自动控制原理之根轨迹法

180(1 nm
2)
（ 0，1，2，）
渐近线的交点：
对于无限远处的特征根 s ，所有开环有限零点 zi 和开环极 点 p j 到特征根 s 所引矢量的长度均相等。
可以认为对于无限远处的特征根 而s 言，所有开环有限零点
和zi 开环极点 p都j 汇集在一点，其位置为 ，k 即
n
m
pj zi
k

j 1
i 1
nm
第4章 根轨迹法
为
例4-1
已知系统的开环传递函W数k (s)

s(s
Kg 1)(s

2)
试确定根轨迹的起点和终点；根轨迹的分支数；实轴上根轨迹
存在区间；若存在渐近线，求渐近线的倾角和交点。
解：根据开环传递函数，n3 ，m0 ，开环极点为：
开环有限零点决定了m个闭环极点的位置，还有(n m)个闭环极点
随着 Kg ，都将趋于无限远（称为开环无限零点）。
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结论：根轨迹的终点就是开环零点。 3．实轴上的根轨迹
z2

p2
j
设系统的开环零、极点分布如图。
符号符““号”“表示”表开示环开零环点极的点位的置，位符置号，
z1
得：
Kgd


D(s) N(s)
代回闭环特征方程得：

D(s) N(s)
N(s)
D(s)0
即： D(s)N(s) N (s)D(s) 0
解此方程即可求得分离点和会合点。
方法二：求极值法。
第4章 根轨迹法
由特征方程 KgN(s)D(s)，0 可得 Kg ND((ss，)) 令
5．根轨迹的分离点和会合点
举例说明分离点和会合点的计算方法。
设系统开环传递函数为
WK
(s)

(s
Kg(s z1) p1)(s p2
)
第4章 根轨迹法
通常，把根轨迹分支在实轴相遇然后分离进入复平面的点（如
A点）叫做分离点，把根轨迹从复平面会合到实轴上的点（如B点）
叫做会合点。
j
方法一：求重根法。
(s zi)
i 1 n

(s pj)
li
i 1 n
Lj

1 Kg
j 1
j 1
j 1
式中，li 为开环有限零点 zi 到闭环特征根 s 所引矢量的长度； L j 为开环有限极点 p j 到闭环特征根 s 所引矢量的长度。
上式称为闭环特征方程式的幅值条件 。
第4章 根轨迹法

计算开环复极点 p1 的出射角 c1 ：
j 1
i 1
根轨迹是系统某一参数从零变化到无穷大时，闭环特征方
程的根在 s 复平面上变化的轨迹。因此，根轨迹的分支数必然
与闭环特征方程根的数目相等。
根据上特征方程，闭环特征方程根的数目等于 m 和 n 中的
大者。
结论：根轨迹分支数等于开环有限零点和开环极点数目中的大者。
对于实际的控制系统，一般有 n ≥ m ，此时，根轨迹分支数
N(s) D(s)
N (s) D(s)
m
(s zi)
n
(s pj)
m
(s zi)
n
(s pj)
i 1
j 1
i 1
j 1
m
n
i j 180(12)
i 1
j 1
（ 0，1，2，）
式中，i 为开环有限零点 zi 到闭环特征根 s 所引矢量的辐角；
dKg ds

D(s)N(s) N(s)D(s) N 2(s)
0
得：D(s)N(s) N(s)D(s) 0
注意：利用上式计算分离点和会合点时，求出方程的根之后，
要验证是否为真正的分离点和会合点。可以将根代入特征方程求
出 Kg 值，如果 Kg 0 即为分离点或会合点。 也可由实际系统来判断。如实轴上两个相邻的开环极点之间存
值时，纵坐标设为 Kg ，可得一条曲线图。
对应 Kg 的最大值 K gd 时的 d 即为分离点。
Kg f ( )
Kg j
K gd
复平面上的分离点和会合点同样 可根据前面得到的公式计算。
z1


d
p2 p1
0

图解法求分离点（或会合点）
第4章 根轨迹法
6．根轨迹的出射角和入射角 出射角：当开环极点位于复平面上时，根轨迹离开开环极点处的 切线方向与正实轴方向的夹角称为根轨迹的出射角。它确定了根 轨迹从开环复极点出发后的走向。 入射角：当开环零点位于复平面上时，根轨迹进入开环零点处 的切线方向与正实轴方向的夹：角称为根轨迹的入射角。它确定了 根轨迹以什么角度进入开环复零点。 根轨迹出射角的计算方法：
(sd) 1[(s1)(s2)(sn )]
0
第4章 根轨迹法
解此方程即得重根：sd 。 按照这种思路，令 F(s)0 ，可求得产生重根时的根轨迹
放大系数 K gd ，将其代回闭环特征方程 F(s)，即得计算分离点
和会合点的公式。
F(s)[Kgd N(s) D(s)] Kgd N(s) D(s)0
和开环极点 p到j 特征根 所s 引矢量的辐角均相等，即
i j
即为渐近线的倾角。
对于无限远处的特征根 s ，应满足辐角条件，即
m
n
i j m n 180 (12)
i 1
j 1
（ 0，1，2，）
第4章 根轨迹法
渐近线的倾角计算公式为


j 1
j 1
j 1
考虑 s 时， zi pj k ，有
1
(s

)nm
k

snm (
n
1
m
pj
zi
)snm1


1 Kg
j 1
i 1
要使上式成立，分母多项式各幂次的系数应分别相等，有
n
m
(nm) k pj zi
j 1
i 1
渐近线的交点计算公式为：
以参数 Kg 作为可变参数画根轨迹称为常规根轨迹，这是一 般情况。如果以其它参数画根轨迹，则称为广义根轨迹。
4.1.2 根轨迹的幅值和辐角条件
第4章 根轨迹法
闭环特征根可根据特征方程式
将其改变形式得
m
N(s) D(s)


1 Kg
N(s) D(s)

(s zi)
i 1 n
(s

p
j)

n
D(s)(s pj)0
j 1
满足此式的S就是Kg=0的特征根。也就是开环的极点。
结论：根轨迹的起点就是开环极点。
根据闭环特征方程式，将 Kg 代入，得此时等效的闭环 特征方程为
第4章 根轨迹法
m
N(s)(s zi)0 i 1
Kg 时，闭环极点就是开环零点。对于nm 的系统，有m个
在根轨迹时，此间必有分离点；如实轴上两个相邻的开环零点
（包括开环有限零点和无限零点）之间存在根轨迹时，此间必有
会合点。
第4章 根轨迹法
方法三：图解法。
对于实根而言，在分离点上，根轨迹放大系数最大。根据这一
点，令特征方程式中的 s， 即：
Kg N( ) D( )0
得 Kg f ( ) 的函数关系式，当在 p1 和 p2 之间取不同的
zi p j k
k 就是所求的渐近线交点。
根据幅值条件得：
第4章 根轨迹法
m
m
m
N(s) D(s)

(s zi) sm zism1 zi
i 1 n

(s pj) sn
i 1
n
p jsn1
i 1 n
pj

1 Kg

1 Kg
j 1
1
Kg N(s) D(s)

0
确定。
Kg 称为根轨迹放大系数， zi 为开环有限零点，共有m个；
pj 为开环极点，共有n个。一般 n ≥ m 。
假设 Kg Kg0 时，出现特征根 s0 ，则它必须满足上式 ，即
m
N (s0 ) D(s0 )
i 1 n
(s0 zi ) (s0 p j )
m
n
i j
i 1
j 1
(s1 z1)(s1 z2)(s1 z3)[(s1 p1)(s1 p2)(s1 p3)]
02 2 (1802 2)
180
180(1 2)
满足辐角条件，故 s1为根轨迹上的点。
p1 0， p2 1， p3 2 ；无开环有限零点，故存在三个开环无
限零点。其位置分布见图。
对于 nm 的系统，根轨迹的分
j
渐近线
支数即为开环极点数目，所以系统 有3条根轨迹分支。
根轨迹的起点为开环极点，即：0、 -1、-2 ；根轨迹的终点为开环零点， 存在三个开环无限零点。
180 60

2 1 600
渐近线
根轨迹的渐近线
第4章 根轨迹法
根据绘制法则3，实轴上根轨迹存在区间为[-∞，-2]，[-1，0]。
渐近线倾角


180(1 30
2)
60,
180 （ 0，1）
渐近线交点
n
m
pj zi
k

j 1
i 1
nm
03102 1
第4章 根轨迹法
。
第4章 根轨迹法
4．1 根轨迹法的基本概念 4.1.1 根轨迹的定义
Xr (s)
K1N1(s) X c (s)
D1 ( s )
WK
(s)
K1K2 N1(s)N2(s) D1(s)D2(s)
m
Kg (s zi)

i 1 n
(s p j)
j 1
K2 N2 (s) D2 (s)
设闭环特征方程为
F(s) Kg N(s) D(s)0
B
A

z1 p2 p1 0
作因式分解，并设 Kg Kgd 时，有
个重根 d（ ≥ 2），其余根互异。得 根轨迹的分离（会合）点
F(s)(s1)(s2)(sn )(sd) 0
求一阶导数得: F(s)(sd)[(s1)(s2)(sn )]
同理，在 z1sp1 的实轴区间上的点均满足辐角条件，故 此区间存在根轨迹。
第4章 根轨迹法
确定实轴上根轨迹存在区间的依据：在实轴上根轨迹存在区
间的右侧，开环有限零点和开环极点数目总和为奇数。
5．根轨迹的渐近线
渐近线的倾角：
假设无限远处有一特征根 （s该点是根轨迹的终点，也是渐近
线上的点。在该点上，Kg s） ，则所有开环有限零点 zi


1 Kg0
j 1
第4章 根轨迹法
当 Kg 从0～∞连续变化时，对应一个 值，必然有特征根s 与之对应。令特征根为复数形式即 s j 代入特征方程式，
要使方程式成立，须方程两边幅值和辐角分别相等，即
m
m
m
N(s)

D(s)
(s zi)
i 1

n
K(g s p j)
典型结构图
Kg N。 (s) D(s)
其中，Kg K1K2， z（i i=1，2，┅，m）和 p（j j=1，2，┅，n）
分别为控制系统的开环有限零点和极点。对于实际系统，一般
n≥ m
第4章 根轨迹法
系统闭环传递函数为
WB
(s)

K1N1(s)D2(s) D1(s)D2(s) K1N1(s)K2
”表示闭环极点（即闭环特征根）的位置。
s1 2
z3
p1 0
2
p3
实轴上根轨迹判断图

第4章 根轨迹法
现在要判断实轴上某一点（设 点s1 ）是否在根轨迹上。根据
前面讨论可知，根轨迹上的点必须满足辐角条件。从各开环零、
极点向实轴上 s点1 引矢量，计算其辐角，代入辐角条件，得
等于开环极点数目。
根轨迹是对称于实轴的。
第4章 根轨迹法
2．根轨迹的起点和终点
根轨迹的起点就是当根轨迹放大系数 Kg 时0 闭环极点在 s
复平面上的位置。根轨迹的终点就是当根轨迹放大系数 Kg
时闭环极点在 s复平面上的位置。
根据闭环特征方程式，将 Kg 代0 入，此时等效的闭环特征
方程为
j 为开环有限极点 p j 到闭环特征根 s 所引矢量的辐角。
上式称为闭环特征方程式的辐角条件。
满足上辐角条件的根轨迹称为 180根 轨迹。
4．2 绘制根轨迹的基本法则
4.2.1 绘制根轨迹的基本法则
1．根轨迹分支数及其对称性
闭环特征方程可写成：
第4章 根轨迹法
n
m
(s pj) Kg (s zi)0
N2(s)

K1N1(s)D2(s) D(s) Kg N(s)
闭环特征方程为
1WK
(s)
1
Kg N(s) D(s)

0
根据已知的开环零、极点的位置，假设系统某个参数（这里
设为 K）g 从0～∞连续变化，闭环特征根在S复平面上变化移
动形成的轨迹称为系统的根轨迹。
根轨迹法就是利用根轨迹图来分析和设计系统。