第24讲 分解质因数(二)
质数和合数分解质因数
范围和要求
1.知识点范围 A 质数、合数的概念 B 判断一个数是质数还是合数的方 法 C 掌握分解质因数的方法
范围和要求
2.要求 A 理解质数、合数的意义 B 熟练地掌握判断一些常见数是质数， 还是合数的方 法 C 熟悉20以内的质数，会查质数表 D 初步掌握用短除法分解质因数的方法 E 知道因数、质因数与分解质因数间的联系与区别
例题：把下面各数分解质因数，并分别写 出它们所有的约数。
分解质因数 15 18 20 约 数
15=3 5
1、3、5、15
18=2 3 3 1、2、3、6、9、18 20=2 2 5 1、2、4、5、10、20
小结
质数、因数、质因数、分解质因数
一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数 叫做质数。它是1个独立存在的数。比如17是质数，因 为它只有1和17两个约数。
知识点精讲
一、质数和合数
1 的约数： 1
5 的约数： 1、5 12 的约数： 1、2、3、4、6、12 16 的约数： 1、2、4、8、16 17 的约数： 1、17 21 的约数： 1、3、7、21 25 的约数： 1、5、25 29 的约数： 1、29 32 的约数： 1、2、4、8、16、32 36 的约数： 1、2、3、4、6、9、12、18、36 37 的约数： 1、37
× （×
（
（
所有的合数都是偶数吗？
所有的偶数都是合数吗？
×
×
）
）
知识点精讲
二、分解质因数
6 2 3 28 4 7 2 2 6= 2 3 7
28= 2 2 7
每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。 其中每个质数都是这个合数的因数，叫做质因 数。 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来， 叫做分解质因数。
23、24分解质因数
3，把一篮苹果分给4人，使四人的苹果数一个比一个 多2，且他们的苹果个数之积是1920。这篮苹果共有 多少个？
【例题5】下面的算式里，□里数字各不相同，求这 四个数字的和。
□□×□□=1995
【例题2】有168颗糖，平均分成若干份，每份不得 少于10颗，也不能多于50颗。共有多少种分法？
【练习2】 1，把462名学生分成人数相等的若干组去参加课外活动 小组，每小组人数在10至25人之间，求每组的人数及分 成的组数。 2，四个连续奇数的和是19305，这个四奇数分别是多少？
3，把1、2、3、4、5、6、7、8、9九张卡片分给甲、 乙、丙三人，每人各3张。甲说：“我的三个数的积是 48。”乙说：“我的三个数的和是16。”丙说：“我的 三个数的积是63。”甲、乙、丙各拿了哪几张卡片？
五年级 数学 举一反三
一个自然数的因数中，为质数的因数叫做这个数的
质因数。把一个合数，用质因数相乘的形式表示出来， 叫做分解质因数。例如：24=2×2×2×3， 75=3×5×5。
我们数学课本上介绍的分解质因数，是为求最大公约 数和最小公倍数服务的。其实，把一个数分解成质因 数相乘的形式，能启发我们寻找解答许多难题的突破 口，从而顺利解题。
3，写出若干个连续的自然数，使它们的积是15120。
【例题2】长方形的面积是375平方米，已知它的宽 比长少10米，长和宽的和是多少米？
【例题2】长方形的面积是375平方米，已知它的宽 比长少10米，长和宽的和是多少米？
【思路导航】 这道题如果用方程来解会比较麻烦，我们可以把375 分解质因数看一看。375=5×5×5×3，因为5×5 比5×3正好多10，所以，此长方形的长是5×5=25 米，宽是5×3=15米，它们的和是40米。
小学五年级数学分解质因数
王老师
二三五七一十一， 一三 一九 一十七， 13 19 17, 二十五十配三九， 三十六十配一七， 四十要配一三七， 41 43 47， 七十要配一三九， 71 73 79， 八三八九九十七，
本节课我们主要来学习分解质因 数，同学们首先要掌握质数和合 数的概念，理解并掌握分解质因 数的方法，能够把一数分解质因 数，可以解决相关的实际问题。
一、复习
1.用彩条摆出20以内的质数。
23
5
7
11
13
17
19
2.请说出什么叫合数？什么叫质数？
一个数，如果除了1和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数。
一个数，如是只有1和它本身两个约数，这样的数叫做质数（或素数）。
3.判断下面哪几个数是合数？
5 6 23 28 31 60
答: 6 28 60 是合数
一 个
任何一个合数 都可以写成几个质因数相乘的形式。
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解 质因数。
为了简便，通常用短除法来分解质因数。 例如：
2 20 2 10
5 20=2×2×5
2 18 39
3
28=2×2×7
2 60 2 30
3 15 5
60=2×2×3×5
把一个合数分解质因数，先用一个 能整除这个合数的质数（通常从最小的 开始）去除，得出的商如果是质数，就 把除数和商写成相乘的形式；得出的商 如果是合数，就照上面的方法继续除下 去，直到得出的商是质数为止，然后把 各个除数和最后的商写成连乘的形式。
108分解质因数如下：
108=2×2×3﹂﹂ 2 24
2 12 26
3
24=2×2×2×3
练一练：
第二十四讲 分解质因数-小学奥数
第二十四讲 分解质因数告诉你本讲的重点，难点如果把一个自然数写成因数连乘的形式，常常有多种写法，如⨯=⨯=⨯=3122241248…… 但是把一个自然数写成质数（素数）连乘的形式，在不计较质数的排列顺序的前提下，其形式却是唯一的．如.322224⨯⨯⨯=把一个合数写成质数相乘的形式就叫做分解质因数．看老师画龙点晴，教给你解题诀窍【例1】用短除法分解质因数：90 42分析与解 把一个合数分解质因数，我们可以用短除法，用由小到大的质数作除数，一直除到 所得的商是质数为止，再把所有的除数和商连乘起来，5323532902⨯⨯=⨯⨯⨯= 73242⨯⨯=【例2】 三个连续自然数的积是120，这三个数分别是多少？分析与解 这三个自然数一定藏在120的质因数里，所以将120分解质因数就能找出这三个数． 6545321203⨯⨯=⨯⨯=答：这三个数分别是4，5，6．【例3】求72的所有因数的和，分析与解 求一个数的所有因数的和也可以列表整理：从表中的数据可以看出：72有12个因数．第一行的和是15)8421(1=+++⨯第二行的和是45)8421(3=+++⨯第三行的和是135)8421(9=+++⨯所有因数的总和就是.1951315)931()8421(1354515=⨯=++⨯+++=++这样可以总结出一个方法：一个数所有因数的和等于每一类质因数中所有因数的和相乘，如：,327223⨯=所有因数的和是)333()2222(2103210++⨯+++195)931()8421(=++⨯+++=【例4】 6153432548⨯⨯⨯的末尾有几个零？分析与解 我们先来研究乘积末尾的O 与什么有关．为此，将末尾有0的数进行分析：,5210⨯=52220⨯⨯=53230⨯⨯=5522100⨯⨯⨯=55222200⨯⨯⨯⨯=55322300⨯⨯⨯⨯=…末尾只有一个O 的数都含有质因数2和5，而且只有一组2和5．末尾有两个O 的数都含有质因数2和5，而且有两组2和5．一个数末尾的0的个数与这个数含有几组质因数2和5有关，也就是决定于2和5中个数较少的那个数的个数，例如一个数的质因数中含有3个2和2个5，那么这个数的末尾就有2个0．要想知道这四个数的乘积的末尾有几个零，就要把这四个数分别分解质因数．32484⨯=1353252⨯=17234⨯=4135615⨯⨯=所以，6153432548⨯⨯⨯的乘积中一共有5个2和3个5，所以末尾有3个0．【例5】一个自然数a 与2550的积是一个完全平方数，a 最小是多少？这个乘积是哪个数的平方7 分析与解 因为完全平方数是两个完全相同的数的乘积，所以完全平方数的质因数中，每个不同的质因数的个数一定是偶数，我们先将2550分解质因数：.1755322550⨯⨯⨯⨯=要使2550Xa 是一个完全平方数．至少还要补1个2，1个3和1个17，所以a 最小是.1021732=⨯⨯这样，.51017532255022222=⨯⨯⨯=⨯a 即这个乘积是510的平方．做题也有小窍门噢!把一个数分解因数和分解质因数是不同的，一般的分解因数通常是求最大公约数，是把它所含有的因数找出来，每个因数不一定全是质数，而分解质因数时，记住一定要用质数去除，直到商也是质数时为止，用短除法分解后，一定要把这个数写成质因数与商连乘的形式，快来试一试你的身手吧！1． 用短除法分解质因数：2002 4902．有四个学生，他们的年龄恰好是四个连续的自然数，他们年龄的积是3024，你知道他们的年龄吗？3．求100的所有的因数的和．4. ⨯⨯⨯⨯895765472325( )的积的最后六位都是“O”，那么括号内填入的自然数最小是多少？ （提示：先看看已知数的质因数中含有几个2和几个5，要想积的最后六位都是“0”，至少要有6个2和6个5，以此为标准，看还缺几个2和几个5．）5．一个自然数A 与2940的乘积正好是B 的立方，A 最小是多少？这时B 是多少？通往初中名校的班车 1．华华参加数学竞赛，她说：“我的成绩和我的年龄以及我的名次乘起来是3916分，满分是1OO 分．”你知道华华的年龄、成绩及考试名次各是多少吗？2. ,5054321⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 积的末尾一共有多少个0？3. b a b a ,,11764=⨯都是自然数，求a 的最小值．4．将275,175,105,77,45,18,14,12这8个数平均分成两组，使这两组的乘积相等，应怎样分？5．A ，B 两数都恰只含有质因数3和5，它们的最大公因数是75，已知A 数有12个因数，B 数有10个因数，那么A ，B 两数的和是多少？答 案。
五年级奥数举一反三第222324周之作图法解题、分解质因数(2021年整理)
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第222324周之作图法解题、分解质因数作图法解题专题简析:用作图的方法把应用题的数量关系提示出来，使题意形象具体,一目了然，以便较快地找到解题的途径，它对解答条件隐蔽、复杂疑难的应用题，能起化难为易的作用。
在解答已知一个数或者几个数的和差、倍差及相互之间的关系，求其中一个数或者几个数问题等应用题时,我们可以抓住题中给出的数量关系，借助线段图进行分析,从而列出算式。
例题1 五（1)班的男生人数和女生人数同样多。
抽去18名男生和26名女生参加合唱队后，剩下的男生人数是女生的3倍。
五（1）班原有男、女生各多少人？分析根据题意作出示意图：从图中可以看出，由于女生比男生多抽去26－18=8名去合唱队，所以，剩下的男生人数是女生人数的3倍，而这8名同学正好相当于剩下女生人数的2倍,剩下的女生人数有8÷2=4名，原来女生人数是26＋4=30名。
练习一1，两根电线一样长，第一根剪去50厘米，第二根剪去180厘米后，剩下部分，第一根是第二根长度的3倍.这两根电线原来共长多少厘米？2，甲、乙两筐水果个数一样多,从第一筐中取出31个，第二筐中取出19个后，第二筐剩下的个数是第一筐的4倍。
原来两筐水果各有多少个？3，哥哥现存的钱是弟弟的5倍，如果哥哥再存20元，弟弟再存100元，二人的存款正好相等。
五年级奥数专题讲义(基础卷+提高卷)-第24讲 分解质因数(二) 通用版(含答案)
第 24 讲分解质因数（二）基础卷1．如果 A+B=14，A×B=48，那么 A 与 B 的差是多少？A 与B 的差是22．把 247/323 和 46/69 约分。
323-247=76247-76=171171-76=9595-76=1976-19=5757-19=3838-19=19,故最大公约数是19所以为13/17同理第二个为2/33．老师用 100 元去买一种钢笔若干支，如果每支便宜 1 元，那就多买 5 支。
问：钢笔的原价是多少？100÷1=100（支）100+5=105（支）100支×105=105支×100105-100=5（元）4．求 1150 的约数中，除了它本身以外最大的约数是几？用1150除以任何可以整除的数例如1150/2=575 575/5=115 115/5=23那么也就是说1150的约数可以有2，5，5，23，这4个数每两个或三个任意相乘，如果四个数相乘就是1150那么你想要最大的约数就是23*5*5等于5755．一盒棋子共有 48 粒，如果不一次全拿出，也不一粒一粒拿出，但每次拿出的粒数要相同，最后一次正好拿完，共有几种拿法？每次2粒 24次每次3粒 16次每次4粒 12次每次6粒 8次每次8粒 6次每次12粒 4次每次16粒 3次每次24粒 2次共8种拿法6．有三个自然数 a、 b、 c，已知a×b=35，b×c=55，c×a=77，求 a、 b、 c 三个数的乘积。
a×b = 35=5×7,b×c = 55=5×7,c×a = 77=7×11a*b*c=5*7*11=385提高卷1．张爷爷今年 84 岁，他告诉人家：“我有 3 个孙子，他们年龄的乘积和我的年龄一样大，而且两个孙子的年龄和正好是另外一个孙子的年龄。
”问：张爷爷的三个孙子各是多大？设一个孙子的年龄为x岁，一个孙子的年龄为y岁，则另外的一个孙子的年龄为x+y岁，xy（x+y）=84，而（3×4）（3+4）=84，所以x=3，y=4，另外一个孙子的年龄是3+4=7（岁），答：这三个孙子今年分别是3岁、4岁、7岁．2．把一批图书分给三个班，每个班所得的本数一班比一班多 3 本，且各班所得图书的乘积为 910。
新分解质因数
分解质因数1.【知识要点和基本方法】一．质因数和分解质因数（1）如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数（2）把一个合数用质因数相乘表示，叫做分解质因数，如把12分解质因数得12＝2×2×3＝22×3，这时并称2和3是12的质因数。
（3）质数与互质的区别：质数是指约数只有1和它本身的自然数；而两个数的公约数只有1时，这样两个数的关系称为互质。
（4）分解质因数的方法主要是短除法，（在小学阶段）：譬如分解675这个合数，试除时一般从最小质数开始所以，675＝33×52二、合数的约数个数与合数的约数和以前的例子为例可知：（1）675的约数有1、2、5、9、15、27、45、75、135、225、675共12个，而675的质因数分解式为：675＝33×52其中指数3时质因数3的个数，指数2时质因数5的个数，那么675的约数的个数12，恰好时各个质因数指数加1的和的乘积：（3+1）×（2+1）＝12（2）675的12个约数之和：1+3+5+9+15+25+27+45+75+135+225+675＝1240但由于675的质因数分解式为675＝33×52，那么675的所有约数之和与675的质因数3和5的方幂恰好有如下关系：1240＝（1+3+32+33）×（1+5+52）＝40×31＝1240我们再举一个例子，比如18000＝24×32×53，不妨我们自己验证一下：（1）合数18000的所有约数的个数为：（4+1）×（2+1）×（3+1）＝60个（2）合数18000的所有约数和为：（1+2+22+23+24）×（1+3+32）×（1+5+52+53）＝31×13×156＝62868当然，这不是偶然的，我们可以总结出求一个合数的所有约数的个数和所有约数和有如下结论。
五年级奥数举一反三答案
五年级奥数举一反三答案【篇一：五年级奥数举一反三第22讲作图法解题】>专题简析：用作图的方法把应用题的数量关系提示出来，使题意形象具体，一目了然，以便较快地找到解题的途径，它对解答条件隐蔽、复杂疑难的应用题，能起化难为易的作用。
在解答已知一个数或者几个数的和差、倍差及相互之间的关系，求其中一个数或者几个数问题等应用题时，我们可以抓住题中给出的数量关系，借助线段图进行分析，从而列出算式。
例题1 五（1）班的男生人数和女生人数同样多。
抽去18名男生和26名女生参加合唱队后，剩下的男生人数是女生的3倍。
五（1）班原有男、女生各多少人？分析根据题意作出示意图：练习一1，两根电线一样长，第一根剪去50厘米，第二根剪去180厘米后，剩下部分，第一根是第二根长度的3倍。
这两根电线原来共长多少厘米？2，甲、乙两筐水果个数一样多，从第一筐中取出31个，第二筐中取出19个后，第二筐剩下的个数是第一筐的4倍。
原来两筐水果各有多少个？3，哥哥现存的钱是弟弟的5倍，如果哥哥再存20元，弟弟再存100元，二人的存款正好相等。
哥哥原来存有多少钱？例题2 同学们做纸花，做了36朵黄花，做的红花比黄花和紫花的总数还多12朵。
红花比紫花多几朵？分析通过线段图来观察：1 - -从图中可以看出：红花比紫花多的朵数由两部分组成，一部分是36朵，另一部分是12朵，所以，红花比紫花多36＋12=48朵。
练习二1，奶奶家养了25只鸭子，养的鸡比鸭和鹅的总数还多10只。
奶奶家养的鸡比鹅多几只？ 2，批发部运来一批水果，其中梨65筐，苹果比梨和香蕉的总数还多24筐。
运来的香蕉比苹果少多少筐？3，期末测试中，明明的语文得了90分。
数学比语文和作文的总分少70分。
明明的数学比作文高多少分？例题3 甲、乙、丙、丁四个小组的同学共植树45棵，如果甲组多植2棵，乙组少植2棵，丙组植的棵数扩大2倍，丁组植树棵数减少一半，那么四个组植的棵数正好相同。
原来四个小组各植树多少棵？分析图中实线表示四个小组实际植树的棵数：练习三1，甲、乙、丙、丁四个数的和是100，甲数加上4，乙数减去4，丙数乘以4，丁数除以4后，四个数就正好相等。
小学奥数 数论 质数合数分解质因数 分解质因数(二).题库版
1.能够利用短除法分解 2. 整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为...⨯⨯⨯☆☆☆△△△的结构，而且表达形式唯一”一、质因数与分解质因数（1）.质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数.（2）.互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数.（3）.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数.例如：30235=⨯⨯.其中2、3、5叫做30的质因数.又如21222323=⨯⨯=⨯，2、3都叫做12的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征. （4）.分解质因数的方法：短除法例如：212263，（┖是短除法的符号） 所以12223=⨯⨯；二、唯一分解定理任何一个大于1的自然数n 都可以写成质数的连乘积，即：312123k a a a a k n p p p p =⨯⨯⨯⨯其中为质数，12k a a a <<<为自然数，并且这种表示是唯一的.该式称为n 的质因子分解式. 例如：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数.分析：∵210=2×3×5×7，∴可知这三个数是5、6和7.三、部分特殊数的分解111337=⨯；100171113=⨯⨯；1111141271=⨯；1000173137=⨯；199535719=⨯⨯⨯；1998233337=⨯⨯⨯⨯；知识点拨教学目标5-3-4.分解质因数200733223=⨯⨯；2008222251=⨯⨯⨯；10101371337=⨯⨯⨯.模块一、分数的拆分【例 1】 算式“1希＋1望＋1杯＝1”中，不同的汉字表示不同的自然数，则“希＋望＋杯”＝ 。
【考点】分数的拆分 【难度】1星 【题型】填空【关键词】2007年，希望杯，第五届，五年级，初赛，第19题，6分【解析】 三个分数中一定有大于三分之一的，那个数是二分之一，剩下的两个数必有一个大于四分之一，即是三分之一，那么剩下的只能是六分之一.希+望+杯=2+3+6=11【答案】11【例 2】 3个质数的倒数之和是16611986，则这3个质数之和为多少． 【考点】分数的拆分 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设这3个质数从小到大为a 、b 、c ，它们的倒数分别为1a 、1b 、1c ，计算它们的和时需通分，且通分后的分母为a b c ⨯⨯，求和得到的分数为F abc,如果这个分数能够约分，那么得到的分数的分母为a 、b 、c 或它们之间的积.现在和为16611986，分母198623331=⨯⨯，所以一定是2a =，3b =，331c =，检验满足.所以这3个质数的和为23331336++=．【答案】23331336++=【例 3】 一个分数，分母是901，分子是一个质数．现在有下面两种方法：⑴ 分子和分母各加一个相同的一位数；⑵ 分子和分母各减一个相同的一位数．用其中一种方法组成一个新分数，新分数约分后是713．那么原来分数的分子是多少． 【考点】分数的拆分 【难度】3星 【题型】解答【解析】 因为新分数约分后分母是13，而原分母为901，由于90113694÷=，所以分母是加上9或者减去4．若是前者则原来分数分子为7709481⨯-=，但4811337=⨯，不是质数；若是后者则原来分数分子是6974487⨯+=，而487是质数．所以原来分数分子为487．【答案】487【例 4】 将1到9这9个数字在算式()()()()()()1-=的每一个括号内各填入一个数字，使得算式成立，并且要求所填每一个括号内数字均为质数?【考点】分数的拆分 【难度】4星 【题型】填空【解析】 本题中括号内所填的数字要求为个位质数，那么只能是2，3，5，7.将原始代入字母分析有例题精讲1b d cb ad a c a c a c--==⨯⨯，即有1cb ad -=，那么很容易发现只有3×5-2×7=1。
5年级-小学奥数举一反三(下册)
小学奥数举一反三练习材料五年级下册二○一四年六月目录第21讲假设法解题 1第22讲作图法解题 5第23讲分解质因数 10第24讲分解质因数（二） 14第25讲最大公约数 17第26讲最小公倍数（一） 21第27讲最小公倍数（二） 25第28讲行程问题（一） 29第29讲行程问题（二） 34第30讲行程问题（三） 39第31讲行程问题（四） 44第32讲算式谜 49第33讲包含与排除（容斥原理） 53第34讲置换问题 58第35讲估值问题 62第36讲火车行程问题 66第37讲简单列举 70第38讲最大最小问题 74第39讲推理问题 79第40讲杂题 84第21讲假设法解题【专题简析】假设法是解应用题时常用的一种思维方法。
在一些应用题中，要求两个或两个以上的未知量，思考时可以先假设要求的两个或几个未知数相等，或者先假设两种要求的未知量是同一种量，然后按题中的已知条件进行推算，并对照已知条件，把数量上出现的矛盾加以适当的调整，最后找到答案。
【例题1】有5元和10元的人民币共14张，共100元。
问5元币和10元币各多少张？思路与导航：假设这14张全是5元的，则总钱数只有5×14=70元，比实际少了100－70=30元。
为什么会少了30元呢？因为这14张人币民币中有的是10元的。
拿一张5元的换一张10元的，就会多出5元，30元里包含有6个5元，所以，要换6次，即有6张是10元的，有14－6=8张是5元的。
练习一1，笼中共有鸡、兔100只，鸡和兔的脚共248只。
求笼中鸡、兔各有多少只？2，一堆2分和5分的硬币共39枚，共值1.5元。
问2分和5分的各有多少枚？3，营业员把一张5元人币和一张5角的人民币换成了28张票面为一元和一角的人民币，求换来这两种人民币各多少张？【例题2】有一元、二元、五元的人民币50张，总面值116元。
已知一元的比二元的多2张，问三种面值的人民币各有几张？思路与导航：（1）如果减少2张一元的，那么总张数就是48张，总面值就是114元，这样一元的和二元的张数就同样多了；（2）假设这48张全是5元的，则总值为5×48=240元，比实际多出了240－114=126元，然后进行调整。
分解质因数(优秀6篇)
分解质因数(优秀6篇)分解质因数篇一教学目标(一)理解质因数、的意义。
(二)会把一个合数，掌握用短除式。
(三)培养学生观察分析，概括的能力。
教学重点和难点(一)质因数与的意义。
(二)用短除式。
教学用具投影片。
教学过程设计(一)复习准备1.请说出1～12这些数中的质数和合数。
(投影片)学生口答后，投影出示答案：①2，3，5，7，11是质数；②4，6，8，9，10，12是合数。
2.说一说质数与合数的区别？3.请想一想，第1题答案中的两组数，哪一组数能分成比它本身小的两个数相乘的形式？哪一组不能？为什么？学生口答后，老师指出：像这样的数，即合数，因为它们除了1和本身外，还有别的约数，所以都可以用几个比本身小的数相乘的形式表示出来。
这节课就来研究要求连乘式子里的因数都是质数的情况。
(二)学习新课1.质因数的意义，分别质因数的意义和方法。
(1)板书例3 6，28和60可以写成哪几个质数相乘的形式？教师板书出6，学生口答后，老师再用塔式分解式写出2，3，圈上。
教师：用算式如何表示，学生口答后老师板书；6=2×3。
教师板书出28，学生口答后，老师按塔式分解式写出：4，7，7是质数，圈上。
问：4老师为什么没圈？(4不是质数，继续分解。
)板书；2，2，圈上。
请用算式表示。
板书；28=2×2×7。
教师：请用上面的方法把60分成几个质数相乘的形式。
老师巡视中请一位同学板书出塔式分解式和算式。
(如下)(2)教师：请观察，(指塔式分解式和算式)每个合数都写成什么形式？(每个合数都写成了几个质数相乘的形式。
)教师：这些质数，在式子里与原来的合数是什么关系？(这些质数都是原来合数的因数。
) 教师：像这样，把一个合数写成几个质因数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数。
板书：质因数。
教师：请说一说什么是质因数。
请说一说上面三个算式中谁是谁的质因数。
针对学生口答，老师说明：讲质因数时，要说出这个质数是哪个合数的质因数，不能单独说一个数是质因数。
分解质因数
【本讲教育信息】一. 教学内容：分解质因数同学们，你们好！在这一讲中，我们一起来研究“分解质因数”的知识。
（一）阅读思考同学们都知道：一个合数可以写成几个质数相乘的形式。
例如：12223=⨯⨯，2、2、3都叫做合数12的质因数。
把一个合数写成质数相乘的形式，叫做分解质因数。
对于一个合数，它只有一种分解质因数的方法。
例1. 有两个两位数的乘积是3927，这两个两位数的和是多少？分析与解答：把这两个两位数相乘，也就等于把这两个数各自的质因数相乘。
我们可以先把3927分解质因数：3927371117=⨯⨯⨯，再把这4个质因数搭配组合成两个两位数：3175171177⨯=⨯=，，那么，这两个两位数的和是：5177128+=。
例2. 将55名同学用船渡过河，已知每条船载的人数相等，且最少载5人，最多载12人，问应有多少条船？每船载多少人？分析与解答：我们可以先看看55能被哪些数整除。
可以先把55分解质因数，55511=⨯所以55能被1、5、11和55整除，其中5和11在5~12之间。
所以有两种可能：11条船——每条载5人。
5条船——每条载11人。
例3. 求294000有几个约数？分析与解答：这是一个六位数，如果我们用列举法把它的约数一一找出来，会很麻烦。
所以今天就给同学们介绍一个很简单的方法，但要先把294000分解质因数。
294002357432=⨯⨯⨯，也就是有4个2，1个3，3个5，2个7。
根据294000各种质因数的个数，我们就可以计算出它有()()()()41113121120+⨯+⨯+⨯+=个约数。
如果总结一下方法，就是：一个大于1的整数的约数的个数，等于它的质因数分解式中每个质因数的指数加上的和的连乘积。
（二）尝试体验：（答题时间：45分钟）1. 学校商店出售每支5角的铅笔，没有人买，但降价后，一下子把全部铅笔都卖光了，共计卖得31.93元，问每支降价多少元？共卖了多少支铅笔？2. 四个小朋友的年龄，一个比一个大1岁，他们年龄的乘积是11880，你能算出四个小朋友各多少岁吗？3. 把20、26、33、35、39、42、44、55、91这九个数分成三组，每每组三个数的乘积都相等。
《分解质因数》课件
6 用短除法把下面各数分解质因数。
40 52 90 96
2 96
2 40 2 20 2 10 5
40=2×2×2×5
2 52
2 26 13
52=2×2×13
2 48
2 90
2 24
3 45
2 12
3 15
26
5
3
90=2×3×3×5 96=2×2×2×2×2×3
2 判断。
（1）3和8是24的质因数。( × ) （2）把24分解质因数是2×2×2×3=24。 ( × ) （3）所有非0自然数都可以写成几个质数相乘的形式。( × ) （4）能分解质因数的数都是合数。( √ ) （5） 6的因数有1、2、3、6，所以它们都是6的质因数。( × )
3 精挑细选。
24=2×2×2×3
40=2×2×2×5 66=2×3×11
45=3×3×5 78=2×3×13
任何一个合数都可以写成几个质因数相乘的形式。
1 下面的说法对吗?
（1）因为10=2×5，所以2和5都是质因数。（ × ） （2）15分解质因数: 15=5×3×1。（ × ） （3）一个数的因数一定是这个数的质因数。（ × ） （4）一个数的质因数一定是这个数的因数。（√ ） （5）质因数必须是质数，不能是合数。（√ ）
3 ……商是质数为止
54=2×3×3×3
短除法分解质因数的方法:
（1）把要分解的合数写在短除号里； （2）用一个能整除这个合数的质数(通常从最小的开始)去除； （3）得出的商如果是合数，就照上面的方法继续除下去，直到得2×3×3
A.整数
B.约数
C.合数
D.质数
五年级 第24讲 分解质因数(二)
第24讲分解质因数（二）一、专题简析：许多题目，特别是一些竞赛题，初看起来很玄妙，但它们都与乘积有关，对于这类题目，我们可以用分解质因数的方法求解。
因此，掌握并灵活应用分解质因数的知识，能解答许多一般方法不能解答的与积有关的应用题。
二、精讲精练例题1 三个质数的和是80，这三个数的积最大可以是多少？练习一1、有三个质数，它们的乘积是1001，这三个质数各是多少？2、张明是个初中生，有一次，他参加数学竞赛后，所得的名次、分数和他的岁数三者的积是2910。
求张明的成绩、名次和年龄分别是多少？例题2 长方形的面积是375平方米，已知它的宽比长少10米，长和宽的和是多少米？练习二1、237除以一个两位数，所得的余数是6，请写出适合于这个条件的所有两位数。
2、有4个孩子，恰好一个比一个大1岁，4人的年龄积是3024，这4个孩子中最大的几岁？例题3某班同学在班主任老师带领下去种树，学生恰好平均分成三组，如果师生每人种树一样多，一共种了1073棵，那么，平均每人种了多少棵？练习三1、一个长方体的长、宽、高是三个连续的自然数。
已知这个长方体的体积是9240立方厘米，那么，这个长方体的表面积是多少？2、老师用216元买一种钢笔若干支，如果每支钢笔便宜1元钱，那么他就能多买3支。
每支钢笔原价多少元？例题4 把186155和187221约分。
练习四请用上面的方法把下面的几个分数约分。
6946 117143 323247 253161例题5小明用2.16元买了一种画片若干张，如果每张画片的价钱便宜1分钱，那么他还能多买3张。
小明买了多少张画片？练习五1、求2310的约数中，除它本身以外最大的约数是多少？2、自然数a乘以2376，所得的积正好是自然数b的平方，求a最小是多少？三、课后作业1、写出若干个连续的自然数，使它们的积是15120。
2、有一块长方形的场地，它是由319块1平方分米的水泥方砖铺成的，求这块长方形场地的周长。
新分解质因数
分解质因数1.【知识要点和基本方法】一．质因数和分解质因数（1）如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数（2）把一个合数用质因数相乘表示，叫做分解质因数，如把12分解质因数得12＝2×2×3＝22×3，这时并称2和3是12的质因数。
（3）质数与互质的区别：质数是指约数只有1和它本身的自然数；而两个数的公约数只有1时，这样两个数的关系称为互质。
（4）分解质因数的方法主要是短除法，（在小学阶段）：譬如分解675这个合数，试除时一般从最小质数开始所以，675＝33×52二、合数的约数个数与合数的约数和以前的例子为例可知：（1）675的约数有1、2、5、9、15、27、45、75、135、225、675共12个，而675的质因数分解式为：675＝33×52其中指数3时质因数3的个数，指数2时质因数5的个数，那么675的约数的个数12，恰好时各个质因数指数加1的和的乘积：（3+1）×（2+1）＝12（2）675的12个约数之和：1+3+5+9+15+25+27+45+75+135+225+675＝1240但由于675的质因数分解式为675＝33×52，那么675的所有约数之和与675的质因数3和5的方幂恰好有如下关系：1240＝（1+3+32+33）×（1+5+52）＝40×31＝1240我们再举一个例子，比如18000＝24×32×53，不妨我们自己验证一下：（1） 合数18000的所有约数的个数为：（4+1）×（2+1）×（3+1）＝60个（2） 合数18000的所有约数和为：（1+2+22+23+24）×（1+3+32）×（1+5+52+53）＝31×13×156＝62868当然，这不是偶然的，我们可以总结出求一个合数的所有约数的个数和所有约数和有如下结论。
小学思维数学讲义：分解质因数(二)-含答案解析
分解质因数（二）1.能够利用短除法分解 2. 整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为...⨯⨯⨯☆☆☆△△△的结构，而且表达形式唯一”一、质因数与分解质因数（1）.质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数.（2）.互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数.（3）.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数.例如：30235=⨯⨯.其中2、3、5叫做30的质因数.又如21222323=⨯⨯=⨯，2、3都叫做12的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征.（4）.分解质因数的方法：短除法 例如：212263，（┖是短除法的符号） 所以12223=⨯⨯；二、唯一分解定理任何一个大于1的自然数n 都可以写成质数的连乘积，即：312123k a a a a k n p p p p =⨯⨯⨯⨯其中为质数，12k a a a <<<为自然数，并且这种表示是唯一的.该式称为n 的质因子分解式. 例如：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数.分析：∵210=2×3×5×7，∴可知这三个数是5、6和7.三、部分特殊数的分解111337=⨯；100171113=⨯⨯；1111141271=⨯；1000173137=⨯；199535719=⨯⨯⨯；1998233337=⨯⨯⨯⨯；200733223=⨯⨯；2008222251=⨯⨯⨯；10101371337=⨯⨯⨯.模块一、分数的拆分【例 1】 算式“1希＋1望＋1杯＝1”中，不同的汉字表示不同的自然数，则“希＋望＋杯”＝ 。
【考点】分数的拆分 【难度】1星 【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，初赛，第19题，6分【解析】 三个分数中一定有大于三分之一的，那个数是二分之一，剩下的两个数必有一个大于四分之一，即是三分之一，那么剩下的只能是六分之一.希+望+杯=2+3+6=11 例题精讲知识点拨教学目标【答案】11【例 2】 3个质数的倒数之和是16611986，则这3个质数之和为多少． 【考点】分数的拆分 【难度】3星 【题型】解答【解析】 设这3个质数从小到大为a 、b 、c ，它们的倒数分别为1a 、1b 、1c ，计算它们的和时需通分，且通分后的分母为a b c ⨯⨯，求和得到的分数为F abc,如果这个分数能够约分，那么得到的分数的分母为a 、b 、c 或它们之间的积.现在和为16611986，分母198623331=⨯⨯，所以一定是2a =，3b =，331c =，检验满足.所以这3个质数的和为23331336++=．【答案】23331336++=【例 3】 一个分数，分母是901，分子是一个质数．现在有下面两种方法：⑴ 分子和分母各加一个相同的一位数；⑵ 分子和分母各减一个相同的一位数．用其中一种方法组成一个新分数，新分数约分后是713．那么原来分数的分子是多少． 【考点】分数的拆分 【难度】3星 【题型】解答【解析】 因为新分数约分后分母是13，而原分母为901，由于90113694÷=，所以分母是加上9或者减去4．若是前者则原来分数分子为7709481⨯-=，但4811337=⨯，不是质数；若是后者则原来分数分子是6974487⨯+=，而487是质数．所以原来分数分子为487．【答案】487【例 4】 将1到9这9个数字在算式()()()()()()1-=的每一个括号内各填入一个数字，使得算式成立，并且要求所填每一个括号内数字均为质数?【考点】分数的拆分 【难度】4星 【题型】填空【解析】 本题中括号内所填的数字要求为个位质数，那么只能是2，3，5，7.将原始代入字母分析有1b d cb ad a c a c a c--==⨯⨯，即有1cb ad -=，那么很容易发现只有3×5-2×7=1。
苏教版五年级数学下册 第24讲 分解质因数(2)
苏教版五年级上册数学第24讲分解质因数（2）讲义许多题目，特别是一些竟赛题，初看起来很玄奥，但它们都与乘积有关，对于这题日，我们可以用分解质因数的方法来解。
因此，掌握并灵活应用分解质因数的知识，能解答许多一般方法不能解答的与积有关的应用题。
例1、三个质数的和是80，这三个数的积最大可以是多少?练习：1、如果A＋B＝70，A×B＝1161，A比B大，那么A－B等于多少?2、把1，2，3，4，5，6，7，8，9九张卡片分给甲、乙、丙三人，每人各3张。
甲说:“我的三个数的积是48。
”乙说:“我的三个数的和是16。
”丙说:“我的三个数的积是63。
”问甲、乙、丙各拿了哪几张卡片?3、长方形的面积是375平方米，已知它的宽比长少10米，长和宽的和是多少米?例2、一个两位数除310余37这个数可以是( )或( )。
练习;1、237除以一个两位数，所得的余数是6，请写出适合于这个条件的所有两位数。
2、5100除以一个三位数，余数是95，这个三位数最大是多少?3、有一块长方形的场地，它是由319块1平方分米的水泥方砖铺成的，求这块长方形场地的周长例3、某班同学在班主任老师的带领下去植树，学生恰好平均分成3组，如果师生每人种树一样多，一共种了1073棵，那么平均每人种了多少棵?练习：1、一个长方体的长、宽、高是三个连续的自然数。
已知这个长方体的体积是9240立方厘米，那么，这个长方体的表面积是多少?2、老师用216元买一种钢笔若干支，如果每支钢笔便宜1元钱，那么他就能多买3支。
问每支钢笔原价多少元?3、王老师带同学们擦玻璃，同学们恰好平均分成3组。
如果师生每人擦的块数同样多，一共擦了11块，那么，平均每人擦了多少块?例4、把和约分练习：请你用跟例题相同的方法把下面的几个分数约分。
例5、小明用21.6元买了一种贺卡若干张，如果每张贺卡的价钱便宜1角，那么他还能多买3张。
问小明买了多少张贺卡?练习：1、求2310的约数中，除它本身以外最大的约数是多少?2、自然数a乘以2376，所得的积正好是自然数b的平方。
24的分解质因数
24的分解质因数
24的分解质因数为：2×2×2×3，质因数的分解是数学的基础概念，也是数学根源分析的基础工具，它是数学中最基础的运算，也是小学学习数学的重要基础。
什么是质因数分解？首先，质因数分解是指将一个数字分解成若干个质数的乘积，质数是不能被1和本身整除的数，比如2是质数，因为它只能被1和2整除，而4不是质数，因为它可以被2整除。
质因数分解的目的是总结，把一个复杂的数字分解为一系列质数，有时还要把质数的幂乘上去，例如24的分解质因数是2×2×2×3，从这个例子可以看出，24这个数字可以分解成三个2和一个3，它也可以分解为23和1，还可以分解成一个2和一个12，也就是2 × 2 × 2 × 3 = 2^3 × 3^1，从中可以发现这样一个规律，即把质数的乘积和它们的幂拿出来，就可以分解一个数。
质因数分解具有很重要的意义，它能够帮助大家总结一个复杂的数字，帮助大家理解质数的概念，从而推广到更为复杂的数学领域，并用数学的思维来研究一些复杂的问题。
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第24讲分解质因数（二）
一、专题简析：
许多题目，特别是一些竞赛题，初看起来很玄妙，但它们都与乘积有关，对于这类题目，我们可以用分解质因数的方法求解。
因此，掌握并灵活应用分解质因数的知识，能解答许多一般方法不能解答的与积有关的应用题
二、精讲精练
例题1 三个质数的和是80，这三个数的积最大可以是多少？
练习一
1、有三个质数，它们的乘积是1001，这三个质数各是多少？
2、张明是个初中生，有一次，他参加数学竞赛后，所得的名次、分数和他的岁数三者的积是2910。
求张明的成绩、名次和年龄分别是多少？
例题2 长方形的面积是375平方米，已知它的宽比长少10米，长和宽的和是多少米？
练习二
1、237除以一个两位数，所得的余数是6，请写出适合于这个条件的所有两位数。
2、有4个孩子，恰好一个比一个大1岁，4人的年龄积是3024，这4个孩子中最大的几岁？
例题3某班同学在班主任老师带领下去种树，学生恰好平均分成三组，如果师生每人种树一样多，一共种了1073棵，那么，平均每人种了多少棵？
练习三
1、一个长方体的长、宽、高是三个连续的自然数。
已知这个长方体的体积是9240立方厘米，那么，这个长方体的表面积是多少？
2、老师用216元买一种钢笔若干支，如果每支钢笔便宜1元钱，那么他就能多买3支。
每支钢笔原价多少元？
例题4 把
186155和187
221约分。
练习四
请用上面的方法把下面的几个分数约分。
6946 117143 323247 253161
例题5小明用2.16元买了一种画片若干张，如果每张画片的价钱便宜1分钱，那么他还能多买3张。
小明买了多少张画片？
练习五
1、求2310的约数中，除它本身以外最大的约数是多少？
2、自然数a乘以2376，所得的积正好是自然数b的平方，求a最小是多少？
三、课后作业
1、写出若干个连续的自然数，使它们的积是15120。
2、有一块长方形的场地，它是由319块1平方分米的水泥方砖铺成的，求这块长方形场地的周长。
3、王老师带同学们擦玻璃，同学们恰好平均分成3组。
如果师生每人擦的块数同样多，一共擦111块，那么，平均每人擦了多少块？
4、将750元奖金平均分给若干个获奖者，如果每人所得的钱数化成角为单位的数就正好是得钱人数的12倍，求获奖人数和每人分得的钱数。