数学模型程序代码-Matlab-姜启源-第一章-建立数学模型

第1章 建立数学模型

1.（求解，编程）如何施救药物中毒p10~11

人体胃肠道和血液系统中的药量随时间变化的规律（模型）：

d ,(0)1100d (,0)d ,(0)0d x

x x t

y x y y t

λλμλμ?=-=??>?

?=-=?? 其中，x (t )为t 时刻胃肠道中的药量，y (t )为t 时刻血液系统中的药量，t =0为服药时刻。

1.1（求解）模型求解p10~11

要求：

① 用MATLAB 求解微分方程函数dsolve 求解该微分方程（符号运算）。 ② 用MATLAB 的化简函数simplify 化简所得结果。 ③ 结果与教材P11上的内容比较。

提示：dsolve 和simplify

的用法可用help 查询。建议在命令窗口中操作。

1.2（编程）结果分析p11

已知λ=0.1386, μ=0.1155，将上题中得到x(t)和y(t)两条曲线画在同一个图形窗口内。参考图形如下。

提示：

MATLAB命令plot, fplot, hold on/off, grid on/off, xlabel, ylabel, text。

★编写的程序和运行结果：

程序1：用plot

程序2：用fplot和匿名函数

2.（编程，验证）商人们怎样安全过河p8~9

三名商人各带一个随从乘船渡河，一只小船只能容纳二人，由他们自己划行。随从们密约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货。但是如何乘船的大权掌握在商人们手中。商人们怎样才能安全渡河呢？

[模型构成]

决策：每一步（此岸到彼岸或彼岸到此岸）船上的人员。

要求：在安全的前提下（两岸的随从数不比商人多），经有限步使全体人员过河。

x k第k次渡河前此岸的商人数

y k第k次渡河前此岸的随从数x k , y k=0,1,2,3; k=1,2,?

过程的状态s k=(x k , y k)

允许状态集合S={(x, y)|x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2}

u k第k次渡船上的商人数

v k第k次渡船上的随从数u k , v k=0,1,2; k=1,2,?

决策d k=(u k , v k)

允许决策集合D={(u , v)|u+v =1, 2}

状态转移律s k+1=s k+(-1)k d k

[多步决策问题]

求d k∈D(k=1, 2, ?, n), 使s k∈S, 并按转移律由s1=(3,3) 到达s n+1=(0,0)。

2.1（编程）求允许决策集合D和允许状态集合S

D是2行多列矩阵，每一列是一个决策。

S是2行多列矩阵，每一列是一种状态。

要求：

①编写程序求D和S，并输出。

②S的第一列是[3,3]'，最后一列是[0,0] '。

★编写的程序和运行结果：

程序：

运行结果：

2.2（验证）求动态允许状态集合SS和状态转移矩阵A

上面允许状态集合S没有指明当时船是在此岸还是在彼岸，应该将S中的每一种状态再分为两种状态，需增加一个元素（值为-1或1）放在第三行。

定义动态允许状态集合

SS={(x, y, z)' x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2;z=-1,1} (x, y, -1)，表示从此岸渡河前此岸的允许状态(x, y)。

(x, y, 1)，表示从彼岸渡河前此岸的允许状态(x, y)。

SS是三行多列矩阵，每一列表示一种状态，列下标为其编号。

定义状态转移矩阵A，其中，A(i, j)=1表示D中存在决策使状态i转到j，否则A(i, j)=0。

程序如下（输入时，不必把注释也输入）：

程序运行结果（参考）：

要求：

①将程序接在上题的程序之后（去掉最后多余的输出语句），程序最后给出

显示SS和A的语句。

②运行程序，输出SS和A。对照参考答案，如数值不一致，请检查程序。

MATLAB函数all的用法见提示。

★运行的完整程序和运行结果：

程序：

运行结果：

2.3（验证）给出一个商人们安全过河的方案程序如下（输入时，不必把注释也输入）：

程序运行结果：

要求：

①读懂以上程序，掌握all和any函数的应用。

②将程序接在之前的程序后（去掉最后多余的输出语句），运行程序。对照答案，如不一致，请检查程序。

MATLAB函数any的用法见提示。

★给出运行的完整程序和运行结果：

程序：

给出程序的运行结果：

3.（求解）商人们怎样安全过河（修改）p9

对第2题的问题改动，用类似的方法求解。

3.1 在第2题中修改商人数和随从数

有四名商人各带一个随从，其它同第2题。修改第2题中的程序求解。

3.2 在3.1题中修改船容纳的人数

船能容纳3人。修改3.1题中的程序求解。

4.（编程）安全过河问题（人、猫、鸡、米）p21习题5

人带着猫、鸡、米过河，除需要人划船之外，船至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米。试设计一个安全过河方案。

模仿商人过河问题的程序编写程序解决本问题。

★程序：

★程序的运行结果

5.（选做，编程）商人们怎样安全过河（自编）

2.3中的程序有一定难度，所以给出了参考程序，初学MATLAB的同学可能想不到用其中的一些语句。第2题给出的是求解商人们安全过河问题的一种算法程序，还有其它的算法程序，比如回溯法、递归算法等。

要求：

①按照自己的理解和想法，改写2.3中的程序。

②或用别的算法编写解决商人们安全过河的程序。

★程序和运行结果：

解1（递归）

程序

运行结果

三个阶段：(3,3,船停此岸)→(3,0,船停彼岸)→(0,3,船停此岸)→(0,0,船停彼岸) 第一阶段：所有随从渡过彼岸（商人不动）；

第二阶段：使所有商人渡过彼岸，并将随从渡回此岸；

第三阶段：所有随从渡过彼岸（商人不动）。

解2（借用栈）

思路

定义状态：此岸的商人数，随从数，小船停靠在此岸或彼岸。

从初始状态开始，找到一个决策得到下一个状态，再从新状态开始，找到一个决策得到下一个状态，...。

在这个过程中，出现过的状态将不可再用。

若从某个状态开始，所有决策都得不到新状态，则返回上一状态，并从下一个决策开始，试探是否能得到新的状态。

直到到达状态(0,0)，或无解。

算法

程序

运行结果