曲线与方程学案含解析新人教A版选修

2.1 曲线与方程

曲线与方程

[提出问题]

在平面直角坐标系中：

问题1：直线x ＝5上的点到y轴的距离都等于5，对吗？

提示：对．

问题2：到y轴的距离都等于5的点都在直线x＝5上，对吗？

提示：不对，还可能在直线x＝－5上．

问题3：到y轴的距离都等于5的点的轨迹是什么？

提示：直线x＝±5.

[导入新知]

曲线的方程、方程的曲线

在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：

①曲线上点的坐标都是这个方程的解；

②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．

那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．

[化解疑难]

“纯粹性”与“完备性”

(1)定义中的关系①说明曲线上任何点的坐标都满足方程，即曲线上所有的点都符合这个条件而无例外，这是轨迹的“纯粹性”．

(2)定义中的关系②说明符合条件的所有点都在曲线上而无遗漏，这是轨迹的“完备性”.

求曲线的方程

[提出问题]

在平面直角坐标系中，已知A(2,0)，B(－2,0)．

问题1：平面上任一点P(x，y)到A点的距离是多少？

提示：|PA|＝x－22＋y2.

问题2：平面上到A，B两点距离相等的点(x，y)满足的方程是什么？

提示：x－22＋y2＝x＋22＋y2.

问题3：到A，B两点距离相等的点的运动轨迹是什么？

提示：轨迹是一条直线．

[导入新知]

求曲线的方程的步骤

[化解疑难]

1．步骤(1)中“建立适当的坐标系”指坐标系建立的要恰当、合理．如定点作为原点，互相垂直的直线作为坐标轴等．合理地建立坐标系，能使运算更方便．

2．步骤(2)可以不必写出，也就是说可以根据等量关系列出方程，即(2)(3)步合并．3．步骤(5)没有特殊情况可以省略不写．如有特殊情况，可以适当的说明，缺少的补上，多余的剔除.

曲线的方程与方程的曲线的概念

[例

(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程|x|＝2之间的关系；

(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间的关系；

(3)第二、四象限两坐标轴夹角平分线上的点与方程x＋y＝0之间的关系．

[解] (1)过点A(2,0)平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程|x|＝2的解；但以方程|x|＝2的解为坐标的点不一定都在过点A(2,0)且平行于y轴的直线上．因此，|x|＝2不是过点A(2,0)平行于y轴的直线的方程．

(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy＝5；但以方程xy＝5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5.因此，与两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy＝5.

(3)第二、四象限两坐标轴夹角平分线上的点的坐标都满足x＋y＝0；反之，以方程x

＋y ＝0的解为坐标的点都在第二、四象限两坐标轴夹角的平分线上．因此，第二、四象限两坐标轴夹角平分线上的点的轨迹方程是x ＋y ＝0.

[类题通法]

这类题目主要是考查“曲线的方程与方程的曲线”的定义中所列的两个条件，正好组成两个集合相等的充要条件，二者缺一不可．这就是我们判断方程是不是指定曲线的方程，曲线是不是所给方程的曲线的准则．

[活学活用]

命题“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”是真命题，下列命题中正确的是( )

A ．方程f (x ，y )＝0的曲线是C

B ．方程f (x ，y )＝0的曲线不一定是

C C ．f (x ，y )＝0是曲线C 的方程

D ．以方程f (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线C 上

解析：选B “曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”，但“以方程f (x ，y )＝0的解为坐标的点”不一定在曲线C 上，故A ，C ，D 都不正确，B 正确.

曲线与方程的关系

[例2] (1)(x ＋y －1)x －1＝0； (2)4x 2

－y 2

＋6x －3y ＝0.

[解] (1)由方程(x ＋y －1)x －1＝0，可得

⎩

⎪⎨

⎪⎧

x －1≥0，x ＋y －1＝0或x －1＝0，

即x ＋y －1＝0(x ≥1)或x ＝1.

故方程表示一条射线x ＋y －1＝0(x ≥1)和一条直线x ＝1. (2)方程可化为(2x －y )(2x ＋y ＋3)＝0， 即2x －y ＝0或2x ＋y ＋3＝0.

故原方程表示的是两条直线2x －y ＝0和2x ＋y ＋3＝0.

[类题通法]

判断方程表示什么曲线，常需对方程进行变形，如配方、因式分解或利用符号法则、基本常识转化为熟悉的形式，然后根据化简后的特点判断．特别注意，方程变形前后应保持等价，否则，变形后的方程表示的曲线不是原方程代表的曲线．另外，当方程中含有绝对值时，常采用分类讨论的思想．

[活学活用]

已知方程x 2

＋(y －1)2

＝10.

(1)判断点P (1，－2)，Q (2，3)是否在此方程表示的曲线上；

(2)若点M ⎝ ⎛⎭

⎪⎫m

2，－m 在此方程表示的曲线上，求m 的值． 解：(1)∵12

＋(－2－1)2

＝10，(2)2

＋(3－1)2

＝6≠10， ∴点P 在方程x 2

＋(y －1)2

＝10表示的曲线上， 点Q 不在方程x 2

＋(y －1)2

＝10表示的曲线上． (2)x ＝m

2

，y ＝－m 适合方程x 2＋(y －1)2

＝10， 即⎝ ⎛⎭

⎪⎫m 22＋(－m －1)2

＝10，解得m ＝2或m ＝－185.所以m 的值为2或－185.

求曲线的方程

[例3] 过点P (2,4)作两条互相垂直的直线l 1，l 2，若l 1交x 轴于A 点，l 2交y 轴于B 点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．

[解] 法一：设点M 的坐标为(x ，y )． ∵M 为线段AB 的中点．

∴A 点坐标是(2x,0)，B 点坐标是(0,2y )． ∵l 1，l 2均过点P (2,4)，且l 1⊥l 2， ∴PA ⊥PB ，当x ≠1时，k PA ·k PB ＝－1. 而k PA ＝4－02－2x ＝21－x ，k PB ＝4－2y 2－0＝2－y

1，

∴

21－x ·2－y 1

＝－1， 整理，得x ＋2y －5＝0(x ≠1)．

当x ＝1时，A ，B 点的坐标分别为(2,0)，(0,4)， ∴线段AB 的中点坐标是(1,2)，它满足方程x ＋2y －5＝0， 综上所述，点M 的轨迹方程是x ＋2y －5＝0.

法二：设点M 的坐标为(x ，y )，则A ，B 两点坐标分别是(2x,0)，(0,2y )，连接PM . ∵l 1⊥l 2，∴2|PM |＝|AB |. 而|PM |＝x －2

2

＋y －4

2

，|AB |＝

2x

2

＋2y

2

，

∴2

x －22

＋y －42

＝4x 2

＋4y 2

.

化简，得x ＋2y －5＝0，即为所求轨迹方程． [类题通法]

直接法、定义法、代入法是求轨迹方程(或轨迹)的常用方法，对于此类问题，在解题过