6 材料力学(I)第六章

FN1 a A P
FN2 a
FN3 B
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材料力学
变形协调方程：
Δ L1
Δ L2
Δ L3
L1 L3 2(L2 L3 ) （2）
物理方程： 联解（1）、（2）、（3）式得：
FN 1l l1 EA
FN 2l l2 EA
FN 3l l3 EA
（3）
F F
F
5 P 6
2
1 P 3
1 P 6
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3
材料力学
注意：受力图与变形图必 须一致！
FN1 a A P
FN2 a
FN3
L2 Δ L3 Δ
B
L1 Δ
此时，变形协调条件为
L1 L3 2(L2 L3 )
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材料力学
分析题1 图示结构，AB为刚性梁，1、2两杆刚度相同。 求1、2杆的受力。
6
0.01110 N 2
6
结果为正， 表示两杆 的确受压。
FN 1 6.68 kN,
FN 2 10.7 kN
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材料力学
第六章 简单的超静定问题
§6-3 扭转超静定问题
例题6-5 两端固定的圆截面等直杆AB，在截面C处受 扭转力偶矩Me作用，如图a。已知杆的扭转刚度为GIp。试 求杆两端的约束力偶矩以及C截面的扭转角。
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解答表明，各杆的轴力与其刚度有关。
材料力学
例：求图示杆的支反力。 解： 平衡方程：
A
RA A
RA RB P 0
变形协调条件：
(1)
l
a
lAB lAC lBC 0
物理关系：
(2)
b
C
P
B
P B RB
LAB
RAa RB b EA EA
(3)
思考：如杆件下端 与支座B有一微小距 离，又该如何计算 ？
材料力学
伸缩节
波纹管膨胀节
波纹管膨胀节
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伸缩缝
火车钢轨伸缩缝
梳状伸缩缝
叠合伸缩缝
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材料力学
例题17 图 示等直杆 AB 的两端分别与刚性支承连结.设两 支承的距离（即杆长）为 l，杆的横截面面积为 A，材料 的弹性模量为 E，线膨胀系数为 .试求温度升高 T时杆 内的温度应力。
2
AA 240 BB 150
l1T l1 240 l2 l2T 150
(3) 物理关系
A
l1T
l1
C
B
l2T l2
l1T 1T l1 124 10 m
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6
材料力学
(1) 平衡方程
(2) 变形协调方程
FN 1 240 FN 2 150 0
知力，这种情况称做超静定问题.
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材料力学
B 1
C
B 3
D
C

A
P 静定
2
1

A
2
P
静不定
静不定次数： 静不定次数 = 未知力数 −静平衡方程数 静不定结构比静定结构的强度和刚度大。
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材料力学
二、超静定问题的解法
静力平衡方程（1）
变形协调方程（2） 补充方程 物理关系方程（3） 联立求解
o
5
A
设1，2，3杆长为L, 则4，5杆长为 3L
FN 1 L L1 EA FN 3 L L3 EA
A'
P
FN 5 3L L5 EA
由以上关系式求得：
FN 1 FN 2 FN 3
2P 3 32
FN 4 FN 5
3P 3 32
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装配应力
lT
A
B'
FR l t ΔT l EA
FRA
A B
lF
(4)温度内力
FRB' B
FRB EA t ΔT
由此得温度应力

FR A
E ΔT
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材料力学
例 18 已知： ACB为刚性杆， D 钢杆AD的A1=100mm2, 1 l1=330mm，E1= 200 GPa, 1=12.510-6/C; 铜杆BE的A2=200mm2, A l2=220mm，E2=100 l1T GPa，2=16.510-6/C, l 温升30 C。 求： 两杆的轴力。 F
B D
1 3 2
C
图示杆系，若3杆尺寸有微小误差， 则在杆系装配好后，各杆将处于图中 位置，因而产生轴力. 3杆的轴力为拉 力，1，2杆的轴力为压力. 这种附加的 内力就称为装配内力. 与之相对应的应


A
l

A
力称为 装配应力。
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材料力学
Δl3 代表杆3的伸长
B
1
D
来自百度文库3 2
C
Δl1 代表杆1或杆2的缩短
代表装配后 A 点的位移 (1) 平衡方程 FN1



A
l
l 3
FN3

FN2
l 1
A

FN1 sin FN2 sin 0 FN3 FN1 cos FN2 cos 0
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(2) 变形几何方程
Δl1 Δl3 cos
(3) 物理方程
B
1
D
3 2
C


A
l
l 3
l FN1 cos Δl1 E1 A1
联立求解得
FN 1 FN 2
FN3l Δl3 E3 A3
E1 A1


l 1
A
E1 A1 1 l cos 2 E A cos 3 3
FN 3
E3 A3
P 0
（1）
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变形协调方程：
B （2） 3 1
D
C 2
L1 L3 cos
物理方程：

A
FN 1 L1 L1 E1 A1
FN 3 L3 L3 E3 A3
（3）
L2
L3
A1
L1
联解（1）、2） 、（3）式得：
FN 1 FN 2
E3 A3 P E1 A1P cos2 ; FN 3 3 2E1 A1 cos E3 A3 2E1 A1 cos3 E3 A3
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2.7
拉超静定问题
(2)物理方程
FN1l1 Δl1 EA
(3)平衡方程
FN3l Δl3 E3 A3
FN1 FN3 FN2
B' C' A' x
FN1 FN2 FN3 FN1 FN2 0
联立求解,即可得装配内力，进而求出装配应力.
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材料力学
温度应力
由于温度变化引起的应力，称为温度应力 或热应力。 温度应力仅存在于静不定结构中。 – 化工管道 – 桥梁 – 裸露的输气管及水管
由温度引起的变形
lT T l
= 12.5 x 10-6 (1/ C)
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其中，为材料的线膨胀系数； T为温度变化值；l为杆的 长度。 碳钢的线膨胀系数:
A l lT B
解 这是一次超静定问题
变形相容条件是，杆 的总长度不变. 即
A
B'
Δl 0
lF
FRA
A
B
FRB' B
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材料力学
(1)变形几何方程
A
l
B
Δl ΔlT Δl F 0
(2)物理方程
FRB l Δl F EA
(3)补充方程
ΔlT t ΔT l
(3) 物理关系
l1T l1 240 l2 l2T 150
l1T 1T l1 124 106 m 6 l2T 2 T l2 109 10 m
FN 1l1 l1 E1 A1
FN 2 l2 l 2 E2 A2
联立解得:
0.0165 10 N1
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第六章 简单的超静定问题
§6-1 超静定问题及其解法 §6-2 拉压超静定问题
§6-3 扭转超静定问题 §6-4 简单超静定梁
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§6-1 超静定问题及其解法
一、静定与超静定概念 1、静定问题 杆件的内力可以用静力平衡条件求出,这种情况称作静 定问题. 2、超静定问题 只凭静力平衡方程已不能解出全部未
联解得：
b a RA P , RB P l l
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材料力学
例15 如图所示刚性梁AB由1，2，3杆悬挂，三杆的刚度 均为EA。求P力作用下三杆的轴力。 解： 平衡方程：
1 A
2
a
2
a
3 B
Y 0
F
1
F
F
3
P 0
（1）
P
M A 0
F a F 2a 0

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第六章 简单的超静定问题
(a)
4. 杆的AC段横截面上的扭矩为
TAC M eb M A l
从而有
TAC a M e ab C GI p lGI p

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第六章 简单的超静定问题
§6-4 简单超静定梁
Ⅰ.超静定梁的解法
(a)
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第六章 简单的超静定问题
MA (a)
MB
解: 1. 有二个未知约束力偶矩MA, MB，但只有一 个独立的静力平衡方程
M
x
0，
M A Me M B 0
故为一次超静定问题。
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第六章 简单的超静定问题
2. 以固定端B为“多余”约束，约束力偶矩MB为“多 余”未知力。在解除“多余”约束后基本静定系上加上荷 载Me和“多余”未知力偶矩MB，如图b；它应满足的位移
相容条件为
BM BM
e
B
注：这里指的是两个扭转角的绝对值相等。
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第六章 简单的超静定问题
3. 根据位移相容条件利用物理关系得补充方程： M e a M Bl GI p GI p 由此求得“多余”未知力，亦即约束力偶矩MB为 M ea MB l 另一约束力偶矩MA可由平衡方程求得为 M a M b M A Me MB Me e e l l
F
2
23 3
6P 23 3
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分析题2 图示为一平面桁架，各杆刚度相同。求各杆的 轴力。
30
o
1
B 3
2
30o
FN N4 4
FN N3 3
FN N5 5
FN1
FN2
B
4
30o 30o
5
A P
FN N3 3
A P
由对称性，有 由A点平衡 由B点平衡
FN1 FN 2
Y 0
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§6-2 拉压超静定问题
例 1、2、3三杆用铰链连接如图，各杆长度和刚度如图所示，外力沿
铅垂方向。求各杆的内力。
FN3 FN1
解： 平衡方程：
B
D 1 EA

A P
FN2
E3A3 2 EA
C
L

P
3
A
X 0 F 2sin F
1
sin 0
3
Y 0 F 1cos F 2cos F
E3 A3 l 1 3 2 E A cos 1 1
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例题16 两铸件用两根钢杆 1,2 连接，其间距为 l =200mm. 现要将制造得过长了e=0.11mm的铜杆 3 装入铸件之间，并保 钢杆直径 d=10mm，铜杆横截面积为2030mm的矩形，钢的弹 性模量E=210GPa，铜的弹性模量E3=100GPa. 铸件很厚，其变 形可略去不计，故可看作刚体.
B1 C1 A1 2 1 B C A e C' 3
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持三根杆的轴线平行且等间距 a. 试计算各杆内的装配应力. 已知：
a a
l
C1
材料力学 l1 = l2 B1 C1 A1 2 1 B C A l3 l C1 3 e C''
(1)变形几何方程为
Δl1 Δl3 Δe
1
E
240
150
2
C
B
l2T l2
N1
FN 2
解： 取AB杆，受力如图。 (1) 平衡方程
M
C
(F ) 0
FN 1 240 FN 2 150 0
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(2) 变形协调方程
D
1
AA l1T l1
E
240
BB l2 l2T
150
FN1
1 A a
l a
30
o
30
o
FN2
2
FAX
A a FAY a
B
B P
P
平衡方程: m 0 F
L 变形关系: cos30 2L
1 a F
cos30 2a P 2a 0 2
物理关系: L F 1L 1 EA 4P 联立解出: F 1
L F 2 cos30 L2 EA
解超静定梁的基本思路
与解拉压超静定问题相同。 求解图a所示一次超静定梁 时可以铰支座B为“多余” 约束，以约束力FB为“多余”
Y 0
FN 4 FN 5
2FN 4cos30o FN 3 P 0
2FN1cos60o FN 3 0
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变形关系：
A B L3
L4 A cos30o
物理关系：
30
o
1
B 3
2
30o
L1 B cos60o
4
B'
o
30 30