保险精算学-利息理论基础
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保险精算学-笔记-涵盖（利息,生命表,寿险精算及实务,非寿险,风险理论,内容丰富）
保险精算学-笔记-涵盖（利息,⽣命表,寿险精算及实务,⾮寿险,风险理论,内容丰富）第⼀章：利息理论基础第⼀节：利息的度量⼀、利息的定义利息产⽣在资⾦的所有者和使⽤者不统⼀的场合，它的实质是资⾦的使⽤者付给资⾦所有者的租⾦，⽤以补偿所有者在资⾦租借期内不能⽀配该笔资⾦⽽蒙受的损失。
⼆、利息的度量利息可以按照不同的标准来度量，主要的度量⽅式有1、按照计息时刻划分：期末计息：利率期初计息：贴现率2、按照积累⽅式划分：（1）线性积累：单利计息单贴现计息（2）指数积累：复利计息复贴现计息（3）单复利/贴现计息之间的相关关系单利的实质利率逐期递减，复利的实质利率保持恒定。
单贴现的实质利率逐期递增，复贴现的实质利率保持恒定。
时，相同单复利场合，复利计息⽐单利计息产⽣更⼤的积累值。
所以长期业务⼀般复利计息。
时，相同单复利场合，单利计息⽐复利计息产⽣更⼤的积累值。
所以短期业务⼀般单利计息。
3、按照利息转换频率划分：（1）⼀年转换⼀次：实质利率（实质贴现率）（2）⼀年转换次：名义利率（名义贴现率）（3）连续计息（⼀年转换⽆穷次）：利息效⼒特别，恒定利息效⼒场合有三、变利息1、什么是变利息2、常见的变利息情况（1）连续变化场合（2）离散变化场合第⼆节：利息问题求解原则⼀、利息问题求解四要素1、原始投资本⾦2、投资时期的长度3、利率及计息⽅式4、本⾦在投资期末的积累值⼆、利息问题求解的原则1、本质任何⼀个有关利息问题的求解本质都是对四要素知三求⼀的问题。
2、⼯具现⾦流图：⼀维坐标图，记录资⾦按时间顺序投⼊或抽出的⽰意图。
3、⽅法建⽴现⾦流分析⽅程（求值⽅程）4、原则在任意时间参照点，求值⽅程等号两边现时值相等。
第三节：年⾦⼀、年⾦的定义与分类1、年⾦的定义：按⼀定的时间间隔⽀付的⼀系列付款称为年⾦。
原始含义是限于⼀年⽀付⼀次的付款，现已推⼴到任意间隔长度的系列付款。
2、年⾦的分类：（1）基本年⾦约束条件：等时间间隔付款付款频率与利息转换频率⼀致每次付款⾦额恒定（2）⼀般年⾦不满⾜基本年⾦三个约束条件的年⾦即为⼀般年⾦。
保险精算学利息的基本概念
1 vn a
n
d
积累值公式：
s n
(1 i)n d
1
2.3 任意时刻的年金值
2.3.1 首期付款前某时刻的年金现值：
2.3.2 在最后一期付款后某时刻的年金积累 值：
2.3.3 付款期间某时刻的年金当前值：
2.4 永续年金
付款次数没有限制，永远持续的年金成为永续年 金。
1 a
i
a 1 d
i(4) 4
4n
500 1
0.08 20 4
742.97
2、
A0
An
1
d (2) 2
2n
1
0
0
01
0.0 2
612
693.84
3、
i(4) 4
1
4
1
d (12) 12
12
i(4)
41
0.06 12
3
1
6.0605%
1.3 利息强度
投资一笔资金，设在时刻 t 的资金金额由总来能够函数 A（t）给出，这笔资金完全由于利息而变化，即本金不变。定义：
2.5 连续年金
付款频率无限大（即连续付款）的年金称为连续 年金。
现值公式：
积累值公式：
2.1 期末付年金
年金的定义
按一定的时间间隔支付的一系列付款称为年金。原始含义是限于一年 支付一次的付款，现已推广到任意间隔长度的系列付款。
期末付年金：
现值公式：
a 1 vn
n
iபைடு நூலகம்
积累值公式： s (1 i)n 1
n
i
2.2 期初付年金
每个付款期间开始时付款的年金为期初付年金。
保险精算第1章利息理论基础共52页文档
15
Actuarial Science
利息度量：转换频率不同
保险精算
16
名义利率与名义贴现率
“实际”一词的主要含义在于，利息为每个度 量期支付一次，或在期初，或在期末，视具体情况 而定。然而，实际上有很多在一个度量期中利息支 付不止一次或在多个度量期利息才支付一次的情形。 这时，我们称相应的一个度量期的利率和贴现率为 “名义”的。
味着递减的实际利率。
12
单利与复利
复利计息时，第 n期的实际利率为：
in
a(n)a(n1) a(n1)
(1i)n (1i)n1 (1i)n1
i (1i)n1 (1i)n1
i
结论：i n 关于 n为常数，即常数的复利意味
着恒定的实际利率。
13
单利与复利
对单利来讲，利息并不作为投资资金而再赚取 利息；对复利来讲，在任何时候，本金和到该时为 止得到的利息，总是用来投资以赚取更多的利息。
一个度量期的实际贴现率为该度量期内取得到 的利息金额与期末投资可回收金额之比。通常用字
母 d表示。
实际利率与实际贴现率的定义十分类似，都是 用来度量利息的。
6
实际利率与实际贴现率
某人以1本金开始一项业务，实际利率为i，则在 一度量期末可收回金额1i ，而利息（贴现）金额为
i，若这笔业务的实际贴现率为 d，则
Interest
2
利息
影响利息大小的要素： 本金：业务开始时投资的金额 时期长度：从投资日开始到收回的时间跨度
度量期、期：年 业务开始一定时间后回收的总金额称为该时刻 的积累值（Accumulated value，或终值）。 为了在一定时间后得到某个积累值，而在开始 时投入的本金金额称为该积累值的现值（Present Value）
Actuarial Science
利息度量：转换频率不同
保险精算
16
名义利率与名义贴现率
“实际”一词的主要含义在于，利息为每个度 量期支付一次，或在期初，或在期末，视具体情况 而定。然而，实际上有很多在一个度量期中利息支 付不止一次或在多个度量期利息才支付一次的情形。 这时，我们称相应的一个度量期的利率和贴现率为 “名义”的。
味着递减的实际利率。
12
单利与复利
复利计息时，第 n期的实际利率为：
in
a(n)a(n1) a(n1)
(1i)n (1i)n1 (1i)n1
i (1i)n1 (1i)n1
i
结论：i n 关于 n为常数，即常数的复利意味
着恒定的实际利率。
13
单利与复利
对单利来讲，利息并不作为投资资金而再赚取 利息；对复利来讲，在任何时候，本金和到该时为 止得到的利息，总是用来投资以赚取更多的利息。
一个度量期的实际贴现率为该度量期内取得到 的利息金额与期末投资可回收金额之比。通常用字
母 d表示。
实际利率与实际贴现率的定义十分类似，都是 用来度量利息的。
6
实际利率与实际贴现率
某人以1本金开始一项业务，实际利率为i，则在 一度量期末可收回金额1i ，而利息（贴现）金额为
i，若这笔业务的实际贴现率为 d，则
Interest
2
利息
影响利息大小的要素： 本金：业务开始时投资的金额 时期长度：从投资日开始到收回的时间跨度
度量期、期：年 业务开始一定时间后回收的总金额称为该时刻 的积累值（Accumulated value，或终值）。 为了在一定时间后得到某个积累值，而在开始 时投入的本金金额称为该积累值的现值（Present Value）
保险精算 利息理论解析
单 增
习题：
t : 1. 已知：A(t)=2t+ +5 ，求 （1）对应的a(t)
解：（1）a(t)=A(t)/k k =A(0)=5 a(t)=A(t)/k=1+0.4t+ t / 5 已知A(t) ，求a(t)？ A(t)=k*a(t) a（0）=1
实际利率
某个度量期内得到的利息金额 与此度量期开始时投资的本金 之间的比率
■
实际贴现率与实际利率的关系 考虑一笔业务：某人以实际贴现率借款1 元，则实际上本金为（1-d）元，而利息（贴 现）金额为d元。实际利率为： d =i/(1+i) , 即d=iv i=d/(1-d)
■
d =(1+i)/(1+i)-1/(1+i)=1-v d=i(1-d)，即i-d=id
v=1-d，方程两端均可以看作是期末付1的现值。
1.1实际利率和实际贴现率
2. 实际利率恒定
At At 1 it At 1 k [ a (t ) a (t 1)] ka(t 1) i (1 i ) t 1 a (t 1) i
复利与单利的区别 (1)若利率水平为一常数,那么单利条件下的实际利率是时间的递 减函数;.而复利条件下的实际利率与时间无关,仍然等于常数的复利 的利率.
1.2 名义利率和名义贴现率
名义利率i(m)是指每1/m个度量期支付利息一次，而 在每1/m个度量期上的实际利率为i(m)/m。也就是 说，每一度量期i(m)的名义利率等价于每1/m度量 期i(m)/m的实际利率（复利计息）。 如若一年为一个度量期, i(4) =8%的名义利率指的是 每季度的实际利率为2%,即每年记息4次的年名义 利率为8%
利息率
保险精算学利息理论基础培训
保险精算学利息理论基础培训
保险精算学的0基1本概念与应用
领域
保险精算学的定义与历史背景
保险精算学的定义
• 保险精算学是一门研究保险产品定价、风险管理、负债评估以及投资策略的数学 和统计学学科 • 保险精算学的主要目标是帮助保险公司实现稳健经营和风险控制
保险精算学的历史背景
• 保险精算学起源于17世纪的欧洲，随着保险业的发展，保险精算学逐渐形成并发 展为一门独立的学科 • 19世纪和20世纪，随着概率论、统计学等数学理论的发展，保险精算学得到了进 一步的完善
保险精算学利0息6理论基础的未
来发展与创新
保险精算学利息理论基础的发展趋势
发展趋势
• 随着金融市场的发展和技术的进步，保险精算学利息理 论基础将继续拓展和深化 • 保险精算学利息理论基础将更加关注风险管理、客户需 求和金融创新等方面的问题
发展趋势的影响
• 保险精算学利息理论的发展将对保险公司的产品定价、 风险管理和投资策略等方面产生深远影响 • 保险精算学利息理论的发展将有助于保险公司实现稳健 经营和风险控制，提高竞争力
保险精算学利息理论的未来应用前景
未来应用前景
• 保险精算学利息理论将在保险产品定价、风险管理、投 资策略等方面发挥更大的作用 • 随着金融市场的发展和技术的进步，保险精算学利息理 论的应用前景将更加广阔
未来应用前景的影响
• 保险精算学利息理论的未来应用前景将有助于保险公司 实现稳健经营和风险控制，提高竞争力
03
保险精算学中的利息模型
传统的利息模型及其优缺点
传统的利息模型
• 传统的利息模型主要包括古典利息模型和固定利率模型等 • 这些模型通常基于历史数据和经验规律，对利息的预测和计算具有一定的局限性
保险精算学的0基1本概念与应用
领域
保险精算学的定义与历史背景
保险精算学的定义
• 保险精算学是一门研究保险产品定价、风险管理、负债评估以及投资策略的数学 和统计学学科 • 保险精算学的主要目标是帮助保险公司实现稳健经营和风险控制
保险精算学的历史背景
• 保险精算学起源于17世纪的欧洲，随着保险业的发展，保险精算学逐渐形成并发 展为一门独立的学科 • 19世纪和20世纪，随着概率论、统计学等数学理论的发展，保险精算学得到了进 一步的完善
保险精算学利0息6理论基础的未
来发展与创新
保险精算学利息理论基础的发展趋势
发展趋势
• 随着金融市场的发展和技术的进步，保险精算学利息理 论基础将继续拓展和深化 • 保险精算学利息理论基础将更加关注风险管理、客户需 求和金融创新等方面的问题
发展趋势的影响
• 保险精算学利息理论的发展将对保险公司的产品定价、 风险管理和投资策略等方面产生深远影响 • 保险精算学利息理论的发展将有助于保险公司实现稳健 经营和风险控制，提高竞争力
保险精算学利息理论的未来应用前景
未来应用前景
• 保险精算学利息理论将在保险产品定价、风险管理、投 资策略等方面发挥更大的作用 • 随着金融市场的发展和技术的进步，保险精算学利息理 论的应用前景将更加广阔
未来应用前景的影响
• 保险精算学利息理论的未来应用前景将有助于保险公司 实现稳健经营和风险控制，提高竞争力
03
保险精算学中的利息模型
传统的利息模型及其优缺点
传统的利息模型
• 传统的利息模型主要包括古典利息模型和固定利率模型等 • 这些模型通常基于历史数据和经验规律，对利息的预测和计算具有一定的局限性
利息理论1
i
m
) 1 或
m
i
( m)
m m 1 i 1
21
例.贷款人A开价年利率为9%,贷款人B开价季度复 利8.75%，而贷款人C开价月度复利8.5%。某人需 要为期一年的贷款，问谁的贷款好？ 解:对B:
8.75% i 1 1 9.04% 4 8.5% i 1 1 8.83% 12
9
注（1)利率常用百分比表示。
（2）本金在整个时期内视为常数
（3)利率是一种度量，其中利息在期末支付。它 可用累积函数确定如下：
it1 ,t2
1.1.2. 单利和复利
a(t2 ) a(t1 ) a(t1 )
定义1.5 若有这样一种累积计算方式:1个货币单位 的投资，在每一时期中得到的利息为常数，则称对 应的利息计算方式为简单利息计算方式,简称单利 方式.对应的利息称为单利.
5
1.1.1 累积函数
定义1.1 考虑一单位本金，记原始投资为1时在 任何时刻的累积值为a(t)，称为累积函数。 a(t)的性质：
(1) a(0)=1;
(2) a(t)通常为增函数； 典型累积函数:
a(t ) 1 it
a(t ) (1 i) , t 1,2,...
t
6
a(t ) e
7
为了表示货币价值的相对变化幅度,度量利息的 常用方法是计算所谓的利率. 定义1.3 时间区间[t1, t2 ] 内总量函数A(t)的变化量 (增量)与期初货币量的比值称为在时间区间 [t1, t2 ] 内的利率,记为
it1 ,t2
特别地,当 t1
A(n) A(n 1) In in A(n 1) A(n 1)
寿险精算学利息理论基础
精算师需要根据市场情况和公司战略，设计出符合市场需求的人寿保险产品，并确保产品具有合理的费 率水平。
保险费率的计算
01
02
03
保险费率是保险公司根据风险大 小和预期损失情况，向投保人收 取的保费标准。
寿险精算学在保险费率计算中发 挥着重要作用，通过对死亡率、 利率、疾病发生率等风险因素的 评估和预测，精算师可以制定出 合理的费率标准。
计算投资组合的预期收益，通常使用历史收益率、未来收益率和风 险调整后收益率等指标。
绩效评估
比较投资组合的实际表现与预期表现的差异，常用的指标包括夏普 比率、阿尔法系数和贝塔系数等。
投资组合的优化与调整
资产配置优化
根据投资目标和风险承受能力，确定最优的资 产配置比例。
动态调整
根据市场环境和投资组合的实际表现，定期或 不定期调整投资组合的资产配置。
信用风险
由于发行人违约，无法按时偿还 本金或利息的风险。
回报
债券的回报主要来源于利息收入 和资本利得（买卖债券的价差） 。
01
02
利率风险
由于市场利率波动，导致债券价 格波动的风险。
03
04
流动性风险
由于市场不活跃或缺乏交易对手 ，导致债券难以买卖的风险。
04
投资组合理论
投资组合的基本概念
投资组合
由多种资产组成的集合，包括股票、债券、现金等。
资产配置
投资者根据风险承受能力和投资目标，将资金分配到不同的资产 类别中。
多样化
通过持有多种不同类型的资产，降低单一资产的风险，提高整体 投资组合的风险调整后收益。
投资组合的评估方法
风险评估
衡量投资组合的风险水平，包括市场风险、信用风险和操作风险等。
保险费率的计算
01
02
03
保险费率是保险公司根据风险大 小和预期损失情况，向投保人收 取的保费标准。
寿险精算学在保险费率计算中发 挥着重要作用，通过对死亡率、 利率、疾病发生率等风险因素的 评估和预测，精算师可以制定出 合理的费率标准。
计算投资组合的预期收益，通常使用历史收益率、未来收益率和风 险调整后收益率等指标。
绩效评估
比较投资组合的实际表现与预期表现的差异，常用的指标包括夏普 比率、阿尔法系数和贝塔系数等。
投资组合的优化与调整
资产配置优化
根据投资目标和风险承受能力，确定最优的资 产配置比例。
动态调整
根据市场环境和投资组合的实际表现，定期或 不定期调整投资组合的资产配置。
信用风险
由于发行人违约，无法按时偿还 本金或利息的风险。
回报
债券的回报主要来源于利息收入 和资本利得（买卖债券的价差） 。
01
02
利率风险
由于市场利率波动，导致债券价 格波动的风险。
03
04
流动性风险
由于市场不活跃或缺乏交易对手 ，导致债券难以买卖的风险。
04
投资组合理论
投资组合的基本概念
投资组合
由多种资产组成的集合，包括股票、债券、现金等。
资产配置
投资者根据风险承受能力和投资目标，将资金分配到不同的资产 类别中。
多样化
通过持有多种不同类型的资产，降低单一资产的风险，提高整体 投资组合的风险调整后收益。
投资组合的评估方法
风险评估
衡量投资组合的风险水平，包括市场风险、信用风险和操作风险等。
寿险精算学利息理论基础
• 某人现在投资1000元，第3年末再投资 2000元，第5年末再投资2000元。其中前4 年以半年度转换名义利率5%复利计息，后 三年以恒定利息力3%计息，问到第7年末 此人可获得多少积累值？
A(7)1000(1j)8e3 2000(1j)2e3 2000e2 10001.0258e0.0920001.0252e0.092000e0.06 5756
• 以第7年末为时间参照点，有
1 .0 6 6 4 1 .0 6 4 x 1 .0 6 1 0 x 3 .7 4 3 5
• 以第8年末为时间参照点，有
1 . 0 6 7 4 1 . 0 6 5 x 1 0 1 . 0 6 x 3 . 7 4 3 5
• 请同学们自己练习以其他时刻为时间参照 点
（2） (1i)2 1
6(舍去负根)
由(1i)2 1 6
i 20.4% （i 2.204舍去)
例1.7：求时间
• 假定i(12) 分别为12%、6%、2%
• 计算在这三种不同的利率场合复利计息， 本金翻倍分别需要几年？
i(12) 2% 时 ， (10.17% )12n2 n ln2 34.7
i
a 1 v v n 1 (1 i ) a 1 v n
n
n
d
s 1 (1 i ) (1 i ) n 1 1 (1 i ) n (1 i ) nபைடு நூலகம் 1
n
1 (1 i )
i
s (1 i ) (1 i ) n (1 i ) s 1 (1 i ) n
• 工具：现金流图
现金流 p 0
p1
p2
pn
时间坐标 0 t1
t2
tn
• 方法：建立现金流分析方程（求值方程） • 原则：在任意时间参照点，求值方程等号两边现时值相等。
A(7)1000(1j)8e3 2000(1j)2e3 2000e2 10001.0258e0.0920001.0252e0.092000e0.06 5756
• 以第7年末为时间参照点，有
1 .0 6 6 4 1 .0 6 4 x 1 .0 6 1 0 x 3 .7 4 3 5
• 以第8年末为时间参照点，有
1 . 0 6 7 4 1 . 0 6 5 x 1 0 1 . 0 6 x 3 . 7 4 3 5
• 请同学们自己练习以其他时刻为时间参照 点
（2） (1i)2 1
6(舍去负根)
由(1i)2 1 6
i 20.4% （i 2.204舍去)
例1.7：求时间
• 假定i(12) 分别为12%、6%、2%
• 计算在这三种不同的利率场合复利计息， 本金翻倍分别需要几年？
i(12) 2% 时 ， (10.17% )12n2 n ln2 34.7
i
a 1 v v n 1 (1 i ) a 1 v n
n
n
d
s 1 (1 i ) (1 i ) n 1 1 (1 i ) n (1 i ) nபைடு நூலகம் 1
n
1 (1 i )
i
s (1 i ) (1 i ) n (1 i ) s 1 (1 i ) n
• 工具：现金流图
现金流 p 0
p1
p2
pn
时间坐标 0 t1
t2
tn
• 方法：建立现金流分析方程（求值方程） • 原则：在任意时间参照点，求值方程等号两边现时值相等。
保险精算原理与实务
单贴现
a d
− 1
复贴现
a d
−1
n
( t ) = 1 − dt d = 1 − (n − 1)d
( t ) = (1 − d ) t = d
n
单复利计息之间的相关关系
单利的实质利率逐期递减，复利的实质利率保持恒 定。 单贴现的实质利率逐期递增，复贴现的实质利率保 持恒定。 t ≤ 1 时，相同单复利场合，单利计息比复利计息 t产生更大的积累值。所以短期业务一般单利计息。 ≥ 1 时，相同单复利场合，复利计息比单利计息 产生更大的积累值。所以长期业务一般复利计息。
3000 (1 + i ) 4 + 6000 (1 + i ) 2 = 15000 ⇒ (1 + i ) 2 = − 1 ± 由 (1 + i ) 2 = − 1 + 6 ( 舍去负根 ) 6
（2）
⇒ i = 20 . 4 % （ i = − 2 . 204 舍去 )
例1.8：求时间
假定 i (12 )分别为12%、6%、2%，问在这 三种不同的利率场合复利计息，本金翻倍 分别需要几年？
指定教材
王晓军等，保险精算原理与实务，中国 人民大学出版社。
参考资料
Kellison,S.G.，Theory of Interest，2nd Edition,SOA， 1991. Bowers,N.L，Actuarial Mathematics，2nd Edition， SOA，1997.
课程结构
(4)
4
1 1
1− d
d
几个关系式
1 d (m) = 1 − d = 1 − 1+ i m i (m) 1 + i = 1 + m 1 1 i (m) 故有： = 1+ = (1 + i ) m d (m) m 1－ m d ( m ) = m 1 − (1 + i ) −1 m ，将上式第一个与第三
《保险精算》之二--利息理论
3 6%)
13139.95(元)。
13
现值和贴现率
在单利下，
14
现值和贴现率
贴现率：单位货币在单位时间内的贴现额，单位时 间以年度衡量时，成为实际贴现率。
◦ d表示一年的贴现率:
d A(1) A(0) a(1) 1 1 i 1 i
A(1)
a(1) 1 i 1 i
◦ dn表示第n年贴现率:
dn
A(n) A(n 1) A(n)
a(n) a(n 1) a(n)
15
现值和贴现率
d a(1) 1 (1 i) 1 i i
a(1)
1i 1i
可见， d<i
1d 1 i 1
1i 1i i d
1 d
16
现值和贴现率
200
600
X
0
0
199
199
5
8
200 0 7100
5
2
2000 (1 i ) 3000 (1 i ) 7100,
令f (i )2000(1i )5 3000(1i )2 7100.
利用计算机模拟可以得到结果，也可以利用线性插值得到结果，
这样有
f (i1 ) f ( 0.111)11.710,
◦ 期首付年金
◦ 期末付年金
32
期首付年金现值
a 1 2 3 n1 n = 1 n 1 1 n = d
33
期末付年金现值
a 2 3 n n (1 n ) = 1
1 n
=
i
34
期首付年金终值
对于n年定期、每年1元、期首付的年金在n年末的终值为：
保险精算之利息理论第二章
解：10万元每年产生的利息是7000元。
B所占的份额： 7000a10| 7000(7.0236) 49165 （元）
C所占的份额： 7000(a20| a10| ) 7000(10.5940 7.0236) 24993 （元）
1 D所占的份额： 7000(a| a20 ) 7000( 10.5940) 0.07 25842 （元）
m
2.14永续年金
定义：付款没有限制，永远持续的年金。
期末付现值记为a|， v v 1 2 则a|＝v v ＝ ＝ 1 v iv i
1 vn 1 lim an| lim n n i i
1 经济意义：在利率为i时，首期期初投资为 ，且 i 1 不收回本金，则每期期末可获得数额为i ＝1的 i 利息，一直持续下去。
方法一：V 10 S5 1 i
4
方法二：V 10 s5| 1 i
因为 s5| S5 1 i
1
3
所以，两式相等。
方法三：假设在时刻7～10各有一单位付款，则这几 个付款在时刻10的年金积累值为S4 ，包括这几个付款 及已知的5个付款在时刻10时的年金积累值为S9 ，因此 V 10 S9 S4
1 2 n (v v v ) v (1 i )an
(2) sn| (1 i ) sn|
sn (1 i ) (1 i )n
(1 i )[1 (1 i )n1 ]
(1 i ) sn
(3) an| 1 an1|
根据年金折现法及年金加减法计算出同一时刻 年金现值是相等的。 va5| a6| a1|
保险精算学利息理论
in表示第n个基本计息时间单位的实际利 率。
in=(A(n)-A(n-1))/A(n-1)
2.1.2 单利与复利
1 单利
2 复利
Eg2.1 某人1997年1月1日借款1000元，假设 借款年利息为5%，试分别以单利和复利计 算： （1）如果1999年1月1日还款，还款 总额是多少？
（2）如果1997年5月20日还款，还款 总额是多少？
2.2.2 永续年金（永久年金）
所谓永久年金是指每年收付款1单位元，而收付款的时间为永久 的无确定期限。
表示符号：
a
a (m )
a
a (m )
a 1v v2 .... 1 1
1v d
a v v2 v3 .... v 1
1v i
两者的关系 a a (1i)
考虑：每年收付款次数为m次，期首支付，每次收付款额为1的永久 m
2.1 利息基本理论
2.1.1 累积函数 时间 t
1 总额函数 A(t):t时资金累积额
2 利息 I(t)=A(t)-A(0)累积额与本金之差
A(t)=A(0)+I(t)
2 累积函数 为了反映单位本金的增值情况，引入累
积函数a(t)
a(t)=A(t)/A(0) 3 利息率
衡量资金生息水平的指标是利息率：单 位本金在单位时间内的利息。
i
III 永久递增年金
同学们自己分析，得出结论：
(Ia)
1,(Ia) id
d12
例子：
Ex2.13 某年金在第一年首收付100元，以后每隔一年均比前 一年增收100元，若年利率为8%，（1）计算收付8年后年金 现值与终值；（2）计算永久年金的现值。
Ex2.14 某年金第一年收付200元，以后每隔一年均比前一年 增收100元，增加到一次收付1000元时不再增加，并保持每 年1000元的水平连续收付，年利率为8%，给出这一年金现值 的计算表达式。
in=(A(n)-A(n-1))/A(n-1)
2.1.2 单利与复利
1 单利
2 复利
Eg2.1 某人1997年1月1日借款1000元，假设 借款年利息为5%，试分别以单利和复利计 算： （1）如果1999年1月1日还款，还款 总额是多少？
（2）如果1997年5月20日还款，还款 总额是多少？
2.2.2 永续年金（永久年金）
所谓永久年金是指每年收付款1单位元，而收付款的时间为永久 的无确定期限。
表示符号：
a
a (m )
a
a (m )
a 1v v2 .... 1 1
1v d
a v v2 v3 .... v 1
1v i
两者的关系 a a (1i)
考虑：每年收付款次数为m次，期首支付，每次收付款额为1的永久 m
2.1 利息基本理论
2.1.1 累积函数 时间 t
1 总额函数 A(t):t时资金累积额
2 利息 I(t)=A(t)-A(0)累积额与本金之差
A(t)=A(0)+I(t)
2 累积函数 为了反映单位本金的增值情况，引入累
积函数a(t)
a(t)=A(t)/A(0) 3 利息率
衡量资金生息水平的指标是利息率：单 位本金在单位时间内的利息。
i
III 永久递增年金
同学们自己分析，得出结论：
(Ia)
1,(Ia) id
d12
例子：
Ex2.13 某年金在第一年首收付100元，以后每隔一年均比前 一年增收100元，若年利率为8%，（1）计算收付8年后年金 现值与终值；（2）计算永久年金的现值。
Ex2.14 某年金第一年收付200元，以后每隔一年均比前一年 增收100元，增加到一次收付1000元时不再增加，并保持每 年1000元的水平连续收付，年利率为8%，给出这一年金现值 的计算表达式。
寿险精算利息基础
A(n)=A(0)(1+i_1+i_2+…+i_n); a(n)= 1+i_1+i_2+…+i_n. 在复利下， A(n)=A(0)(1+i_1)*(1+i_2)***(1+i_n); a(n)= (1+i_1)*(1+i_2)***(1+i_n). 例4 以10000元本金进行5年投资，前2年的利 率为5%，后3年的利率为6%。以单利和复利 计算5年后的累积资金。
类似于实际利率，也可以定义任意度量期的 实际贴现率，令d_n为从投资日算起第n个时 期的实际贴现率，根据定义，有
In A(n) A(n 1) dn , n 1, 整数 A(n) A(n)
I_n为利息金额。一般而言，d_n也可能随不 同度量期而变化。然而，在复利情况下，若 实际利率为常数，则实际贴现率也是常数。 设每期实际利率为i,则
例 3 上例中若银行以复利计息，其它条件不 变，问5年末的累积值是多少？ 解： A(5)=5000*a(5)=5000*(1+2%)^5=5520.4. 即5年末的累积值为5520.4元。 注意：在单利和复利下，也可用各期的实际 利率计算累计函数和总额函数。设第t期的实 际利率为i_t, 则在单利下，
解：在单利下，有 A(5)=10000*(1+2*5%+3*6%)=12800(元)。 在复利下，有 A(5)=10000*(1+5%)^2*(1+6%)^3=13130.95 （元）。
3. 实际贴现率
一个度量期的实际贴现率为该度量期内取得的利息 金额与期末的投资可回收金额之比，通常用字母d来 表示实际贴现率。
我们把为了在t期期末得到某个累积值而在开 始时投入的本金金额称为该累积值的现值。 如：1/a(t)是在t期期末累积值1的现值，在t期 期末累积值A(t)的现值是A(t)[1/a(t)]。 在某种意义上，累积与贴现是相反的过程。 a(t)为1单位本金在t期期末的累积值；而 1/a(t)是t期期末1单位终值的现值。
保险精算课件 第1章利息理论共96页文档
2.1.4 名义利率和名义贴现率Βιβλιοθήκη 1.名义利率：所谓名义利率
i(m)
，是指每
1 m
个度量期支
付利息一次，而每 1 个度量期的实际利率为 i ( m ) 。
m
m
设与名义利率等价的实际利率为 i ，则有：
1i (1i(m) )m m
i (1i(m) )m 1 m
时间点：0 1 m
2
m 1
m
m
m 1 m
例3. 王亮1994年1月1日从银行借款10000元， 假设年利率为6%，试分别以单利和复利计算 （1）1994年5月20日他需还银行多少钱？ （2）2019年1月1日他需还银行多少钱？ （3）多少年后他需还15000元？
2.1.3 现值和贴现率 1.现值
●我们把为了在 t 期末得到某个积累值， 而在开始时投资的本金金额称为该积累 值的现值（或折现值）。显然，a-1(t)是 在t期末支付1单位的现值，在t期末支付k 单位的现值为k·a-1(t)。
（2）求相当于每月结算一次的年利率为12% 的半年结算一次的贴现率。
例2：求1万元按每年计息4次的年名义利率 6%投资三年的积累值。
例3：每年计息2次的年名义利率为10%，在6 年后支付5万元，求其现值。
2.1.5 利息力
利息力又称息力，是衡量确切时点上利率水平的
指标。记为 t ，则
t lt i0[m A (t t) tA (t)]A (t)A A '((tt))a a '((tt))
● 积累函数a (t)有时也称作 t 期积累因子;
称 a-1(t)为折现函数或 t 期折现因子。特别地， 把一期折现因子a-1(1)简称为折现因子。
● 在复利方式下，当年利率不变时
保险精算第1章利息的基本概念
精算师（资格考试）
一般精算师资格考试分为准精算师考试和精算师 考试两部分，只有通过这两个层次的学习和考试， 才会获得精算师资格证书。
准精算师考试内容为作为精算人员所必须掌握的精算理 论和技能以及基础的精算实务知识
精算师考试内容以高级精算专业课程和精算实务为主， 内容涉及保险公司运营，公司财务、投资、公司偿付 能力管理等诸多内容。
精算特点
精算（起源及发展）
精算起源于人寿保险的保费计算。 1693年，英国大数学家、天文学家哈雷编制出第一张生命
表，这就标志着精算学的诞生。 1757年，英国人简姆士·丹松首先提出应按保险人的年龄和
保额收取保费，即提出保费的计算应考虑死亡率的大小。 至此，精算思想正式进入人寿保险领域。 1764年，英国的爱德沃创办了世界上第一家人寿保险公 司——伦敦公平人寿保险社，采用了简姆士·丹松的计算 保费的思想和方法，并设立了专门的精算技术部门，承 担分析保险公司的利润来源、编制生命表、测定人口死 亡率等，把精算技术作为保险经营决策的依据，使得保 险公司的效益稳定、业绩领先。
中国精算教育始于1988年南开大学招收第一届中美联合 培养的精算研究生
1999年中国精算师资格考试正式开始 在我国存在四大保险精算师考试体系：中国保险精算师、
日本保险精算师、英国保险精算师、北美保险精算师。 其中，北美精算师是最具权威的精算师认证体系。
北美精算考试
相关网站：
两个层次：准精算师(ASA)资格和正式精算师 (FSA)资格
保险与精算
Instructor: Wang Shifei E-mail: wangshifei@
Tel: 13813586796 Office: 理科主楼517#
保险精算学概述
保险精算学-利息理论基础
答案
2 A(0) 1000, A(1) 1020, A(3) 1050
I1 A(1) A(0) 20
2 A(2) 1 I 2 A(3) 30
i1
I1 20 2% A(0) 1000 I1 20 d1 1.96% A(1) 1020 I2 30 i2 2.94% A(1) 1020 I2 30 d2 2.86% A(2) 1050
如果应在将来某个时期支付的金额提前到现在 来支付，则支付额中应扣除一部分金额，这个 扣除额称为贴现额。 它相当于资金投资在期初的预付利息。 贴现和利息的区别在于分析的出发点不同： 利息是在本金基础上的增加额，而贴现则是在 累积额基础上的减少。它相当于利率在每一利 息计算期的起点时刻被记入。
例 子
考虑如下的计算实例：
设本金为1元，按半年结算的名义利率为10%，则结算利 率 = 10% / 2 = 5%.
第一次结算结果：1×(1+0.05) = 1.05元，
第二次结算结果：1.05× (1+0.05) =1.1025元，
一年的利息额：1.1025 -1= 0.1025元， 实际的年利率：10.25%.
终值=本金+利息 A = S + I
影响利息大小的三要素：
本金金额 利率 投资时间
二、利息的度量
1. 2.
按照计息时刻划分：
期末计息：利率 期初计息：贴现率
1. 2.
按照积累方式划分
线性积累 （1）单利计息 （2）单贴现计息 指数积累 （1）复利计息 （2）复贴现计息
寿险精算-第一讲-寿险精算概述与利息理论..
六. 保单准备金
保单准备金：为将来的赔付或返还而储备的款 项。
利息理论
第一节 基本概念
汉英名词对照
积累值（终值A）
Accumulated value
现实值（现值P or 本金S） Present value
实质利率
Effective annual rate
单利
Simple interest
一.精算的概念
➢ 精算师的作用：“在给金融投资等问题提供专 家的、恰如其分的解答方面，尤其是解释不确 定的未来事件方面，发挥精算行业的作用并提 高它的声誉。” ——摘自英国精算行业业务报告
金融问题 不确定的 未来的
精算面对的是 “金融”问题。
从非常简单的问题，如确定在一项抵押下每 月的投资是多少，
对趸缴保费的保单，保费收入是确定的。而有些保单， 其保费的缴纳不是采用期初趸缴的形式，而是在一段 时间里多次缴纳，具体的某笔保费缴纳与否取决于被 保险人是否处于生存正态，也就是说，寿险公司的保 费收入取决于被保险人的未来生存时间，保费收入的 现值和保险给付支出的现值都是随机变量，但保费的 大小不是随机变量，是预期现值的函数。为了解这个 方程，我们要假定被保险人的死亡率和未来可实现利 率的值。
二.本课程的研究内容和主要组成 主要研究： 寿险所承保标的的出险规律 寿险产品承诺的给付或赔付的精算现值 趸缴和分期缴付的净保费 责任准备金的提存等
二. 本课程的研究内容和主要组成 主要组成部分：
➢ 利息理论 ➢ 生命表 ➢ 保费厘定 ➢ 保单价值和准备金
三. 利息理论
➢ 利率是重要的经济杠杆之一，它无时无刻不在影响着人们的投 资行为和消费行为，进而影响着国民经济的整体运行。利率也 是我们最为熟悉的经济变量之一。本课将要探讨的主要内容就
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• -----------------------------1
•0
•t
• 贴现 额
如果应在将来某个时期支付的金额提前到现在 来支付，则支付额中应扣除一部分金额，这个 扣除额称为贴现额。
它相当于资金投资在期初的预付利息。
贴现和利息的区别在于分析的出发点不同：
利息是在本金基础上的增加额，而贴现则是在累 积额基础上的减少。它相当于利率在每一利息 计算期的起点时刻被记入。
•本 金：每项业务开始时投资的金额。 •积 累 值：过了一定时间再回收的总金额。
•利 息：积累值减去本金。
•积累函数：在时刻 0 时投资 1 单位本金在时刻 t
•
的积累值，用 a(t) 表示;
•金额函数: 在时刻 0 时投资 C 单位本金在时刻t
•
时的积累值，用 A(t) 表示。
积累函数 金额函数
保险精算学-利息理论基 础
2020年6月1日星期一
课程结构
基础 利息理论基础 生命表基础
核心 保费计算 责任准备金计算
拓展 特殊年金与寿险 资产份额
第 1 章 利息理论基础
利息的度量 利息问题求解的原则 年金 收益率
第一节
利息的度量
一、利息的定义
定义1
利息产生在资金的所有者和使用者不统一的场 合，它的实质是资金的使用者付给资金所有者 的租金，用以补偿所有者在资金租借期内不能 支配该笔资金而蒙受的损失。
按照积累方式划分
1. 线性积累 （1）单利计息 （2）单贴现计息 2. 指数积累 （1）复利计息 （2）复贴现计息
二、利息的度量
按照利息转换频率划分
1. 一年转换一次：实质利率 （实质贴现率） 2. 一年转换 m 次：名义利率 （名义贴现率） 3. 连续计息（一年转换无穷次）：利息效力
三、 利息理论基础
• 1
•-
•0
•1
•2 •… •t
1
• 复利下的现值和累计值
•金 额
•时间
•- •…•-
•-
t
2
1
•
•金
1
额
•0
•1
•2 •… •t •时间
积累函数 金额函数 贴现函数 第n期利息
•本
•终值
金•1------------------------------
•K------------------------------
a(t)的四种情况： 1. 线性金额函数； 2. 非线性函数； 3. 水平的积累额函数； 4. 阶梯上升的积累额函数。
例
设 a(t) = at2+b,且 A(0)=100, A(3)=370, 求
A(5) = 100 时的 A(10).
实际利率
某一度量期的实际利率，是指该度量期内得到的利息金额与 此度量期开始时投入的本金金额之比。实际利率通常用字母i 表示。
• 单位时间以年度衡量时，称为实际贴现率。
实际贴现率为该年内得到的利息金额与此年末的累计 金额之比。简称为贴现率。第n年的贴现率记为dn 。 •一年的贴现率简化表示为d, 有
•单利与复利的现值（多个度量周期）
•t年现值: 我们把现在1单位元在t年前的值或者未来
•
t年1单位元在现在的值称为t年的现值。
•1/a( t)
•-t
•现值
•1 •0
•本金
•
a(•tt)
•累积值
1单位本金经过t年后成为 ; 那么 1单位累计值在t年前的值便为 。
•- •…•-
t
2
• 单利下的现值和累计值
对于多个度量期的情形, 可以分别定义各个度量期的实际 利率。用 表示从投资日算起第n个度量期的实际利率，则
利息率: 单位本金在单位时间内所孳生的利息。
2. 单利与复利(对多个利息周期而言)
单利的计算： 只有本金计息，利息不计息的计息方式。
复利的计算： 本周期的利息由上周期的本利和产生，也就 是利息也将产生利息。
设在0到t时刻，利率i可以变动，如第一个时间段 i=i1,第二个时间段 i=i2….. 如下图所示：
本金 1
利率 i1
i2
i3
时间t 0 12源自3 ……..it t-1 t
• (1) 单利计算 (利息不计息) • 累积函数: a(t)=1+i1+i2+……+it
(2) 复利计算 (利息也计息)
• 累积函数: a(t)=(1+i )(1+i )(1+i )……(1+i )
时间（年） 各年实际利率 时间（年） 各年实际利率
0-2
2%
5-6
3%
2-5
4%
3.现值 （Present Value）
单利与复利的现值（单个度量周期）
已知：本金为1的投资在一个度量周期期末将会有 1+i 积累值，1+i 称为累积因子。
反之：为使一个度量周期期末的积累值为1，在期 初投资的本金金额须是(1+i)-1 ，把 (1+i)-1 称 为贴现因子，记为： ，故有
•本
•终值
金
•1---------------------------a(t)
•C---------------------------A(t)
•0
•t
= C a(t)
积累函数a(t)的性质:
1. a(0) = 1； 2. a(t) 通常为递增函数； 3. 当利息连续产生时，a(t) 是 t 的连续函数； 4. 若 a(0) = C, 则 A(t) = C a(t).
•等利率情况下
单利 累积函数: a(t) = 1+i t 金额函数：A(t) = A(0) (1+ i t) = A(0) a(t)
复利 累积函数: a(t) = (1+ i )t 金额函数：A(t) = A(0) (1+ i )t = A(0) a(t)
例
本金1000元，6年投资如下，分别按单利和复 利，求资本总额以及利息总额。
某人以年利率5%向银行借100元，则银行 将付给借款人100元。1年后，该借款人将 还给银行贷款本金100元，外加5元的利息 ，共计105元。
如果此人不是以年实际利率5%而是以年实际
贴现率5%向银行借100元，为期1年，则银 行
将预收5%(即5元)的利息，而仅付给借款人 95
元。一年后，该借款人将还给银行100元。
定义2：
本金: 每项业务开始时投资的金额。 终值: 业务开始一定时间后回收到的总金额称为
该时刻的终值(或累计值)。 利息: 累计值与本金的差额就是这一时期的利息
金额。
终值=本金+利息 A=S+I
影响利息大小的三要素：
本金金额 利率 投资时间
二、利息的度量
按照计息时刻划分：
1. 期末计息：利率 2. 期初计息：贴现率