立体几何公式定理大全

立体几何公式定理大全

一、公理定理

（一）平面基本性质

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。 公理2：过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面。

推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。

推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。

推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。

公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。

（二）空间中两条直线的位置关系

空间两直线的位置关系：空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面

1、按是否共面可分为两类：（1）共面：平行、相交（2）异面：

异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。 异面直线判定定理：过平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。 两异面直线所成的角：过空间任意一点引两条直线分别平行于两条异面直线，它们所成的锐角（或直角）就是异面直线所成的角。范围为(]0,90︒︒

两异面直线间距离: 公垂线段(有且只有一条)

2、若从有无公共点的角度看可分为两类：

（1）有且仅有一个公共点——相交直线；（2）没有公共点—— 平行或异面

（三）平行关系

1．线面平行

定义：直线和平面没有公共点

判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行 性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线

平行。

2．面面平行

定义：空间两平面没有公共点

判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。 性质定理引理：两个平面互相平行则其中一个平面内的直线平行于另一个平面。 性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么交线平行。

（四）垂直关系

1．线面垂直

定义：如果一条直线a和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a和平面互相垂直.直线a叫做平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。

判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

2．二面角的有关定义

半平面的定义：平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中每一个部分叫做半平面。

二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。二面角的取值范围为[0°，180°]

二面角的棱：这一条直线叫做二面角的棱。

二面角的面：这两个半平面叫做二面角的面。

二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。

直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角。

3．面面垂直

定义：两平面相交，如果所成的角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。

判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直

性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。

4．三垂线定理相关

平面的斜线：和平面相交但不垂直的直线叫平面的斜线，斜线和平面交点叫斜足。

斜线在平面上的射影：过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫斜线在这个平面上的射影

三垂线定理：平面内的一条直线，如果与穿过这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

三垂线定理的逆定理：如果平面内一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。

斜线和平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。

最小角定理: 斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角

三余弦定理：设A为面上一点，过A的斜线AO在面上的射影

为AB，AC为面上的一条直线，那么

∠OAC,∠BAC,∠OAB三角的余弦关系为：

cos∠OAC=cos∠BAC×cos∠OAB(∠BAC和∠

OAB只能是锐角）