限，
则关于 x 的方程 mx2＋x＋1＝0 的实数根的个数为( D )
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．1 或 2 个
【解析】∵直线 y＝－x＋m 不经过第一象限， ∴m≤0， 当 m＝0 时，方程 mx2＋x＋1＝0 是一次方程，有一个根，当 m＜0 时， ∵关于 x 的方程 mx2＋x＋1＝0， ∴Δ＝12－4m>0， ∴关于 x 的方程 mx2＋x＋1＝0 有两个不相等的实数根．
【自主解答】由关于 x 的一元二次方程 x2＋kx－k－1＝0 可知：Δ＝k2＋4k＋4＝(k＋ 2)2， 分情况讨论： 当 k＝－2 时，Δ＝0，方程有两个相等实根 当 k≠－2 时，Δ>0，方程有两个不相等的实根．
1．x 的一元二次方程 x2＋kx－4＝0 根的情况是__有__两__个__不__相___等__的__实__数__根___． 【解析】Δ＝k2－4×(－4)＝k2＋16>0，所以方程有两个不相等的实数根． 2．(变问法)求证：无论 k 取何值，关于 x 的一元二次方程 x2＋kx－k－1＝0 总有实数 根． 【证明】由题意知：Δ＝k2＋4k＋4＝(k＋2)2≥0，所以方程总有实数根．
【归纳提升】 根的判别式的应用 1．可以直接用：不解方程，可以判断方程根的情况． 2．可以逆用：知道方程根的情况，从而确定字母系数的取值范围． 3．证明一个方程根的情况．
第2章 一元二次方程
基础主干落实 重点典例探析 5+2思维赋能
基础主干落实
一元二次方程根的判别式 1．定义：b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式，记作 “Δ”，即Δ＝b2－4ac. 2．与一元二次方程的根的关系
判别式 Δ>0
Δ=0 Δ<0
【挑战】(2021·邵阳中考)在平面直角坐标系中，若直线 y＝－x＋m 不经过第一象限，
则关于 x 的方程 mx2＋x＋1＝0 的实数根的个数为( D )
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．1 或 2 个
【解析】∵直线 y＝－x＋m 不经过第一象限， ∴m≤0， 当 m＝0 时，方程 mx2＋x＋1＝0 是一次方程，有一个根，当 m＜0 时， ∵关于 x 的方程 mx2＋x＋1＝0， ∴Δ＝12－4m>0， ∴关于 x 的方程 mx2＋x＋1＝0 有两个不相等的实数根．
【自主解答】由关于 x 的一元二次方程 x2＋kx－k－1＝0 可知：Δ＝k2＋4k＋4＝(k＋ 2)2， 分情况讨论： 当 k＝－2 时，Δ＝0，方程有两个相等实根 当 k≠－2 时，Δ>0，方程有两个不相等的实根．
1．x 的一元二次方程 x2＋kx－4＝0 根的情况是__有__两__个__不__相___等__的__实__数__根___． 【解析】Δ＝k2－4×(－4)＝k2＋16>0，所以方程有两个不相等的实数根． 2．(变问法)求证：无论 k 取何值，关于 x 的一元二次方程 x2＋kx－k－1＝0 总有实数 根． 【证明】由题意知：Δ＝k2＋4k＋4＝(k＋2)2≥0，所以方程总有实数根．
【归纳提升】 根的判别式的应用 1．可以直接用：不解方程，可以判断方程根的情况． 2．可以逆用：知道方程根的情况，从而确定字母系数的取值范围． 3．证明一个方程根的情况．
《公式法—— 一元二次方程根的判别式》PPT课件
1. 说得太好了，老师佩服你，为你感到骄傲！ 2. 你的设计(方案、观点)富有想象力，极具创造性。 3. 我非常欣赏你的想法，请说具体点，好吗? 4. 某某同学的解题方法非常新颖，连老师都没想到，真厉害！ 5. 让我们一起为某某喝彩！同学们在学习过程中，也要敢于猜想，善于猜想，这样才能有所发现，有所创造! 三、表扬类
整合方法
14．【中考·衡阳】关于x的一元二次方程x2－3x＋k ＝0有实数根． (1)求k的取值范围；
解：根据题意得(－3)2－4k≥0，
解得
9 k≤4.
整合方法
(2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程(m －1)x2＋x＋m－3＝0与方程x2－3x＋k＝0有一个相 同的根，求此时m的值．
1. 你真让人感动，老师喜欢你的敢想、敢说、敢问和敢辩，希望你继续保持下去。 2. 这么难的题你能回答得很完整，真是了不起！你是我们班的小爱因斯坦。 3. 你预习的可真全面，自主学习的能力很强，课下把你的学习方法介绍给同学们，好不好？ 4. 哎呀. 通过你的发言，老师觉得你不仅认真听，而且积极动脑思考了，加油哇！ 四、提醒类
【答案】A
夯实基础
※12.【中考·新疆】若关于 x 的一元二次方程(k－1)x2＋x
＋1＝0 有两个实数根，则 k 的取值范围是( D )
A．k≤54 C．k<54且 k≠1
B．k>54 D．k≤54且 k≠1
【点拨】本题忽视一元二次方程二次项系数不为 0
这一条件，而直接由根的判别式求得
5 k≤4.
夯实基础
6．【中考·湘西州】一元二次方程x2＋2x＋3＝0根 的情况是( C ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断
整合方法
14．【中考·衡阳】关于x的一元二次方程x2－3x＋k ＝0有实数根． (1)求k的取值范围；
解：根据题意得(－3)2－4k≥0，
解得
9 k≤4.
整合方法
(2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程(m －1)x2＋x＋m－3＝0与方程x2－3x＋k＝0有一个相 同的根，求此时m的值．
1. 你真让人感动，老师喜欢你的敢想、敢说、敢问和敢辩，希望你继续保持下去。 2. 这么难的题你能回答得很完整，真是了不起！你是我们班的小爱因斯坦。 3. 你预习的可真全面，自主学习的能力很强，课下把你的学习方法介绍给同学们，好不好？ 4. 哎呀. 通过你的发言，老师觉得你不仅认真听，而且积极动脑思考了，加油哇！ 四、提醒类
【答案】A
夯实基础
※12.【中考·新疆】若关于 x 的一元二次方程(k－1)x2＋x
＋1＝0 有两个实数根，则 k 的取值范围是( D )
A．k≤54 C．k<54且 k≠1
B．k>54 D．k≤54且 k≠1
【点拨】本题忽视一元二次方程二次项系数不为 0
这一条件，而直接由根的判别式求得
5 k≤4.
夯实基础
6．【中考·湘西州】一元二次方程x2＋2x＋3＝0根 的情况是( C ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断
一元二次方程根的判别式课件(人教版)
x2－2x＝0，解得x1＝0，x2＝2.
整合方法·提升练
14．【中考•岳阳】已知关于x的方程x2－(2m＋1)x＋
m(m＋1)＝0.
Δ＞0
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
证明：∵Δ＝(2m＋1)2－4m(m＋1)＝1>0， ∴方程总有两个不相等的实数根．
整合方法·提升练
将x＝0代入x2－(2m＋1)x＋m(m＋1)＝0 m(m＋1)＝0
15
无论k取何值，这个方程 总有实数根；10
答案显示
夯实基础·逐点练
化为一般情势： 2x2 ＋(－7)x＋(－4)＝0
1．方程7x＝2x2－4化为一般情势ax2＋bx＋c＝0后， a＝__2____，b＝__－__7__，c＝_－__4___，b2－4ac＝ __8_1___．
夯实基础·逐点练
化为一般情势： 5x2 ＋(－6)x＋8＝0
4[(a＋1) x2＋(a＋1) x]＋1＝0
整合方法·提升练
解：x※(a※x)＝x※(ax＋x)＝x※[(a＋1)x]＝(a＋1)x2＋(a ＋1)x＝－ 1 ，
4
整理，得4(a＋1)x2＋4(a＋1)x＋1＝0. ∵关于x的方程x※(a※x)＝－14 有两个相等的实数根， ∴a＋1≠0，Δ＝16(a＋1)2－16(a＋1)＝0.
解：若分a为类等讨腰论三a＝角4为形底A边BC；的a＝底4边为长腰，，分则别b，确c定为等腰三 角b形、Ac的BC值的，两根腰据三长角，形由的题三意边知关方系程确定有a两、个b、相等的 实c数能根否，组所成三以角Δ＝形0，，再即求k三＝角32.形所的以周方长程. 为x2－4x＋4 ＝0，解得x1＝x2＝2. 即b＝c＝2，不符合三角形三 边关系，故舍去．
人教版 九年级上
整合方法·提升练
14．【中考•岳阳】已知关于x的方程x2－(2m＋1)x＋
m(m＋1)＝0.
Δ＞0
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
证明：∵Δ＝(2m＋1)2－4m(m＋1)＝1>0， ∴方程总有两个不相等的实数根．
整合方法·提升练
将x＝0代入x2－(2m＋1)x＋m(m＋1)＝0 m(m＋1)＝0
15
无论k取何值，这个方程 总有实数根；10
答案显示
夯实基础·逐点练
化为一般情势： 2x2 ＋(－7)x＋(－4)＝0
1．方程7x＝2x2－4化为一般情势ax2＋bx＋c＝0后， a＝__2____，b＝__－__7__，c＝_－__4___，b2－4ac＝ __8_1___．
夯实基础·逐点练
化为一般情势： 5x2 ＋(－6)x＋8＝0
4[(a＋1) x2＋(a＋1) x]＋1＝0
整合方法·提升练
解：x※(a※x)＝x※(ax＋x)＝x※[(a＋1)x]＝(a＋1)x2＋(a ＋1)x＝－ 1 ，
4
整理，得4(a＋1)x2＋4(a＋1)x＋1＝0. ∵关于x的方程x※(a※x)＝－14 有两个相等的实数根， ∴a＋1≠0，Δ＝16(a＋1)2－16(a＋1)＝0.
解：若分a为类等讨腰论三a＝角4为形底A边BC；的a＝底4边为长腰，，分则别b，确c定为等腰三 角b形、Ac的BC值的，两根腰据三长角，形由的题三意边知关方系程确定有a两、个b、相等的 实c数能根否，组所成三以角Δ＝形0，，再即求k三＝角32.形所的以周方长程. 为x2－4x＋4 ＝0，解得x1＝x2＝2. 即b＝c＝2，不符合三角形三 边关系，故舍去．
人教版 九年级上
教学课件.3一元二次方程根的判别式
解 将原方程化为一般形式，得 x2 -2 5x+5=0.
因为 Δ= b2 4ac = 20-20 = 0， 所以，原方程有两个相等的实数根.
结束
（1） 3x2+4 42-4 × 3 ×（-3）
=16 + 36 = 52 ＞0， 所以，原方程有两个不相等的实数根.
（2） 4x2=12x-9
要先将方程化为 一般形式，才能确定 a，b，c的值.
解 将原方程化为一般形式，得 4x2-12x+ 9 = 0.
当Δ > 0 时，原方程有两个不相等的实数根，其根为
x1 b
b2 4ac 2a
,
x2
b
b2 4ac 2a
；
当Δ = 0 时，原方程有两个相等的实数根，其根为
x1
x2
b 2a
；
当Δ < 0 时，原方程没有实数根.
例
不解方程，利用判别式判断下列方程根的 情况：
（1）3x2+4x-3=0 （2）4x2=12x-9 （3）7y=5(y2+1)
一元二次方程根的判别式
议一议
我们在运用公式法求解一元二次方程 ax2+bx+c = 0(a≠0)时，总是要求b2-4ac≥0. 这是为什么？
我们把 b24ac 叫作一元二次方程 ax2+bx+c = 0(a≠0) 的根的判别式，记作“Δ”， 即 Δ = b24ac.
综上可知，我们不难发现一元二次方程 ax2+bx+c = 0(a≠0) 的根的情况可由Δ= b2 4ac 来判断：
因为 Δ=b2 4ac =（-12）2-4 ×4 ×9 = 144 - 144 = 0，
因为 Δ= b2 4ac = 20-20 = 0， 所以，原方程有两个相等的实数根.
结束
（1） 3x2+4 42-4 × 3 ×（-3）
=16 + 36 = 52 ＞0， 所以，原方程有两个不相等的实数根.
（2） 4x2=12x-9
要先将方程化为 一般形式，才能确定 a，b，c的值.
解 将原方程化为一般形式，得 4x2-12x+ 9 = 0.
当Δ > 0 时，原方程有两个不相等的实数根，其根为
x1 b
b2 4ac 2a
,
x2
b
b2 4ac 2a
；
当Δ = 0 时，原方程有两个相等的实数根，其根为
x1
x2
b 2a
；
当Δ < 0 时，原方程没有实数根.
例
不解方程，利用判别式判断下列方程根的 情况：
（1）3x2+4x-3=0 （2）4x2=12x-9 （3）7y=5(y2+1)
一元二次方程根的判别式
议一议
我们在运用公式法求解一元二次方程 ax2+bx+c = 0(a≠0)时，总是要求b2-4ac≥0. 这是为什么？
我们把 b24ac 叫作一元二次方程 ax2+bx+c = 0(a≠0) 的根的判别式，记作“Δ”， 即 Δ = b24ac.
综上可知，我们不难发现一元二次方程 ax2+bx+c = 0(a≠0) 的根的情况可由Δ= b2 4ac 来判断：
因为 Δ=b2 4ac =（-12）2-4 ×4 ×9 = 144 - 144 = 0，
根的判别式复习课PPT课件
2、根据方程的根的情况确定方程的待定系数的取值范围
例2：当k取什么值时，已知关于x的方程：
（1）方程有两个不相等的实根；（2）方程有两个相等的实根；（3） 方程无实根；
解：△=
(1).当△>0 ，方程有两个不相等的实根, 8k+9 >0 , 即 (2).当△ = 0 ，方程有两个不相等的实根, 8k+9 =0 , 即 (3).当△ <0 ，方程有两个不相等的实根, 8k+9 <0 , 即
说明：解此类题目时，也是先把方程化为一般形式，再算 出△，再由题目给出的根的情况确定△的情况。从而求出 待定系数的取值范围
例3、已知m为非负整数，且关于x的方程 ： 有两个实数根，求m的值。 解：∵方程有两个实数根 ∴
解得：
∵m为非负数 ∴m=0或m=2 说明：当二次项系数也含有待定的字母时，要注意 二次项系数不能为0，还要注意题目中待定字母的取 值范围.
一元二次方程根的判别式
一元二次方程 根的判式是:
一元二次方程
判别式的情况 根的情况 两个不相等实根 两个相等实根 无实根(无解) 定理与逆定理
两不相等实根 两相等实根 无实根
判别式的应用: 1、不解方程，判别方程的根的情况
例1：不解方程，判别下列方程的根的情况
（1）
（2）
（3） 解：（1） =
所以，原方程有两个不相等的实根。 说明：解这类题目时，一般要先把方程化为一般形式，求出△， 然后对△进行计算，使△的符号明朗化，进而说明△的符号情 况，得出结论。
3、证明方程根的情况
例4、求证：关于x的方程： 有两个不相等的实根。
证明：
无论m取任何实数都有： 即：△>0
所以，无论m取任何实数,方程有两个不相等 的实数根。
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实根,求k的取值范围？
21
提升 3：若方程 3x2 4x k 1 0 无实数根，化简：
k2
2 3
k
1 9
1 2k 3
。.
3k 2 3
22
23
刚才的发言，如 有不当之处请多指
正。谢谢大家！
24
19
（3）∵ m 为整数，且方程的两个根均为正整数
3
∴ x1 2 m 必为整数
∴ m 1 或 m 3
当 m 1时 ， x1 1 ；当 m 1时， x1 5； 当 m 3时， x1 1 ； 当 m 3 时， x1 3. ∴ m 1 或 m 3
20
(5) 若关于x的方程 （1-2k)x2- 2 k+1 x=1有两个不等
（3） x2 4kx 2k 3。
提示：步骤：第一步：写出判别式△；第二步 根据△的正负写结论。
5
解：（1）因为△=b2-4ac=52-4×2×7=-31<0, 所以原方程无解。
（2）因为△ = b24ac=10，所以原方 程有两个不等的实根。
（3）因为△= b24ac= (4k+ 1)2110， 所以原方程有两个不等的实根。
3
b2 4ac 叫做一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根的 判别式，通常用“△”表示。 当△>0 时，方程有两个不等的实数根； 当△=0 时，方程有两个相等的实数根； 当△<0 时，方程没有实数根。
4
问题一：不解方程，判断下列方程是否有解？
（1） 2x2 5x 7 0 ； （2） 3x2 x 0 ；
时，（1） 方程有两个不相等的实数根； （2） 有两个相等的实数根； （3） 没有实数根。
提示：先把方程变形：2mx2 (8m 1)x 8m 0 ，再看△。
11
解：因为 = b 2 4 a c 1 6 m 1，所以
（1）当 16m 10，即 m 1 时，方程有两
16
个不等的实数根；
（2）当 16m 10，即 m 1 时，方程有两
1
对于一元二次方程 ax2bxc0(a0) 一定
有解吗？
2
一元二次方程的根的情况：
1.当 b24ac0时，方程有两个不相等的实数根 2.当 b24ac0时，方程有两个相等的实数根 3.当 b24ac0时，方程没有实数根 反过来： 1.当方程有两个不相等的实数根时，b24ac0 2.当方程有两个相等的实数根时， b24ac0 3.当方程没有实数根时，b24ac0
9
(3) m为何值时,关于x的一元二次方程 m2x2+(2m+1)x+1=0有两个不等实根？
解：△=(2m+1)2-4m2
=4m+1
若方程有两个不等实根，则△ > 0
∴4m+1 > 0
∴m >-1/4
注对意吗二？
∴m >- 1/4
且m≠0 次项系 数
10
二 次 方 程 2mx2 8m(x 1) x ， 当 m 为 何 值
∴ (m 3)2 0 且 m 0 ∴ m 3且 m 0 ∴ m 的取值范围是 m 3且 m 0
18
（2）证明：由求根公式 x b
b2 4ac 3(m 1) (m 3)
2a
2m
3m 3 m 3 2m 3 3
∴ x1
2m
2
m
m
3m 3 m 3
x2
2m
1
∴无论 m 为何值，方程总有一个固定的根是 1。
16
个相等的实数根；
（3）当
16m 10，即
m
1 16
时，方程没有
实数根.
12
问题三：解含有字母系数的方程。
解方程： ax2 5x 5 0 。
提示：分类讨论：当 a=0 时，方程变为：
5x50
当 a≠0 时，方程为一元二次方程，再利用△确
定方程的根的个数，用求根公式求出解。
13
解： 当a=1时，x=1.
(m为实数)
(1) 若方程有两个不相等的实数根，求 m 的取值范围； （2）求证：无论 m 为何值，方程总有一个固定的根；
（3）若 m 为整数，且方程的两个根均为正整数，求 m 的
值.
17
（1）解： b2 4ac 3(m 1)2 4m(2m 3) (m 3)2
∵方程有两个不相等的实数根，
∴ △ > 0方程有两个不等实根
含有字母系数时，将△配方后判断
7
2.根据方程根的情况判断参数取
值范围
(1)k为何值时,关于x的方程 2x2-(4k+1)x+2k2 –1 =0有实根？
解：△=(4k+1)2-8(2k2 –1) 准确找到a,b,c
=8k+9
求△
若方程有实根，则△≥ 0根据题意列不
∴8k+9 ≥ 0
等式（方程）
∴k≥-9/8
求出参数范围
8
(2) m为何值时,关于x的方程
4x2-mx =2x+1-m有两个相等实根？
解：方程整理为：
4x2-(m+2)x+m-1=0 ∴ △=(m+2)2-16(m –1)
=m2-12m+20
若方程有两个相等实根，则△= 0
m2-12m+20=0
∴m1=2 m2=10
当a≠0时，方程为一元二次方程.
△=25-20a.
当△>0，即
a<
5 4
时，
x
5
25 20a
2a
；
5
当△=0，即 a= 4 时，x=2；
当△<0，即
a>
5 4
时，方程无解。
14
(4) 若方程kx2-6x+1=0有实根,求k的取 值范围？
解：△=(-6)2-4k ≥ 0
且k≠0 ∴k≤9 且 k≠0
15
(4) 若方程kx2-6x+1=0有实根,求k的取 值范围？
解：当方程时一元二次方程时：
△=(-6)2-4k ≥ 0 且k≠0
∴k≤9 且 k≠0 当方程时一元一次方程时：
k= 0 方程-6x+1=0也有实根
综上:k ≤9 方程有实根
16
已知：关于 x 的一元二次方程 mx2 3(m 1)x 2m 3 0
6
1.不解方程判断方程根的情况：
(4) x2-2kx+4(k-1)=0 (k为常数) 解：△=4 k2-16k+16
=4( k2-4k+4) =4( k-2) 2
∴ △≥ 0Байду номын сангаас程有实根
(5) x2-(2+m)x+2m-1=0 (m为常数)
解：△=m2-4m+8 =m2-4m+4+4 =(m-2) 2 +4
21
提升 3：若方程 3x2 4x k 1 0 无实数根，化简：
k2
2 3
k
1 9
1 2k 3
。.
3k 2 3
22
23
刚才的发言，如 有不当之处请多指
正。谢谢大家！
24
19
（3）∵ m 为整数，且方程的两个根均为正整数
3
∴ x1 2 m 必为整数
∴ m 1 或 m 3
当 m 1时 ， x1 1 ；当 m 1时， x1 5； 当 m 3时， x1 1 ； 当 m 3 时， x1 3. ∴ m 1 或 m 3
20
(5) 若关于x的方程 （1-2k)x2- 2 k+1 x=1有两个不等
（3） x2 4kx 2k 3。
提示：步骤：第一步：写出判别式△；第二步 根据△的正负写结论。
5
解：（1）因为△=b2-4ac=52-4×2×7=-31<0, 所以原方程无解。
（2）因为△ = b24ac=10，所以原方 程有两个不等的实根。
（3）因为△= b24ac= (4k+ 1)2110， 所以原方程有两个不等的实根。
3
b2 4ac 叫做一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根的 判别式，通常用“△”表示。 当△>0 时，方程有两个不等的实数根； 当△=0 时，方程有两个相等的实数根； 当△<0 时，方程没有实数根。
4
问题一：不解方程，判断下列方程是否有解？
（1） 2x2 5x 7 0 ； （2） 3x2 x 0 ；
时，（1） 方程有两个不相等的实数根； （2） 有两个相等的实数根； （3） 没有实数根。
提示：先把方程变形：2mx2 (8m 1)x 8m 0 ，再看△。
11
解：因为 = b 2 4 a c 1 6 m 1，所以
（1）当 16m 10，即 m 1 时，方程有两
16
个不等的实数根；
（2）当 16m 10，即 m 1 时，方程有两
1
对于一元二次方程 ax2bxc0(a0) 一定
有解吗？
2
一元二次方程的根的情况：
1.当 b24ac0时，方程有两个不相等的实数根 2.当 b24ac0时，方程有两个相等的实数根 3.当 b24ac0时，方程没有实数根 反过来： 1.当方程有两个不相等的实数根时，b24ac0 2.当方程有两个相等的实数根时， b24ac0 3.当方程没有实数根时，b24ac0
9
(3) m为何值时,关于x的一元二次方程 m2x2+(2m+1)x+1=0有两个不等实根？
解：△=(2m+1)2-4m2
=4m+1
若方程有两个不等实根，则△ > 0
∴4m+1 > 0
∴m >-1/4
注对意吗二？
∴m >- 1/4
且m≠0 次项系 数
10
二 次 方 程 2mx2 8m(x 1) x ， 当 m 为 何 值
∴ (m 3)2 0 且 m 0 ∴ m 3且 m 0 ∴ m 的取值范围是 m 3且 m 0
18
（2）证明：由求根公式 x b
b2 4ac 3(m 1) (m 3)
2a
2m
3m 3 m 3 2m 3 3
∴ x1
2m
2
m
m
3m 3 m 3
x2
2m
1
∴无论 m 为何值，方程总有一个固定的根是 1。
16
个相等的实数根；
（3）当
16m 10，即
m
1 16
时，方程没有
实数根.
12
问题三：解含有字母系数的方程。
解方程： ax2 5x 5 0 。
提示：分类讨论：当 a=0 时，方程变为：
5x50
当 a≠0 时，方程为一元二次方程，再利用△确
定方程的根的个数，用求根公式求出解。
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解： 当a=1时，x=1.
(m为实数)
(1) 若方程有两个不相等的实数根，求 m 的取值范围； （2）求证：无论 m 为何值，方程总有一个固定的根；
（3）若 m 为整数，且方程的两个根均为正整数，求 m 的
值.
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（1）解： b2 4ac 3(m 1)2 4m(2m 3) (m 3)2
∵方程有两个不相等的实数根，
∴ △ > 0方程有两个不等实根
含有字母系数时，将△配方后判断
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2.根据方程根的情况判断参数取
值范围
(1)k为何值时,关于x的方程 2x2-(4k+1)x+2k2 –1 =0有实根？
解：△=(4k+1)2-8(2k2 –1) 准确找到a,b,c
=8k+9
求△
若方程有实根，则△≥ 0根据题意列不
∴8k+9 ≥ 0
等式（方程）
∴k≥-9/8
求出参数范围
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(2) m为何值时,关于x的方程
4x2-mx =2x+1-m有两个相等实根？
解：方程整理为：
4x2-(m+2)x+m-1=0 ∴ △=(m+2)2-16(m –1)
=m2-12m+20
若方程有两个相等实根，则△= 0
m2-12m+20=0
∴m1=2 m2=10
当a≠0时，方程为一元二次方程.
△=25-20a.
当△>0，即
a<
5 4
时，
x
5
25 20a
2a
；
5
当△=0，即 a= 4 时，x=2；
当△<0，即
a>
5 4
时，方程无解。
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(4) 若方程kx2-6x+1=0有实根,求k的取 值范围？
解：△=(-6)2-4k ≥ 0
且k≠0 ∴k≤9 且 k≠0
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(4) 若方程kx2-6x+1=0有实根,求k的取 值范围？
解：当方程时一元二次方程时：
△=(-6)2-4k ≥ 0 且k≠0
∴k≤9 且 k≠0 当方程时一元一次方程时：
k= 0 方程-6x+1=0也有实根
综上:k ≤9 方程有实根
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已知：关于 x 的一元二次方程 mx2 3(m 1)x 2m 3 0
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1.不解方程判断方程根的情况：
(4) x2-2kx+4(k-1)=0 (k为常数) 解：△=4 k2-16k+16
=4( k2-4k+4) =4( k-2) 2
∴ △≥ 0Байду номын сангаас程有实根
(5) x2-(2+m)x+2m-1=0 (m为常数)
解：△=m2-4m+8 =m2-4m+4+4 =(m-2) 2 +4