考向13 简单的三角恒等变换(重点)-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题(全国通用)(解析版)

考向13 简单的三角恒等变换

1．【2022年新高考2卷第6题】角,αβ满足sin()cos()22)sin 4π

αβαβαβ+++=+，则

A ．tan()1αβ+=

B ．tan()1αβ+=-

C ．tan()1αβ-=

D ．tan()1αβ-=-

【答案】D

【解析】解法一：设0β=则sin cos 0αα+=，取3

4

απ=，排除A ，C ；

再取0α=则sin cos 2sin βββ+=，取4

π

β=

，排除B ；选D ．

解法二：由sin()cos()2sin()2sin[()]44

ππ

αβαβαβαβ+++=++=++

2sin()cos 2cos()sin 44ππ

αβαβ=+++，

故2sin()cos 2cos()sin 44

ππ

αβαβ+=+， 故sin()cos cos()sin 044ππαβαβ+-+=，即sin()04

π

αβ+-=， 故22

sin()sin()cos()0422

παβαβαβ-+=-+-=，

故sin()cos()αβαβ-=--，故tan()1αβ-=-．故选D. 2.【2022年北京卷第5题】已知函数()cos sin f x x x =-，则 （A ）()f x 在()26

π

π

-

-,上单调递减 （B ）()f x 在()412ππ

-

,上单调递增

（C ）()f x 在(0)3

π

,上单调递减 （D ）()f x 在7()412

ππ

,上单调递增

【答案】C

【解析】因为()2

2

cos sin cos2f x x x x =-=.

对于A 选项，当2

6

x π

π

-

<<-

时，23

x π

π-<<-

，则()f x 在,26ππ⎛⎫

-

- ⎪⎝⎭

上单调递增，A 错； 对于B 选项，当4

12

x π

π

-

<<

时，22

6

x π

π

-

<<

，则()f x 在,412ππ⎛⎫

-

⎪⎝⎭

上不单调，B 错； 对于C 选项，当03

x π

<<

时，2023

x π<<

，则()f x 在0,3π⎛⎫

⎪⎝⎭上单调递减，C 对；

对于D 选项，当

74

12x π

π<<

时，7226x ππ<<，则()f x 在7,412

ππ⎛⎫

⎪⎝⎭

上不单调，D 错.

故选：C.

3．【2022年浙江卷第13题】若3sin cos 10,2

π

αβαβ-=+=，则sin α= ，cos 2β= ．

【答案】

3104

,105

【解析】由题3sin cos 10,2

π

αβαβ-=+=

，所以3sin cos 10αα-=，解得310

sin 10

α=

． 所以2

4cos 2cos(π2)cos 212cos 5

βααα=-=-=-=．

1.三角函数公式的应用策略

(1)使用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反．”

(2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用． 2.三角函数公式活用技巧

①逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式；

②tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用． 3.三角函数公式逆用和变形使用应注意的问题

①公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系；

②注意特殊角的应用，当式子中出现12，1，3

2，3等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”以便构造适合公式的形式． 4.三角公式求值中变角的解题思路

①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；

②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”． 5.三角函数名的变换技巧

明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．

1.降幂公式：cos 2

α＝1＋cos 2α2，sin 2

α＝1－cos 2α2

.

2.升幂公式：1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α.

3.tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)， 1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2， 1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π

4. 4.辅助角公式

a sin x ＋

b cos x ＝a 2＋b 2sin (x ＋φ)，其中tan φ＝b

a .

1.明确二倍角是相对的，如：α2是α4的2倍，3α是3α

2的2倍．

2.解题时注意观察角、名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题．

3.运用公式时要注意公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升幂、降幂的灵活运用，要注意“1”的各种变形．

4.在三角求值时，往往要估计角的范围后再求值．特别是在(0，π)内，正弦值对应的角不唯一．

1．sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin 2⎝ ⎛

⎭

⎪⎫α＋π6－sin 2α＝( )

A ．－12

B ．－32 C.12 D.32 【答案】C