导数的概念教学设计一等奖
导数面试市公开课获奖教案省名师优质课赛课一等奖教案
导数面试教案一、教学目标通过本节课的学习，学生应能够：1. 理解导数的概念和定义；2. 运用导数的定义求函数的导数；3. 掌握常见函数的导数公式和运算法则；4. 解决导数相关的实际问题。
二、教学重点1. 导数的概念和定义；2. 使用导数的定义求函数的导数；3. 常见函数的导数公式和运算法则；4. 导数在实际问题中的应用。
三、教学难点1. 导数的定义和求解过程；2. 函数导数公式的掌握和运用；3. 导数在实际问题中的应用与解决。
四、教学准备1. 教学课件、黑板、粉笔；2. 相关教学案例和练习题；3. 学生的练习册和笔记。
五、教学过程1. 导入（5分钟）介绍导数的概念和重要性，以及导数在实际问题中的应用。
2. 导数的定义和求解（20分钟）通过举例说明导数的定义和求解过程，引导学生理解导数的含义和计算方法。
3. 函数导数的公式和运算法则（25分钟）介绍常见函数的导数公式和运算法则，如常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等，并通过一些例题进行演示和讲解。
4. 导数在实际问题中的应用（25分钟）通过实际问题的案例，讲解导数在物理、化学、经济等领域中的应用，并引导学生运用所学知识解决实际问题。
5. 练习与巩固（20分钟）布置一些练习题，让学生巩固所学内容，并解答学生在实践中遇到的问题。
六、教学总结对本节课所学内容进行总结，并强调导数的重要性和广泛应用。
七、课后作业1. 完成练习册中相关练习题；2. 阅读相关导数的拓展知识，扩大对导数的理解；3. 思考导数在生活中的应用，并整理相关材料。
八、教学反思本节课通过引导学生理解导数的概念和定义，掌握导数的计算方法和运算法则，以及了解导数在实际问题中的应用，达到了教学目标。
在教学过程中，我注意与学生的互动和讨论，激发学生的学习兴趣和思维，增强他们对导数的认识和理解。
但是，在布置练习题和解答学生问题时，需要更加耐心和细心，确保每个学生都得到充分的指导和帮助。
同时，在课堂时间的安排上要更加合理，充分发挥学生的主动性和积极性，增强教学效果。
获奖说课稿：导数的概念
导数的概念(说课稿)人教社·普通高级中学教科书（选修Ⅱ）第三章第一节《导数的概念》导数是近代数学中微积分的核心概念之一，是一种思想方法，这种思想方法是人类智慧的骄傲.《导数的概念》这一节内容，大致分成四个课时，我主要针对第三课时的教学，谈谈我的理解与设计，敬请各位专家斧正.一、教材分析1.1编者意图《导数的概念》分成四个部分展开，即：“曲线的切线”，“瞬时速度”，“导数的概念”，“导数的几何意义”，编者意图在哪里呢？用前两部分作为背景，是为了引出导数的概念；介绍导数的几何意义，是为了加深对导数的理解.从而充分借助直观来引出导数的概念；用极限思想抽象出导数；用函数思想拓展、完善导数以及在应用中巩固、反思导数，教材的显著特点是从具体经验出发，向抽象和普遍发展，使探究知识的过程简单、经济、有效.1.2导数概念在教材的地位和作用“导数的概念”是全章核心.不仅在于它自身具有非常严谨的结构，更重要的是，导数运算是一种高明的数学思维，用导数的运算去处理函数的性质更具一般性，获得更为理想的结果；把运算对象作用于导数上，可使我们扩展知识面，感悟变量，极限等思想，运用更高的观点和更为一般的方法解决或简化中学数学中的不少问题；导数的方法是今后全面研究微积分的重要方法和基本工具，在在其它学科中同样具有十分重要的作用；在物理学，经济学等其它学科和生产、生活的各个领域都有广泛的应用.导数的出现推动了人类事业向前发展.1.3 教材的内容剖析知识主体结构的比较和知识的迁移类比如下表：表1. 知识主体结构比较表2. 知识迁移类比（导数像速度）通过比较发现：求切线的斜率和物体的瞬时速度，这两个具体问题的解决都依赖于求函数的极限，一个是“微小直角三角形中两直角边之比”的极限，一个是“位置改变量与时间改变量之比”的极限，如果舍去问题的具体含义，都可以归结为一种相同形式的极限，即“平均变化率”的极限.因此以两个背景作为新知的生长点，不仅使新知引入变得自然，而且为新知建构提供了有效的类比方法.1.4 重、难点剖析重点：导数的概念的形成过程. 难点：对导数概念的理解.为什么这样确定呢？导数概念的形成分为三个的层次：f (x )在点x 0可导→f (x )在开区间（a ，b ）内可导→f (x )在开区间（a ，b ）内的导函数→导数，这三个层次是一个递进的过程，而不是专指哪一个层次，也不是几个层次的简单相加，因此导数概念的形成过程是重点；教材中出现了两个“导数”，“两个可导”，初学者往往会有这样的困惑，“导数到底是个什么东西？一个函数是不是有两种导数呢？”，“导函数与导数是怎么统一的？”.事实上：（1）f (x )在点x 0处的导数是这一点x 0到x 0+△x 的变化率xy∆∆的极限，是一个常数，区别于导函数. （2）f (x )的导数是对开区间内任意点x 而言，是x 到x +△x 的变化率xy∆∆的极限,是f (x )在任意点的变化率，其中渗透了函数思想. （3）导函数就是导数！是特殊的函数：先定义f (x )在x 0处可导、再定义f (x )在开区间（a ，b ）内可导、最后定义f (x )在开区间的导函数. （4）y = f (x )在x 0处的导数就是导函数)(x f '在x =x 0处的函数值，表示为0|x x y ='这也是求f ′(x 0)的一种方法.初学者最难理解导数的概念，是因为初学者最容易忽视或混淆概念形成过程中几个．．关键词．．．的区别和联系，会出现较大的分歧和差别，要突破难点，关键是找到“f (x )在点x 0可导”、“f (x )在开区间的导函数”和“导数”之间的联系，而要弄清这种联系的最好方法就是类比！用“速度与导数”进行类比.二、目的分析2.1 学生的认知特点. 在知识方面，对函数的极限已经熟悉，加上两个具体背景的学习，新知教学有很好的基础；在技能方面，高三学生，有很强的概括能力和抽象思维能力；在情感方面，求知的欲望强烈，喜欢探求真理，具有积极的情感态度.2.2 教学目标的拟定. 鉴于这些特点,并结合教学大纲的要求以及对教材的分析,拟定如下的教学目标:知识目标：①理解导数的概念.②掌握用定义求导数的方法.③领悟函数思想和无限逼近的极限思想.能力目标：①培养学生归纳、抽象和概括的能力.②培养学生的数学符号表示和数学语言表达能力.情感目标：通过导数概念的学习，使学生体验和认同“有限和无限对立统一”的辩证观 点.接受用运动变化的辩证唯物主义思想处理数学问题的积极态度.三、过程分析设计理念：遵循特殊到一般的认知规律，结合可接受性和可操作性原则，把教学目标的落实融入到教学过程之中，通过演绎导数的形成,发展和应用过程，帮助学生主动建构概念.设计意图：创设情景，提出课题.演示曲线的割线变切线的动态过程，为学生提供一个 联想的“源”，从变量分析的角度，巧妙设问，把学习任务转移给学生.问题：割线的变化过程中， ①△x 与△y 有什么变化？②xy ∆∆有什么含义？③x y ∆∆在△x →0时是否存在极限？3.2 概括抽象设计意图：回顾实际问题，抽象共同特征，自然提出：f (x )在x 0处可导的定义．．，完成“导 数”概念的第一层次.曲线的切线的斜率 抽象⇓舍去问题的具体含义归结为一种形式相同的极限0limx yx∆→∆∆ 即f ′(x 0)= 0lim x yx ∆→∆∆=0000()()lim x f x x f x x∆→+∆-∆（在黑板上清晰完整的板书定义，并要求学生表述、书写，以培养学生的数学符号表示和数学语言表达能力.）设计意图：设置两个探究问题，分析不同结果的原因，并引导学生提出新的问题或猜想，鼓励学生进行数学交流，激发学生进一步探究的热情，从而找到推进解决问题的线索——提出：f (x )在开区间（a ，b ）内可导的定义，完成“导数概念”的第二个层次.. ①研究：函数y =2x +5在下列各点的变化率：（1）x =1，（2）x =2，（3）x =3 ②研究：函数y =x 2 在下列各点的变化率： （1）x =1，（2）x =2，（3）x =3 定义：函数f (x )在开区间．．(a ，b )内每一点可导．．．．．．，就说f (x )在开区间．．．．(a ，b )内可导．．．. 3.4 类比拓展设计意图：回顾“瞬时速度的概念”，渗透类比思想和函数思想．．．．．．．．．．．.让学生产生联想，拓展出：f (x )在开区间（a ，b ）内的导函数的定义，完成“导数”概念的第三层次. 已有认知：物体在时刻t 0的速度： 00000()()limlim .t t s t t s t sv t t∆→∆→+∆-∆==∆∆物体在时刻t 的速度．．00()()lim lim .t t s s t t s t v t t∆→∆→∆+∆-==∆∆新认知：函数f (x )在开区间．．(a ，b )内每一点可导．．．．．．，就说f (x )在开区间．．．．(a ，b )内可导．．．. ⇓点拨：映射→函数对于（a ，b ）内每一个确定的值x 0，对应着一个确定的导数值)(0x f '，这样就在开区间（a ，b ）内构成一个新函数⇓导函数（导数）00()()()limlim x x y f x x f x f x y x x∆→∆→∆+∆-''===∆∆3.5 概念导析设计意图：引导学生用辨析和讨论的方式，反思导数概念的实质，从而突破难点，促成学生形成合理的认知结构.辨析：（1）f ′(x 0)与0(())f x '相等吗？（2）000(2)()limx f x x f x x∆→+∆-∆与f ′(x 0) 相等吗？试讨论:f ′(x 0)与)(x f '区别与联系.反思：“f (x )在点x 0处的导数”，“f (x )在开区间（a ，b ）内的导函数”和“导数”之间的区别和联系.板书：导数概念主体结构示意图f (x )在点x 0处可导↓f (x )在开区间（a ，b ）内可导↓f (x )在开区间（a ，b ）内的导函数↓ 导数3.6 回归体验——体现“导数”的应用价值设计意图：通过随堂提问和讨论例题，增强师生互动，让学生在 “做”中“学”，体验求导的结果表示的实际意义，体验导数运算的作用,体会用导数定义求导的两种方法,产生认可和接受“导数”的积极态度,并养成规范使用数学符号的习惯.想一想：（1）导数的本质是什么？你能用今天学过的方法去解决上次课的问题吗？（第109页练习1、2，第111页练习1、2）有什么感想？（2）“切线的斜率”、“物体的瞬时速度”的本质都是什么？怎样表示？ k =00|)(x x y x f ='='或k =)(x f ' v 0＝00|)(t t s t s ='=' 或 v =)('t s（3）导数还可以解决实际生活中那些问题？你能举例说明吗？例题A 组：①已知S =πr 2，求rS ' ②已知V =34π3R ，求RV ' ③已知y =x 2+3x 求（1）y '；(2) 求y '︱x =2 例题B 组：④已知y =，求y '，并思考y '的定义域与函数在开区间可导的意义3.7引导小结设计意图：引导学生进行自我小结，用联系的观点将新学内容在知识结构、思想方法等 方面进行概括，巩固新知，形成新的认知结构.知识结构：（1）导数的概念（语言表达；符号表示；“f (x )在点x 0处的导数”，“导函数”和“导数” 之间的联系和区别.）；（2）主要数学思想：极限思想、函数思想；（3）用定义求导的方法，步骤； （4）导数的作用.3.8分层作业设计意图：注意双基训练与发展能力相结合,设计递进式分层作业以满足不同学生的多样化学习需求，使他们得到最全面的发展.把教材的第112页的关于“可导必连续”的命题调整为选做题既不影响主体知识建构,又能满足学生的进一步的探究需求.必 做 题:1.教材第114页，第2，3，4题. 2．若f ′(x 0)=a ， （1）求0000()()limx f x x f x x ∆→-∆-∆的值.（2）求000()()lim x f x x f x x x∆→+∆--∆∆的值.思 考 题：1.已知y =x 3 求 （1）y '；（2）y '︱x =0；（3）求曲线在（0，0）处的切线方程.2.讨论y =|x |在x =0处是否可导？ 选 做 题：求证：如果函数y =f (x )在x 0处可导，那么函数y =f (x )在点x 0处连续.四、教法分析依据：循序渐进原则和可接受原则.设计理念:把教学看作是一个由教师的“导”、学生的“学”及其教学过程中的“悟”为三个子系统组成的多要素的和谐整体.教法：支架式过程法，即：a ×b =学习a ：教师启发、诱导、激励、评价等为学生的学习搭建支架，把学习的任务转移给学生.b ：学生接受任务，探究问题，完成任务.a ×b ：以问题为核心，通过对知识的发生、发展和运用过程的演绎、揭示和探究，组织和推动教学.图3：a ×b =“导”×（“学”+“悟”）=“教”ד学”=学习 图4：“学”接 受 | 探 究 |完成4.1 “导” ——引导学生用变量观点去认识△x ，△y 和xy ∆∆, ——引导学生用函数的思想去认识f ′(x 0)向 f ′(x )拓展的过程. ——引导学生联系的观点弄清导数概念之间的区别和联系 “学”——通过具体的导数背景提出问题．．．．. ——通过类比、联想分析问题．．．．. ——通过交流，体验，反思解决问题．．．．“悟”——通过教师的“导”，学生的“学”，“悟”出导数的本质.4.2 借助多媒体显示直观、体现过程的优势来展示割线的动态变化，向学生渗透无限逼近的极限思想，为抽象出导数的概念作必要的准备.4.3 板书设计§3.1.3 导数的概念（主线）1. 定义：函数y=f(x)在x0处可导①研究②研究辨析2. 定义：函数y=f(x)在（a，b）可导例题A组：例题B组：3. 定义：函数y=f(x)在（a，b）内的导函数（导数）4. 区别与联系5. 用导数的定义求f(x)在（a，b）内的导数的方法比较与鉴别6. 小结（知识，方法，思想）区别与联系作业五、评价分析评价模式：围绕教学目标的落实情况，以过程性评价为主，形成性评价为辅，采取及时点评、延时点评与学生自评三结合.既充分肯定学生的思维，赞扬学生的思路，激励学生的思辨，又必须以科学的态度引导学生服从理性，追求真理.主要手段：1．通过“概念导析”，“回归与体验”，进行点评和互评，考察学生对“导数概念”及“导数运算”的掌握情况；考察学生归纳，抽象和概括的能力是否形成，并进行有争对性的及时调整和补充.2．通过引导小结情况，考察学生是否突破了难点,及时调整“问题”导向.3．通过分层作业的完成情况，考察的总体知识结构的同化过程是否完成；通过B组例题和思考题的完成情况，考察学生的数学符号表示和解决实际问题的能力是否形成.调整和补充下一课时的教程.对选做题的完成情况，主要评价优生的个体发展情形.这就是我对这一课时的理解、涉及观点和方法，可能有不当之处，敬请各位专家批评与斧正，谢谢大家！几点说明.本次说课有如下几个基本的特点.1．“以学生为本”的教育观是教学设计的根本指导思想.对学生学习与发展的关系作了认真思考.强调学生的“经历”，“体会”，“感受”的过程学习；从学生的发展出发，通过对学生的“情感”，“态度”，“理性精神”的关注与培养，来优化学生的思维品质.在作业设计方面尽量满足多样化的学习需求.2．在难点的突破上采取了有效的分解策略．．．．．．．.2.1．通过对学生已有的认知结构和学生最近发展区的剖析，充分利用挖掘教材的背景材料，找准了“瞬时速度”与“导函数”，“速度”与“导数”的类比，为学生对导数的理解创设了先机，打开学生从情感上认可和接受．．．.．．．．．．．．．．．．．“．导数．．”．的通道2.2．对导数概念中的几个“重要的关键词．．．．．．”的理解作了恰当的引导和作了精准的导析，搞清它们之间的区别和联系，才能使学生真正的理解“导数”，为学生同化“导数的概念”指明了方向.2.3．在过程分析中设计了“回归体验”，强调注重学生对新知的体验，突出了导数的应用价值，有利于实现情感目标，加快了学生同化概念的进程.2.4．在引导学生小结的过程中，考察学生是否突破了难点，以便进行及时的纠正和补充，分层作业中专门设计突破难点的习题，使突破难点得到了保证.3．形式和内容得到统一，具有很强的操作性.3.1．通过对教材内容、学生情况的分析，较好地解决了“教什么？”--设计中明确指出了知识、能力、情感方面的三维目标；选择了较为恰当的支架过程教法并设计了有操作性的，说出了“怎么教”的具体措施. 教师的组织者、引导者、合作者的身份没有动摇学生的主体地位，更没有否定学生智力发展需要有意识的培养.既不高估学生的理解力，也不抹杀学生所具有创造性.3.2．在教学的第一环节借助了多媒体显示直观、体现过程的优势来展示割线的动态变化，向学生渗透极限思想．．．．．．，为抽象出导数的概念做了积极的准备，这是传统的黑板和粉笔难以做到的.二元一次不等式表示平面区域一、教材分析⒈教材的地位和作用本节课主要内容是新教材高二上第七章第4节第一课时：二元一次不等式表示平面区域。
1.2 导数的概念及其几何意义 一等奖创新教学设计
1.2 导数的概念及其几何意义一等奖创新教学设计5.1.2《导数的几何意义》教学设计一、教材分析：本节课是《普通高中教科书数学》（人民教育出版社、课程教材研究所A版教材）选择性必修第二册中第5章5.1.2节，它是学均变化率，瞬时变化率基础上，进一步从几何意义的基础上理解导数的含义与价值，是可以充分应用信息技术进行概念教学与问题探究的内容，导数的几何意义学习为常见函数的导数计算、研究函数的应用的基础。
因此，导数的几何意义有承前启后的重要作用。
本节课不仅能帮助学生更好地理解导数的概念，并且能让学生认识导数是刻画函数的单调性、变化快慢和极值等性质最有效的工具，是本章的关键内容.教学目标：知识与技能：（1）使学生了解导数的几何意义；体会“数形结合、以直代曲”的数学思想方法。
过程与方法：渗透“逼近”思想，激发学生的学习兴趣，培养学生不断发现、探究新知识的精神.情感与价值：通过揭示割线与切线之间的内在联系，对学生进行辩证唯物主义教育，引导学生从有限中认识无限.三、教学重点、难点：重点：导数的概念，导数的几何意义.难点：导数的概念，曲线切线概念.三、教学过程设计（一）旧知回顾1. 高台跳水运动员的速度设高台跳水运动员起跳高度h与时间t的函数为，则到的平均速度为而在时刻的瞬时速度为2. 抛物线的切线的斜率设抛物线解析式为，则割线的斜率为而在处切线的斜率为3. 导数的概念对于函数，设自变量从变化到，相应地，函数值就从变化到，的变化量为，的变化量为，我们把比值，即叫做函数从到的平均变化率.当时，平均变化率无限接近一个确定的值，即有极限，则称在处可导，并把这个确定的值叫做在处的导数(也称瞬时变化率)，记作：或，即新知学习导数表示函数在处的瞬时变化率，反映了函数在附近的变化情况.那么导数的几何意义是什么？平均变化率表示什么？表示割线的斜率.当点沿着曲线无限接近于点，割线无限接近于一个确定的位置，这个确定的位置的直线称为曲线在的切线.割线的斜率当时，无限接近函数在的导数，导数的几何意义：是函数在处切线的斜率.继续观察：点处的切线比任何一条割线更贴近点附近的曲线，将附近的曲线不断放大，附近的曲线越来越接近于直线.因此，在附近曲线可以用点处的切线近似代替.例1 高台跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数的图象.根据图象，请描述、比较曲线在附近的变化情况.解：用曲线在处的切线斜率，刻画曲线在上述三个时刻附近的变化情况.当时，曲线在处的切线平行于轴，在附近曲线比较平坦；当时，曲线h(t)在处的切线的斜率在附近单调递减, 下降缓慢；当时，曲线h(t)在处的切线的斜率在附近单调递减，但下降迅速.例2 如图是人体血管中药物浓度(单位：mg/mL) 随时间t(单位：min)变化的函数图象.根据图象，估计时，血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1).解：设血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度f(t)在此时刻的导数，从图象看，它表示曲线f(t)在此处切线的斜率.作t = 0.8处切线，并在切线上取两点，如则此刻切线的斜率课堂总结导数的概念对于函数，设自变量从变化到，相应地，函数值就从变化到，的变化量为，的变化量为，我们把比值，即叫做函数从到的平均变化率.当时，平均变化率无限接近一个确定的值，即有极限，则称在处可导，并把这个确定的值叫做在处的导数(也称瞬时变化率)，记作：或，即作业教材第70页，习题5.1复习巩固1，2，3。
导数的概念教学设计
《导数的概念》教学设计1. 教学目标（1）知识与技能目标：掌握导数的概念，并能够利用导数的定义计算导数.（2）过程与方法目标：通过引入导数的概念这一过程，让学生掌握从具体到抽象，特殊到一般的思维方法；领悟极限思想；提高类比归纳、抽象概括的思维能力．（3）情感、态度与价值观目标：通过合作与交流，让学生感受探索的乐趣与成功的喜悦，体会数学的理性与严谨，激发学生对数学知识的热爱，养成实事求是的科学态度．2. 教学重、难点重点：导数的定义和利用定义如何计算导数．难点：对导数概念的理解．3.教学方法1. 教法：引导式教学法在提出问题的背景下，给学生创设自主探究、合作交流的空间，指导学生类比探究形成导数概念的形成．2. 教学手段：多媒体辅助教学4.教学过程（一）情境引入导数的概念和其它的数学概念一样是源于人类的实践。
导数的思想最初是由法国数学家费马（Fermat）为研究极值问题而引入的，但导数作为微积分的最主要的概念，却是英国数学家牛顿（Newton）和德国数学家莱布尼兹（Leibniz）在研究力学与几何学的过程中建立起来的。
17世纪数学家遇到的三类问题：一是光的反射问题。
光的反射和折射在17世纪是一个十分盛行的研究课题，早在公元1世纪，古希腊数学家海伦（Heron）就已经证明了光的反射定律：光射向平面时，入射角等于反射角。
海伦还将该定律推广到圆弧的情形，此时，入射光与反射光与圆弧的切线所成角相等。
那么，对于其他曲线，光又如何反射呢？这就需要确定曲线的切线。
A图 1 光在平面上的反射图 2 光在球面上的反射二是曲线运动的速度问题。
对于直线运动，速度方向与位移方向相同或相反，但如何确定曲线运动的速度方向呢？这就需要确定曲线的切线。
三是曲线的交角问题。
曲线的交角是一个古老的难题。
自古希腊以来，人们对圆弧和直线构成的角——牛头角（图3中AB弧与AC构成的角）和弓形角（图4中AB与ACB弧所构成的角）即有过很多争议。
导数的概念优秀教学设计
导数的概念优秀教学设计导数是微积分中的重要概念，是描述函数变化率的工具。
设计优秀的导数教学，需要结合具体的学生特点和教学环境，以下是一个1200字以上的教学设计。
课程名称：导数的概念课时安排：2个课时教学目标：1.理解导数的概念和意义；2.掌握导数的计算方法；3.能够应用导数计算函数在给定点的切线和法线。
教学准备：1.教师准备黑板和粉笔；2.给学生准备纸和笔；3.提前准备好导数的相关练习题。
教学过程：第一课时（40分钟）：1.导入（5分钟）：教师首先简要回顾一下上节课讲解的函数及其性质，引导学生回忆函数图像的特点和函数值的意义。
2.引入导数的概念（15分钟）：a.教师通过画图的方式，介绍导数的定义，即函数在其中一点的导数定义为函数在该点的斜率，引导学生对导数有初步的直观理解。
b.教师提供一些具体的例子，如从平面图中点A的位置移动到点B的位置所经过的路径，引导学生思考为什么我们需要斜率来描述这一移动过程的速率。
3.导数的计算方法（20分钟）：a.教师通过画图和计算的方式，教学常见函数的导数计算方法，如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
b.教师提醒学生导数是一个极限的概念，需要进行极限运算，以此引导学生理解导数的计算方法。
4.小结（5分钟）：教师进行本节课的小结，回顾本节课讲解的内容，强调导数是函数的变化率，需用斜率来描述。
第二课时（40分钟）：1.复习（5分钟）：教师简要回顾上节课讲解的导数的概念和计算方法，提问学生导数的意义和计算方法。
2.用导数计算切线和法线（15分钟）：a.教师通过具体例子，如给定一条曲线上的一点P，求曲线上其中一点的切线方程和法线方程，引导学生应用导数的概念和计算方法进行求解。
b.教师提醒学生切线和法线的斜率分别等于导数和导数的负倒数，以此理解切线和法线的几何意义。
3.应用题练习（15分钟）：a.教师出示一些应用题，如给定函数的图像，要求求函数在其中一点的切线和法线方程，并计算切点坐标等。
函数的导数教学设计一等奖
函数的导数教学设计一等奖引言：函数的导数是高中数学中一个重要的概念，它在解决实际问题、研究函数的性质以及在其他学科中的应用中都起着重要的作用。
因此，在教学中设计恰当的方法和策略，能够提高学生对函数的导数的理解和应用能力。
本文将介绍一种获得“函数的导数教学设计一等奖”的教学设计，帮助学生深入理解函数的导数概念以及掌握函数求导的方法。
一、教学目标本次教学的目标主要包括：1. 理解函数的导数的概念和意义；2. 掌握常见函数的求导法则；3. 能够应用导数解决实际问题。
二、教学内容与步骤1. 理论讲解首先，通过课堂讲解的方式对函数的导数进行详细解释。
为了使学生能够更好地理解导数概念，可以通过具体的例子引导学生思考。
例如，用一个运动物体的位置函数来解释速度的概念，从而引入导数的概念。
在讲解导数的意义时，可以以函数在某一点的导数为切线斜率来解释导数的几何意义。
2. 基础练习在理论讲解之后，为了巩固学生对导数的理解，可以进行一些基础的导数求解练习。
通过此环节的训练，能够帮助学生掌握常见函数的导数法则，如常数的导数、幂函数的导数、指数函数的导数等。
可以通过给定函数的例子，让学生按照导数法则进行求解，同时要求学生给出解题过程和结果的合理解释。
3. 综合应用在基础练习之后，引导学生将导数的概念和方法应用到实际问题中。
给学生一些与实际生活相关的应用问题，如曲线的切线问题、最值问题等，让学生分析问题，建立函数模型，并通过求导得到解答。
在此过程中，可以引导学生运用导数的概念和几何意义，对问题进行分析和解决。
4. 拓展讨论在学生掌握导数的基本概念和方法之后，可以引导学生进行一些拓展讨论，培养学生的思维能力和创新意识。
例如，可以引导学生思考导数的连续性和可导性的关系，或者引导学生进行一些错误示范分析和纠正。
三、教学媒体与工具1. 板书在讲解导数概念和方法时，可以使用板书来进行图示和公式的记录，以加深学生对知识的理解和记忆。
2. 计算器与计算机在练习和应用导数的过程中，可以引导学生运用计算器和计算机进行计算和绘图，以便更好地观察函数的变化，并对解答进行验证。
导数的概念教学设计一等奖
《导数的概念》教学设计
激趣激疑导入新知
学法指导研探新知➢结合跳水问题，明确瞬时速度的定
义
问题①：如何求出运动员在t=2时刻的
速度（即瞬时速度）？
师：引导提示学生，我们就是想用2s
附近的各个区间内的平均速度去逼近
2s时刻的瞬时速度.课件演示逼近过程.
生：思考，回答.
问题②：分组计算下列表格中,各个区
间内的平均速度v的值？
师：要求先化简v的式子，后求值.
生：分组完成.
师：巡视后汇总计算的结果.
问题③：当Δt趋于0时，平均速度有
什么样的变化趋势？
创设一个个富有挑战性的问
题，层层设疑，组织学生讨论，
逐步把学生推向问题的中心.
从形的角度第一次体会逼近
思想.
指导学生，明确问题二，动手
操作，分组完成.
通过小组合作的方式展开，鼓
励学生动手和动脑，得到直观
数据，从数的角度第二次体会
逼近思想，更好地突出重点、
突破难点.
（附）板书设计。
12【一等奖教案】导数的概念
《导数的概念》教案本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书（A版）数学选修2－2第一章第一节的《变化率与导数》，《导数的概念》是第2课时．教学内容分析1．导数的地位、作用导数是微积分的核心概念之一，它是一种特殊的极限，反映了函数变化的快慢程度．导数是求函数的单调性、极值、曲线的切线以及一些优化问题的重要工具，同时对研究几何、不等式起着重要作用．导数概念是我们今后学习微积分的基础．同时，导数在物理学，经济学等领域都有广泛的应用，是开展科学研究必不可少的工具.2．本课内容剖析教材安排导数内容时，学生是没有学习极限概念的．教材这样处理的原因，一方面是因为极限概念高度抽象，不适合在没有任何极限认识的基础上学习．所以，让学生通过学习导数这个特殊的极限去体会极限的思想，这为今后学习极限提供了认识基础．另一方面，函数是高中的重要数学概念，而导数是研究函数的有力工具，因此，安排先学习导数方便学生学习和研究函数．基于学生已经在高一年级的物理课程中学习了瞬时速度，因此，先通过求物体在某一时刻的平均速度的极限去得出瞬时速度，再由此抽象出函数在某点的平均变化率的极限就是瞬时变化率的的模型，并将瞬时变化率定义为导数，这是符合学生认知规律的．进行导数概念教学时还应该看到，通过若干个特殊时刻的瞬时速度过渡到任意时刻的瞬时速度；从物体运动的平均速度的极限是瞬时速度过渡到函数的平均变化率的极限是瞬时变化率，我们可以向学生渗透从特殊到一般的研究问题基本思想．教学目的1．使学生认识到：当时间间隔越来越小时，运动物体在某一时刻附近的平均速度趋向于一个常数，并且这个常数就是物体在这一时刻的瞬时速度；2．使学生通过运动物体瞬时速度的探求，体会函数在某点附近的平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率，并由此建构导数的概念；3．掌握利用求函数在某点的平均变化率的极限实现求导数的基本步骤；4．通过导数概念的构建，使学生体会极限思想，为将来学习极限概念积累学习经验；5．通过导数概念的教学教程，使学生体会到从特殊到一般的过程是发现事物变化规律的重要过程．教学重点通过运动物体在某一时刻的瞬时速度的探求，抽象概括出函数导数的概念．教学难点使学生体会运动物体在某一时刻的平均速度的极限意义，由此得出函数在某点平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率，并由此得出导数的概念．教学准备1．查找实际测速中测量瞬时速度的方法；2．为学生每人准备一台Ti－nspire CAS图形计算器，并对学生进行技术培训；3．制作《数学实验记录单》及上课课件．教学流程框图教学流程设计充分尊重学生认知事物的基本规律，使学生在操作感知的基础上形成导数概念的表象，再通过表象抽象出导数概念，并通过运用导数概念解决实际问题使学生进一步体会导数的本质．教学的主要过程设计如下：理解平均速度与瞬时速度的区别与联系．感受当△t→0时，平均速度逼近于某个常数．从形式上完成从平均速度向瞬时速度的过渡．由物体运动的瞬时速度推广到函数瞬时变化率，并由此得出导数的定义．理解导数概念，熟悉求导的步骤，应用计算结果解释瞬时变化率的意义．通过师生共同小结，使学生进一步感受极限思想对人类思维的重大影响．（7）提问：这里所测得的真的是瞬时速度吗？（8）提问：怎样使平均速度更好的表示瞬时速度？（9）在学生回答的基础上讲述：提问：观察你自己的实验记录单，你能发现平均速度有什么变化趋势吗？（2）学生操作得出如下结果，完成数学实验记（3）让学生讲他所发现（2）针对上述图示，教师在启发后提问：（。
导数的应用的市公开课获奖教案省名师优质课赛课一等奖教案
导数的应用的教案一、教学目标1. 理解导数的概念及其意义。
2. 掌握导数的计算方法。
3. 能够应用导数求解实际问题。
二、教学重点1. 导数的概念及其计算方法。
2. 导数在实际问题中的应用。
三、教学难点1. 如何应用导数解决实际问题。
2. 导数在不同问题中的应用方式和计算方法。
四、教学准备1. 教案书写工具。
2. 板书工具。
五、教学过程Step 1：导入导数的概念（5分钟）1. 引导学生回顾函数的导数的概念，即函数在某一点的变化率。
2. 提问学生：导数的主要作用是什么？学生回答：导数可以表示函数的变化趋势和速率。
3. 引导学生思考导数在实际生活中的应用场景。
Step 2：导数的计算方法（15分钟）1. 通过示例给出导数的计算方法，如常见的多项式函数、三角函数和指数函数。
2. 讲解导数的基本性质，如和差、积、商的导数、复合函数的导数等。
3. 引导学生进行练习，巩固导数的计算方法。
Step 3：应用导数求解实际问题（20分钟）1. 分组活动：将学生分为若干小组，每组选择一个实际问题进行研究，要求问题涉及导数的应用。
2. 每个小组按照以下步骤来解决问题：a. 确定问题中的关键信息和变量。
b. 建立数学模型，将问题转化为数学表达式。
c. 求解导数并进行计算。
d. 对结果进行解释和分析。
3. 每个小组展示他们的解决方案，并针对问题进行讨论。
Step 4：实际问题的讨论和总结（15分钟）1. 引导学生进行实际问题的讨论，分享各组的解决方案和结果。
2. 总结导数在实际问题中的应用，提醒学生注意导数的作用及局限性。
六、教学延伸1. 引导学生继续研究导数的其他应用场景，如最值、最优化等。
2. 鼓励学生参与数学建模竞赛，提高应用导数解决实际问题的能力。
七、教学反思本节课通过引导学生思考导数的概念和意义，讲解导数的计算方法，并通过实际问题的应用来巩固学习。
通过小组合作和讨论，学生能够更好地理解导数在实际问题中的应用。
教师在教学过程中注意激发学生的思考和创新能力，提高他们应用数学知识解决实际问题的能力。
导数的概念说课稿市公开课一等奖课件名师大赛获奖课件
h0
h
三、证明：若 f ( x)为偶函数且 f (0)存在，则 f (0) 0 .
四、设函数
f
(x)
x k
sin
1 x
,
x
0问
k
满足什么条
0 , x 0
件， f ( x)在 x 0处 (1)连续； （2）可导；
（3）导数连续.
__________________.
二、在下列各题中均假定 f ( x0 ) 存在，按照导数的定 义观察下列极限，分析并指出A 表示什么？
1、 lim f ( x) f ( x0 ) A；
x x0
x x0
2、lim f (h) A，其中 f (0) 0且f (0)存在； h0 h
3、lim f ( x0 h) f ( x0 h) A.
k y x1 2
( 1 ) x
x1 2
1 x2
x1 2
4.
所求切线方程为 y 2 4( x 1), 即 4x y 4 0.
2
法线方程为 y 2 1 ( x 1), 即 2x 8 y 15 0.
42
2.物理意义 非均匀变化量的瞬时变化率.
变速直线运动:路程对时间的导数为物体的 瞬时速度.
x x0 0
f (x) x
f (x0 ) x0
lim
x 0
f (x0
x) x
f (x0 );
2.右导数:
f( x0 )
lim
x x0 0
f (x) x
f (x0 ) x0
lim
x 0
f (x0
x) x
f (x0 );
★ 函数 f ( x)在点x0 处可导 左导数 f( x0 )和右 导数 f( x0 )都存在且相等.
12导数的概念及其几何意义一等奖创新教学设计
12导数的概念及其几何意义一等奖创新教学设计导数是微积分中的重要概念之一，它表示函数在其中一点的变化率。
导数的几何意义是函数在该点的切线斜率。
为了更好地理解导数的概念及其几何意义，我设计了一堂创新教学课程，下面将详细介绍课程设计的内容。
一、教学目标：1.理解导数的概念及其几何意义；2.掌握求导的基本方法；3.能够利用导数的性质解决实际问题；4.培养学生的逻辑思维和几何直观。
二、教学准备：1.投影仪、电脑；2.课件制作，包括导数的定义、求导法则等知识点；3.黑板、粉笔；4.辅助教材，包括练习题、实例分析等。
三、教学过程：1.导入（1）通过问题引入，例如：小明骑自行车在直线上的位置随时间变化的函数是什么？如何描述小明的速度变化？为什么要研究速度的变化？（2）引导学生思考，提问：速度与位置之间有什么关系？如何描述速度的变化？2.导学（1）概念阐述：导数的定义教师通过幻灯片或黑板，详细讲解导数的定义，并解释导数与函数变化率的关系。
（2）几何意义教师通过图形展示，引导学生观察曲线在其中一点的切线，并解释切线斜率即为该点的导数。
3.求导法则的讲解（1）基本求导公式通过例题，讲解求导的基本法则，包括幂函数、指数函数、三角函数等的求导规则。
（2）导数性质教师讲解导数的性质，如导数的和差法则、导数的乘法法则、导数的链式法则等。
4.实例分析（1）通过实例分析，让学生了解导数在实际问题中的应用。
例如：根据速度函数求位移、根据边际成本函数求利润最大值等。
（2）引导学生自主思考，并解决导数应用问题。
通过小组合作，学生们讨论并解决一些导数应用问题，如找出条曲线上切线的最大斜率点。
5.深化练习（1）教师出示一些练习题，并要求学生独立完成。
（2）学生互相批改并分享答案，教师解析正确答案，指导学生如何正确解题。
四、教学评估：1.课堂练习通过课堂练习，测试学生对导数概念及其几何意义的理解，同时检验他们求导的能力。
2.论文写作要求学生写一篇关于导数的论文，要求包括导数的定义、几何意义、求导法则以及实际应用等内容。
陕西省一等奖作品导数的概念教学设计2
导数的概念（第一课时）西安高新第一中学程霖一、教材依据导数的概念是人民教育出版社出版的全日制普通高级中学教科书数学第三册（选修Ⅱ）第三章第一节的内容。
二、设计思想教材分析：导数是微积分的重要部分，是从生产技术和自然科学的需要中产生的；同时，又促进了生产技术和自然科学的发展。
它不但在天文、物理、工程技术中有着广泛的应用，而且在日常生活及经济领域也日渐显示出其重要的功能。
本节内容分了四部分，一是过曲线上一点的切线的斜率；二是非匀速直线运动物体的瞬时速度；三是导数的定义；四是导数的几何意义。
学习切线的斜率与瞬时速度是为了引出导数的概念，介绍导数的几何意义，是为了加深对导数概念的理解。
学情分析：设计理念学生为本，重视思维发生的过程，重视数学概念的形成过程，激发学生的学习兴趣，有意识培养学生的学习毅力。
让学生学习有趣的数学，学习有用的数学，充分体现数学的应用价值、思维价值和人文价值。
三、教学目标1、知识与技能目标：通过两个实例的分析，经历导数概念的形成过程，了解导数概念的实际背景，从而掌握导数的概念。
通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力并领悟极限思想。
2、过程与方法目标：通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法。
3、情感、态度与价值观目标：通过导数概念的学习，体验和认同“有限和无限对立统一”的辩证观点，接受用运动变化的辩证唯物主义思想处理数学问题的积极态度。
四、教学重点导数的概念的形成过程。
五、教学难点对导数概念的理解。
重、难点突破措施：1、以情感人，以理醒人创设情境中：“二新”开题，扣人心弦；层层探究中：分三类探究，步步为营，丝丝入扣，形成概念。
2、数形结合，古今结合传统的计算数据给学生提供了初步的感受和体验；现代的多媒体技术直观、形象展示切线、瞬时速度的形成过程，突破重难点。
3、切合实际，分层提高利用分层训练和分层作业达到因材施教的效果。
六、教学准备计算器、多媒体电脑、课件等。
导数综合市公开课获奖教案省名师优质课赛课一等奖教案
导数综合教案一、教学目标：1. 理解导数的概念及其几何意义。
2. 掌握常见函数的导数法则。
3. 能够应用导数计算函数在给定点的切线斜率和函数的增减性。
4. 能够利用导数解决实际问题。
二、教学准备：1. 教学课件、教材及习题集。
2. 尺子、直尺等绘图工具。
3. 计算器。
三、教学内容与过程：1. 导数的概念及几何意义- 导数的定义：函数f(x)在点x处的导数定义为f'(x)=lim(h→0)(f(x+h)-f(x))/h。
- 几何意义：导数表示函数在某一点上的切线斜率，切线斜率越大，函数在该点的变化越快。
2. 导数的计算法则- 常数函数的导数：常数函数的导数为0。
- 幂函数的导数：幂函数f(x)=x^n的导数为f'(x)=n*x^(n-1)。
- 指数函数的导数：指数函数f(x)=a^x的导数为f'(x)=a^x*ln(a)。
- 对数函数的导数：对数函数f(x)=log_a(x)的导数为f'(x)=1/(x*ln(a))。
- 三角函数的导数：三角函数f(x)=sin(x)的导数为f'(x)=cos(x)，f(x)=cos(x)的导数为f'(x)=-sin(x)。
3. 应用导数计算切线斜率和函数的增减性- 切线斜率的计算：设函数f(x)在点x=a处的导数存在，则f(x)在点x=a处的切线斜率为f'(a)。
- 函数的增减性：若f'(x)>0，则f(x)在该区间上单调递增；若f'(x)<0，则f(x)在该区间上单调递减。
4. 实际问题的解决- 问题1：求函数f(x)=x^2+3x+2在点x=2处的切线斜率和切线方程。
解：首先求导数f'(x)=2x+3，然后代入x=2得到斜率f'(2)=2*2+3=7，切线方程为y-f(2)=7(x-2)。
- 问题2：一个汽车在t时刻以60km/h的速度行驶，求t=3s时汽车的加速度。
导数概念市公开课获奖教案省名师优质课赛课一等奖教案
导数概念教案一、教学目标1. 理解导数的概念及其在数学和物理等领域的应用。
2. 掌握导数的计算方法和常见函数的导数表达式。
3. 能够利用导数解决实际问题。
二、教学准备1. 教材：数学教材及相关参考资料。
2. 教具：黑板、彩色粉笔、教学PPT、计算器。
三、教学过程1. 导入（5分钟）引导学生回顾函数相关概念，如函数的定义、函数图像等。
2. 导数的概念（15分钟）（1）引入导数的概念：导数是研究函数变化率的工具，表示函数在某一点上的瞬时变化率。
（2）通过图像展示导数的意义：在函数图像上，导数表示曲线上某点的切线斜率。
（3）导数的符号表示：函数f(x)在x点的导数用f'(x)表示。
3. 导数的计算方法（30分钟）（1）函数的导数定义：若函数f(x)在点x处有导数，则导数f'(x)等于极限lim(h->0) [f(x+h)-f(x)]/h。
（2）基本导数公式：介绍常见函数的导数表达式，如常数函数、幂函数、指数函数、对数函数等，并给出相应的例题进行讲解和练习。
（3）导数的特性：导数具有线性性质、乘法性质和复合函数的导数法则。
4. 导数与函数图像的关系（20分钟）（1）导数与函数图像的关系：分析导数与函数图像之间的关系，讲解导数为正数时函数单调递增，为负数时函数单调递减。
（2）举例说明极值点与导数的关系：导数为0的点可能是极值点，但不是每个导数为0的点都是极值点。
（3）讲解拐点与导数的关系：通过图像讲解导数为0的点可能是拐点，并给出相应的例题进行讲解和练习。
5. 导数的应用（20分钟）（1）速度与导数的关系：以物理中的运动问题为例，讲解速度与导数之间的关系。
（2）函数图像的平滑程度：通过导数讨论函数图像的平滑程度与导数的关系，引出曲线的凹凸性与导数的相关性。
（3）实际问题的求解：通过实际问题，如利润最大、曲线的最值等，引导学生利用导数概念解决实际问题。
6. 小结与作业布置（5分钟）（1）小结导数的概念、计算方法及应用。
函数的导数学案--优质课竞赛一等奖
函数的导数学案--优质课竞赛一等奖1. 引言导数是微积分中的重要概念之一，掌握好导数的性质和计算方法对于理解函数的变化规律起着至关重要的作用。
本文将通过一些直观的例子和具体的计算方法，帮助学生理解导数的概念和应用。
2. 导数的定义导数代表了函数在某一点的变化速率，可以用极限的概念进行定义。
给定函数f(x)，其导数可以表示为：\[f'(x) = \lim_{{\Delta x \to 0}} \frac{{f(x + \Delta x) -f(x)}}{{\Delta x}}\]其中，\(\Delta x\) 表示自变量的增量。
3. 导数的意义导数具有多种重要的意义。
首先，导数可以用来研究函数的增减性和极值（最大值和最小值）。
当导数大于零时，函数在该点是递增的；当导数小于零时，函数在该点是递减的；当导数等于零时，函数可能存在极值。
其次，导数还可以用来描述函数的切线斜率。
通过求取导数，可以得到函数在某点的切线斜率，从而帮助我们理解函数的曲线特征。
4. 导数的计算方法常见的函数导数计算方法包括：常数函数的导数、幂函数的导数、指数函数的导数、对数函数的导数、三角函数的导数等。
通过掌握这些计算方法，可以更加便捷地计算函数的导数。
5. 导数的应用导数在实际问题中有广泛的应用。
其中，一些常见的应用包括：求解函数的极值问题、判断函数的单调性、求解函数的最优化问题、求解曲线的拐点和渐近线等。
研究导数的应用可以帮助学生在实际问题中运用数学知识，提高问题解决能力。
6. 总结导数作为微积分中的重要概念，在函数的研究和应用中起着重要的作用。
通过本文的研究，希望学生能掌握导数的定义、性质、计算方法和应用，同时能够将导数理论与实际问题相结合，提高数学思维能力和解决问题的能力。
> 注意：本文仅为参考学习使用，具体的导数概念和方法应结合教材内容进行理解和学习。
1导数的概念及其意义课时3》一等奖创新教学设计
1导数的概念及其意义课时3》一等奖创新教学设计《导数的概念及其意义》教学设计课时3导数的几何意义必备知识学科能力学科素养高考考向变化率问题学习理解能力观察记忆概括理解说明论证应用实践能力分析计算推测解释简单问题解决迁移创新能力综合问题解决猜想探究发现创新数学抽象直观想象数学运算【考查内容】1.利用导数的几何意义求曲线在某点处(过某点)的切线方程或者根据斜率求切点坐标2.导数的几何意义和解析几何的知识联系综合解题【考查题型】填空题、解答题导数的概念数学抽象直观想象数学运算导数的几何意义数学抽象直观想象数学运算逻辑推理一、本节内容分析本节的主要知识内容是平均变化率、导数及导数的几何意义,在众多变化率问题中,教材选择了物理中的高台跳水运动的速度问题和几何学中圆锥曲线的抛物线问题,这两类问题来自不同的学科领域,把生活中直观感受的变化率转化为数学中可以度量的变化率,解决问题时都采用由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法.对学生来说,一个是生活中的物理问题,一个是熟悉的数学问题,这样的设计既可以引起学生的学习兴趣,又可以减少因背景复杂而形成对数学知识的干扰.学生学会先求函数的导数,继而求函数在某点处的切线的斜率与切线的方法,通过实际问题的引入加深对几何意义的理解和应用,使学生自然的接受新知识的教授.本节内容是高中数学的主要内容,也是高考考查的热点,本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:核心知识1.变化率问题2.导数的概念3.导数的几何意义直观想象数学抽象逻辑推理数学运算核心素养二、学情整体分析在学习本节内容之前,学生已经学习了速度问题和抛物线问题,知识的引入比较简单直接,所以本节引入难度不是很大,但是大部分学生对极限含义的理解有一定的困难,导数概念的本质是极限,本教材没有介绍极限形式化定义及相关知识,而是通过列表计算,直观把握函数变化趋势,在此过程中学生可以很好的理解并建立导数的概念.本部分知识涉及大量的计算和相关符号,对于学生的计算能力和符号的正确运用的考查也是很关键的.学情补充:______ _________________ _________三、教学活动准备【任务专题设计】1.变化率问题2.导数的概念3.导数的几何意义【教学目标设计】1.了解平均变化率的概念.2.利用学生对瞬时速度的理解,逐步达到对导数概念和基本方法的直观准确的理解.3.理解导数的几何意义,体会导数在刻画函数性质中的作用.【教学策略设计】学生体验用平均速度逼近瞬时速度,割线斜率逼近切线斜率,这是求瞬时速度,求切线斜率的重要方法,也是建立导数概念的重要支持,学生在高中数学学习过程中对“观察、分析、归纳、概括、抽象”的概念建立过程有了较多的体会和认知.教学中利用预设问题激发学生思考,问题的设置体现由特殊到一般的认知规律;在学生充分经历瞬时速度的计算和切线斜率的计算过程后,引导学生归纳概括导数概念,强化学生数学抽象核心素养的形成;通过割线逼近切线,割线斜率逼近切线斜率的过程,引导学生借助直观想象理解导数的几何意义.【教学方法建议】情境教学法、问题教学法,还有________【教学重点难点】重点:1.了解函数的变化率、平均变化率.2.理解瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数概念.3.理解导数的几何意义及“数形结合、以直代曲”的思想方法.难点:1.通过大量实例,使学生学会用数学的度量来描述平均变化率,体会函数的内涵与思想.2.准确理解导数概念,体会极限思想.3.发现、理解并应用导数的几何意义.【教学材料准备】1.常规材料:计算器、多媒体课件、___ ________2.其他材料:______ ____四、教学活动设计教学导入师:通过平均变化率的学习,你知道函数平均变化率的几何意义是什么生:表示割线的斜率.师:导数的概念是什么请写出表达式.生:一般地,如果时,平均变化率无限趋近于一个确定的值,即有极限,则称在处可导,并把这个确定的值叫做在处的导数,记作或,即.师:我们知道,导数表示函数在处的瞬时变化率,反映了函数在附近的变化情况,那么导数的几何意义是什么呢【以学论教】通过复习回顾上节课所学知识,将新旧知识进行融合,学生更自然地过渡到本节课的学习.教学精讲探究1 曲线的切线及切线的斜率师:如图,当点沿着曲线趋近于点时,割线的变化趋势是什么【情境设置】探究曲线的切线观察函数的图象平均变化率.表示什么瞬时变化率表示什么生:表示割线的斜率,瞬时变化率表示在处的切线斜率.【以学定教】利用多媒体展示,使学生经历探究“导数的几何意义”的建构过程,从而准确理解“导数的几何意义”,掌握数形结合,类比讨论的思想方法.【引导学生观察,合作交流,自由发言,教师予以肯定】师:容易发现平均变化率表示割线的斜率.【要点知识】切线的概念我们发现,在曲线上任取一个点,如果当点沿着曲线无限趋近于点时,割线无限趋近于一个确定的位置,这个确定位置的直线称为曲线在点处的切线.师:通过展示,请问:(1)割线的斜率与切线的斜率有什么关系(2)切线的斜率为多少【学生独立观察,自主探究,合作交流】生:割线的斜率是,记,当点沿着曲线无限接近点时,即当无限趋近于函数在的导数,因此函数在处的导数就是切线的斜率,即.师:以上的斜率就是导数的几何意义.师:所以设切线的倾斜角为,那么当时,割线的斜率,称为曲线在点处的切线的斜率.对于这个概念,给我们提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法,并且我们还发现切线斜率的本质与函数在处的导数有关.【学生通过阅读教材,整理笔记,深刻理解切线的斜率.教师提出问题,引导学生继续观察】师:我们现在分组讨论问题:(1)曲线在某点的切线一定存在吗(2)曲线的切线是否与曲线有交点.【学生独立观察,自主探究,合作交流,教师引导,组织学生充分讨论,交流,分组汇报讨论结果,合作总结】曲线在某点处的切线:(1)与该点的位置有关.(2)割线是否有极限,根据位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线.(3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.师:我们学习了导数的几何意义,可以知道,由曲线在一点处的导数能够知道曲线在这点处的切线的特征,反过来,由曲线在一点处的切线斜率,借助图象,能够知道曲线在这点处的导数的特征.【意义学习】学生自主探究、交流教师所设问题,通过对斜率的探究得出导数的几何意义,体现意义学习.【设活动深探究】教师设置问题由浅入深,承上启下,步步过渡引出结论,得到导数与切线的关系,引出对导数的几何意义的学习.【情境设置】导数与切线的关系当,分别说明了什么当时,说明切线与轴正向的夹角为锐角.当说明切线与轴正向的夹角为钝角.当说明切线与轴平行.探究2 导数的几何意义师:我们再来看一下导数的几何意义.【要点知识】导数的几何意义函数在上任意一点处的切线的斜率是在处的导数,即,也就是说,曲线在点,处的切线的斜率是.师:导数的本质是从代数(数)的角度来诠释.若从图形(形)的角度来探究导数的几何意义,那么我们根据导数就可以解决曲线的切线问题,该如何求曲线的切线问题呢生:利用上节课求函数在点处的导数的方法来求曲线在点处的切线的斜率,,再求直线方程.【归纳总结】求曲线在某点处的切线方程的基本步骤1.求出点的坐标.2.求出函数在点处的瞬时变化率,得到曲线在点的切线的斜率.3.利用点斜式求切线方程.师:若在点处切线的倾斜角为,此时切线平行于轴,导数不存在,不能用上述方法求切线的方程,可根据切线的定义直接得切线方程为.【先学后教】先引导学生分析具体现象,教师由浅入深的提出问题,学生跟随教师的点拔逐渐接受新知识的学习,最后师生共同总结归纳出导数的几何意义,培养学生学习的主动性和探究能力.【意义学习】回顾上节课所学知识,总结归纳出求曲线在某点处的切线方程的基本步骤.【概括理解能力】根据以往求直线方程的经验和导数的几何意义,学生可以将求切线的基本步骤进行概括,加深对步骤的理解.师:我们根据所学来看例题.【典型例题】导数几何意义的应用例1 (1)求曲线在点处的切线方程.(2)求函数在点处的切线方程.【学生独立思考,并书写解题过程】生解:(1),所以,所求切线的斜率为2,因此,所求的切线方程为,即.(2)因为.所以,所求切线的斜率为6,因此,所求的切线方程为,即.师:应用举例中我们都是求曲线在某点处的切线方程,有时例题中我们需要求曲线过某点的切线方程,我们要分清“在”和“过”,曲线“在”点处的切线与“过”点的切线的区别如下:曲线“在”点处的切线是指点为切点,若切线斜率存在,则切线斜率为,是唯一的一条切线;曲线“过”点的切线,是指切线经过点,点可以是切点,也可以不是切点,而且这样的直线可能不止一条.【分析计算能力】根据所学知识,分析具体数据,让学生自主的计算,提高对概念的理解和运用.利用导数的几何意义求斜率、求切线方程的基本方法和步骤比较固定,但因为函数的不同,运算难度也不同,教师时刻关注学生计算的处理方式,提高运算技巧.师:接下来看下一题.【典型例题】例2 如图,它表示高台跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数,根据图象,请描述、比较曲线在附近的变化情况.生解:我们用曲线在处的切线斜率,刻画曲线在上述三个时刻附近的变化情况.(1)当时,曲线在处的切线平行于轴,所以,在附近曲线比较平坦,几乎没有升降.(2)当时,曲线在处的切线的斜率,所以,在附近曲线下降,即函数在附近单调递减.(3)当时,曲线在处的切线的斜率,所以,在附近曲线下降,即函数在附近单调递减.师:从图可以看出,直线的倾斜程度小于直线的倾斜程度,这说明曲线在附近比在附近下降的缓慢.师:通过对曲线在附近的变化情况的分析,图象在到的区间内一直是单调递减的,只是下降的缓慢程度有所不同.我们得到如下结论:从求函数在处的导数的过程可以看到,当时,是一个唯一确定的数.这样,当变化时,就是的函数,我们称它为的导函数(简称导数).【先学后教】引导学生分析应用举例,在完成的同时体会类似的相关问题,由教师总结处理办法和相关策略,使学生对于这种问题印象深刻,运用自如.【以学论教】通过总结,学生明确了导函数的概念,明确了函数在点处的导数与导函数之间的区别与联系.探究3 导函数【要点知识】导函数的概念从求函数在处的导数的过程可以看到,当时,是一个唯一确定的数.这样,当变化时,就是的一个函数,我们称它为的导函数.记作:或,即,导函数也简称导数.师:对于我们这节课的概念我们要认真区分,对于函数在点处的导数、导函数、导数,它们之间的区别与联系是什么【概括理解能力】根据这节和上节课的学习,让学生对易混淆的概念进行自主概括和区分,发展学生的概括理解能力.【学生阅读教材,整理笔记,合作交流,互相补充,教师适当点拨】【要点知识】函数在点处的导数、导函数、导数之间的区别与联系1.“导函数”是“函数”.函数在点处的导数就是导函数在点处的函数值,即.所以求函数在一点处的导数,一般是先求出函数的导函数,再计算这点处的导函数值.2.导函数也简称导数,所以“导数”与“导函数”的关系如下:【自主学习】根据本节课的学习和对应用举例的处理,学生可以自主解决本例题,体现以学生为主体的原则,增强学生解决问题的能力.师:接下来我们练习一道例题.【典型例题】导函数的实际应用例3:如图,是人体血管中药物浓度(单位:随时间(单位:)变化的图象.根据图象,估计时,血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到).【教师讲解,学生思考,师生互动,教师板书】师解:血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率,就是药物浓度在此时刻的导数,从图象上看,它表示曲线在此点处的切线的斜率.如图,画出曲线上某点处的切线,利用网格估计这条切线的斜率,可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值.作处的切线,并在切线上取两点,如,则该切线的斜率为:,所以.下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值.0.2 0.4 0.6 0.8药物浓度瞬时变化率0.4 0 -0.7 -1.4师:通过这节课你学习到了什么知识【课堂小结】导数的几何意义1.曲线的切线及切线的斜率.2.导数的几何意义.【设计意图】本节课主要围绕着“利用函数图象直观理解导数的几何意义”和“利用导数的几何意义解释实际问题”两个教学重心展开.先回忆导数的实际意义、数值意义,由数到形,自然引出从图形的角度研究导数的几何意义.然后,类比“平均变化率—瞬时变化率”的研究思路,运用逼近思想定义了曲线上某点的切线,再引导学生从数形结合的角度思考,获得导数的几何意义—“导数是曲线上某点处切线的斜率”.教学评价本部分学习注重以学生为主体,每一个知识的引入和发现都学生自己得出,课堂上教师给予学生充足的思考空间,保证学生书写过程清楚,表达正确,尽量正确使用规范的符号语言.本节课学习从源头上说明导数的意义,让学生充分理解导数知识来源于生活.【设计意图】通过动手实践,学生经历探究导数的几何意义的建构过程,从而准确理解导数的几何意义,应用大量实例,使学生体会思想方法和应用的广泛.培养了学生的概括理解,分析计算能力和数学运算、逻辑推理核心素养.应用所学知识,完成下面各题:1.求函数在附近的平均变化率,取都为,哪一点均变化率最大解析:直接代入公式计算平均变化率,比较大小即可.在附近的平均变化率为;在附近的平均变化率为;在附近的平均变化率为.若,则.由于在附近的平均变化率最大.2.两个学校开展节能活动,活动开始后两学校的用电量、与时间(天)的关系如图所示,则一定有( )A.比节能效果好.B.的用电量在上的平均变化率比的用电量在上的平均变化率大.C.两学校节能效果一样好.D.与自节能以来用电量总是一样大.解析:由图象可知,对任意的,曲线在处的切线比曲线在处的切线要“陡”,所以,比节能效果好,A正确,C错误;由图象可知,,则的用电量在上的平均变化率比的用电量在上的平均变化率要小,B选项错误;由于曲线和曲线不重合,D选项错误.答案:3.已知,若,则的值等于( )A. B. C. D.解析:本题只需根据导数的定义可得,因此,则.答案:4.曲线在点处的切线方程是________.解析:本题利用导数的几何意义求曲线切线的步骤解题.因为,切点为,所以斜率,所以切线方程为,即.答案:【分析计算能力】根据所学平均变化率的知识,分析具体数据,让学生自主的计算,提高对概念的理解和运用.【综合问题解决能力】学生在理解导数概念的基础上进行审题,强化导数几何意义,提高综合问题解决能力.教学反思本节课在正确理解函数平均变化率的问题和导数的概念等知识的基础上,研究导数的几何意义,由于新教材涉及极限,尽量采用形象直观的方式,提高学生的动手能力,注重多媒体的使用和数形结合思想的应用,使学生深刻体会导数的几何意义和“以直代曲”的思想,即在利用导数几何意义研究具体实际问题时,某点附近的曲线可以用过此点的切线近似代替,从而达到“以简单的对象刻画复杂对象”的目的,并通过对例题的研究,让学生体验导数与切线斜率的关系,并感受导数应用的广泛性,应提供学生多实践,多练习的机会,提高计算能力和概念的认知能力.【以学定教】启发并引导学生理解函数变化率、导数的概念和几何意义,熟练掌握导数概念的表示方法和利用导数几何意义求切线的解题步骤,提高综合问题的解决能力.【以学论教】通过教师引导学生阅读教材,归纳探究,解决有关导数问题,课堂上教师采用活动学习、意义学习的策略,使得学生掌握导数概念及其几何意义,达到较好的学习效果.2 / 14。
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《导数的概念》教学设计
激趣激疑导入新知
学法指导研探新知➢结合跳水问题，明确瞬时速度的定
义
问题①：如何求出运动员在t=2时刻的
速度（即瞬时速度）？
师：引导提示学生，我们就是想用2s
附近的各个区间内的平均速度去逼近
2s时刻的瞬时速度.课件演示逼近过程.
生：思考，回答.
问题②：分组计算下列表格中,各个区
间内的平均速度v的值？
师：要求先化简v的式子，后求值.
生：分组完成.
师：巡视后汇总计算的结果.
问题③：当Δt趋于0时，平均速度有
什么样的变化趋势？
创设一个个富有挑战性的问
题，层层设疑，组织学生讨论，
逐步把学生推向问题的中心.
从形的角度第一次体会逼近
思想.
指导学生，明确问题二，动手
操作，分组完成.
通过小组合作的方式展开，鼓
励学生动手和动脑，得到直观
数据，从数的角度第二次体会
逼近思想，更好地突出重点、
突破难点.。