黄金分割法 小论文

黄金分割法在无约束多元优化问题中的应用学号：13721308 姓名：江旭辉2014年3月8日【摘要】将一维优化方法中的黄金分割法，推广应用于无约束多元优化问题的求解中，给出了具体额算法实施过程，并与目前已有的几种确定性求导寻优法进行了比较；算例结果表明，这一算法是有效实用的。

【关键词】黄金分割法；无约束多元化问题；求导寻优法Application of 0.618 method in solving unconstrained multiplevariable optimizationAbstract：The method of 0.618 is introduced to solve unconstrained multiple variable optimization．And the concrete arithmetic process is given．The comparison of the method here to several definite differential optimization method s is done．The results of the given examples show that the method here is effective and succeeding．Keywords：0.618 method ；unconstrained multiple variable optimization；differential optimization1引言无约束多元优化问题是应用数学领域中的一类重要问题，目前求解它的方法已有很多。

例如，有确定性求导寻优法、直接寻优法和现代优化方法等。

综合来看，确定性寻优法往往容易陷于局部寻优，而现代优化方法却具有全局收敛性，但现代优化方法计算量大、收敛速度慢及计算些许不稳定的特点又限制了它的推广应用，因而将确定性寻优法的快速收敛性和随机搜索技术的全局收敛性结合起来已呈目前全局寻优研究的主流。

黄金分割法作为一维优化方法中的一种直接寻优方法，以算法简单、编程容易及对目标函数的性态要求不高为特点。

如果将其应用于无约束多元优化问题的求解中，不仅具有理论意义，而且也有助于扩展无约束多元优化问题的求解思路。

本文正是在此理解基础上，将黄金分割法推广应用到了无约束多元优化问题的求解中，并通过算例说明了这种推广是有意义的。

2黄金分割法的基本原理与步骤一维搜索是解函数极小值的方法之一，其解法思想为沿某一已知方向求目标函数的极小值点。

一维搜索的解法很多，这里主要采用黄金分割法（0.618法）。

该方法用不变的区间缩短率0.618代替斐波那契法每次不同的缩短率，从而可以看成是斐波那契法的近似，实现起来比较容易，也易于人们所接受。

黄金分割法是用于一元函数f(x)在给定初始区间[a,b]内搜索极小点x min的一种方法。

它是优化计算中的经典算法，以算法简单、收敛速度均匀、效果较好而著称，是许多优化算法的基础，但它只适用于一维区间上的凸函数，即只在单峰区间内才能进行一维寻优，其收敛效率较低。

2.1 算法流程图其基本原理文献[5]介绍的是：依照“去劣存优”原则、对称原则、以及等比收缩原则来逐步缩小搜索区间。

具体步骤是：在区间[a ，b]内取点：a 1 ，a 2 把[a ，b]分为三段。

① 如果f(a 1)>f(a 2)，令a=a 1,a 1=a 2,a 2=a+0.618*(b-a)； ② 如果f(a 1)<f(a 2) ，令b=a 2，a 2=a 1,a 1=b-0.618*(b-a)；如果∣(b −a)b ⁄∣和∣(y 1−y 2)y 2⁄∣都大于收敛精度ε重新开始循环。

因为[a ，b]为单峰区间，这样每次可将搜索区间缩小0.618倍，处理后的区间都将包含极小点的区间缩小，然后在保留下来的区间上作同样的处理，如此迭代下去，将使搜索区[a ，b]逐步缩小，直到满足预先给定的精度时，即获得一维优化问题的近似最优解。

2.2 用mat lab 编写源程序编写程序，并且输出每次的搜索区间。

则源程序如下： golden 程序function [x ，fval]=golden1(f ，a ，b ，eps) k=0;a1=a+0.382*(b-a);%插入点的值 a2=a+0.618*(b-a); y1=f(a1); y2=f(a2);while abs(b-a)>=eps%循环条件,eps 为收敛精度if y1>=y2%比较插入点的函数值的大小 a=a1;%缩短搜索区间 a1=a2; y1=y2;a2=a+0.618*(b-a); y2=f(a2); elseb=a2; a2=a1; y2=y1;a1=b-0.618*(b-a); y1=f(a1); end k=k+1;end%停止迭代x=(a+b)/2;%取最后两点的平均值作为极小点的数值近似解 fval=f(x);fprintf('k=\n');%显示迭代次数 disp(k);end3 黄金分割法的推广由于黄金分割法适用于单峰函数，因而在这里，本文讨论的问题限于形式 min x∈Df (X ),D =∏[a k ,b k ]n k=1, (1)其中X=（x 1,x 2,…,x n )T ,D 是问题的搜索区域，f(X)是问题的目标函数。

同时，f(X)在搜索区域内是凸函数或拟凸函数，即对于∀X 1，X 2∈D ,目标函数f （X ）分别有如下不等式成立： f [αX 1+(1−α)X 2]≤αf (X 1)+(1−α)f (X 2),0≤α≤1; (2) f [αX 1+(1−α)X 2]≤max {f (X 1),f (X 2)} (2)′ 将黄金分割法推广应用于无约束多元优化问题的求解中，具体思路如下： 假设进行到第 j 次迭代，问题搜索区域为D (j)=∏[a k (j ),b k (j)]n k=1,其中j=0,1,2,….按照黄金分割法的思想，对问题中n 个坐标分量分别在其各自搜索区间[a k (j ),b k (j)],k=1,2,…，n 内找出一对验算点λk (j),μk (j)(k=1,2,…,n; j 是迭代次数)，通过考察两个验算点处的目标函数值的大小来确定相应新的迭代区间．但麻烦的是在搜索区域D (j), j=0,1,2,…（在n 维空间中，D (j)可看做一个超立方体）的边界中对自变向量分量x k , k=1,2,…,n 来说具有同一变化范围[a k (j ),b k (j)]的边界有2n−1条。

相对于自变向量分量x k ,k=1,2,..,n 来说，理论上这2n−1条边界均需要按照黄金分割法的思路寻求新的迭代空间，但这无疑会大大增加计算量。

为了克服这一点，我们采用如下的做法：按照黄金分割法的思想，对于x k ,，k=1,2,…n 的2n−1条边界线中的每一条边界线均可计算出 λk (j)=a k (j)+(1−α)(b k (j )−a k (j ));μk (j)=a k (j)+α(b k (j )−a k (j )). (3) k=1，…，n; α=0.618.当 f(x 1m ，…，x k−1,m ，λk (j )，x k+1,m ，…，x nm )>f(x 1m ，…，x k−1,m ，μk (j )，x k+1,m ，…，x nm )时，令a km (j+1)=λk (j);b km (j+1)=b k (j);λk(j+1)=μk (j);k =1，…，n ；m =1，…，2n−1. (4) 否则，当0≤f(x 1m ，…，x k−1,m ，λk (j )，x k+1,m ，…，x nm )≤f(x 1m ，…，x k−1,m ，μk (j )，x k+1,m ，…，x nm )时，则令a km (j+1)=a k (j)；b km (j+1)=μk (j)；μk(j+1)=λk (j)；k =1，…，n ；m =1，…，2n−1. (5) 其中x km 为a k (j)或b k (j )，这要由m 的具体编排而定。

由此对x k ，k =1,2，…，n 而言便可分别确定出2n−1个子区间[a km (j+1),b km (j+1)]，k =1，…，n ；m =1，…，2n−1，最后，由它们的交集即可确定出新搜索区域中x k ，k =1,2，…，n 的变化区间，即x k ∈[a km (j+1),b km (j+1)]=∏[a km (j+1),b km (j+1)]，k =1，…，n 2(n−1)m=1. ( 6 )但是，由黄金分割法知道，x k ，k =1,2，…，n 的新的变化区间[a km (j+1),b km (j+1)] 只可能有三种结果： （1）[λk (j)，b k (j)]；（2）[a k (j)，μk (j)]；(3) [λk (j)，μk (j)]. 因此，从计算时间（收敛速度）和目标函数凸性的角度考虑，对每个x k ，k =1,2，…，n 全部确定出其对应的2n−1个子区间[a km (j+1),b km (j+1)]，k =1，…，n ；m =1，…，2n−1是不必要的，这一点对于n 较大的场合将体现得很明显。

为此，做如下处理，即对每个x k ，k =1,2，…，n 只考虑边界线 P k 和Q k 中的一个，其中：P k ={(x 1，x 2，…，x n )∣∣x k ∈[a k (j )，b k (j )]；x i =a i (j )，i =1，2，…，n ；i ≠k }，（7） Q k ={(x 1，x 2，…，x n )∣∣x k ∈[a k (j )，b k (j )]；x i =b i (j )，i =1，2，…，n ；i ≠k }. (8)下面以边界线 P k ，k =1，…，n 为例给出本文推广黄金分割法的具体算法过程：（1） 给出计算精度ε；j =0；初始搜索区域D (j)=∏[a k (j )，b k (j )]n k=1，并假定X （min ）∈D (j). （2） 计算并判断是否有max 1≤k≤n(b k (j )−a k (j ))≤ε，或者{∑[n k=1b k (j )−a k (j )]2}1/2≤ε. （3） 若满足上述条件，则X(min )=(a 1(j )+b 1(j )2，a 2(j )+b 2(j )2，…，a n (j )+b n(j )2)T ；否则，分别做如下计算：λk (j)=a k (j)+(1−α)(b k (j )−a k (j ));μk (j)=a k (j)+α(b k (j )−a k (j )). k=1，…，n; α=0.618. 并做下面的计算和比较：① 当φ(a 1(j )，…，a k−1(j )，λk (j )，a k+1(j )，…，a n (j ))>φ(a 1(j )，…，a k−1(j )，μk (j )，a k+1(j )，…，a n (j ))时，令a k(j+1)=λk (j);b k(j+1)=b k (j);λk(j+1)=μk (j)，j =j +1；转步骤（2）；② 当φ(a 1(j )，…，a k−1(j )，λk (j )，a k+1(j )，…，a n (j ))≤φ(a 1(j )，…，a k−1(j )，μk (j )，a k+1(j )，…，a n (j ))时，令a k(j+1)=a k (j)；b k(j+1)=μk (j)；μk(j+1)=λk (j)，j=j+1；转步骤（2）。