有理数分类
有理数的分类
有理数的分类有理数是整数和分数的统称，是数学中最基本的数量概念之一。
在数学中，有理数的分类是一种将有理数按照一定的规则进行归类和划分的方法。
有理数的分类可以帮助我们更好地理解和应用有理数的性质和运算法则。
基于有理数的大小，我们可以对有理数进行正数、负数和零的分类。
正数是大于零的有理数，负数是小于零的有理数，而零是唯一的既不是正数也不是负数的有理数。
这种分类方便我们在数轴上进行有理数的表示和比较，有助于我们研究和解决实际问题中涉及正负关系的计算和推理。
另一种常见的有理数的分类是根据有理数是否是整数进行的。
整数是不带小数部分的有理数，包括正整数、负整数和零。
正整数是大于零的整数，负整数是小于零的整数，而零是唯一的既是正整数也是负整数的整数。
这种分类在数学中经常用于研究整数的性质和运算法则，例如整数的加法、减法和乘法等。
除了以上两种基本的分类方式之外，有理数还可以按照小数部分的长度进行分类。
有限小数是小数部分有限位数的有理数，例如1.5、-0.75等；无限循环小数是小数部分有限位数但有一部分数字循环出现的有理数，例如0.333...、-0.1818...等；无限不循环小数是小数部分无限位数且无循环的有理数，例如π、√2等。
这种分类有助于我们对有理数的小数表示进行分析和比较，在数值计算和数论等领域有广泛的应用。
此外，我们还可以将有理数按照绝对值的大小进行分类。
绝对值是一个数去掉符号后的结果，用两个竖线表示。
对于任意一个有理数a，其绝对值记作|a|，有以下性质：如果a>0，则|a|=a；如果a<0，则|a|=-a；如果a=0，则|a|=0。
根据绝对值的大小，我们可以将有理数分为正数、负数和零三类。
这种分类在解决绝对值相关的问题时非常有用，例如绝对值方程、绝对值不等式等。
最后，还有一种特殊的有理数分类是根据有理数的分子和分母之间是否存在约数进行的。
如果有理数的分子和分母没有公共约数，这个有理数被称为最简有理数；如果有理数的分子和分母存在公共约数，这个有理数被称为分数。
有理数的分类
（1）按一定速度传播问题：
应
用
（2）平均变化率问题： （3）边的宽度问题： （4）匀变速运动问题：
a a1 x a
v0 0 v 2
1 x
2
„=总数（a 为原产值，x 为增长率）
v
匀变速时间=行驶路程÷平均速度 匀变速度=（初速度-末速度）÷匀变速时间 速度×时间=路程
添括号法则
（2） 添括号后，括号前是“—”号，括到括号里的各项都改变符号。
整式的乘法
同底数幂的乘法 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
幂的乘方 幂的乘方，底数不变，指数相乘。
a
m
a a
n
mn
（m、n 都是正整数）
mn m a a （m、n 都是正整数）
n
积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 积的乘方
y a x bx c
y ax x1x x2
x
b 2a
a 0 开口向下
对称轴左侧,y 随 x 的增大而增 大 对称轴右侧，y 随 x 的增大而减 小 函数有最大值。
是二次项，a 是二次项系数，bx 是一次项，b 是一次项系数，c 是常数项。
2
（1）直接开方法： 一元二次方 程的解法 形如
p
2
或
mxn p
2
的形式， 可得 x
p 或 mx n p ）
4）开方
（2）配方法：1）移项（常数项移到等号右边）
2）二次项系数化成 1
3）配方（等号左右两边同加一次项系数一半的平方）
1 a b
有理数的概念及分类
有理数的概念及分类有理数一词是从西方传来，在英语中是rational number，而rational通常的意义是“理性的”。
有理数，在数学其实就是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称。
正整数和正分数合称为正有理数，负整数和负分数合称为负有理数。
因而有理数集的数可分为正有理数、负有理数和零。
一、有理数的基本运算有：1.加法运算减去一个数，等于加上这个数的相反数（符号不同，符号相同的两个数互为相反数，其中一个数叫做另一个数的相反数）。
2.乘法运算两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
特别注意：零除以任一一个不等于零的数，都得零；零无法搞除数和分母；有理数的乘法与乘法就是互逆运算。
在做除法运算时，根据同号得正，异号得负的法则先确定符号，再把绝对值相除。
若在算式中带有带分数，一般先化成假分数进行计算。
若不能整除，则除法运算都转化为乘法运算。
3.乘法运算（1）负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数。
例如：（-2）的3次方= -8，（-2）的2次方=4。
（2）正数的任何次幂都就是正数，零的任何正数次幂都就是零。
比如：2的2次方=4,2的3次方=8,0的3次方=0。
（3）零的零次幂无意义。
（4）由于乘方就是乘法的特例，因此有理数的乘方运算可以用有理数的乘法运算顺利完成。
（5）任何非0数的0次方都是1。
（6）一个数的负数次方=此数正数次方的倒数。
例如：5的-2次方=1/25二、有理数的运算定律有：1.乘法运算律:（1）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变，即a+b=b+a。
（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘或者先把后两个数相乘，和维持不变，即a+b+c=a+（b+c）。
2.加法运算律：（1）减法运算律：减去一个数，等于加上这个数的相反数。
即：a-b=a+（-b）。
（2）加法结合律：三个数连减至，可以先将两个减至的数相乘，然后再减至，高维持不变，即：a-b-c=a-（b+c）。
有理数分类注意点
有理数分类注意点
实数是一种最基本的数学概念，它包括有理数、无理数和虚数。
有理数分为整数和分数。
整数是一类只包含正数和负数的元素，这类数字没有分数形式，叫做整数，例如5、-7等都是整数。
分数由一个分子和一个分母组成，表示的是一个数字的比例关系。
它既可以是分子大于分母的真分数，也可以是分子小于分母的假分数，如：1/3 、3/4 、4/1都是有理数的分数形式。
有理数的分类还包括定点数和有理数的幂数。
定点数，也叫固定小数，即用小数的形式表示有理数的小数，如：2.5、5.2、-0.7等就是定点数。
有理数的幂数是由有理数和冪次数组成的，如：(-3)^3、(-3)^0、(-3)^-3都是有理数的幂数。
从上面我们可以知道，有理数不仅包括整数和分数，还包括定点数和有理数的幂数，对有理数分类有重要意义，以便我们更好地理解和使用有理数。
有理数的知识点整理
有理数的知识点整理一、有理数的概念1. 定义- 整数和分数统称为有理数。
整数包括正整数、0、负整数，例如3、0、-5等；分数包括有限小数和无限循环小数，有限小数如0.25，无限循环小数如0.3̇。
2. 有理数的分类- 按定义分类：- 有理数cases(整数begin{cases}正整数0负整数)分数cases(正分数负分数)end{cases}- 按性质符号分类：- 有理数cases(正有理数begin{cases}正整数正分数)0负有理数cases(负整数负分数)end{cases}二、数轴1. 定义- 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，缺一不可。
2. 数轴上的点与有理数的关系- 所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不都表示有理数（还有无理数）。
例如，2可以用数轴上原点右边距离原点2个单位长度的点来表示；-1.5可以用原点左边距离原点1.5个单位长度的点来表示。
3. 利用数轴比较有理数的大小- 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
正数大于0，0大于负数，正数大于负数。
例如，在数轴上3在1的右边，所以3 > 1；-2在-3的右边，所以-2>-3。
三、相反数1. 定义- 只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
0的相反数是0。
例如，3和-3互为相反数，-(1)/(2)和(1)/(2)互为相反数。
2. 性质- 互为相反数的两个数的和为0，即若a与b互为相反数，则a + b=0。
例如，5+(-5) = 0。
- 在数轴上，表示互为相反数的两个点位于原点两侧，且到原点的距离相等。
例如，3和-3在数轴上到原点的距离都是3个单位长度。
四、绝对值1. 定义- 一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作| a|。
例如，|3| = 3，| - 3|=3。
2. 性质- 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。
有理数相关知识点
有理数1.有理数：(1)凡能写成)0p q ,p (pq ≠为整数且形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；π不是有理数；(2)有理数的分类: ① ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数 ② ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数(3)注意：有理数中，1、0、-1是三个特殊的数，它们有自己的特性；这三个数把数轴上的数分成四个区域，这四个区域的数也有自己的特性；(4)自然数⇔ 0和正整数；a ＞0 ⇔ a 是正数；a ＜0 ⇔ a 是负数；a ≥0 ⇔ a 是正数或0 ⇔ a 是非负数；a ≤ 0 ⇔ a 是负数或0 ⇔ a 是非正数.2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.3．相反数：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0；(2)注意： a-b+c 的相反数是-a+b-c ；a-b 的相反数是b-a ；a+b 的相反数是-a-b ；(3)相反数的和为0 a+b=0 a 、b 互为相反数.4.绝对值：(1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；(2) 绝对值可表示为：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0a (a )0a (0)0a (a a 或⎩⎨⎧<-≥=)0a (a )0a (a a ；绝对值的问题经常分类讨论； (3) 0a 1a a >⇔= ； 0a 1a a<⇔-=；(4) |a|是重要的非负数，即|a|≥0；注意：|a|·|b|=|a ·b|, ba b a =. 5.有理数比大小：（1）正数的绝对值越大，这个数越大；（2）正数永远比0大，负数永远比0小；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（6）大数-小数 ＞ 0，小数-大数 ＜ 0.6. 乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若 a ≠0，那么a 的倒数是a1；倒数是本身的数是±1；若ab=1⇔ a 、b 互为倒数；若ab=-1⇔ a 、b 互为负倒数.7. 有理数加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）一个数与0相加，仍得这个数.8．有理数加法的运算律：（1）加法的交换律：a+b=b+a ；（2）加法的结合律：（a+b ）+c=a+（b+c ）.9．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b ）.10 有理数乘法法则：（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；（2）任何数同零相乘都得零；（3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定.11 有理数乘法的运算律：（1）乘法的交换律：ab=ba ；（2）乘法的结合律：（ab ）c=a （bc ）；（3）乘法的分配律：a （b+c ）=ab+ac .12．有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，无意义即0a . 13．有理数乘方的法则：（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当n 为正奇数时: (-a)n =-a n 或(a -b)n =-(b-a)n ,当n 为正偶数时: (-a)n =a n 或 (a-b)n =(b-a)n .14．乘方的定义：（1）求相同因式积的运算，叫做乘方；（2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂；（3）a 2是重要的非负数，即a 2≥0；若a 2+|b|=0 ⇔ a=0,b=0；（4）据规律 ⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅===100101101.01.0222底数的小数点移动一位，平方数的小数点移动二位. 15．科学记数法：把一个大于10的数记成a ×10n 的形式，其中a 是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法.16.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位.17.有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字.18.混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减；注意：怎样算简单，怎样算准确，是数学计算的最重要的原则.19.特殊值法：是用符合题目要求的数代入，并验证题设成立而进行猜想的一种方法,但不能用于证明.。
第1章 有理数-第02讲 有理数的概念及分类(老师版)
第02讲有理数的概念及分类1、有理数的分类整数和负数统称为有理数。
分类如下：(1)按整数、分数的关系分类：(2)按正数、负数与0的关系分类： 要点诠释：(1)有理数都可以写成分数的形式，整数也可以看作是分母为1的数.(2)分数与有限小数、无限循环小数可以互化，所以有限小数和无限循环小数可看作分数，但无限不循环小数不是分数，例如π．2、含“非”的有理数正数和零统称为非负数；负数和零统称为非正数；正整数和零统称为非负整数；负整数和零统称为非正整数．一、题型一、有理数的概念及分类例1.有理数的分类：(1)有理数按照定义分类：(2)有理数按照符号分类；【答案】【答案】；例2.因为有限小数和无限循环小数都可以化为分数，所以有限小数与无限循环小数都是_______．【答案】【答案】有理数例3.正分数和负分数统称为______．【答案】【答案】分数例4.各数中，哪些数是整数，但是不是正数？哪些数是分数，但不是负数？2,1 3,0,-7,0.24,-0.3,-29________是整数，但是不是正数；_______是分数，但不是负数【答案】【答案】0,-7；13,0.24例5.下列语句中正确的有 ()①所有整数都是正数；②所有正数都是整数；③自然数都是正数；④分数是有理数；⑤在有理数中除了正数就是负数．A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】【答案】A【分析】根据有理数的分类及相关概念可直接进行排除选项．【详解】解：①所有整数都是正数，错误，比如-1；②所有正数都是整数，错误，比如0.5；③自然数都是正数，错误，比如0；④分数是有理数，正确；⑤在有理数中除了正数就是负数，错误，还有零；∴正确的有一个；故选A．例6.下列说法正确的是()A.所有的整数都是正数B.不是正数的数一定是负数C.0是最小的有理数D.整数和分数统称有理数【答案】【答案】D【分析】整数包括正整数、负整数、零；不是正数，有可能是负数和零，零既不是正数，也不是负数；有理数可这样分，正数、零、负数；有理数的概念：整数和分数统称为有理数【详解】A.负整数和0就不是正数，显然A 错误；B.不是正数，有可能是零，所以B 错误；C.负有理数比零小，错误；D.正确，故选D .例7.把下列各数填入相应的集合里：+5，-12，4.2，0，-5.37，37，-3．(1)自然数集合：{ ⋯}；(2)整数集合：{ ⋯}；(3)分数集合：{ ⋯}；(4)负有理数集合：{ ⋯}．【答案】【答案】(1)+5，0；(2)+5，0，-3；(3)-12，4.2，-5.37，37；(4)-12，-5.37，-3．【分析】根据正有理数、负分数、整数、自然数的定义即可得到结果．【详解】解：(1)自然数集合：{+5，0⋯}；(2)整数集合：{+5，0，-3⋯}．(3)分数集合：-12，4.2，-5.37，37⋯ ；(4)负有理数集合：-12，-5.37，-3⋯ ．故答案为：(1)+5，0；(2)+5，0，-3；(3)-12，4.2，-5.37，37；(4)-12，-5.37，-3．题型二、带“非”字有理数例8.“正数和0”统称为_______；“负数和0”统称为_______．“正整数和0”统称为________；“负整数和0”统称为_________．【答案】【答案】非负数非正数非负整数非正整数例9.下列说法中：①0是最小的的整数；②有理数不是正数就是负数；③正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数；④非负数就是正数；⑤-π2是有理数；⑥平方等于它本身的数有±1；⑦无限小数都不是有理数；⑧正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中错误的说法的个数为()A.7个B.6个C.5个D.4个【答案】【答案】A【分析】根据有理数的分类，依此即可作出判断．【详解】解：①没有最小的整数，故①错误；②有理数包括正数、0和负数，故②错误；③正整数、负整数、0、正分数、负分数统称为有理数，故③错误；④非负数就是正数和0，故④错误；⑤-π2是无理数，故⑤错误；⑥平方等于它本身的数有1和0；故⑥错误；⑦无限循环小数是有理数，故⑦错误；⑧正数中没有最小的数，负数中没有最大的数，故⑧正确的．故其中错误的说法的个数为7个．故选：A ．例10.下列说法中：①有理数不是正数就是负数；②正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数；③非负数就是正数和0；④π6不仅是分数，而且还是有理数；⑤无限小数不一定是有理数；⑥259是无限不循环小数，所以不是有理数．其中正确的说法的个数为()A.4个 B.3个C.2个D.1个【答案】【答案】C【分析】对于①，有理数包括正有理数、零和负有理数，据此来判断即可．对于②，整数和分数统称有理数，据此判断即可．对于③，非负数包括正数和0，据此判断即可．对于④，π是无理数，据此判断即可．对于⑤，有限小数或无限循环小数是有理数，据此判断即可．对于⑥，整数和分数统称有理数，据此判断即可．【详解】解：有理数包括正有理数，0，负有理数，∴①不正确又∵整数和分数统称有理数，∴②不正确．又∵非负数就是正数和0，∴③正确．又∵π是无理数，∴④不正确又∵有限小数或无限循环小数是有理数，∴⑤正确．又∵整数和分数统称有理数，∴⑥不正确．∴综上，③⑤正确．故选C例11.已知下列各数-8，2.1，19，3，0，-2.5，10，-1中，其中非负数的个数是()A.2个 B.3个C.4个D.5个【答案】【答案】D【分析】非负数包括正数和0，选出即可．【详解】解：非负数有2.1，19，3，0，10，共5个，故选：D ．例12.下面说法中正确的有()A.非负数一定是正数B.有最小的正整数，有最小的正有理数C.0既不是整数，也不是负数D.正整数和正分数统称正有理数【答案】【答案】D【分析】根据有理数的分类方法求解即可．【详解】解：A .非负数包括正数和0，故本选项错误；B .有最小的正整数，没有最小的正有理数，故本选项错误；D .0既不是正数，也不是负数，但是整数，故本选项错误；D .正整数和正分数统称正有理数，正确；故选D ．例13.绝对值不大于3.14的非负整数有_______【答案】【答案】0，1，2，3．【分析】绝对值不大于3.14，取值范围是≥-3.14且≤3.14，非负整数包括0和正整数，从同时符合两个取值条件的数中分析得出答案．【详解】解：∵绝对值不大于3.14，用a 表示取值范围为a ≤3.14，即-3.14≤a ≤3.14，∵a 是非负整数，则符合条件的数是：0、1、2、3．故答案为：0，1，2，3．例14.把下列各数填在相应的大括号内：+3,-58,0,6.21,100,-1,|-4|,0.010010001,-(+1.2),17%正数集合{⋯}整数集合{⋯}负分数集合{⋯}非负有理数{⋯}．【答案】【答案】见解析【分析】按照有理数的分类以及意义直接填空即可．【详解】解：|-4|=4，-(+1.2)=-1.2，正数集合{+3,6.21,100,|-4|,0.010010001,17%，...}整数集合{+3,0,100,-1,|-4|，...}负分数集合-58,-(+1.2)，...非负有理数{+3,0,6.21,100,|-4|,0.010010001,17%，...}1._____和______统称为有理数．【答案】【答案】整数分数2.(1)整数包括_________、_________、_________．(2)零_____整数，但零_____正整数，也______负整数．【答案】【答案】正整数负整数零是不是不是3.下列说法错误的是()A.最小自然数是0B.最大的负整数是-1C.没有最小的负数D.最小的整数是0【答案】【答案】D【分析】按照有理数的分类填写．【详解】解：A 、0是最小的自然数，故A 说法正确，不符合题意B 、-1是最大的负整数，故B 说法正确，不符合题意；C 、没有最小的负数，故C 说法正确，不符合题意D 、没有最小的整数，故D 说法错误，符合题意；故选：D ．4.在下列各数中，负分数有()-1，-3.141559，2，-13，13，0，12，-5%，34A.1个 B.2个C.3个D.4个【答案】【答案】C【分析】根据负分数的意义，可得答案．【详解】解：负分数有：-3.141559，-13，-5%，共3个，故选：C ．5.下列说法正确的是()A.正数和负数统称为有理数B.正整数包括自然数和零C.零是最小的整数D.非负数包括零和正数【答案】【答案】D【分析】按照有理数的分类进行选择．【详解】解：A、正数、负数和零统称为有理数；故本选项错误；B、零既不是正整数，也不是负整数；故本选项错误；C、零是最小是自然数，负整数比零小；故本选项错误；D、非负数包括零和正数；故本选项正确；故选：D．6.把下面的数填入它所属于的集合的大括号内(填序号)①-5.3，②+5，③20%，④0，⑤-27，⑥-7，⑦-∣-3∣，⑧-(-1.8)正数集合{}整数集合{}分数集合{}有理数集合{}【答案】【答案】见解析【分析】根据有理数的分类填空．【详解】解：-|-3|=-3，-(-1.8)=1.8．正数集合{②③⑧}整数集合{②④⑥⑦}分数集合{①③⑤⑧}有理数集合{①②③④⑤⑥⑦⑧}．7.把下列各数填入它所在的集合里：-2，7，-23，0，2015，0.618，3.14，-1.732，-5，+3①正数集合：{___________________________________⋯}②负数集合：{___________________________________⋯}③整数集合：{___________________________________⋯}④非正数集合：{_________________________________⋯}⑤非负整数集合：{_______________________________⋯}⑥有理数集合：{_________________________________⋯}【答案】①正数集合：{7，2015，0.618，3.14，+3⋯}；②负数集合：{-2，-23，-1.732，-5，⋯}；③整数集合：{-2，7，0，2015，-5，+3⋯}；④非正数集合：{-2，-23，0，-1.732，-5，⋯}；⑤非负整数集合：{7，0，2015，+3⋯}；⑥有理数集合：{-2，7，-23，0，2015，0.618，3.14，-1.732，-5，+3⋯}【分析】根据有理数的分类即可得出答案．【详解】解：①正数集合：{7，2015，0.618，3.14，+3⋯}②负数集合：{-2，-23，-1.732，-5，⋯}③整数集合：{-2，7，0，2015，-5，+3⋯}④非正数集合：{-2，-23，0，-1.732，-5，⋯}⑤非负整数集合：{7，0，2015，+3⋯}⑥有理数集合：{-2，7，-23，0，2015，0.618，3.14，-1.732，-5，+3⋯}。
有理数的相关概念
有理数的相关概念有理数的概念的内容包含有理数分类的原则和方法，相反数、数轴、绝对值的概念和特点。
1.有理数的分类：有理数包括整数和分数，整数又包括正整数，0和负整数，分数包括正分数和负分数。
分类的原则：(1)相称(不重、不漏);(2)有标准2.非负数：正数与零的统称。
3.相反数： (1)定义:如果两个数的和为0.那么这两个数互为相反数.(2)求相反数的公式: a的相反数为-a.(3)性质：①a0时，a②ａ与-a在数轴上的位置关于原点对称;③两个相反数的和为0,商为-1。
4.数轴：(1)定义(三要素):具有原点、正方向、单位长度的直线叫数轴。
作用：①直观地比较实数的大小;②明确体现绝对值意义;③所有的有理数可以在数轴上表示出来，所有的无理数如都可以在数轴上表示出来，故数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，数轴上的点与实数是一一对应关系。
5.绝对值：(1)代数定义：正数的绝对值是它的本身，0的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数。
(2)几何定义：数a的绝对值顶的几何意义是实数a在数轴上所对应的点到原点的距离。
①符号││是非负数的标志;②数a的绝对值只有一个;③处理任何类型的题目，只要其中有││出现，其关键一步是去掉││符号。
整数距离0的数值，称为绝对值。
0的绝对值为0，负数的绝对值是它的相反数，正整数的绝对值是它本身。
整数还包括正数、负数和0。
正数和负数相加同号相加，取相同的符号，把两数相加并加上符号。
异号相加，取绝对值较大数的符号，用较大绝对值减去较小绝对值。
正数和负数是两种意义相反的量。
对一些具有相反意义的量可人为规定其正负。
0既不是正数也不是负数，它是正负数的分界。
整数可以看做分母为1的分数。
整数可以看作分母为1的分数。
正整数、0、负整数、正分数、负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。
(Rational number)实数=整数+分数=正数+零+负数=有理数+无理数有理数。
高三复习-有理数的定义和分类
有理数的定义和分类
一、有理数的定义和分类
1、定义：整数和分数统称为有理数，正整数、0、负整数统称为整数；正分数、负分数统称为分数。
2、分类：
$有理数\begin{cases}整数\begin{cases}正整数，如：1,2,3... \\ 0 \\ 负整数，如:-1,-2,-3... \end{cases} \\分数\begin{cases} 正分数，如: \dfrac{1}{2}, \dfrac{2}{3}, 5.3... \\ 负分数，如: -4 \dfrac{1}{2},-3.6,- \dfrac{6}{7}... \end{cases} \end{cases}$
$有理数\begin{cases} 正有理数\begin{cases} 正整数\\ 负整数\end{cases} \\ 0 \\ 负有理数\begin{cases} 负整数\\ 负分数\end{cases} \end{cases}$
二、例题
1、在0,1，-2，-3.5这四个数中，是负整数的是（）
A. 0 ㅤㅤ
B.1 ㅤㅤ
C. -2 ㅤㅤ
D. -3.5
答案：C解析：只有-2是负整数，故选C.
2、指出下列各数中的正数、负数、整数和分数:
$-17，+6，-1，-0.81，3，0，\dfrac{2}{3}，2\dfrac{3}{5}，0.8，-8.75$
解析：
正数：$+6，3，\dfrac{2}{3}，2 \dfrac{3}{5}，0.8；$负数：$-17，-1，-0.81，-8.75；$整数：$+6，-1，3，0;$分数：$-0.81，\dfrac{2}{3}，2\dfrac{3}{5}，0.8，-8.75.$。
有理数的定义和分类
10、π是有理数。
6
LOGO
有理数的定义及分类
LOGO
有 理 数
Hale Waihona Puke 整 数分 数
正整数：如 1、2、3……
零：
0
负整数：如－1、－2、－3… 正分数: 如 1/2 、1/3、5.2 负分数：如 -1/5、-3.5、-5/6
2
LOGO
有理数的另一种分类：
有 理 数
正有理数
0 负有理数
正整数 正分数 负整数
负分数
3
LOGO 1、下列各数中:
练习：
7， -9.24， -301， 31.25， 0， -18， 1/3, 3.1415926……，2009，-0.14287，67%，π
正数有（ 整数有（ 正整数有（ 正分数有（
）， ）， ）， ），
负数有（ 有理数有（ 负整数有（ 负分数有（
） ） ） ）
4
LOGO 2、判断。 1、负整数和负分数统称负有理数。 2、正整数、0、负整数统称为整数。
3、正有理数与负有理数组成全体有理数。
4、3.14是小数，也是分数。
5、0既不是正数，也不是负数，也不是整数。
5
LOGO 6、正整数与负整数统称为整数。 7、既是分数，也是负数，也是有理数。
8、0是最小的有理数。
初中七年级数学有理数的定义和分类
有理数定义及分类
有理数的定义
有理数是指两个整数的比。
有理数是整数和分数的集合。
整数也可看做是分母为一的分数。
有理数的小数部分是有限或为无限循环的数。
有理数是实数的紧密子集：每个实数都有任意接近的有理数。
一个相关的性质是，仅有理数可化为有限连分数。
依照它们的序列，有理数具有一个序拓扑。
有理数是实数的(稠密)子集，因此它同时具有一个子空间拓扑。
有理数的分类
(一)按有理数的定义分类：
(1)整数：整数就是像-3,-2,-1,0,1,2,3,10等这样的数。
整数包括正整数、0、负整数。
其中零和正整数统称自然数。
(2)分数：分数是一个整数a和一个正整数b的不等于整数的比。
分数表示一个数是另一个数的几分之几，或一个事件与所有事件的比例。
(二)按有理数的性质分类:
(1)正有理数：除了负数、0、无理数的数字都是正有理数。
正有理数还被分为正整数和正分数。
(2)0：0是介于-1和1之间的整数，是最小的自然数，也是有理
数。
(3)负有理数：负有理数指小于0的有理数，就是小于零并能用小
数表示的数。
•有理数的分类：
（1）按有理数的定义：
正整数
整数{ 零
负整数
有理数{
正分数
分数{
负分数
（2）按有理数的性质分类:
正整数
正数{
正分数
有理数{ 零
负整数
负数{
负分数。
有理数的46个知识点总结
有理数的46个知识点总结一、有理数的概念。
1. 有理数的定义。
- 有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称。
例如，5是正整数属于有理数，-3是负整数属于有理数，(1)/(2)是分数属于有理数。
2. 有理数的分类。
- 按定义分类：有理数可分为整数和分数。
整数包括正整数、0、负整数；分数包括有限小数和无限循环小数，如0.25（有限小数），0.3̇（无限循环小数）。
- 按正负性分类：有理数可分为正有理数、0、负有理数。
正有理数包括正整数和正分数，负有理数包括负整数和负分数。
3. 有理数与无理数的区别。
- 无理数是无限不循环小数，如π、√(2)等，而有理数是整数或分数。
有理数可以表示为两个整数之比，无理数则不能。
二、有理数的数轴表示。
4. 数轴的定义。
- 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
原点表示0，原点右边表示正数，原点左边表示负数。
5. 有理数在数轴上的表示。
- 每一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。
例如，3在原点右边3个单位长度处， -2在原点左边2个单位长度处。
6. 数轴上点的移动规律。
- 向右移动为加，向左移动为减。
如点A表示2，向右移动3个单位长度后表示2 + 3=5；向左移动4个单位长度后表示2-4 = - 2。
三、相反数。
7. 相反数的定义。
- 绝对值相等，符号相反的两个数互为相反数。
例如，3和 - 3互为相反数，0的相反数是0。
8. 相反数的性质。
- 互为相反数的两个数相加为0，即a+(-a)=0。
如5+( - 5)=0。
- 在数轴上，互为相反数的两个数位于原点两侧，且到原点的距离相等。
四、绝对值。
9. 绝对值的定义。
- 一个数在数轴上所对应点到原点的距离叫做这个数的绝对值。
正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。
例如，|3| = 3，| - 2|=2，|0| = 0。
10. 绝对值的性质。
- | a|≥slant0，即绝对值是非负的。
- 若| a|=| b|，则a = b或a=-b。
有理数的分类课件
3：把下列各数填在相应的集合中：
3 , 1 ,0 ,4 , , 2 .1, 2 0 .6, 5 3% 0 0 0 .6 ,,22
2
7
正数集合：{ 1,4,,2.1,2 30% 02,2 ...
}；
2
7
负数集合：{ 3,0.6,50.6 ...
}；
分数集合：{ 1,2.1,2 0.6,5 0.6 ,22 ...
3，国际乒联在正式比赛中采用打球，对大球的直径有严格的 标准，现有5个乒乓球，测量它们的直径，超过标准的毫米数 记为正数，不足的记为负数，测量结果如下： A.-0.1mm B.-0.2mm C.+0.25mm D.-0.05mm E.+0.15mm 你认为应该选哪一个乒乓球用于比赛呢？为什么？
活动1
75
1,21 ,3.14,10,0 2
2.丹丹在做第1题时,发现了新的分类 方法,她认为:带“+”的数分为一类,带
2.5,6,1.5,9. “-”的数分为一类,数的前面没有符 11 号的作为一类.你认为她的分类方法对
吗若不对,你发现什么新的分类方法吗
按性质分类：
正有理数
有理数
0
负有理数
正整数
正数和正有理数 有什么区别呢？
}；
2
7
整数集合：{ 3,0,4,30% 0 ...
}；
非负数集合：{
1,0,4,,2.1,2 3
22 0% 0 ,...
}；
2
7
有理数集合：{ 3 , 1 ,0 ,4 , 2 .1, 2 0 .6,3 5% 0 0 0 .6 ,,2.2 ..}；
2
7
注意：1，像 300%这种可以先化简成整数的数是整数不是分数；
有理数知识点
有理数知识点一、关键信息项1、有理数的定义：整数（正整数、0、负整数）和分数的统称。
2、有理数的分类：按定义分类：分为整数和分数。
按性质分类：分为正有理数、0、负有理数。
3、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线。
4、相反数：绝对值相等，符号相反的两个数。
5、绝对值：数轴上表示数 a 的点与原点的距离。
6、有理数的大小比较：正数大于 0，0 大于负数，正数大于负数。
两个负数，绝对值大的反而小。
7、有理数的加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
异号两数相加，绝对值相等时和为 0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
一个数同 0 相加，仍得这个数。
8、有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。
9、有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
任何数同 0 相乘，都得 0。
10、有理数的除法法则：除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数。
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
0 除以任何一个不等于 0 的数，都得 0。
11、乘方：求 n 个相同因数乘积的运算，叫做乘方。
12、科学记数法：把一个大于 10 的数表示成 a×10^n 的形式（其中a 大于或等于 1 且小于 10，n 是正整数）。
二、详细内容11 有理数的定义有理数是能够表示为两个整数之比的数，包括整数和分数。
整数可以看作是分母为 1 的分数。
例如，5 可以表示为 5/1，－3 可以表示为－3/1。
分数则是形如 m/n（m、n 为整数，且 n 不等于 0）的数，例如1/2、－3/4 等。
111 有理数与无理数的区别无理数是不能表示为两个整数之比的数，例如圆周率π、根号2 等。
有理数和无理数共同构成了实数集合。
12 有理数的分类121 按定义分类整数：包括正整数、0、负整数。
正整数如 1、2、3 等；负整数如－1、－2、－3 等。
分数：包括正分数和负分数。
有理数与无理数分类
有理数与无理数分类数学中的数可以分为有理数和无理数两类。
有理数是可以表示为两个整数的比例形式的数，而无理数则是不可用有限或无限循环小数形式表示的数。
有理数和无理数在数学中有着不同的性质和特点。
本文将对有理数和无理数进行分类和讨论。
一、有理数的分类有理数可以分为整数和分数两种。
1. 整数整数包括正整数、负整数和零。
正整数是大于零的整数，负整数是小于零的整数，而零既不是正整数也不是负整数。
2. 分数分数由分子和分母组成，分子是整数，而分母是正整数。
分数可以表示为两个整数的比值。
分数又可以分为真分数和假分数。
- 真分数：分子小于分母的分数。
例如，1/2、3/4都是真分数。
- 假分数：分子大于或等于分母的分数。
例如，5/4、7/4都是假分数。
二、无理数的分类无理数包括无限不循环小数和无限循环小数两种。
1. 无限不循环小数无限不循环小数是无理数的一种形式，不能表示为两个整数的比例形式。
无限不循环小数的小数部分是无限长度的，且没有循环模式。
例如，圆周率π和自然对数的底数e都是无限不循环小数。
2. 无限循环小数无限循环小数是无理数的另一种形式，同样不能表示为两个整数的比例形式。
无限循环小数的小数部分是有限长度的，且有一个或多个循环模式。
例如，1/3和22/7都是无限循环小数。
三、有理数与无理数的性质比较有理数和无理数在数学运算、大小比较和表示形式等方面有着不同的性质。
1. 数学运算：有理数之间的四则运算（加法、减法、乘法、除法）仍然是有理数，两个有理数之间的运算结果也是有理数。
例如，1/2 + 3/4 = 5/4，结果是一个有理数。
而无理数与有理数之间的运算结果通常是无理数。
例如，√2 + 1/2是一个无理数。
2. 大小比较：有理数之间可以通过大小关系进行比较。
例如，2/3 < 4/5，即2/3小于4/5。
而无理数之间的大小比较相对复杂，需要借助数学方法进行推导。
一般来说，无理数之间无法直接通过大小关系进行比较。
有理数的概念和分类
有理数的概念和分类一、有理数的概念和分类1、有理数（1）有理数的定义：正整数、0、负整数统称为整数；正分数、负分数统称为分数。
整数和分数统称为有理数。
（2）有理数的分类① 按整数和分数的关系，有理数分为整数和分数。
其中整数分为正整数、0、负整数；分数分为正分数、负分数。
② 按正数、0和负数的关系，有理数分为正有理数、0、负有理数。
其中正有理数分为正整数、正分数；负有理数分为负整数、负分数。
2、数轴（1）数轴的定义在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴，它满足以下要求：① 在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点；② 通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向；③ 选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，$\cdots\cdots$；从原点向左，用类似方法依次表示$-1$，$-2$，$-3$，$\cdots\cdots$（分数和小数也可以用数轴表示）。
（2）数轴上的点和有理数一般地，设$a$是一个正数，则数轴上表示数$a$的点在原点的右边，与原点的距离是$a$个单位长度；表示数$-a$的点在原点的左边，与原点的距离是$a$个单位长度。
3、相反数（1）相反数像2和$-2$，5和$-5$这样，只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
一般地，$a$和$-a$互为相反数，特别地，0的相反数是0。
这里，$a$表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0。
（2）几何意义互为相反数的两个数在数轴上对应的两个点位于原点的两侧且到原点的距离相等；反之，位于原点的两侧且到原点的距离相等的点所表示的两个数互为相反数。
（3）相反数的性质任何一个数都有相反数，而且只有一个。
正数的相反数一定是负数；负数的相反数一定是正数；0的相反数仍是0。
4、绝对值（1）绝对值的定义一般地，数轴上表示数$a$的点与原点的距离叫做数$a$的绝对值，记作$|a|$。
有理数的特征及分类
有理数的特征及分类
有理数是数学中的一类数字，可以表达为两个整数的比值。
在有理数的定义中，我们可以观察到以下特征和分类。
特征
1. 有理数可以用分数表示，其中分母不为零。
2. 有理数包括整数和分数两部分，可以写成整数形式或者带分数形式。
3. 有理数可以是正数、零或者负数。
4. 有理数的绝对值是非负数。
分类
整数
整数是没有小数部分的有理数。
可以用正数或负数的整数来表示。
例如：-3、0和5都是整数。
分数
分数是有理数的一种表示形式，它包括一个分子和一个分母，分子表示数量的一部分，分母表示分割的份数。
分母不能为零。
例如：3/4、-1/2和7/8都是分数。
正数和负数
有理数可以是正数或负数，用正号(+)或负号(-)表示。
正数大于零，负数小于零。
例如：2是正数，-5是负数。
零
零是一个特殊的有理数，既不是正数也不是负数。
用0表示。
有理数的特征和分类，描述了它们的基本性质和形式。
通过理解有理数的定义，可以更好地应用于数学问题和实际应用中。
有理数的分类
图象经过一、二、三象限 增大而增大
图象经过一、二、四象限
y随x的 增大而减小
b 0
图象经过一、三、四象限
b 0
图象经过二、三、四象限
y k x
双曲线的两支分别位于 第一、三象限
y随x的 增大而减小
双曲线的两支分别位于 第二、四象限
y随x的 增大而增大
解析式
顶点坐标
对称轴
性质
x y a x2 y a 2
正 比 例 函 形如 y = k x （k 是常数，k 0）的函数，叫正比例函数，K 叫做比例系数
数
一次函数 形如 y = k x + b （k、b 是常数，k 0）的函数，叫做一次函数。
( ) 反 比 例 函
数
形如 y = k y = kx x
（ 为常数， ≠0 ）的函数称为反比例函
2
匀变速时间=行驶路程÷平均速度
匀变速度=（初速度-末速度）÷匀变速时间
速度×时间=路程
二次根式
定义
形如 a a 0 的式子叫做二次根式。“ ”称为二次根号。
性质
1、
a 2 aa 0
2、
a2
a
aa aa
0 0
3、 3 a a
最简二次根 式 加减
加法 有 理 数 减法 的 运 法 则 乘法
除法
1、同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 2、绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，
并用较大的的绝对值减去较小的绝对值。 3、互为相反数的两个数相加得 0。 4、一个数同 0 相加，仍得这个数。 减去一个数，等于加上这个数的相反数
n n
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
大同市十八中教学设计
课题有理数的分类课型新授课授课班级7（）授课老师授课日期
教学目标
知识与技能
1、理解有理数的概念
2、会判断一个数是整数还是分数，是正数还是负数
3、懂得有理数的两种分类
过程与方法通过对有理数的学习，培养学生分类讨论的数学思想
情感态度价值感通过学习有理数分类，体会分类是数学上常用处理问题的方法
教学重点有理数的概念及分类
教学难点正确理解有理数的分类标准，并会按照一定的标准进行分类
教学方法自主学习，交流，归纳
教学资源导学案、多媒体
教学内容及进程
教师活动学生活动设计意图一、课前预学
阅读课本P6，回忆你在小学所学的知识，试着完成以下预学内容
下列各数中： 7，－9.2， 31.25， 0，22
7
，－18，3.1415，
3
5
，
－0.14287，67%
正数有（）负数有（）整数有（）分数有（）【归纳】有理数相关概念
①正整数、0、负整数统称为
②正分数和负分数统称为
③整数和分数统称为
二、预学检测
1、把下列各数填入相应的大括号内：
-7， 0.125，1
2
， -3
1
2
， 3， 0， 50%， -0.3.
有理数有个；正数有个；整数有个；
分数有个
2、思考：一个数不是正数就是负数对吗？
分数一定要出现分数线吗？
3、试着用我们学过的数举例：
正整数：举例______________ 零：
负整数：举例
正分数：举例负分数：举例_____________
三、合作探究
1、阅读课本P6请写出有理数的两种分类：
①按定义有理数可以怎样分类？②按性质有理数可以怎样分类？有理数
2、将7、11
5
、－63%、－8、 0、 3.14、0.618、分类：
整数：分数：
非正数：非负数
3、你能结合两种不同的分类方式将上面的数进行分类吗？（口述）
四、巩固练习
1、教材第6、7页练习.
2、教材第14页 1题
五、能力提高
1、把下列各数放在相应的集合中：
10， 0.74，－2， 0， 2013，－25，
1
4
-，6.3%
2、将下列各数分类：
7，－9.24， 31.25， 0.，22
7
，－18，3.14，2013，
3
5
-，
—0.142， 10%
·
0.2
－
⎧⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎪⎧
⎪⎨
⎪⎩
⎩
正整数
正有理数
正分数有理数0
负整数
负有理数
负分数
非正数的有： 非负数的有： 非整数的有：
3、下列说法不正确的是（ ）
A 、分数一定是有理数
B 、小数不一定是有理数
C 、分数都能化成小数
D 、小数都能化成分数
六、课堂检测
1．下列说法中正确的有（ ）个
①－335
是负分数； ②2.4不是整数； ③正整数、负整数统称为整数； ④一个数不是正数就是负数 ⑤一个有理数不是分数就是整数
2、把下列各数填入相应的集合内：
15，38 ， 0， 0.15, -30， -12.8， 225， +20, -60.
非正数集合 非负数集合 整数集合 分数集合
七、课堂小结
谈谈你的收获？
板书设计
布置作业 教学反思
… … … …。