第二节 洛必达法则

第二节 洛必达法则

教学目的：理解洛必达法则，掌握用洛必达法则求0

0型和∞∞型以及∞-∞∞⋅,0型未定式的极限的方法; 了解00,1,0∞∞型极限的求法.

教学重点：洛必达法则.

教学难点：理解洛必达法则失效的情况, ∞-∞∞⋅,0型的极限的求法.

教学时数：2

一、0x x →时的00

型未定式 定理 设函数)(x f 与)(x g 满足：

(1),0)(lim 0=→x f x x 0)(lim 0

=→x g x x ； (2))(x f 与)(x g 在0x 某个邻域内(点0x 可除外)可导，且0)(≠'x g ； (3)0()lim ()

x x f x A g x →'='(A 为有限数，也可为+∞或-∞)，则 A x g x f x g x f x x x x =''=→→)

()(lim )()(lim 00． 证明 由于我们要讨论的是函数在点0x 的极限，而极限与函数在点0x 的值无关，所以我们可补充)(x f 与)(x g 在0x 的定义，而对问题的讨论不会发生任何影响．令00()()0f x g x ==，则)(x f 与)(x g 在点0x 就连续了．在0x 附近任取一点x ，并应用柯西中值定理，得

00()()()()()()()()

f x f x f x f

g x g x g x g ξξ'-=='-(ξ在x 与0x 之间) 由于0x x →时，0ξx →，所以，对上式取极限便得要证的结果，证毕．

这种用导数商的极限来计算函数上的极限的方法称为洛必达法则.

例1: 应用洛必达法则求0sin lim x x x

→． 解: 显然()sin ,()f x x g x x ==对00x =点满足洛必达法则的条件(1)和(2)，又

00(sin )cos lim

lim 1()1

x x x x x →→'==' 故条件(3)也满足，从而有 00sin (sin )lim lim 1()x x x x x x →→'=='

． 例2: 求322234lim 44

x x x x x →-+-+． 解: 这是0

0型．应用洛必达法则有 3222222343666lim lim lim 344242

x x x x x x x x x x x →→→-+--===-+- 二、x →∞时的00型未定式及0x x →或x →∞时的∞∞

型未定式 上述定理对于∞→x 时的00型未定式同样适用，对于0x x →或∞→x 时的∞

∞型未定式，也有相应的法则．

例3： 求ln lim

(0)n

x x n x →+∞>． 解 ： 11

ln 1lim lim lim 0n n n x x x x x x nx nx -→+∞→+∞→+∞===． 三、∞-∞∞⋅,0，00,1,0∞∞型未定式

例4： 求111lim ln 1x x x →⎛⎫- ⎪-⎝

⎭． 解： 这是∞-∞未定型，通过“通分”将其化为

00未定型． 11111ln lim lim ln 1(1)ln x x x x x x x x →→--⎛⎫-= ⎪--⎝

⎭ 11

1lim 1ln x x x x x

→-

=-+ 11lim ln 1x x x x x →-=+-111lim ln 112x x →==++． 例5： 求 πlim (arctan )2

x x x →+∞-． 解： 这是0∞⋅未定式，通过变形可将其化为00未定式．

πarctan π2

lim (arctan )lim 12

x x x x x x

→+∞→+∞--= 211lim 1x x x

→+∞-+=- 22lim 11x x x →+∞==+ 例6： 求0lim .x

x x +→ )0(0型 解： 原式=00201ln lim lim lim ln ln 00lim 1x x x x x x x x x x x x e e e e e ++→→+→+-→=====

例7:求111lim .x x x -→ )1(∞型

解： 原式=1111ln ln lim lim 11111lim x x x x

x x x x e e e e →→----→===

例8： 求1ln 0lim (cot ).x x x +→ )(0∞型

解： 由于1

1ln(cot )ln ln (cot )x x x x e ⋅=而

2000111cot sin lim ln(cot )lim lim 1ln cos sin x x x x x x x x

x x x +++→→→-⋅-⋅==⋅1-= 所以 原式=1.e -:

小结：使用洛必达法则时，应注意以下几点：

(1)每次使用法则前，必须检验是否属于

00或∞∞未定型，若不是未定型，就不能使用该法则；

(2)如果有可约因子，或有非零极限值的乘积因子，则可先约去或提出，以简化演算步骤；

(3)当)()(lim x g x f ''不存在时(不包括∞的情况)，并不能断定)

()(lim x g x f 也不存在，此时应使用其他方法求极限．

例9： 证明cos lim x x x x

→+∞+存在，但不能用洛必达法则求解．

解：因为

cos cos

lim lim(1)101

x x

x x x

x x

→+∞→+∞

+

=+=+=，所以，所给极限存在．

又因为

(cos)1sin

lim lim lim(1sin)

()1

x x x

x x x

x

x

→+∞→+∞→+∞

'

+-

==-

'

不存在，所以，所给极限不能用洛

必达法则求出．