2023年高考数学总复习历年真题题型归纳与模拟预测4-1三角恒等变换带讲解

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第四章 三角函数

4.1 三角恒等变换

单独考查三角变换的题目较少，往往以解三角形为背景，在应用正弦定理、余弦定理的同时，应用三角恒等变换进行化简，综合性比较强，但难度不大．也可能与三角函数等其他知识相结合．

题型一.同角三角函数的基本关系、诱导公式

1．（2020•新课标Ⅱ）若α为第四象限角，则（ ） A ．cos2α＞0 B ．cos2α＜0 C ．sin2α＞0 D ．sin2α＜0

【答案】D ．

【解答】解：α为第四象限角，

则−π

2+2k π＜α＜2k π，k ∈Z ，则﹣π+4k π＜2α＜4k π，

∴2α是第三或第四象限角或为y 轴负半轴上的角，∴sin2α＜0， 故选：D ．

2．（2018•新课标Ⅱ）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A （1，a ），B （2，b ），且cos2α=2

3

，则|a ﹣b |＝（ ） A ．1

5

B ．

√55

C ．

2√5

5

D ．1

【答案】B ．

【解答】解：∵角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合， 终边上有两点A （1，a ），B （2，b ），且cos2α=23

， ∴cos2α＝2cos 2α﹣1=23，解得cos 2α=5

6，

∴|cosα|=√30

6，∴|sinα|=√1−3036=√66，|tanα|＝|b−a 2−1

|＝|a ﹣b |=|sinα||cosα|=√

6

6

√306

=√55．

故选：B ．

3．（2017•新课标Ⅱ）已知sinα﹣cosα=43

，则sin2α＝（ ） A ．−79

B ．−29

C ．2

9

D ．7

9

【答案】A ．

【解答】解：∵sinα﹣cosα=43

，

∴（sinα﹣cosα）2＝1﹣2sinαcosα＝1﹣sin2α=16

9， ∴sin2α=−79

， 故选：A ．

4．（2018•新课标Ⅱ）已知sinα+cosβ＝1，cosα+sinβ＝0，则sin （α+β）＝ −12

． 【答案】−1

2．

【解答】解：sinα+cosβ＝1，两边平方可得：sin 2α+2sinαcosβ+cos 2β＝1，①， cosα+sinβ＝0，两边平方可得：cos 2α+2cosαsinβ+sin 2β＝0，②， 由①+②得：2+2（sinαcosβ+cosαsinβ）＝1，即2+2sin （α+β）＝1， ∴2sin （α+β）＝﹣1． ∴sin （α+β）=−1

2． 故答案为：−1

2．

5．（2015•四川）已知sinα+2cosα＝0，则2sinαcosα﹣cos 2α的值是 ﹣1 ． 【答案】﹣1

【解答】解：∵sinα+2cosα＝0，即sinα＝﹣2cosα， ∴tanα＝﹣2，

则原式=2sinαcosα−cos 2α1=2sinαcosα−cos 2αsin 2α+cos 2α=2tanα−1tan 2α+1=−54+1

=−1， 故答案为：﹣1

6．（2021•新高考Ⅱ）若tanθ＝﹣2，则sinθ(1+sin2θ)sinθ+cosθ

=（ ）

A ．−6

5 B ．−2

5

C ．25

D ．6

5

【答案】C ．

【解答】解：由题意可得：

sinθ(1+sin2θ)sinθ+cosθ

=

sinθ(sin 2θ+cos 2θ+2sinθcosθ)

sinθ+cosθ

=sinθ(sinθ+cosθ)2

sinθ+cosθ=sinθ(sinθ+cosθ) =sin 2θ+sinθcosθsin 2θ+cos 2θ

=tan 2θ+tanθ1+tan 2θ =4−21+4=25． 故选：C ．

7．（2017•北京）在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称，若sinα=

13，则cos （α﹣β）＝ −7

9

． 【答案】−7

9

【解答】解：方法一：∵角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称， ∴sinα＝sinβ=1

3

，cosα＝﹣cosβ，

∴cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ＝﹣cos 2α+sin 2α＝2sin 2α﹣1=2

9−1=−7

9 方法二：∵sinα=1

3，

当α在第一象限时，cosα=2√2

3， ∵α，β角的终边关于y 轴对称，

∴β在第二象限时，sinβ＝sinα=1

3，cosβ＝﹣cosα=−2√2

3， ∴cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ=−2√23×2√23+13×13=−7

9： ∵sinα=13

，

当α在第二象限时，cosα=−

2√2

3

， ∵α，β角的终边关于y 轴对称，

∴β在第一象限时，sinβ＝sinα=13

，cosβ＝﹣cosα=2√2

3

， ∴cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ=−2√23×2√23+13×13=−7

9

综上所述cos （α﹣β）=−7

9， 故答案为：−79

题型二.两角和与差公式

1．（2017•新课标Ⅱ）已知α∈（0，π

2），tanα＝2，则cos （α−π

4）＝

3√1010

．

【答案】

3√10

10