离散数学第六章 集合 自然数与自然数集

学一：认识作者，了解作品背景作者简介：欧阳修(1007—1072)，字永叔，自号醉翁，晚年又号“六一居士”。吉州永丰(今属江西)人，因吉州原属庐陵郡，因此他又以“庐陵欧阳修”自居。谥号文忠，世
称欧阳文忠公。北宋政治家、文学家、史学家，与韩愈、柳宗元、王安石、苏洵、苏轼、苏辙、曾巩合称“唐宋八大家”。后人又将其与韩愈、柳宗元和苏轼合称“千古文章四大家”。
6.1 集合的基本概念 6.2 集合的基本运算 6.3 全集和集合的补 6.4 自然数与自然数集 6.5 包含与排斥原理
11 醉翁亭记
1．反复朗读并背诵课文，培养文言语感。
2．结合注释疏通文义，了解文本内容，掌握文本写作思路。
3．把握文章的艺术特色，理解虚词在文中的作用。
4．体会作者的思想感情，理解作者的政治理想。一、导入新课范仲淹因参与改革被贬，于庆历六年写下《岳阳楼记》，寄托自己“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的政治理想。实际上，这次改革，受
当n=0时，已经证明了结论成立。 对n作归纳假设，假设对任意自然数m, 有n∊m, 或者n=m，或者m∊n三者之一成立。 现在考察对于n+=n+1的情况。
n+=n∪{n}，对于任意自然数m， 若n∊m, 则由对m用归纳法可以证明 n+∊m或者n+=m之一成立(见前页)。 若n=m，则m∊{m}={n}，即m∊n∪{n}=n+。 若m∊n，则m∊n∪{n}=n+。
，使得0=m+。 4．n和m均是自然数，如果n+=m+，那么n=m。 5．如S是N的子集，有性质
(1) 0∊S, (2) 如果n∊S，那么n+∊S ， 则有 S=N。
数学归纳法——皮亚诺公设的第5条
设n是一个自然数， P(n)表示一个与n有关的公式或命题，
令 S={n∊N│P(n)为真} 。
若证明了 P(0)为真，也即0∊S (归纳基础)； 若P(n)为真，则P(n+) 也为真，
4 ={Ø ，{Ø }，{Ø ，{Ø }}，{Ø ，{Ø }，{Ø ，{Ø }}}}
┅┅┅┅
自然数的定义
0=Ø 1={0}=0+ 2={0，1}=1+ 3={0，1，2}=2+ 4={0，1，2，3}=3+ ┅┅┅┅
定义2 对于一个集合S， 如果它是空集Ø（亦即0 ）， 或者有一个自然数n ，使得S=n+ ， 则称S为一个自然数。
例2 (p69)证明：对于任意自然数m和n，都有 m∊n或者m=n或者n∊m之一成立。
当n=0时，已经证明了结论成立。
对n作归纳假设，假设对任意自然数m, 有n∊m, 或者n=m，或者m∊n三者之一成立。
现在考察对于n+=n+1的情况。
n∊m
n=m
m∊n
n+∊m
n+=m
m∊n+
例2 (p69)证明：对于任意自然数m和n，都有 m∊n或者m=n或者n∊m之一成立。
之”是总起词语，故应从其后断句。【教学提示】引导学生在反复朗读的过程中划分朗读节奏，在划分节奏的过程中感知文意。对于部分结构复杂的句子，教师可做适当的讲解引导。目标导学三：结合注释
例2 (p69)证明：对于任意自然数m和n，都有 m∊n或者m=n或者n∊m之一成立。
证明：对n用归纳法。 当n=0时， n=Ø. 显然, 对于任意的自然数m, 只有两种情况： m=Ø, 或者 Ø ∊m (对于非0自然数) 即有 m=n, 或者n∊m之一成立.
可以对m运用数学归纳法证明(详见教材)
即若n∊S，则n+∊S ( 归纳步骤)。
则由皮亚诺公设第5条, 得S=N。
第二归纳法
若 n=0时命题成立， 假定当n 小于等于k 时命题成立，可以证明
n等于k+1 时命题也成立。 则对于一切自然数命题成立。 这种归纳方法又叫第二归纳法。
性质
①设n1,n2和n3是三个任意的自然数，若 n1∊n2,n2∊n3，则n1∊n3 。
②设n1和n2是两个任意的自然数，则下述三个 式中有一个成立： n1∊n2, n1=n2, n2∊n1
③设S是自然数集的任意非空子集，则存在 n0∊S ，使得n0∩S=Ø。
例1 (传递性)
设n是一个自然数，求证：
若n1和n2为两个集合，且n1∊n2，n2∊n，则n1∊n。
设
S={n∊N│若有n1,n2, 且n1∊n2，n2∊n，则n1∊n}，
证明：对m用归纳法。
若m=n+，则 n∊m成立, 此时有n+=m 。
归纳假设对任意的m，
若n∊m，则n+=m，或者n+∊m之一成立。
考察m+=m∪{m},
若n ∊m+={m}∪m，
n ∊{m}∪m
n =m
n ∊m
n+ =m∊m n+ ∊m+
例 求证：对于任意自然数m和n， 若n∊m, 则n+∊m或者n+=m之一成立.
证明：对m用归纳法。 若m=n+，则 n∊m成立, 此时有n+=m 。 归纳假设对任意的m， 若n∊m，则n+=m，或者n+∊m之一成立。 考察m+=m∪{m}, 若n ∊m+={m}∪m，则n=m，或者n∊m。 于是有n+=m+, 或者n+=m，或者n+∊m之一成立。 从而分别有n+=m+ ， 或者n+=m∊m+,或者n+∊m ∊m+ 之一成立, 即有n+=m+或者n+∊ m+之一成立。 所以归纳得证结论成立。
集合的归纳定义（递归定义）
基础条款—— 指出某些事物属于集合，给集 合以基本元素，使所定义的集合非空。
归纳条款——指出由集合的已有元素构造新 元素的方法。
最小性条款——断言一个事物除非能有限次 应用基础条款和归纳条款构成外，那么这个 事物不是集合的成员。
注： 最小性条款形式可能不同，结果可能是等价的， 全部服务于一个目的，既指明所定义的集合是满 足基础条款与归纳条款的最小集合。
例 设B={a,b}, 则 B+={a,b}∪{{a,b}} = {a,b,{a,b}}
自然数 (冯·诺伊曼 John von Neumann, 1903年12月28日生于匈牙利,1957年2月8日卒于美国)
0=Ø 1={Ø } 2={Ø ，{Ø }} 3={Ø ，{Ø }，{Ø ，{Ø }}}
1={0} 2={0，1}=1+ 3={0，1，2}=2+ 4={0，1，2，3}=3+ ┅┅┅┅
到贬谪的除了范仲淹和滕子京之外，还有范仲淹改革的另一位支持者——北宋大文学家、史学家欧阳修。他于庆历五年被贬谪到滁州，也就是今天的安徽省滁州市。也是在此期间，欧阳修在滁州留下了不逊
于《岳阳楼记》的千古名篇——《醉翁亭记》。接下来就让我们一起来学习这篇课文吧！【教学提示】结合前文教学，有利于学生把握本文写作背景，进而加深学生对作品含义的理解。二、教学新课目标导
所以归纳得证S=N。
1908年Zermelo(蔡梅罗)定义的自然数
0=Ø 1={Ø } 2={{Ø }} 3={{{Ø }}} 4 ={{{{Ø }}}} ┅┅
显然，
0∊1∊2∊3∊4∊ ┅ ┅
但“∊”不满足传递性，未能准确刻画出自然
数本身所固有的良好性质。
例 求证：对于任意自然数m和n， 若n∊m, 则n+∊m或者n+=m之一成立.
N满足① ②
例4 (补) 求证：T=S, 这里 T={3n|n ∊N}.
证明： 先证T⊆S 。记P(n)表示3n属于S。 当n=1时，3*1=3属于S，故P(1)显然成立。 归纳假设P(k)成立，则 3*(k+1)=3*k+3也属于S。 即有P(k+1)成立。由归纳法， T⊆S得证。
再证明S⊆T。 由基础条款，0、3属于S， 显然，0、3都是3的倍数，故0、3都属于T。
即对n+ 满足: 对于任意自然数m, 有m∊n+, 或者m=n+， 或者n+∊m三者之一成立。
例3 (p70)设有数目相等的两堆棋子，两人轮流从任
一堆里取出任意颗棋子，但不能不取，也不 能同时在两堆里取。规定谁最后取完，谁胜 利。求证可以保证让后取者必胜。
例3 (p70) 求证可以保证让后取者必胜。
关于“醉翁”与“六一居士”：初谪滁山，自号醉翁。既老而衰且病，将退休于颍水之上，则又更号六一居士。客有问曰：“六一何谓也？”居士曰：“吾家藏书一万卷，集录三代以来金石遗文一千卷，有
琴一张，有棋一局，而常置酒一壶。”客曰：“是为五一尔，奈何？”居士曰：“以吾一翁，老于此五物之间，岂不为六一乎？”写作背景：宋仁宗庆历五年(1045年)，参知政事范仲淹等人遭谗离职，欧阳
例4 (p70) 用归纳定义集合S={n∊N│3整除n}
设S是一个集合，它满足以下三条： ① 3∊S, 且0∊S； ② 如果x∊S，y∊S，那么x+y∊S； ③ S中的元素均是有限次地运用①和②得到的。
注：第③条也可改为： A是一个任意集合， 若3∊A，且0∊A，且若x,y∊A，则x+y∊A， 那么S⊆A。
第六章 集合
6.1 集合的基本概念 6.2 集合的基本运算 6.3 全集和集合的补 6.4 自然数与自然数集 6.5 包含与排斥原理
后继： A+ =A∪{A}
定义1 A是一个给定的集合，存在一个集合叫做 A的后继，记为A+ 。
例 设A={a}, 则 A+= {a}∪{{a}} = {a, {a}}
假定x与y都属于S，而且都属于T， 则 x+y也属于S，同时也是3的倍数，即属于T。
即有归纳条款得到的新元素也属于T，故S⊆T得证。