逆用幂的运算性质和乘法公式巧妙解题

逆用幂的运算性质和乘法公式巧妙解题

在整式乘除运算中，有的运用幂的运算性质运算，有的运用乘法公式运算，大量习题都是直接套用公式运算，但有一部分如果直接运用公式不仅计算很繁，而且很难计算准确．如果把公式反过来使用，就会化繁为简，化难为易．

一、逆用幂的运算性质

1．同底数幂乘法与同底数幂除法互为逆运算．

例1 与a M b2的积为4a3m+2b2n+3的单项式是______．

例1是已知积和其中一个因式，求另一个因式；例2是已知除式和商式求被除式，这时可利用乘法与除法的互逆关系来解答．

例3 已知3M=4，3N=5，求3M+n．

本题如果想先求出m，n的值，再代入3M+n中求值，是很难办到的，初一学生更无法进行．但若将同底数幂乘法性质反过来用，就可得到3M+n=3M·3N，这样问题就迎刃而解了．

2．积的乘方与幂的乘方性质的逆用．

例4计算(a-1)2(a2+a+1)2．

这个题若按一般运算顺序，先算乘方，后算乘法，就会很繁杂，但若仔细观察，不难发现，作为两个因式的幂的指数都是2，如果将积的乘方性质反过来运用就会简捷很多．

解：(a-1)2(a2+a+1)2

=[(a-1)(a2+a+1)]2

=(a3-1)2

=a6-2a3+1．

一般地，当两个同指数幂相乘，且底数之积较特殊时，就应考虑到逆向运用积的乘方的性质．

例5 已知a x=2，a y=5，求a3x-2y的值．

该题可先将同底数幂除法性质反过来运用后得到a3x-2y=a3x÷a2y，这时再将幂的乘方性质逆用一次，得到a3x-2y=a3x÷a2y=(a x)3÷(a y)2，再代入已知条件就可求出所求代数式的值．

观察两个幂的底数，-1999和11999

呈互为负倒数关系，两者之积为-1，于是可联想到将积的乘方性质逆用，但两个幂指数又不一样，怎么办呢？再将同底数幂乘法性质你用一次，就可以得到1998199811(1999)()19991999

-⨯⨯，这样问题就巧妙地被解决了．

二、逆用乘法公式

例7 运用乘法公式，计算：

=10x ．

例8 计算：

直接相乘很难求得结果，根据各因式的特点，将乘法的平方差公式逆用就可化难为易，巧妙地求出结果．

综上所述，逆用公式解题是逆向思维训练的具体体现．重视逆向思维的训练，不仅可以深化对基础知识的理解，而且可以拓宽解题渠道，提高灵活应变能力．