圆锥曲线的基本量

专题 11

1、【优质试题高考全国Ⅲ卷文数】设12F F ，为椭圆C :22

+13620

x y =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象

限．若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________.

【答案】(

【解析】由已知可得2

2

2

2

2

36,20,16,4a b c a b c ==∴=-=∴=，

11228MF F F c ∴===，∴24MF =．

设点M 的坐标为()()0000,0,0x y x y >>，则1212001

42

MF F S F F y y =⋅⋅=△，

又1201

442

MF F S y =

⨯=∴=△0y =， 2

20

136

20

x ∴+=，解得03x =（03x =-舍去），

M \的坐标为(．

本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地落实了直观想象、

逻辑推理等数学素养．解答本题时，根据椭圆的定义分别求出12MF MF 、

，设出M 的坐标，结合三角形面积可求出M 的坐标.

2、【优质试题高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2

2

21(0)y x b b

-=>经过点（3，4)，则该

双曲线的渐近线方程是 .

【答案】y =

【解析】由已知得2

2

2431b

-=，解得b =b =

因为0b >，所以b =

因为1a =

，所以双曲线的渐近线方程为y =.

双曲线的标准方程与几何性质，往往以小题的形式考查，其难度一般较小，是高考必得分题.双曲线渐近线与双曲线标准方程中的,a b 密切相关，事实上，标准方程中化1为0，即得渐近线方程.

3、【优质试题高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的右焦点(,0)

F c

，则其离心率的值是________________． 【答案】2

【解析】因为双曲线的焦点(,0)F c 到渐近线b

y x a =±，即0bx ay ±=

bc b c ==，

所以b =

， 因此2

2

2

2

223144a c b c c c =-=-

=，1

2

a c =，2e =． 本题主要考查双曲线的几何性质，考查考生的运算求解能カ和应用意识，考查的核心素养是数学运算.

熟记结论：双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为b .

4、【优质试题高考浙江卷】渐近线方程为x ±y =0的双曲线的离心率是（ ） A

．

2

B ．1

C

D ．2

【答案】C

【解析】因为双曲线的渐近线方程为0x y ±=，所以a b =

，则c ==，所以双曲线的离

心率c

e a

=

=故选C. 本题根据双曲线的渐近线方程可求得a b =，进一步可得离心率，属于容易题，注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查.理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误.

5、【优质试题高考全国Ⅰ卷文数】双曲线C ：22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的一条渐近线的倾斜角为130°，则

C 的离心率为（ ）

A ．2sin40°

B ．2cos40°

C ．

1

sin50︒

D ．

1

cos50︒

【答案】D

【解析】由已知可得tan130,tan 50b b

a a

-

=︒∴=︒，

1cos50c e a ∴======︒， 故选D ．

6、【优质试题高考全国Ⅱ卷文数】若抛物线y 2

=2px （p >0）的焦点是椭圆

22

13x y p p

+=的一个焦点，则p =（ ） A ．2 B ．3

C ．4

D ．8

【答案】D

【解析】因为抛物线2

2(0)y px p =>的焦点(,0)2p 是椭圆2231x y p p +=的一个焦点，所以2

3()2

p p p -=，解得8p =，故选D ．

本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养．解答时，利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于p 的方程，从而解出p ，或者利用检验排除的方法，如2p =时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除A ，同样可排除B ，C ，从而得到选D ．

7、【优质试题高考北京卷文数】已知双曲线2

221x y a

-=（a >0a =（ ）

A B ．4 C ．2

D ．

12

【答案】D

【解析】∵双曲线的离心率c

e a

=

=，c =

=12a =，

故选D.

本题主要考查双曲线的离心率的定义，双曲线中a ，b ，c 的关系，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

8、【优质试题高考天津卷文数】已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l .若l 与双曲线

22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为（ ）

A B

C ．2

D 【答案】D

【解析】抛物线2

4y x =的准线l 的方程为1x =-， 双曲线的渐近线方程为b

y x a

=±， 则有(1,),(1,)b b A B a a ---，

∴2b AB a =，

24b

a =，2

b a =，

∴c e a a

===

故选D.

本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解，解题关键是求出AB 的长度.解答时，只需把

4AB OF =用,,a b c 表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率.

9、【优质试题高考全国Ⅰ卷文数】已知椭圆C ：22

214

x y a +=的一个焦点为(20)，

，则C 的离心率为（ ） A ．

1

3 B ．

12

C ．2

D ．

3

【答案】C