高中数学空间向量与立体几何测试题
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空间向量与立体几何
一.选择题
1. 在下列命题中:
①若向量共线,则向量所在的直线平行;
,a b ,
a b
②若向量所在的直线为异面直线,则向量一定不共面;
,a b ,a b
③若三个向量两两共面,则向量共面;
,,a b c ,,a b c
④已知是空间的三个向量,则对于空间的任意一个向量总存在实数x,y,z 使得
,,a b c
p ;其中正确的命题的个数是
(
)
p xa yb zc =++
(A )0 (B )1 (C )2 (D )3
2. 与向量(-3,-4,5)共线的单位向量是
(
)
(A )); (B ));
(C ))和(); (D )();
3. 已知A 、B 、C 三点不共线,点O 为平面ABC 外的一点,则下列条件中,能得到M∈平面ABC 的充分条件是 ( )
(A ); (B );
111222OM OA OB OC =++ 1133
OM OA OB OC =-+ (C ); (D )OM OA OB OC =++ 2OM OA OB OC
=-- 4. 已知点B 是点A (3,7,-4)在xOz 平面上的射影,则等于 ( )2
()OB (A )(9,0,16) (B )25 (C )5 (D )135. 设平面内两个向量的坐标分别为(1,2,1)、(-1,1,2),则下列向量中是平面的法
α向量的是( )A (-1,-2,5) B (-1,1,-1) C (1, 1,1) D (1,-1,-1)
6. 如图所示,在正三棱柱ABC ——A 1B 1C 1中,若BB 1,则AB 1与C 1B 所成的角的大小为 ( )(A )60° (B )90° (C )105° (D )75°
7. 到定点的距离小于或等于1的点集合为( )
()1,0,0 A. B.()(){
}2
22,,|11x y z x y z -++≤()(){
}
2
22,,|11
x y z x y z -++= C.
D.
()(){},,|11x y z x y z -++≤(){}
2
22,,|1x y z x
y z ++≤8. 已知均为单位向量,它们的夹角为60︒,那么等于( )
,a b 3a b +
A
B C
D .4
9. 在平面直角坐标系中, ,沿x 轴把平面直角坐标系折成120︒的二面角后,则
(2,3),(3,2)A B --线段AB 的长度为( ) A B . C . D .10. 已知α,β表示两个不同的平面,m 为平面α内的一条直线,则“”是“
αβ⊥”的(
)
m β⊥A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件二.填空题11. 若空间三点A (1,5,-2),B (2,4,1),C (p,3,q+2)共线,则p=______,q=______。
12. 设M 、N 是直角梯形ABCD 两腰的中点,DE ⊥AB 于E (如图).现将△ADE 沿DE 折起,使二面角A -DE -B 为45°,此时点A 在平面BCDE 内的射影恰为
点B ,则M 、N 的连线与AE 所成角的大小等于_________. 13. 如图,PA ⊥平面ABC ,∠ACB=90°且D
C
A
M
PA=AC=BC=a 则异面直线PB 与AC 所成角的余弦值等于________;
14.已知,,,若共同作用于
123F i j k =++ 223F i j k =-+- 3345F i j k =-+ 123,,F F F
一物体上,使物体从点M (1,-2,1)移动到N (3,1,2),则合力所作的功是
.
15. 已知正四棱锥的体积为12,底面对角线的长为,则侧面与底面所成的二面角等于
.
题号 1 234567
89
10
题号
题号11121314
15
题号
三.解答题16.
设向量并确定的关系,使
()()3,5,4,2,1,832,,a b a b a b =-=-⋅
,计算,λμ轴垂直
a b z λμ+
与17. 如图,正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1棱长为1,P 、Q 分别是线段AD 1和BD 上的点,且D 1P :PA=DQ :QB=5:12,(1)求线段PQ 的长度;(2)求证P Q⊥AD ;
(3)求证:PQ//平面CDD 1C 1;
18. 如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 是矩形,PA ⊥平面ABCD,AP=AB=2,BC=2
,E ,F 分别是AD ,PC 的中点
(Ⅰ)证明:PC ⊥平面BEF ;(Ⅱ)求平面BEF 与平面BAP 夹角的大小。
19. 如图,已知四棱锥P-ABCD 的底面为等腰梯形,AB CD,AC BD ,垂足为H ,PH 是四棱锥的高 ,E 为AD 中
A ⊥
点
(1)证明:PE BC
⊥(2)若APB=ADB=60°,求直线PA 与平面PEH 所成角的正弦值
∠∠20. 如图,四棱锥S-ABCD 的底面是矩形
,AB=a,AD=2,SA=1,且
SA ⊥底面ABCD,若边BC 上
存在异于B,C 的一点P,使得.
PS PD ⊥
(1)求a 的最大值;
(2)当a 取最大值时,求异面直线AP 与SD 所成角的大小;
(3)当a 取最大值时,求平面SCD 的一个单位法向量n
及点P 到平面SCD 的距离.
21. 如图所示,矩形ABCD 的边AB=a,BC=2,PA ⊥平面ABCD,PA=2,现有数据:①a =
②;③④;⑤;
1a =a =2a =4a = (1)当在BC 边上存在点Q,使PQ ⊥QD 时,a 可能取所给数据中的哪些值?请说明理由; (2)在满足(1)的条件下,a 取所给数据中的最大值时,求直线PQ 与平面ADP 所成角的正
切值;
(3)记满足(1)的条件下的Q 点为Q n (n=1,2,3,…),若a 取所给数据的最小值时,这样的点
Q n 有几个?试求二面角Q n -PA-Q n+1的大小;
答案
1-5 AABBB 6-10 BACBB