第十三章-压杆稳定

第十三章 压杆稳定1 基本概念及知识要点1.1基本概念理想受压直杆、理想受压直杆稳定性 、屈曲、 临界压力。

1.2 临界压力细长压杆（大柔度杆）用欧拉公式计算临界压力（或应力）；中柔度杆用经验公式计算临界压力（或应力）；小柔度杆发生强度破坏。

1.3 稳定计算为了保证受压构件不发生稳定失效，需要建立如下稳定条件，进行稳定计算：st crn FF n ≥=－稳定条件2 重点与难点及解析方法2.1临界压力临界压力与压杆的材料、截面尺寸、约束、长度有关，即和压杆的柔度有关。

因此，计算临界压力之前应首先确定构件的柔度，由柔度值确定是用欧拉公式、经验公式还是强度公式计算临界压力。

2.2稳定计算压杆的稳定计算是材料力学中的重要内容，是本课程学习的重点。

利用稳定条件可进行稳定校核，设计压杆截面尺寸，确定许用外载荷。

稳定计算要求掌握安全系数法。

解析方法：稳定计算一般涉及两方面计算，即压杆临界压力计算和工作压力计算。

临界压力根据柔度由相应的公式计算，工作压力根据压杆受力分析，应用平衡方程获得。

3典型问题解析3.1 临界压力mm .hA I i min 551132===mm.aA I i 31632===例题13.1材料、受力和约束相同，截面形式不同的四压杆如图图13－1所示，面积均为3.2×103mm 2，截面尺寸分别为(1)、b=40mm 、(2)、a=56.5mm 、(3)、d=63.8mm 、(4)、D=89.3mm,d=62.5mm 。

若已知材料的E =200GPa ，σs =235MPa ，σcr =304－1.12λ，λp =100，λs =61.4，试计算各杆的临界荷载。

[解]压杆的临界压力，取决于压杆的柔度。

应根据各压杆的柔度，由相应的公式计算压杆的临界压力。

(1)、两端固定的矩形截面压杆，当b=40mm 时λ＞ λP 此压杆为大柔度杆，用欧拉公式计算其临界应力(2)、两端固定的正方形截面压杆，当a=56.5mm 时9.1291055.1135.031=⨯⨯==-i l μλkN 3752121=⋅=⋅=A EA F cr crλπσ0.7d 图13－1kN63510321094121304363=⨯⨯⨯⨯-=⋅=-.).(A F cr cr σmm.d D A I i 2274122=+==kN644102*********2=⨯⨯⨯=⋅=-..A F cr cr σ所以λs <λ<λP 此压杆为中柔度杆，用经验公式计算其临界应力σcr2=304-1.12λ2=304-1.12×92=200.9MPa(3)、两端固定的实心圆形截面压杆，当d =63.8mm 时λs <λ<λP 此压杆为中柔度杆，用经验公式计算其临界应力(4)、两端固定的空心圆形截面压杆，当D =89.3mm ，d =62.5mm 时λ<λs 此压杆为短粗杆，压杆首先发生强度破坏，其临界应力解题指导：1．计算压杆的临界压力时，需要综合考虑压杆的材料、约束、长度、惯性半径，即需要首先计算压杆的柔度，根据柔度值，代入相应的公式计算压杆的临界压力。

当922==ilμλmm d i 95.1541==943==ilμλ1.554==i l μλkN752103210235364=⨯⨯⨯=⋅=-.A P s cr σλ＞ λP 时 压杆为大柔度杆，用欧拉公式计算其临界应力； λs <λ<λP 时 压杆为中柔度杆，用经验公式计算其临界应力； λ<λs 时 压杆为短粗杆，压杆将首先发生强度破坏。

2．由此例题可见，惯性半径越大,柔度越小,承载能力越强。

例题13.2矩形截面杆如图13－2所示，杆两端用销钉连接，在正视图中，连接处允许压杆绕销钉在铅垂面转动，两端约束可简化为两端铰支。

在俯视图中，连接处不允许压杆在水平面内发生转动，两端约束视为两端固定。

已知杆长L =2.3m 截面尺寸b =40mm h =60mm 材料的E =205GPa λP =132 λs =61，试求此杆的临界压力F cr 。

[解]1．若在正视图内失稳（铅垂方向）：μ＝1 , 32h i z =6.132==zz i lμλ2．若在俯视图内失稳（水平面内）：图13－2μ＝0.5 , 32b i y =5.99==yy i lμλz y λλ< 所以，压杆在正视图失稳。

3．计算压杆的临界压力F cr16132λλ>=.z 用欧拉公式计算其临界应力()kN 227622.l EI F cr ==μπ 解题指导：对于这类问题，需首先计算两个方向的柔度，判断压杆首先沿哪个方向失稳。

例题13.3图13-3所示立柱长L =6m ，由两根10号槽钢组成，试问a 多大时立柱的临界荷载F cr 最大，并求其值。

已知: 材料E=200GPa ，σP =200MPa 。

[解]图13－33.106105.3967.03=⨯⨯==-ilμλ02Z Z I I =Y Z λλ=1．惯性矩查型钢表可知，由两根10号槽钢组成的组合截面对形心主惯性轴的惯性矩分别为:当a 值较小时，I y < I z ，λy >λz ，压杆失稳时，以y 轴为中性轴弯曲； 当a 值较大时，I z <I y ，λz >λy ，压杆失稳时，以z 轴为中性轴弯曲；2．当立柱的临界荷载最高，压杆对z 轴和y 轴应有相等的稳定性。

即： 即3．最大临界荷载F cr 压杆的柔度i y =i z =i由于所以，λ＞λP 压杆为大柔度杆 用欧拉公式计算临界压力3.992==PP E σπλ])2([220A a z I I Y Y ++=Y Z I I =2.37)2(0=+az mma 44)2.155.37(2=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛++=A a z I I Y z 20002225.14112.26005.0=⨯==ilμλ例题13.4所示工字钢直杆在温度t 1 = 20℃时安装，此时杆不受力，已知杆长l = 6m ，材料的λP =132 , E = 200GPa ，线膨胀系数α=12.5×10-6 /℃。

试问当温度升高到多少度时杆将失稳。

[解]随着温度的升高，直杆在杆端受到压力F A ＝F B ，当两端压力达到压杆的临界压力即：F A ＝F B ＝F cr 时，压杆将失稳。

1. 杆的工作压力由静不定结构的变形协调条件t F l l ∆=∆tl EAlF A ∆=α tEA F A ∆=α2．压杆的临界压力λ＞λP 压杆为大柔度杆。

用欧拉公式计算临界压力kN 44422==）（l EIF cr μπF BF A 图13-42EI πAC BD70kN60cm 30cm d=4cm α3．压杆失稳时，需要升高的温度值 由 F A ＝F B ＝F cr22）（l EItEA μπα=∆3.2 稳定计算例题13－5： 钢杆AB 如图13－5所示，已知的杆的长度l AB =80cm, 100＝P λ 57＝s λ，经验公式λσ121304.cr －=，n st =2，试校核AB 杆。

[解]1．杆AB 的工作压力：分析梁CBD 的受力，据其平衡方程可得F AB =159kN2．杆AB 的临界压力：压杆的柔度图13－58044801＝＝＝⨯ilμλ s P λλλ>> 用经验公式计算压杆的临界应力：MPa 421480121304..cr =⨯=－σ压杆的临界压力F cr =σcr A =270kN3．计算压杆的工作安全系数，进行稳定校核 由压杆的稳定条件269.1159270=≤===st cr n P P n 所以，AB 杆不安全。

解题指导：请读者思考：若校核整个结构，如何求解？若由AB 杆确定整个结构的许用外载荷，如何求解？例题13.6：材料相同的钢杆AB 、AC ，直径均为d=80cm, 98＝P λ 57＝s λ，经验公式λσ121304.cr －=，n st =5，E=210GPa ，试求许用外载荷[F P ]。

[解]1．确定杆AB 、AC 的工作压力： 由节点A 的受力及平衡方程可得F AB =0.5 F P F AC =0.866 F P2．计算由AB 杆稳定条件确定的许用外载荷：AB 杆的柔度17340803041 0＝＝.cos il ABAB ⨯=μλP AB λλ> 用欧拉公式计算压杆的临界应力：()kN 34822==AB crAB l EIF μπ 由压杆稳定条件550348≥==PAB crAB F .F F n 则许用外载荷F P ≤139.2kN3．计算由AC 杆稳定条件确定的许用外载荷 AB 杆的柔度100408.030sin 41 0＝＝⨯=il ACAC μλP AB λλ> 用欧拉公式计算压杆的临界应力：()kN 8104122.l EIF AC crAC ==μπ由压杆稳定条件5866081041≥==PAC crAC F ..F F n 则许用外载荷F P ≤240.6kN4．确定整个结构的许用载荷由稳定计算结果可知，结构的许用载荷为[F P ]=139.2kN解题指导：对于这类题目，所确定的载荷要确保整个结构所有受压杆件匀不失稳。

由于杆AB 、AC 所受压力和柔度均不相同，需要首先分别求出由两杆确定的各自许用外荷载，然后取其中较小的一个，做为整个结构的许用外载荷。

例题13.7：两端为球铰的压杆，由两根等边角钢铆接而成，型钢的外形尺如图13－7所示。

已知铆钉孔直径为23mm ，压杆长度l =2.4m ，所受外力F P ＝800kN ，n st =1.48，98＝P λ 60＝s λ，经验公式λσ121304.cr －=，材料的许用应力[σ]=160MPa ，试校核压杆是否安全。

[解]图13－7所示压杆有两种可能的失效形式：失稳：整个压杆由直线形式的平衡变为曲线形式的平衡，局部截面尺寸变化对弯曲变形影响很小，个别截面上铆钉开孔对整个压杆的稳定性影响可忽略不计。

因此，在压杆稳定计算中，采用未开铆钉孔时的压杆横截面尺寸（相应的面积称为“毛面积”，用A 表示）；强度失效，在铆钉开孔截面，截面尺寸的削弱，会导致截面上的正应力增大，超过材料的许用应力。

因此需要校核铆钉开孔处横截面上的正应力强度。

在计算中要用开孔后的截面尺寸（其面积称为“净面积”，用A 0表示）。

综上所述，需要首先分别校核压杆的整体稳定和铆钉开孔处正应力强度，才能判断出压杆是否安全。

1．稳定校核压杆失稳时，二等边角钢将作为一整体发生屈曲，并绕组合截面惯性矩最小的形心主轴（z 轴）转动其中I z1、i z1和A 1分别为单根角钢对z 轴的惯性矩、惯性半径和横截面面积，可由型钢表中查得。