已知三角函数图象求解析式方法例析

已知三角函数图象求解析式方法例析

已知函数y ＝Asin(ωx+φ)+k(A ＞0，ω＞0)的部分图象，求其解析式，与用“五点法”作函数y ＝Asin(ωx+φ)＋ｋ的图象有着密切联系，最主要的是看图象上的“关键点”与“特殊点”．本文就一般情况例析如下．

一、A 值的确定方法：A 等于图象中最高点的纵坐标减去最低点的纵坐标所得差的一半．

二、 ω值的确定方法：

方法１.在一个周期内的五个“关键点”中，若任知其中两点的横坐标，则可先求出周期Ｔ，然后据ω＝T

π2求得ω的值．

方法２：“特殊点坐标法”。特殊点包括曲线与坐标轴的交点、最高点和最低点等。在求出了A 与φ的值之后，可由特殊点的坐标来确定ω的值．

三、 φ值的确定方法：

方法１：“关键点对等法”．确定了ω的值之后，把已知图象上五个关键点之一的横坐标代人ωx+φ，它应与曲线ｙ＝sinx 上对应五点之一的横坐标相等，由此可求得φ的值．此法最主要的是找准“对等的关键点”，我们知道曲线y ＝sinx 在区间[0，2π]上的第一至第五个关键点的横坐标依次为0、2π、π、23π

、2π,若设所给图象与曲线y=sinx 上对应五点的

横坐标为x J (J ＝1,2,3,4,5), 则顺次有ωx 1+φ＝0、 ωx 2+φ

＝2π、ωx 3+φ＝π、ωx 4+φ＝23π、ωx 5+φ＝2π,由此可求出φ的值。

方法2：“筛选选项法”，对于选择题，可根据图象的平移方向经过筛选选项来确定φ的值． 方法3：“特殊点坐标法”．（与2中的方法2类同）．

四、 k 值的确定方法： K 等于图象向上或向下平移

的长度，图象上移时k 为正值，下移时k 为负值．

另外A 、ω、φ的值还可以通过“解方程（组）法”来求得． 例1.图1是函数ｙ＝2sin （ωx+φ）(ω＞０，φ≤2

π)的图象，那么正确的是（ ）

Ａ.ω＝1110, φ＝6π Ｂ．ω＝1110, φ＝－6π

Ｃ．ω＝２，φ＝6π

Ｄ．ω＝２，φ＝－6

π , 解：可用“筛选选项法”． 题设图象可看作由y ＝2sin ωx 的图象向左平移而得到，所以φ＞0

排除B 和D ，由A,C 知φ＝6π； ω值的确定可用“关键点对等法”， 图1

因点（12

11π,0）是“五点法”中的第五个点， ∴ω·1211π

+6

π＝2π 解得ω＝２， 故选C ． 例2.图2是函数y ＝Asin(ωx+φ)图象上的一段,

（A ＞0，ω＞0,φ∈（0，2

π））,求该函数的解析式．

1211π1211πx y 0 2

-

解法一：观察图象易得A ＝∴T ＝2×（87π-83π）＝π，

∴ω＝ππ2＝2. ∴y ＝2sin(2x+φ).

下面用“关键点对等法”来求出 图2

φ的值,由2×83π+φ＝π（用“第三点”） 得φ＝4π

∴所求函数解析式为y ＝2sin(2x+4π)．

说明：若用“第二点”，可由2×8π

+φ＝2π

求得φ的值；

若用“第五点”，可由2×87π+φ＝2π求得φ的值．

解法二：由解法一得到T= π，ω=2后，可用“解方程组法”

求得φ与A 的值，∵点（0，2）及点（8

3π，0）在图象上， ∴ Asin φ＝2 (1)

Asin(2×83π+φ)＝0 (2)

由(2)得

φ＝k π-43π(k ∈Z)， 又φ∈（0，2π)， ∴只有K ＝1，得φ＝4π ， 代人（1）得A ＝2.

∴所求函数解析式为 y ＝2sin(2x+4π)．

例3.已知函数y ＝Asin(ωx+φ) (A ＞0，ω＞0, φ＜2π

)图象

0 1 4 2

x y 上的一部分如图3所示，则必定有（ ）

(A) A=-2 （B ）ω＝1 （C ）φ＝3π （D ）K ＝-2

解：观察图象可知 A ＝2,k ＝2. ∴y ＝2sin(ωx+φ)+2

下面用“解方程组法”求φ与ω的值.

∵ 图象过点（0，2+3）、（－6π，2） ∴ 2+3=2sin φ+2 图32=2sin(-6πω+φ)+2 解得ω＝2，φ＝3π 故选C. 例4.如图4给出了函数y ＝Asin(ωx+φ)(A ＞0，ω＞0, φ ＜2

π)图象的一段，求这个函数的解析式． 解：由图象可知 T=2×(4-1)=6,

∴ω＝62π＝3π，∴y ＝2sin （3πx +φ) 下面用“特殊点坐标法”求φ，

∵ 图象过点（1，2）

∴2＝2sin(3π×1+φ)， 又 φ ＜2

π 图４ ∴只有φ＝6π

∴所求函数解析式为y ＝2sin(3πx +6π). 说明：本题φ的值也可由“关键点对等法”来求得，如

ｘ

２

ｙ ０ ４ 6π

-２

令3π×1+φ＝2π 或3π×4+φ＝23π 等均可求得φ的值．