圆的有关性质课件.ppt
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解:
23÷2÷20=0.575cm
答: 这棵红衫树的半径每年增 加0.575cm
1.如图：CD为⊙O直径，AE交⊙O于B，且AB=OC， ∠A=20o,求∠DOE的度数.
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石 拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧 形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦 的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
本节课学习的数学知识是圆的轴对 称性和垂径定理及其推论。
活 动 三 练习
1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O 到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
解： OE AB
A
E
B
AE 1 AB 1 8 4
22 在 Rt △AOE中
·
O
AO2 OE2 AE2
AO OE2 AE2 = 32 +42 =5cm
答：⊙O的半径为5cm.
2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的 两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形 ADOE是正方形．
在图中 AB=37.4，CD=7.2，
C
AD 1 AB 1 37.4 18.7,
2
2
A
D
B
OD=OC－CD=R－7.2
R
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
O
OA2=AD2+OD2
即
R2=18.72+（R－7.2）2
AB=37.4m CD=7.2m
解得：R≈27．9（m）
∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦（4） 平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧
上述五个条件中的任何两个条件都 可以推出其他三个结论。
解决求赵州桥拱半径的问题 解 如图用A⌒B表示主桥拱AB ，设A⌒B 所在圆的圆心为O，
半径为R．经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，
O点C，与CA是BA⌒相B交的于中点点D，，C根D 据就前是面拱的高结．论，D 是AB 的中
·O
E B
D
垂径定理：垂直于弦的直径平分 弦，并且平分弦所对的两条弧．
如图１，当直径ＣＤ平分弦ＡＢ时，ＣＤ与ＡＢ垂直 吗？ ⌒AC=B⌒C,A⌒D=B⌒D吗？
C
推论:平分弦(不是直径)的直径垂
O
直于弦,并且平分弦所对的两条弧. A E
B
D
图１
注意
根据垂径定理与推论可知对于一个 圆和一条直线来说。如果具备
证明： OE AC OD AB AB AC
OEA 90 EAD 90 ODA 90
∴四边形ADOE为矩形， AE 1 AC，AD 1 AB
2
2
又 ∵AC=AB
C
∴ AE=AD E
∴ 四边形ADOE为正方形.（
有一个角是直角，并且有一组领边相等
的平行四边形是正方形）
A
·O
D
B
小结:
通过本节课的学习，你掌握了哪些 知识？
圆心确定其位置， 半径确定其大小．
同步练习
1、填空： （1）根据圆的定义，“圆”指的是“圆周 ”， 而不是“圆面”。
（2）圆心和半径是确定一个圆的两个必需条件， 圆心决定圆的 位，置半径决定圆的 大，小二者 缺一不可。
与圆有关的概念
弦
连接圆上任意两点的线段
（如图AC）叫做弦，
B
O·
经过圆心的弦（如图中 的AB）叫做直径．
实践探究
把一个圆沿着它的任意一条直径对折， 重复几次，你发现了什么？由此你能得到 什么结论？
可以发现： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是 它的对称轴．
活动二
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E． 因为圆是轴对称图形，以直径CD为对称轴把⊙O折叠，你能
发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
以OA为半径的圆上。
矩形－－四点共圆
练一练 1.如何在操场上画一个半径是5m 的圆？说出你的理由
首先确定圆心, 然后用5米长的绳子一端固 定为圆心端,另一端系在一端尖木棒,木棒 以5米长尖端划动一周,所形成的图形就是 所画的圆.
根据圆的形成定义
练一练
2 你见过树木的年轮吗?从树木的年轮,可以 很清楚的看出树木生长的年龄,如果一棵20年 树龄的红杉树的树干直径是23cm,这棵红杉 树的半径每年增加多少?.
C
相等线段： AE=BE
弧：A⌒C=B⌒C,
⌒⌒ AD=BD
·O
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半
E
圆重合，点A与点B重合，线段AE与BE重合，A
B
弧AC与弧BC重合，弧AD与弧BD重合。
D
结论：AE=BE,A⌒D=B⌒D,A⌒C=B⌒C
即直径CD平分弦 AB，
并且平分A⌒B和A⌒CB.
A
C
圆的有关概念和性质
百度文库
一石激起千层浪 奥运五环
乐在其中
圆的概念
如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个
端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．
固定的端点O叫做圆心
A
r
线段OA叫做半径
O·
以点O为圆心的圆，记作“⊙O”， 读作“圆O”．
同心圆
圆心相同，半径不同
等圆
半径相同，圆心不同
确定一个圆的要素: 一是圆心， 二是半径．
A
C
弧
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A、B
为端点的弧记作 AB ，读作“圆弧AB”或“弧AB”。
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一
条弧都叫做半圆。在同圆或等圆中，能够互相重合的
弧，叫做等弧。
B
O·
A
C
劣弧与优弧
小于半圆的弧（如图中的 AC ）叫做劣弧；
大于半圆的弧（用三个字母表示，如图中的 ABC ） 叫做优弧。
B
O·
A
C
例题
求证：矩形的四个顶点在以对角线交点为圆心的圆上。
已知：矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O。
求证：A、B、C、D在以O为圆心的同一圆上。
A
O
证明：∵ABCD是矩形 D ∴AO=OC=1 12AC ；
OB=OD= 2 BD；
B
C
AC=BD ∴OA=OB=OC=OD
∴A、B、C、D在以O为圆心
23÷2÷20=0.575cm
答: 这棵红衫树的半径每年增 加0.575cm
1.如图：CD为⊙O直径，AE交⊙O于B，且AB=OC， ∠A=20o,求∠DOE的度数.
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石 拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧 形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦 的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
本节课学习的数学知识是圆的轴对 称性和垂径定理及其推论。
活 动 三 练习
1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O 到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
解： OE AB
A
E
B
AE 1 AB 1 8 4
22 在 Rt △AOE中
·
O
AO2 OE2 AE2
AO OE2 AE2 = 32 +42 =5cm
答：⊙O的半径为5cm.
2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的 两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形 ADOE是正方形．
在图中 AB=37.4，CD=7.2，
C
AD 1 AB 1 37.4 18.7,
2
2
A
D
B
OD=OC－CD=R－7.2
R
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
O
OA2=AD2+OD2
即
R2=18.72+（R－7.2）2
AB=37.4m CD=7.2m
解得：R≈27．9（m）
∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦（4） 平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧
上述五个条件中的任何两个条件都 可以推出其他三个结论。
解决求赵州桥拱半径的问题 解 如图用A⌒B表示主桥拱AB ，设A⌒B 所在圆的圆心为O，
半径为R．经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，
O点C，与CA是BA⌒相B交的于中点点D，，C根D 据就前是面拱的高结．论，D 是AB 的中
·O
E B
D
垂径定理：垂直于弦的直径平分 弦，并且平分弦所对的两条弧．
如图１，当直径ＣＤ平分弦ＡＢ时，ＣＤ与ＡＢ垂直 吗？ ⌒AC=B⌒C,A⌒D=B⌒D吗？
C
推论:平分弦(不是直径)的直径垂
O
直于弦,并且平分弦所对的两条弧. A E
B
D
图１
注意
根据垂径定理与推论可知对于一个 圆和一条直线来说。如果具备
证明： OE AC OD AB AB AC
OEA 90 EAD 90 ODA 90
∴四边形ADOE为矩形， AE 1 AC，AD 1 AB
2
2
又 ∵AC=AB
C
∴ AE=AD E
∴ 四边形ADOE为正方形.（
有一个角是直角，并且有一组领边相等
的平行四边形是正方形）
A
·O
D
B
小结:
通过本节课的学习，你掌握了哪些 知识？
圆心确定其位置， 半径确定其大小．
同步练习
1、填空： （1）根据圆的定义，“圆”指的是“圆周 ”， 而不是“圆面”。
（2）圆心和半径是确定一个圆的两个必需条件， 圆心决定圆的 位，置半径决定圆的 大，小二者 缺一不可。
与圆有关的概念
弦
连接圆上任意两点的线段
（如图AC）叫做弦，
B
O·
经过圆心的弦（如图中 的AB）叫做直径．
实践探究
把一个圆沿着它的任意一条直径对折， 重复几次，你发现了什么？由此你能得到 什么结论？
可以发现： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是 它的对称轴．
活动二
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E． 因为圆是轴对称图形，以直径CD为对称轴把⊙O折叠，你能
发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
以OA为半径的圆上。
矩形－－四点共圆
练一练 1.如何在操场上画一个半径是5m 的圆？说出你的理由
首先确定圆心, 然后用5米长的绳子一端固 定为圆心端,另一端系在一端尖木棒,木棒 以5米长尖端划动一周,所形成的图形就是 所画的圆.
根据圆的形成定义
练一练
2 你见过树木的年轮吗?从树木的年轮,可以 很清楚的看出树木生长的年龄,如果一棵20年 树龄的红杉树的树干直径是23cm,这棵红杉 树的半径每年增加多少?.
C
相等线段： AE=BE
弧：A⌒C=B⌒C,
⌒⌒ AD=BD
·O
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半
E
圆重合，点A与点B重合，线段AE与BE重合，A
B
弧AC与弧BC重合，弧AD与弧BD重合。
D
结论：AE=BE,A⌒D=B⌒D,A⌒C=B⌒C
即直径CD平分弦 AB，
并且平分A⌒B和A⌒CB.
A
C
圆的有关概念和性质
百度文库
一石激起千层浪 奥运五环
乐在其中
圆的概念
如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个
端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．
固定的端点O叫做圆心
A
r
线段OA叫做半径
O·
以点O为圆心的圆，记作“⊙O”， 读作“圆O”．
同心圆
圆心相同，半径不同
等圆
半径相同，圆心不同
确定一个圆的要素: 一是圆心， 二是半径．
A
C
弧
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A、B
为端点的弧记作 AB ，读作“圆弧AB”或“弧AB”。
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一
条弧都叫做半圆。在同圆或等圆中，能够互相重合的
弧，叫做等弧。
B
O·
A
C
劣弧与优弧
小于半圆的弧（如图中的 AC ）叫做劣弧；
大于半圆的弧（用三个字母表示，如图中的 ABC ） 叫做优弧。
B
O·
A
C
例题
求证：矩形的四个顶点在以对角线交点为圆心的圆上。
已知：矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O。
求证：A、B、C、D在以O为圆心的同一圆上。
A
O
证明：∵ABCD是矩形 D ∴AO=OC=1 12AC ；
OB=OD= 2 BD；
B
C
AC=BD ∴OA=OB=OC=OD
∴A、B、C、D在以O为圆心