运筹学PPT 第六章网络计划
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A(10) 2 2 E(7) 17 3 9 F(3) 17 4 12
25
5
L(3) 12
G(5)
9Fra Baidu bibliotek
31
完工期T=38（天）；
关键路：D-E-F-G-H-I-K-N。 由本例可见：关键工序 头尾皆有 = ，但反之未必。
关键工序时间之和=工期T。
例 某工厂进行技术改造，需要拆掉旧厂房、建 造新厂房和安排设备。这项改建工程可以分解为 7道工序，其相关资料如下表： 工序代号 A B C D E F G
M(4) I’’(0) 21 H(4)
38
6
1
D(2) 2 2 E(7) 9
I(4)
J(3)
7 25
I’(0) 8 25 K(6) 10 31 N(7)
11
A(10) 17
5
3
F(3)
G(5) 4 12
L(3)
（2）求完工期（用标号法）
1）标出各事项的最早开始时间 -给始点 1 标 0 ； -给任意点 j ，
1
2
D (3)
5
H (4) 16
8
B (3) C (2)
3
3
6 F(7)
G(6) 13
7
0
B '(0)
6
3 I (10) 2016/3/2 （ 2）终点 n 的标号
T
J(3) 即为工期
3、用标号法求关键路线
步骤： （1）标出各事项的最晚开始时间 Ⅰ、给终点 n 标 T Ⅱ 、给任意事项 i 标 L i ， L i=min{以 i 为箭尾的各箭之“箭头 E (4) 2 A (2)
2.确定平均工序时间t ij 的三时估计法：
设工序最乐观时间为 a ，最悲观时间为 b ，最可能时间为 m ,
则 t a 4m b 6 , t 的方差为
2
b a 6
2
3.期望工期T E =关键工序的平均工序时间之和； 工期方差 2 =关键工序时间方差之和。
4.求工程在T k 天内完工的概率
T N (TE , 2 ), P(T Tk ) P ( T TE Tk TE
) Tk TE
P( Z
Tk TE
) (
)
由标准正态分布数值表可查得： ( z ) P( Z z )
z
1 e 2
B、H
I、J G C、I K、L
3
6 3 4 7
工序
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
紧前 工序
所需 天数
_
10
_
3
_
1
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2
D
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E
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A F
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G
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B H
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B H
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I J
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G
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C I
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K L
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M
I’’ 6 7
D
2 E 3
A
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H
L
I J
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I’
8 K 10 N
F
G
4
C(1) 0
9 25 B(3)
第六章 网络计划
一、工程计划网络问题（关键路径法）
1. 问题的一般提法 设：有一项工程，分为若干道工序；已知各工序
间的先后关系，以及各工序所需时间t。
问：（1）工程完工期T=？ （2）工程的关键工序有哪些？
2.解法——关键路径法（CPM）
（1）绘制工程网络图
1）顺序：按工序先后从左至右；
2）图中弧（箭线）：表示工序； 顶点（结点）：表示相邻工序的时间分 界点，称事项，用 i 表示。 相邻弧：表示工序前后衔接关系，称紧
8
B (3) C (2)
3
3
3
6 F(7) G(6) 13 13 I (10)
7
0
0
B '(0) 3 3
6
16
J(3)
（2）计算各工序
i
j 的时差Rij ：
Rij= j 的 － i 的 － t ij 则关键工序为Rij =0的工序。
注：关键工序 2016/3/2
头尾皆有
=
（反之未必成立）
[课堂练习] P150习题6.1
b
3 3 3 17 14 15 10 9 7 9 4
t
2 2 2 10 6 7 4 3 4 3 4
0.33 0.33 0.33 2.67 2.00 2.00 1.33 1.33 1.00 1.33 0
2 ij
0.11 0.11 0.11 7.13 4.00 4.00 1.77 1.77 1.00 1.77 0
工序
A B C D E F
内容
购买炉灶及材料 购买室内设备 招集工人 选择开业地点 申请许可得到执照 修理门窗、粉刷墙壁
紧前工序
—— —— —— —— D E
所需天数
10 3 1 2 7 3
G
H I
砌炉灶、水池
接通上下水道 安装室内设备
A、F
G B、H
5
4 4
J
K L M N
做好室内装饰
购进米面及副食品 张贴开业广告 人员训练 开业前操作试验
f'
5
2016/3/2
l
p
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i
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o 11 15 12 2
n
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2、用标号法求工期 T
步骤： （1）标出各事项的最早开始时间 Ⅰ、给始点①标 0 Ⅱ 、给任意事项 j 标 Ej ， Ej=max{以 j 为箭头的各箭之“箭尾 6 4 E (4) E'(0)
+箭长 t ij ”}
2 A (2)
续左表
工序代号 紧前工序 F B G B H D、E I B、C
工序时间（周）
7 6 4 10
J
G、I
3
解：
2
E (4)
A (2) B (3) C (2)
E'(0)
5
D (3) F(7) G(6)
7
H (4)
8
1
3
B '(0)
6
I (10)
J(3)
2016/3/2
两种情况需要引入虚工序：
① 两个工序A、B有相同的始点和终点 A A
前（后）工序；
3）要求：图中不得有缺口、回路和多重边。
缺口：多个始点或多个终点的现象。
（应当只有一个始点和终点） 回路：方向一致的闭合链。
多重边：两点间有多于一条的边。 处理方法：增加虚工序。 A
A B B
A’
例1 为筹建某餐馆，需制定计划。将工程分为
14道工序，各工序需时及先后关系如下表。试求
该工程完工期T及关键路径。
20 1 9 P (T 20 ) ( ) (0.33 ) =0.6293 3
工程在20周内完工的概率为0.6293。
19 20
标准正态分布数值表
z
P (Z z )
0.31
0.32
0.33
0.34
0.35
0.6217 0.6255 0.6293
0.6331 0.6338
-tij - i 的
。
3）关键路径：由R(i,j)= 0的关键工序组成的由 1 至 n 的路。
0 0 1 D(2) 2
C(1)
34
9 25
M(4) I’’(0) 21 H(4) 38 6 21 I(4) J(3) 7 25 I’(0) 8 25 25 K(6) 10 31 N(7) 38 11
B(3)
0 0 1
2 2 A(2) B(2) 3
12 12 J(3) 5 F(7) 6 11 7 I(4) 6 5 11
15 15 K(4) 8
19 19 9
2
4 2
6 G(4) 7 H(3)
C(2)
期望工期TE=19；
关键路：A-D-J-K。
(2) 0.332 2.672 1.332 0 2 3.001 3
标 Ej ,Ej=Max{以 j 为箭头的各箭之
“箭尾 +箭长tij”} 2) 终点 n 的 T 中的T即完工期。
0 0
C(1) B(3) A(10) 2 2 E(7) 9
34
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M(4) I’’(0) 21 H(4)
38
6
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1
D(2) 2
I(4)
J(3)
7 25
I’(0) 25 25 8 K(6)
2016/3/2
工序名称 拆迁 工程设计 土建工程设计 采购设备 厂房土建 设备安装 设备调试
紧前工序 / / B B C、A D、E F
工序时间（周） 2 3 2.5 6 20 4 2
工序代号 A B C D
工序名称 拆迁 工程设计 土建工程设计 采购设备
紧前工序 / / B B
工序时间（周） 2 3 2.5 6
x2 2
dx
例2 某工程可分为11项工作，有关资料如下表：
紧前 工作 工作 A B C A D B E B F C G C H G、H I D、E J K F 、I 、 J 工序时间
a
1 1 1 1 2 3 2 1 1 1 4
m
2 2 2 10.5 5 6 3 2 4 2 4
b
3 3 3 17 14 15 10 9 7 9 4
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5 L(3) 12
N(7)
3
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F(3)
G(5) 4 12
10
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31
（3）求关键路（用标号法）
1）标出各事项的最晚开始时间 -给终点 n 标 T ； 为箭尾的各箭之 “箭头 ， -给任意点 i 标 Li ,Li=Min{以 i -箭长tij”}
2）计算各工序 i
j 的时差R(i,j)= j 的
E F G
厂房土建 设备安装 设备调试
C、 A D、 E F
20 4 2
解： 1 B (3)
A（2）
2
C (2.5)
3 D (6)
E (20)
F (4)
4 5
G (2) 6
2016/3/2
例：绘制工程网络图
工序代号 紧前工序工序时间（周） A / 2 B / 3 C / 2 D A 3 E A 4 4
（1）画出施工网络图，确定关键路线及完工期TE； （2）估计工程在20周内完工的概率。
紧前 工作 工作 A B C A D B E B F C G C H G、H I D、E J K F、I、J
工序时间
a
1 1 1 1 2 3 2 1 1 1 4
m
2 2 2 10.5 5 6 3 2 4 2 4 2 D(10) E(6)
1 2 1 2 3
虚工序
B
B
B'
② 四个工序A、B、C、D有如下关系： A是X的紧前工序，A和B同时又是Y的紧前工序
1
A B
2
X Y
3
A'
4
2016/3/2
虚工序
5
6
[课堂练习] P150习题6.1
3
b'
4 30 21
1
a
60
b 14 c
2
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d
7
g
7
e
j
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8 25
10
f
6
h
12
k
9
m
5 10
10
b'
4 30 21 7
3
1
a
60
b 14 c
2
20
g
7
d
e
j
10
8 25
10
f
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h
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k
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二、工序时间不确定的工程计划网络问题 （计划评审技术PERT）
1.与CPM的区别仅在于：
工序时间t 是随机变量，从而完工 期T 也是随机的。 但由中心极限定理，可 近似认为T 服从于N (T ， 2 )。
1 2
6
D (3)
－ 箭长t ij ”}
4
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E'(0)
5
8
3
H (4) 12 16
8
B (3) C (2)
3
3
6 F(7)
0
0
B '(0) 3
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G(6) 13 13
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2016/3/2
3 I (10)
J(3)
E (4)
2 A (2)
1 2
6 D (3)
4
12
E'(0)
5
8
H (4) 12 16 T
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5
L(3) 12
G(5)
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完工期T=38（天）；
关键路：D-E-F-G-H-I-K-N。 由本例可见：关键工序 头尾皆有 = ，但反之未必。
关键工序时间之和=工期T。
例 某工厂进行技术改造，需要拆掉旧厂房、建 造新厂房和安排设备。这项改建工程可以分解为 7道工序，其相关资料如下表： 工序代号 A B C D E F G
M(4) I’’(0) 21 H(4)
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1
D(2) 2 2 E(7) 9
I(4)
J(3)
7 25
I’(0) 8 25 K(6) 10 31 N(7)
11
A(10) 17
5
3
F(3)
G(5) 4 12
L(3)
（2）求完工期（用标号法）
1）标出各事项的最早开始时间 -给始点 1 标 0 ； -给任意点 j ，
1
2
D (3)
5
H (4) 16
8
B (3) C (2)
3
3
6 F(7)
G(6) 13
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B '(0)
6
3 I (10) 2016/3/2 （ 2）终点 n 的标号
T
J(3) 即为工期
3、用标号法求关键路线
步骤： （1）标出各事项的最晚开始时间 Ⅰ、给终点 n 标 T Ⅱ 、给任意事项 i 标 L i ， L i=min{以 i 为箭尾的各箭之“箭头 E (4) 2 A (2)
2.确定平均工序时间t ij 的三时估计法：
设工序最乐观时间为 a ，最悲观时间为 b ，最可能时间为 m ,
则 t a 4m b 6 , t 的方差为
2
b a 6
2
3.期望工期T E =关键工序的平均工序时间之和； 工期方差 2 =关键工序时间方差之和。
4.求工程在T k 天内完工的概率
T N (TE , 2 ), P(T Tk ) P ( T TE Tk TE
) Tk TE
P( Z
Tk TE
) (
)
由标准正态分布数值表可查得： ( z ) P( Z z )
z
1 e 2
B、H
I、J G C、I K、L
3
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工序
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
紧前 工序
所需 天数
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10
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A F
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B H
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3
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I’’ 6 7
D
2 E 3
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8 K 10 N
F
G
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C(1) 0
9 25 B(3)
第六章 网络计划
一、工程计划网络问题（关键路径法）
1. 问题的一般提法 设：有一项工程，分为若干道工序；已知各工序
间的先后关系，以及各工序所需时间t。
问：（1）工程完工期T=？ （2）工程的关键工序有哪些？
2.解法——关键路径法（CPM）
（1）绘制工程网络图
1）顺序：按工序先后从左至右；
2）图中弧（箭线）：表示工序； 顶点（结点）：表示相邻工序的时间分 界点，称事项，用 i 表示。 相邻弧：表示工序前后衔接关系，称紧
8
B (3) C (2)
3
3
3
6 F(7) G(6) 13 13 I (10)
7
0
0
B '(0) 3 3
6
16
J(3)
（2）计算各工序
i
j 的时差Rij ：
Rij= j 的 － i 的 － t ij 则关键工序为Rij =0的工序。
注：关键工序 2016/3/2
头尾皆有
=
（反之未必成立）
[课堂练习] P150习题6.1
b
3 3 3 17 14 15 10 9 7 9 4
t
2 2 2 10 6 7 4 3 4 3 4
0.33 0.33 0.33 2.67 2.00 2.00 1.33 1.33 1.00 1.33 0
2 ij
0.11 0.11 0.11 7.13 4.00 4.00 1.77 1.77 1.00 1.77 0
工序
A B C D E F
内容
购买炉灶及材料 购买室内设备 招集工人 选择开业地点 申请许可得到执照 修理门窗、粉刷墙壁
紧前工序
—— —— —— —— D E
所需天数
10 3 1 2 7 3
G
H I
砌炉灶、水池
接通上下水道 安装室内设备
A、F
G B、H
5
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J
K L M N
做好室内装饰
购进米面及副食品 张贴开业广告 人员训练 开业前操作试验
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2、用标号法求工期 T
步骤： （1）标出各事项的最早开始时间 Ⅰ、给始点①标 0 Ⅱ 、给任意事项 j 标 Ej ， Ej=max{以 j 为箭头的各箭之“箭尾 6 4 E (4) E'(0)
+箭长 t ij ”}
2 A (2)
续左表
工序代号 紧前工序 F B G B H D、E I B、C
工序时间（周）
7 6 4 10
J
G、I
3
解：
2
E (4)
A (2) B (3) C (2)
E'(0)
5
D (3) F(7) G(6)
7
H (4)
8
1
3
B '(0)
6
I (10)
J(3)
2016/3/2
两种情况需要引入虚工序：
① 两个工序A、B有相同的始点和终点 A A
前（后）工序；
3）要求：图中不得有缺口、回路和多重边。
缺口：多个始点或多个终点的现象。
（应当只有一个始点和终点） 回路：方向一致的闭合链。
多重边：两点间有多于一条的边。 处理方法：增加虚工序。 A
A B B
A’
例1 为筹建某餐馆，需制定计划。将工程分为
14道工序，各工序需时及先后关系如下表。试求
该工程完工期T及关键路径。
20 1 9 P (T 20 ) ( ) (0.33 ) =0.6293 3
工程在20周内完工的概率为0.6293。
19 20
标准正态分布数值表
z
P (Z z )
0.31
0.32
0.33
0.34
0.35
0.6217 0.6255 0.6293
0.6331 0.6338
-tij - i 的
。
3）关键路径：由R(i,j)= 0的关键工序组成的由 1 至 n 的路。
0 0 1 D(2) 2
C(1)
34
9 25
M(4) I’’(0) 21 H(4) 38 6 21 I(4) J(3) 7 25 I’(0) 8 25 25 K(6) 10 31 N(7) 38 11
B(3)
0 0 1
2 2 A(2) B(2) 3
12 12 J(3) 5 F(7) 6 11 7 I(4) 6 5 11
15 15 K(4) 8
19 19 9
2
4 2
6 G(4) 7 H(3)
C(2)
期望工期TE=19；
关键路：A-D-J-K。
(2) 0.332 2.672 1.332 0 2 3.001 3
标 Ej ,Ej=Max{以 j 为箭头的各箭之
“箭尾 +箭长tij”} 2) 终点 n 的 T 中的T即完工期。
0 0
C(1) B(3) A(10) 2 2 E(7) 9
34
9 25
M(4) I’’(0) 21 H(4)
38
6
38
1
D(2) 2
I(4)
J(3)
7 25
I’(0) 25 25 8 K(6)
2016/3/2
工序名称 拆迁 工程设计 土建工程设计 采购设备 厂房土建 设备安装 设备调试
紧前工序 / / B B C、A D、E F
工序时间（周） 2 3 2.5 6 20 4 2
工序代号 A B C D
工序名称 拆迁 工程设计 土建工程设计 采购设备
紧前工序 / / B B
工序时间（周） 2 3 2.5 6
x2 2
dx
例2 某工程可分为11项工作，有关资料如下表：
紧前 工作 工作 A B C A D B E B F C G C H G、H I D、E J K F 、I 、 J 工序时间
a
1 1 1 1 2 3 2 1 1 1 4
m
2 2 2 10.5 5 6 3 2 4 2 4
b
3 3 3 17 14 15 10 9 7 9 4
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5 L(3) 12
N(7)
3
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F(3)
G(5) 4 12
10
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（3）求关键路（用标号法）
1）标出各事项的最晚开始时间 -给终点 n 标 T ； 为箭尾的各箭之 “箭头 ， -给任意点 i 标 Li ,Li=Min{以 i -箭长tij”}
2）计算各工序 i
j 的时差R(i,j)= j 的
E F G
厂房土建 设备安装 设备调试
C、 A D、 E F
20 4 2
解： 1 B (3)
A（2）
2
C (2.5)
3 D (6)
E (20)
F (4)
4 5
G (2) 6
2016/3/2
例：绘制工程网络图
工序代号 紧前工序工序时间（周） A / 2 B / 3 C / 2 D A 3 E A 4 4
（1）画出施工网络图，确定关键路线及完工期TE； （2）估计工程在20周内完工的概率。
紧前 工作 工作 A B C A D B E B F C G C H G、H I D、E J K F、I、J
工序时间
a
1 1 1 1 2 3 2 1 1 1 4
m
2 2 2 10.5 5 6 3 2 4 2 4 2 D(10) E(6)
1 2 1 2 3
虚工序
B
B
B'
② 四个工序A、B、C、D有如下关系： A是X的紧前工序，A和B同时又是Y的紧前工序
1
A B
2
X Y
3
A'
4
2016/3/2
虚工序
5
6
[课堂练习] P150习题6.1
3
b'
4 30 21
1
a
60
b 14 c
2
20
d
7
g
7
e
j
10
8 25
10
f
6
h
12
k
9
m
5 10
10
b'
4 30 21 7
3
1
a
60
b 14 c
2
20
g
7
d
e
j
10
8 25
10
f
6
h
12
k
9
m
5 10
10
f'
5
2016/3/2
l
p
7
152
13 5
i
60
o 11 15 12 2
n
q
14
二、工序时间不确定的工程计划网络问题 （计划评审技术PERT）
1.与CPM的区别仅在于：
工序时间t 是随机变量，从而完工 期T 也是随机的。 但由中心极限定理，可 近似认为T 服从于N (T ， 2 )。
1 2
6
D (3)
－ 箭长t ij ”}
4
12
E'(0)
5
8
3
H (4) 12 16
8
B (3) C (2)
3
3
6 F(7)
0
0
B '(0) 3
6
G(6) 13 13
7
16
2016/3/2
3 I (10)
J(3)
E (4)
2 A (2)
1 2
6 D (3)
4
12
E'(0)
5
8
H (4) 12 16 T