证明余弦定理范文

证明余弦定理范文

怎么证明余弦定理

证明余弦定理：

因为过c作cd垂直于ab，ad=bcosa;所以

(c-bcosa)^2+(bsina)^2=a^2。

又因为b^2-(bcosa)^2=(bsina)^2，所以

(c-x)^2+b^2-(bcosa)^2=a^2，

所以c^2-2cbcosa+(bcosa)^2+b^2-(bcosa)^2=a^2，

所以c^2-2cbcosa+b^2=a^2，

所以c^2+b^2-a^2=2cbcosa，

所以cosa=(c^2+b^2-a^2)/2bc

同理cosb=(a^2+c^2-b^2)/2ac，cosc=(a^2+b^2-c^2)/2ab 2

在任意△abc中,作ad⊥bc.

∠c对边为c，∠b对边为b，∠a对边为a-->

bd=cosb*c，ad=sinb*c，dc=bc-bd=a-cosb*c

勾股定理可知：

ac?=ad?+dc?

b?=(sinb*c)?+(a-cosb*c)?

b?=sin?b*c?+a?+cos?b*c?-2ac*cosb

b?=(sin?b+cos?b)*c?-2ac*cosb+a?

b?=c?+a?-2ac*cosb

所以，cosb=(c?+a?-b?)/2ac

2

如右图，在abc中，三内角a、b、c所对的边分别是a、b、c.以a为原点，ac所在的直线为x轴建立直角坐标系，于是c点坐标是(b，0)，由三角函数的定义得b点坐标是(osa，csina).∴cb=(osa-b，csina).现将cb平移到起点为原点a，则ad=cb.而|ad|=|cb|=a，∠dac=π-∠bca=π-c，根据三角函数的定义知d点坐标是(acos(π-c)，asin(π-c))即d点坐标是(-acosc，asinc),∴ad=(-acosc，asinc)

而ad=cb∴(-acosc，asinc)=(osa-b，csina)∴asinc=csina…………

①-acosc=osa-b……②由①得asina=csinc，同理可证asina=bsinb，∴asina=bsinb=csinc.由②得acosc=b-osa，平方得：

a2cos2c=b2-2bosa+c2cos2a，即a2-a2sin2c=b2-2bosa+c2-c2sin2a.而由①可得a2sin2c=c2sin2a∴a2=b2+c2-2bosa.同理可证

b2=a2+c2-2aosb，c2=a2+b2-2abcosc.到此正弦定理和余弦定理证明

完毕。3△abc的三边分别为a,b,c,边bc,ca,ab上的中线分别为ma.mb,mc,应用余弦定理证明:

mb=(1/2)

mc=(1/2)ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosb)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosb)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosb

得，4ac*cosb=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表达式：

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

同理可得：

mb=

mc=

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ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosb)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosb)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosb

得，4ac*cosb=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表达式：

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

证毕。

用复数证明余弦定理

法一：证明：建立如下图所示的直角坐标系，则a=(0，0)、b=(c,0)，又由任意角三角函数的定义可得：c=(bcosa,bsina)，以ab、bc为邻边作平行四边形ab′，则∠bac′=π-∠b，

∴c′(acos(π-b),asin(π-b))=c′(-acosb,asinb).

根据向量的运算：

=(-acosb,asinb)，

=-=(bcosa-c,bsina),

(1)由=：得

asinb=bsina,即

=.

同理可得：=.

∴==.

(2)由=(b-cosa-c)2+(bsina)2=b2+c2-2bosa，

又||=a,

∴a2=b2+c2-2bosa.

同理：

c2=a2+b2-2abcosc;

b2=a2+c2-2aosb.

法二：如图5，

,设轴、轴方向上的单位向量分别为、，将上式的两边分别与、( 推荐)作数量积，可知

，

即

将(1)式改写为

化简得b2-a2-c2=-2aosb.

即b2=a2+c2-2aosb.(4)

这里(1)为射影定理，(2)为正弦定理，(4)为余弦定理.

2

在△abc中，ab=c、bc=a、ca=b

则c^2=a^2+b^2-2ab*cosc

a^2=b^2+c^2-2bc*cosa

b^2=a^2+c^2-2ac*cosb

下面在锐角△中证明第一个等式，在钝角△中证明以此类推。

过a作ad⊥bc于d，则bd+cd=a

由勾股定理得：

c^2=(ad)^2+(bd)^2，(ad)^2=b^2-(cd)^2

所以c^2=(ad)^2-(cd)^2+b^2

=(a-cd)^2-(cd)^2+b^2

=a^2-2a*cd+(cd)^2-(cd)^2+b^2

=a^2+b^2-2a*cd

因为cosc=cd/b

所以cd=b*cosc

所以c^2=a^2+b^2-2ab*cosc

题目中^2表示平方。

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谈正、余弦定理的多种证法

聊城二中魏清泉

正、余弦定理是解三角形强有力的工具，关于这两个定理有好几种不同的证明方法.人教a版教材《数学》(必修5)是用向量的数量积给出证明的，如是在证明正弦定理时用到作辅助单位向量并对向量的等式作同一向量的数量积，这种构思方法过于独特，不易被初学者接受.本文试图通过运用多种方法证明正、余弦定理从而进一步理解