与二次函数有关的三个专题

二次函数专题一：定义考点

1. 已知y＝(m2+m)x m2−2m−1+(m−3)x+m2是x的二次函数，求出它的解析式

解：由二次函数的定义，可知m2+m≠0，即m≠0，m≠-1

又因为m2-2m-1=2，m2-2m-3=0

解得m=3或m=-1（不合题意，舍去）

所以m=3

故y=12x2+9．

2.y=（m2-2m-3）x2+（m-1）x+m2是关于x的二次函数，则m满足的条件是什么？．

解：∵y是x的二次函数，∴m2-2m-3≠0，∴m≠-1且m≠3，

故满足的条件是m≠-1且m≠3．

3.已知函数y=（m2-m）x2+（m-1）x+m+1．

（1）若这个函数是一次函数，求m的值；

（2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样

解：（1）根据一次函数的定义，得：m2-m=0

解得m=0或m=1 又∵m-1≠0即m≠1；

∴当m=0时，这个函数是一次函数；

（2）根据二次函数的定义，得：m2-m≠0

解得m1≠0，m2≠1∴当m1≠0，m2≠1时，这个函数是二次函数．

4.已知函数y=（m2+m）x m2−2m+2．

（1）当函数是二次函数时，求m的值；；

（2）当函数是一次函数时，求m的值．

解：（1）依题意，得m2-2m+2=2，解得m=2或m=0；又因m2+m≠0，

解得m≠0或m≠-1；因此m=2．

（2）依题意，得m2-2m+2=1解得m=1；

又因m2+m≠0，解得m≠0或m≠-1；

因此m=1．

5.已知函数y=（m2-m）x2+（m-1）x+2-2m．

（1）若这个函数是二次函数，求m的取值范围；

（2）若这个函数是一次函数，求m的值；

（3）这个函数可能是正比例函数吗？为什么？

解：（1）函数y=（m2-m）x2+（m-1）x+2-2m是二次函数，

即m2-m≠0，

即m≠0且m≠1，

∴当m≠0且m≠1，这个函数是二次函数；

（2）函数y=（m2-m）x2+（m-1）x+2-2m是一次函数，

即m2-m=0且m-1≠0

∴m=0

∴当m=0，函数是一次函数；

（3）函数y=（m2-m）x2+（m-1）x+2-2m不可能是正比例函数，

即m2-m=0且2-2m=0且m-1≠0

∴m不存在

∴函数y=（m2-m）x2+（m-1）x+2-2m不可能是正比例函数

6.已知函数y=（m2-m）x2+（m-1）x+m+1．

（1）若这个函数是一次函数，求m的值；

（2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？

解：（1）根据一次函数的定义，得：m2-m=0

解得m=0或m=1

又∵m-1≠0即m≠1；

∴当m=0时，这个函数是一次函数；

（2）根据二次函数的定义，得：m2-m≠0

解得m1≠0，m2≠1

∴当m1≠0，m2≠1时，这个函数是二次函数

7.用一根长为800cm的木条做一个长方形窗框，若宽为x cm，写出它的面积y与x之间的函数关系式，并判断y是x的二次函数吗？

二次函数专题二：图象与解析式

1已知二次函数y=x2+bx+c+1的图象过点P（2，1）。

（1）求证：c=-2b-4；

（2）求bc的最大值；

（3）若二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0），△ABP的面积是，求b的值。

解：（1）将点P（2，1）代入得：

整理得：；

（2）∵

∴

∵-2<0

∴当b=-1时，bc有最大值2。

（3）由题意得：

∴，即

亦即

由根与系数关系得：，

代入得：

整理得：

解得：

经检验均合题意。

2.（1）一次函数的图象如图(1)，求其解析式；

（2）设二次函数的图象如图(2)所示，求此函数的解析式．

解：（1）设y=kx+b(k≠0)，

由图象知过(-1，0)和(0，2)点，

∴，∴，

∴y=2x+2。

（2）设y=ax2+bx+c(a≠0)，

由图象知过A(-3，0)、B(1，0)、C(0，-2)三点，

∴，∴，

∴

3.二次函数y=2（x+2）2﹣1的图象是

A． B C． D ．

二次函数专题三：系数与图象的关系

1．已知抛物线y=ax2+bx+c的一段图象如图所示．

（1）确定a、b、c的符号；

（2）求a+b+c的取值范围

2．（2014•兰州）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x=1，则下列四个结论错误的是（）A．c＞0 B．2a+b=0 C．b2-4ac＞0 D．a-b+c＞0

3．（2014•南充）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图，下列结论：

①abc＞0；②2a+b=0；③当m≠1时，a+b＞am2+bm；④a-b+c＞0；⑤若ax12+bx1=ax22+bx2，且x1≠x2，x1+x2=2．

其中正确的有（）

A．①②③B．②④C．②⑤D．②③⑤

4．（2014•烟台）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（-1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：

①4a+b=0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④当x＞-1时，y的值随x值的增大而增大．

其中正确的结论有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

5．（2014•天津）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，且关于x的一元二次方程ax2+bx+c-m=0没有实数根，有下列结论：①b2-4ac＞0；②abc＜0；③m＞2．

其中，正确结论的个数是（）

A．0 B．1 C．2 D．3

6．（2014•日照）如图，是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分．已知抛物线的对称轴为x=2，与x轴的一个交点是（-1，0）．有下列结论：

①abc＞0；②4a-2b+c＜0；③4a+b=0；④抛物线与x轴的另一个交点是（5，0）；⑤点（-3，y1），（6，y2）都在抛物线上，则有y1＜y2．

其中正确的是（）

A．①②③B．②④⑤C．①③④D．③④⑤