高考数学一轮复习 第五章 平面向量 第2讲 平面向量的基本定理及向量坐标运算 理-人教版高三全册数学

第2讲 平面向量的基本定理及向量坐标运算
一、选择题
1．已知平面向量a ＝(x,1)，b ＝(－x ，x 2
)，则向量a ＋b ( )．
A ．平行于x 轴
B ．平行于第一、三象限的角平分线
C ．平行于y 轴
D ．平行于第二、四象限的角平分线
解析 由题意得a ＋b ＝(x －x,1＋x 2)＝(0,1＋x 2)，易知a ＋b 平行于y 轴．
答案 C
2．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝( )．
A ．(－2，－4)
B ．(－3，－6)
C ．(－4，－8)
D ．(－5，－10)
解析 由a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，得1×m ＝2×(－2)⇒m ＝－4，从而b ＝(－2，－4)，那么2a ＋3b ＝2×(1,2)＋3×(－2，－4)＝(－4，－8)．
答案 C
3．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b －2c,2(a －c )，d 的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d 为
( )．
A ．(2,6)
B ．(－2,6)
C ．(2，－6)
D ．(－2，－6)
解析 设d ＝(x ，y )，由题意知4a ＝(4，－12)，4b －2c ＝(－6,20)，2(a －c )＝(4，－
2)，又4a ＋4b －2c ＋2(a －c )＋d ＝0，解得x ＝－2，y ＝－6，所以d ＝(－2，－6)．故选D.
答案 D
4．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ＝( )．
A.14
B.12
C ．1
D ．2 解析 依题意得a ＋λb ＝(1＋λ，2)，
由(a ＋λb )∥c ，得(1＋λ)×4－3×2＝0，∴λ＝12
. 答案 B
5. 若向量AB =（1,2），BC =（3,4），则AC =( )
A （4,6）
B (-4，-6)
C (-2，-2)
D (2,2)
解析 因为AC =AB +BC =(4,6),所以选A.
答案 A
6．若α，β是一组基底，向量γ＝x α＋y β(x ，y ∈R )，则称(x ，y )为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a 在基底p ＝(1，－1)，q ＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a 在另一组基底m ＝(－1,1)，n ＝(1,2)下的坐标为( )．
A ．(2,0)
B ．(0，－2)
C ．(－2,0)
D ．(0,2)
解析 ∵a 在基底p ，q 下的坐标为(－2,2)，
即a ＝－2p ＋2q ＝(2,4)，
令a ＝x m ＋y n ＝(－x ＋y ，x ＋2y )，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋y ＝2，x ＋2y ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝2.
∴a 在基底m ，n 下的坐标为(0,2)．
答案 D
二、填空题
7．若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1b
的值为________． 解析 AB →＝(a －2，－2)，AC →＝(－2，b －2)，依题意，有(a －2)(b －2)－4＝0，
即ab －2a －2b ＝0，所以1a ＋1b ＝12
. 答案 12
8．设向量a ，b 满足|a |＝25，b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为________． 解析 设a ＝λb (λ＜0)，则|a |＝|λ||b |，
∴|λ|＝|a ||b |
， 又|b |＝5，|a |＝2 5.
∴|λ|＝2，∴λ＝－2.
∴a ＝λb ＝－2(2,1)＝(－4，－2)．
答案 (－4，－2)
9．设OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b,0)，a >0，b >0，O 为坐标原点，若A ，B ，C
三点共线，则1a ＋2b
的最小值为________． 解析 AB →＝OB →－OA →＝(a －1,1)，AC →＝OC →－OA →＝(－b －1,2)．
∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →∥AC →.
∴2(a －1)－(－b －1)＝0，∴2a ＋b ＝1.
∴1a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a ＋2b (2a ＋b ) ＝4＋b a ＋4a b ≥4＋2 b a ·4a b
＝8. 当且仅当b a ＝4a b ，即a ＝14，b ＝12
时取等号． ∴1a ＋2b
的最小值是8. 答案 8
10．在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC ，AD ∥BC .已知点A (－2,0)，B (6,8)，C (8,6)，则D 点的坐标为________．
解析 由条件中的四边形ABCD 的对边分别平行，可以判断该四边形ABCD 是平行四边
形．设D (x ，y )，则有AB →
＝DC →，即(6,8)－(－2,0)＝(8,6)－(x ，y )，解得(x ，y )＝(0，－2)．
答案 (0，－2)
三、解答题
11．已知点A (－1,2)，B (2,8)以及AC →＝13AB →，DA →＝－13
BA →，求点C ，D 的坐标和CD →的坐标． 解析 设点C ，D 的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，
由题意得AC →
＝(x 1＋1，y 1－2)，AB →＝(3,6)， DA →
＝(－1－x 2,2－y 2)，BA →＝(－3，－6)． 因为AC →＝13AB →，DA →＝－13
BA →，所以有 ⎩
⎪⎨⎪⎧ x 1＋1＝1，y 1－2＝2，和⎩⎪⎨⎪⎧ －1－x 2＝1，2－y 2＝2.
解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，y 1＝4，和⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝－2，y 2＝0. 所以点C ，D 的坐标分别是(0,4)、(－2,0)，从而CD →
＝(－2，－4)．
12．已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b 平行？平行时它们是同向
还是反向？
解 法一 k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)，
a －3
b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，
当k a ＋b 与a －3b 平行时，存在唯一实数λ使k a ＋b ＝λ(a －3b )，由(k －3,2k ＋2)＝λ(10，－4)得，
⎩⎪⎨⎪⎧ k －3＝10λ，2k ＋2＝－4λ.解得k ＝λ＝－13，
∴当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，
这时k a ＋b ＝－13a ＋b ＝－13(a －3b )．
∵λ＝－13<0，∴k a ＋b 与a －3b 反向．
法二 由法一知k a ＋b ＝(k －3,2k ＋2)，
a －3
b ＝(10，－4)，∵k a ＋b 与a －3b 平行
∴(k －3)×(－4)－10×(2k ＋2)＝0，解得k ＝－13，
此时k a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13－3，－23＋2＝－13(a －3b )．
∴当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，并且反向．
13．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝(2,1)，A (1,0)，B (cos
θ
，t )， (1)若a ∥AB →，且|AB →|＝5|OA →|，求向量OB →的坐标；
(2)若a ∥AB →，求y ＝cos 2θ－cos θ＋t 2的最小值．
解 (1)∵AB →＝(cos θ－1，t )，
又a ∥AB →，∴2t －cos θ＋1＝0.
∴cos θ－1＝2t .①
又∵|AB →|＝5|OA →|，∴(cos θ－1)2＋t 2＝5.②
由①②得，5t 2＝5，∴t 2＝1.∴t ＝±1.
当t ＝1时，cos θ＝3(舍去)，
当t ＝－1时，cos θ＝－1，
∴B (－1，－1)，∴OB →＝(－1，－1)．
(2)由(1)可知t ＝cos θ－12，
∴y ＝cos 2θ－cos θ＋cos θ－124＝54cos 2θ－32cos θ＋14
＝54⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2θ－65cos θ＋14＝54⎝
⎛⎭⎪⎫cos θ－352－15， ∴当cos θ＝35时，y min ＝－15
. 14．已知O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)及OP →＝OA →＋tAB →
，求
(1)t 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？P 在第二象限？
(2)四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由．
解 (1)OP →＝OA →＋tAB →＝(1＋3t,2＋3t )．若P 在x 轴上，则2＋3t ＝0，∴t ＝－23
；若P 在y 轴上，只需1＋3t ＝0，∴t ＝－13；若P 在第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋3t ＜0，2＋3t ＞0.
∴－23＜t ＜－13
. (2)因为OA →＝(1,2)，PB →＝(3－3t,3－3t )．若OABP 为平行四边形，则OA →＝PB →
，∵⎩⎪⎨⎪⎧ 3－3t ＝1，3－3t ＝2无解．所以四边形OABP 不能成为平行四边形．。