轴对称、等腰三角形经典练习题

【知识点回顾】

轴对称：一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称。这条直线叫作对称轴，两个图形中的对应

点叫做对称点。

轴对称的性质：1、关于轴对称的图形全等。

2、如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。线段垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等

线段垂直平分线的判定：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

等腰三角形的性质

定理：等腰三角形有两边相等；

定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。

推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；

等腰三角形的判定

定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。）

推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。

推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。

推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

【典型例题】

例1. 如图，ABC ∆中， 100=∠=A AC AB ，，BD 平分ABC ∠。

求证：BC BD AD =+。

A

D

1 B 2

E F

C

分析：从要证明的结论出发，在BC 上截取BD BF =，只需证明AD CF =，考虑到21∠=∠，想到在BC 上截取BA BE =，连结DE ，易得，则有FD AD =，只需证明CF DE =，这就要从条件出发，通过角度计算可以得出DE DF CF ==。 证明：在BC 上截取BD BF BA BE ==，，连结DE 、DF 在ABD ∆和EBD ∆中，BD BD 21BE BA =∠=∠=，，

80

DEF 100

A BED DE AD )SAS (EBD ABD =∠∴=∠=∠=∴∆≅∆∴，

又 100A AC AB =∠=， 40)100180(2

1

C ABC =-=∠=∠∴ 20402

1

21=⨯=∠=∠∴ 而BF BD = 80)20180(2

1

)2180(21BDF BFD =-=∠-=

∠=∠∴ AD BD FC BF BC FC

DF DE AD FC

DF C

FDC 404080C DFE FDC 40C 80DFE DF

DE 80DFE DEF +=+=∴===∴=∴∠=∠∴=-=∠-∠=∠∴=∠=∠∴=∴=∠=∠∴

，

即BC BD AD =+

【随堂作业】

1、下列图形中，不是轴对称图形的是 （ ）

A ．有两个内角相等的三角形 B. 有一个内角是45°直角三角形

C. 有一个内角是30°的直角三角形

D. 有两个角分别是30°和120°的三角形 2、下列说法中正确的是 （ ）

① 角平分线上任意一点到角的两边的线段长相等 ② 角是轴对称图形 ③线段不是轴对称图形

④ 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等

A.①②③④

B.①②③

C.②④

D.②③④ 3、小明从镜子里看到镜子对面电子钟的像如图所示 实际时间是 （ ） A ．21：10 B. 10：21 C. 10：51 D. 12：01

4、下列推理中，错误的是 ( )

A ．∵∠A ＝∠

B ＝∠

C ， ∴△ABC 是等边三角形 B ．∵AB ＝AC ，且∠B ＝∠C ， ∴△ABC 是等边三角形 C ．∵∠A ＝60°，∠B ＝60°，∴△ABC 是等边三角形

D ．∵AB ＝AC ，∠B ＝60°，∴△ABC 是等边三角形

5、等腰三角形两边的长分别为2cm 和5cm ，则这个三角形的周长是 ( ) A ．9cm B ．12cm C ．9cm 和12cm D ．在9cm 与12cm 之间

6、若等腰三角形的一个外角为130°，则它的底角为________ .

7、如图，ABC ∆是等边三角形，

BC BD 90CBD ==∠， ，则1∠的度数是________。

C

A 1

D

B

2

3 8、如图，在等腰三角形中，，点

是底边

上一个动点，

分别是

的中点，若

的最小值为2，则

的周长

是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

9、在等边三角形ABC 中，CD 是∠ACB 的平分线，过D 作DE ∥BC 交AC 于E ，若 △ABC

的边长为a ，则△ADE 的周长为 ( )

A ．2a

B ．a 34

C ．1．5a

D ．a

10、如图，在中，，，点为的中点，

于点，则等于（ C ）

A．

B．C．D．

11、如图7—111，在Rt△ABC中，B为直角，DE是AC的垂直平分线，E在BC

上，∠BAE：∠BAC＝1：5，则∠C＝

_________.

12、如图7—112，∠BAC＝30°，AM是∠BAC的平分线，过M作ME∥BA交AC于 E，作MD⊥BA，垂足为D，ME＝10cm，则MD＝_________.

13、已知：如图7—120，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，D为BC中点，E、 F分别为AB、AC上的点，且满足EA＝CF．求证：DE＝DF．

14、已知：如图△ABC中，AB=AC，AD和BE是高，它们交于点H，且AE=BE，

求证：AH=2BD．

【课后作业】

1、如图：等边三角形ABC中，BD＝CE，AD与BE相交于点P，则

H

E

D C

B

A