第三章 内积空间、正规矩阵、Hermite矩阵教材

正交向量组： 向量组 i 内的向量两两正交。
标准化的过程
标准正交向量组： 若正交向量组中的向量都是单位向量 的话，则说向量组是标准正交向量。
如果一组向量不仅正交，而且自己与自己的内积为1，那么称这样 的向量组为标准正交向量组。
正交向量组的性质：
向量组 i 是正交向量组
(i , j )＝0, (i j)
(1, 2,
x1
,
n
)
x2
x n
i1 i i
xn
X
＝(1, 2,
y1
,
n
)
y2
y n
i1 i i
yn
Y
(, )
n i,
j
1
xi
y
j
(i
,
j
)
gij
g11 g12
G
g21
g22
由定义中法则1(, ) (,)得g ji gij
gn1 gn2
( j , i )＝0(i j时)
k j ( j , j )＝0
k
＝0,
j
即kj＝0,(j 1, 2,
, n)
正交向量组线性无关 那么线性无关向量组是否正交呢？ 否
线性无关组的正交化：
(1,2, ,r )线性无关
(1) : 1＝1
(2)
:
2＝ 2
(2 , 1) (1, 1)
1
(3)
:
3＝
3
( 3 , (1,
(1) ( , k ) k(, )
(2) (, ) (, ) (, )
(3) (
s i1
kii
,
)
s i1
ki
(i
,
)
(4) (,
s i1
ki i
)
s i1
ki
(
,
i
)
综合起来说，酉空间的性质均适用于欧氏空间，而欧氏 空间的性质并不完全适用于酉空间。
设V是一酉空间，它的基是 1, 2, , n
g1n
g2n
gnn
( , ) X T GY
(GT ) G
度量矩阵
定义1.3: 复共轭转置矩阵
AH
T
A
复共轭转置矩阵性质
欧氏空间中的转置对应于酉 空间中的复共轭转置，所以，
欧氏空间中的很多定理可以
(1)AH AT
(2)( A B)H AH BH (3)(kA)H k AH
第三章 内积空间、正规矩阵、 Hermite矩阵
第1节 欧氏空间、酉空间
定义1.1: 设V是实数域R上的n维线性空间， 定义如下法 则，称为内积。
, V
(, ) R
wk.baidu.com
如果有，
(1) (, ) (,)
(2) (k, ) k(, ), k R
(3) ( , ) (, ) (, )
1 ) 1 )
1
( (
3 2
, ,
2 2
) )
2
(r)
:
r＝r
(r , 1) (1, 1)
1
(r , 2 ) (2, 2)
2
(r , r1) (r1, r1)
r 1
(1,2, , r )正交
( 1 , 2 , , r )标准正交
1 2
r
正交基，标准正交基
正交向量组是无关向量组。既然是无关的，那么自然而 然可以想到，拿他们来构成线性空间的一组基，这组基称为 标准正交基。
非负性 齐次性
(3)
三角不等式
(4) (, ) 柯西许瓦兹三角不等式
欧氏空间，酉空间这两类空间之所以被提出，是为了将 度量概念引入线性空间中，所以需要关注度量的基本性 质。
向量的夹角、距离、单位向量
cos(, ) (, )
向量的夹角
d(, )
向量的距离
1
单位向量
, V
(, ) C
如果有，
(1) (, ) ( , )
(2) (k, ) k(, ), k C
(3) ( , ) (, ) (, )
(4) (,) 0, 当且仅当 0时(,)＝0
那么称V是n维复欧氏空间，简称酉空间。 复数域与实数域条件稍有区别，即引入了共轭运算。
酉空间的性质
1
向量的单位化
例3.1.1 ~例3.1.7
第2节 标准正交基、Schmidt 正交化方法
定义2.1: 设V是酉（欧氏）空间，对 , V 若, (, )＝0
那么称向量, 正交，记为
在解析几何中，垂直是一个非常重要的概念。当两个向量垂直时，他们的内 积为零。在内积空间中引入了相似的概念，当两个向量的内积为零时，称这 它们为正交向量。进一步拓展，可以得到正交向量组的概念。
定义2.1: 设V是n维酉（欧氏）空间，由n个正交向量组 成的基，称为正交基，由n个标准正交向量组成的基，称 为标准正交基。
i, i 1, 2, , n
因此，可以分析求解内积空间的标准基的问题。
正交基，标准正交基
从线性空间的任何一组基出发，可以采用Gram-Schmidt 正交化方法构造出一个标准正交基。
1, 2, , n 度量矩阵 A 1, 2, , n 度量矩阵 B
(1, 2 , , n ) (1, 2, , n )P
B PT AP or BT PH AT P
定义1.5: 设V是酉（欧氏）空间，定义 V 长度为 (,), V
(,), V
长度的性质
(1) 0, 0 0 (2) k k , k C
向量组 i 是标准正交向量组
(i
,
j
)＝ij
=
1, 0,
i j i j
零向量和任意向量正交，反之和任意向量正交的向量必 是零向量
定理2.1: 不含零向量的正交向量组是线性无关的
(1,2, ,n )
设：k11+k22 + +knn＝0
n
( j , k11+k22 + +knn )＝ ki ( j ,i ) ＝0 i 1
目的:引入标准正交基的好处是使得度量矩阵 变为单位矩阵，在很多计算问题中可用以简化 运算。
例题：3.2.1~ 3.2.2
习题：
通过把转置替换为复共轭转 置的方式迁移到酉空间中去。
(7)( A)H AT if A Rmn
(4)( AB)H BH AH
(5) (A)H H A
(6)(A1)H (AH )1, if A 0
(8) det( AH ) ? det( A)
设V是一酉空间，那么不同基下的度量矩阵之间的关系是：
(4) (,) 0, 当且仅当 0时(,)＝0
那么称V是n维欧几里得空间，简称欧氏空间。
欧氏空间的性质
(1) (, k ) k(, )
(2) (, ) (, ) (, )
(3) (
s i1
kii
,
)
s i1
ki
(i
,
)
(4) (,
s i1
ki
i
)
s i1
ki
(
,
i
)
定义1.2: 设V是复数域C上的n维线性空间， 定义如下法 则，称为内积。