保险精算学-利息理论基础

某人以年利率5%向银行借100元，则银行 将付给借款人100元。1年后，该借款人将 还给银行贷款本金100元，外加5元的利息 ，共计105元。
如果此人不是以年实际利率5%而是以年实际
贴现率5%向银行借100元，为期1年，则银 行
将预收5%(即5元)的利息，而仅付给借款人 95
元。一年后，该借款人将还给银行100元。
• 1
•-
•0
•1
•2 •… •t
1
• 复利下的现值和累计值
•金 额
•时间
•- •…•-
•-
t
2
1
•
•金
1
额
•0
•1
•2 •… •t •时间
积累函数 金额函数 贴现函数 第n期利息
•本
•终值
金•1------------------------------
•K------------------------------
设在0到t时刻，利率i可以变动，如第一个时间段 i=i1,第二个时间段 i=i2….. 如下图所示：
本金 1
利率 i1
i2
i3
时间t 0 1
2
3 ……..
it t-1 t
• (1) 单利计算 (利息不计息) • 累积函数: a(t)=1+i1+i2+……+it
(2) 复利计算 (利息也计息)
• 累积函数: a(t)=(1+i )(1+i )(1+i )……(1+i )
•本 金：每项业务开始时投资的金额。 •积 累 值：过了一定时间再回收的总金额。
•利 息：积累值减去本金。
•积累函数：在时刻 0 时投资 1 单位本金在时刻 t
•
的积累值，用 a(t) 表示;
•金额函数: 在时刻 0 时投资 C 单位本金在时刻t
•
时的积累值，用 A(t) 表示。
积累函数 金额函数
时间（年） 各年实际利率 时间（年） 各年实际利率
0-2
2%
5-6
3%
2-5
4%
3.现值 （Present Value）
单利与复利的现值（单个度量周期）
已知：本金为1的投资在一个度量周期期末将会有 1+i 积累值，1+i 称为累积因子。
反之：为使一个度量周期期末的积累值为1，在期 初投资的本金金额须是(1+i)-1 ，把 (1+i)-1 称 为贴现因子，记为： ，故有
a(t)的四种情况： 1. 线性金额函数； 2. 非线性函数； 3. 水平的积累额函数； 4. 阶梯上升的积累额函数。
例
设 a(t) = at2+b,且 A(0)=100, A(3)=370, 求
A(5) = 100 时的 A(10).
实际利率
某一度量期的实际利率，是指该度量期内得到的利息金额与 此度量期开始时投入的本金金额之比。实际利率通常用字母i 表示。
保险精算学-利息理论基 础
2020年6月1日星期一
课程结构
基础 利息理论基础 生命表基础
核心 保费计算 责任准备金计算
拓展 特殊年金与寿险 资产份额
第 1 章 利息理论基础
利息的度量 利息问题求解的原则 年金 收益率
第一节
利息的度量
一、利息的定义
定义1
利息产生在资金的所有者和使用者不统一的场 合，它的实质是资金的使用者付给资金所有者 的租金，用以补偿所有者在资金租借期内不能 支配该笔资金而蒙受的损失。
•单利与复利的现值（多个度量周期）
•t年现值: 我们把现在1单位元在t年前的值或者未来
•
t年1单位元在现在的值称为t年的现值。
•1/a( t)
•-t
•现值
•1 •0
•本金
•
a(•tt)
•累积值
1单位本金经过t年后成为 ; 那么 1单位累计值在t年前的值便为 。
•- •…•-
t
2
• 单利下的现值和累计值
对于多个度量期的情形, 可以分别定义各个度量期的实际 利率。用 表示从投资日算起第n个度量期的实际利率，则
利息率: 单位本金在单位时间内所孳生的利息。
2. 单利与复利(对多个利息周期而言)
单利的计算： 只有本金计息，利息不计息的计息方式。
复利的计算： 本周期的利息由上周期的本利和产生，也就 是利息也将产生利息。
•等利率情况下
单利 累积函数: a(t) = 1+i t 金额函数：A(t) = A(0) (1+ i t) = A(0) a(t)
复利 累积函数: a(t) = (1+ i )t 金额函数：A(t) = A(0) (1+ i )t = A(0) a(t)
例
本金1000元，6年投资如下，分别按单利和复 利，求资本总额以及利息总额。
定义2：
本金: 每项业务开始时投资的金额。 终值: 业务开始一定时间后回收到的总金额称为
该时刻的终值(或累计值)。 利息: 累计值与本金的差额就是这一时期的利息
金额。
终值=本金+利息 A=S+I
影响利息大小的三要素：
本金金额 利率 投资时间
二、利息的度量
按照计息时刻划分：
1. 期末计息：利率 2. 期初计息：贴现率
• 单位时间以年度衡量时，称为实际贴现率。
实际贴现率为该年内得到的利息金额与此年末的累计 金额之比。简称为贴现率。第n年的贴现率记为dn 。 •一年的贴现率简化表示为d, 有
按照积累方式划分
1. 线性积累 （1）单利计息 （2）单贴现计息 2. 指数积累 （1）复利计息 （2）复贴现计息
二、利息的度量
按照利息转换频率划分
1. 一年转换一次：实质利率 （实质贴现率） 2. 一年转换 m 次：名义利率 （名义贴现率） 3. 连续计息（一年转换无穷次）：利息效力
三、 利息理论基础
• -----------------------------1
•0
•t
• 贴现 额
如果应在将来某个时期支付的金额提前到现在 来支付，则支付额中应扣除一部分金额，这个 扣除额称为贴现额。
它相当于资金投资在期初的预付利息。
贴现和利息的区别在于分析的出发点不同：
利息是在本金基础上的增加额，而贴现则是在累 积额基础上的减少。它相当于利率在每一利息 计算期的起点时刻被记入。
•本
•终值
金
•1---------------------------a(t)
•C---------来自百度文库-----------------A(t)
•0
•t
= C a(t)
积累函数a(t)的性质:
1. a(0) = 1； 2. a(t) 通常为递增函数； 3. 当利息连续产生时，a(t) 是 t 的连续函数； 4. 若 a(0) = C, 则 A(t) = C a(t).