大学物理同步训练第2版第五章机械波详解
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答案:A
分析:【方法】已知位于������������处的 P 点振动方程������������ = ������cos(������������ + ������������),则该平面简谐波的波动 方程为������ = ������cos[������������ ± ������(������ − ������������) + ������������],其中±为:波沿正向传播取负,波沿反向传播取正; ������ 为 角 波 数 , ������ = 2������⁄������ = ������⁄������ 。 利 用 该 方 法 , 由 波 沿 正 向 传 播 可 得 ������������ = 5cos[2������������ − ������(������������ − ������������) + ������] , 其 中 ������ = 2������⁄������ = ������⁄2 , ������������ = −2 , ������������ = 3 , 代 入 可 得 ������������ = 5cos(2������������ − 3 ������⁄2) = 5cos(2������������ + ������⁄2),故 A 选项正确。
(B)������ = 2cos(10������������ − ������⁄2)
(C)������ = 2cos(5������������ + ������)
(D)������ = 2cos(5������������ + ������⁄2)
答案:A
分析:同选择题 5,做出初始时刻的波形图如图中黑色虚线所示;利用选择题 2 的判断方法
可知初始时刻 P 点位于平衡位置、沿−������方向运动,由旋转矢量图可知 P 点初相������������ = ������⁄2。 由波形图可得振幅������ = 2 m,波长������ = 4 m,由u = ������⁄������可得������ = ������������ = ������ ∙ 2������⁄������ = 10������,因
此 P 点的振动方程为������ = 2cos(10������������ + ������⁄2),即选项 A 正确。
7. (★)一平面简谐波沿 Ox 轴正方向传播,波长为 4 m。若图 4 中 A 点处质点的振动方程
为������������ = 5cos(2������������ + ������)(SI),则 B 点处质点的振动方程为 (A)������������ = 5cos(2������������ + ������⁄2) (B)������������ = 5cos(2������������ − ������⁄2) (C)������������ = 5cos(2������������ + ������) (D)������������ = 5cos(2������������ − ������������⁄2 + ������⁄2)
的 质 点 的 相 位 为 Φ(������, ������) = ������������ + ������������ + ������ , 故 题 中 所 求 的 相 位 差 为 Φ(������1, ������) − Φ(������2, ������) =
������(������1 − ������2) = 2������⁄������ ∙ (������ + ������⁄2) = 3������,故 B 选项正确。
=
������cos
[������
(������
−
������2+������1)
������
+
������0]
答案:C 分析:方法同选择题 7,可知������2 处的振动方程为������ = ������cos[������������ − ������(������2 − ������1) + ������0],其中 ������ = ������⁄������,代入即可得选项 C 正确。 10. (☆)一平面简谐波在弹性媒质中传播,研究其中一个质点,下列说法正确的是
9. (★)一平面简谐波沿 Ox 轴正方向传播,其波速为 u,已知在������1处的质点的振动方程为
������ = ������cos(������������ + ������0),则在������2处的振动方程为
(A)������
=
������cos
[������
(������
+
������2−������1)
(A)若该质点位于负的最大位移处,其动能为零,势能最大 (B)该质点的机械能总是守恒的 (C)该质点在最大位移处的势能最大,在平衡位置的势能最小 (D)该质点的动能和势能总是相等 答案:D 分析:在平面简谐波的传播过程中,媒质中质点的动能和势能总是相等,其动能或势能在平
衡位置处达到最大值,在波峰、波谷处达到最小值(为零)。故选项 D 正确。 11. 如图 5 所示,有距离为������⁄2两相干波源 S1、S2,若在 S1、S2 的连线上 S1 外侧(即 S1 左 侧)各点干涉相消,则
8. 一平面简谐波沿 Ox 轴负方向传播,其波长为λ,则位于������1 = ������的质点的振动与位于
������2 = −������/2的质点的振动的相位差为
(A)−3π
(B)3π
(C)−3π/2
(D)π/2
答案:B
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第五章 机械波
许照锦
分析:沿 Ox 轴负方向传播的波动方程为������ = cos(������������ + ������������ + ������),其中������ = 2������⁄������,位于 x 处
4. 有一平面简谐波沿 Ox 轴的正方向传播,已知其周期为 0.5 s,振幅为 1 m,波长为 2 m,
且在������ = 0时坐标原点处的质点位于负的最大位移处,则该简谐波的波动方程为
(A)������ = cos(������������ − 4������������ + ������)
(B)������ = cos(4������������ + ������������ + ������)
故 C 选项错误。
3. 如果上题中的波速������=10 m/s,则其频率为
(A)1.25 Hz
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(B)1 Hz
(C)0.8 Hz
(D)条件不够,无法求解
答案:A
分析:由波速的计算公式������ = ������⁄������ = ������⁄������ = ������������可得其频率为������ = ������⁄������ = 1.25 Hz,故 A 正确。
为初始时刻的波形图(因为经过一个周期波向波的传播方
向移动一个波长)。由图形可知原点 O 处质点初始时刻位于
负的位移最大处,初相为������ = ������。故 C 选项正确。
6. 图 3 为一平面简谐波在������ = ������⁄4时的波形图,则 P 点处的振动方程应为
(A)������ = 2cos(10������������ + ������⁄2)
已批准
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第五章 机械波
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许照锦
一、选择题
1. 已知一平面简谐波的波动表达式为y = 6cos(������������ − 3������������ + ������/2)(SI),则
(A)其波速为 3 m/s
(B)其波速为 1/3 m/s
(C)其频率为������Hz
(C)������ = cos(4������������ − ������������ − ������)
(D)������ = cos(4������������ − ������������)
答案:C
分析:由已知条件可得振幅������ = 1 m,角频率������ = 2������⁄������ = 4������ rad/s,角波数������ = 2������⁄������ = ������
(D)其频率为 1.5Hz
答案:B
分析:由波动方程可知ω = π,k = 3π,故频率f = ������⁄2������ = 0.5Hz,波速u = ������⁄������ = 1/3m/s。
2. 一平面简谐波的波形曲线如图 1 所示,则
(A)其周期为 8s
(B)其波长为 10m
(C)������ = 6m 的质点向右运动
5. 一沿着 Ox 轴负方向传播的平面简谐波在������ = ������⁄4时的波形曲线如图 2 所示,则原点 O 处
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第五章 机械波
许照锦
质点振动的初相为
(A)0
(B)������⁄2
(C)������
(D)3������⁄2
答案:C
分析:如图中黑色虚线所示,逆着波传播的方向移动������⁄4即
������
+
������0]
(B)������
=
������cos
[������
(������
+
������2+������1)
������
+
������0]
(C)������
=
������cos
[������
(������
−
������2−������1)
������
+
������0]
(D)������
1/m,由波沿正向传播可得角波数前符号为负,由初始条件及旋转矢量图可得原点处质点振
动初相为������ = ������或−������,代入波动表达式������ = cos(������������ − ������������ + ������)可得������ = cos(4������������ − ������������ − ������)。
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第五章 机械波
许照锦
(A)波节的能量为零,波腹的能量最大 (B)波节的能量最大,波腹的能量为零 (C)两相邻波节之间各点的相位相同 (D)两相邻波腹之间各点的相位相同 答案:C 分析:对于驻波,当各点都达到最大位移处时,媒质中各质点的动能为零,波腹处势能为零, 波节处势能最大;当各点都回到平衡位置时,媒质中各质点的势能为零,波腹处动能最大, 波节处动能为零。对于驻波,两相邻波节之间所有质点同相位,波节两侧的质点相位相反。 故 C 选项正确。 二、填空题 1. (★)已知一简谐波的波动方程为������ = 5cos(������������ + 4������������ + ������⁄2)(SI),可知该简谐波的传 播方向为_____,其振幅为_____,周期为_____,波长为_____,波速为_____。 答案:负方向;5 m;2 s;0.5 m;0.25 m/s 分析:波动方程������ = ������cos(������������ ± ������������ + ������)中������表示振幅,������表示角频率,������表示角波数,������表示 原 点处质 点的初 相位,������������ ± ������������ + ������ 表 示������ 处质 点在������ 时 刻的相位 ;质点 的振动 周期 为 ������ = 2������⁄������,频率为������ = 1⁄������,波长为������ = 2������⁄������,波速为������ = ������⁄������ = ������⁄������ = ������������;波动方程中 的±表示波的传播方向,正号表示波沿负 x 方向传播,负号表示波沿正 x 方向传播。故对于 该题,波沿负 x 方向传播,������ = 5 m,������ = ������ rad/s,������ = 2������⁄������ = 2 s,������ = 4������ 1/m, ������ = 2������⁄������ = 0.5 m,������ = ������⁄������ = 0.25 m/s。 2. 已知一简谐波在介质 A 中的传播速度为 u。若该简谐波进入介质 B 时,波长变为在介质 A 中的波长的两倍,则该简谐波在介质 B 中的传播速度为_____。 答案:2u 分析:如填空题 1 中所述,波的传播速度为������ = ������������,由于波在传播过程中,频率������始终保持 不变,故波长加倍,波速加倍。即该简谐波在介质 B 中的传播速度为 2u。 3. 一简谐波的波形曲线如图 6 所示,若已知该时刻质点 A 向上运动, 则该简谐波的传播方向为_____,B、C、D 质点在该时刻的运动方向 为 B_____,C_____,D_____。 答案:正方向;向上;向下;向上 分析:该题的处理方法见选择题 2。如图,根据 A 点的运动方向,可以得到下一时刻的波形 图(图中黑色虚线所示),故波沿正向传播,B 向上运动,C 向下运动,D 向上运动。 4. (★)已知一沿 Ox 轴正方向传播的平面简谐波的波速为������ = 2 m/s,周期为������ = 0.2 s, 振幅为 3 cm,又知初始时刻在������ = 1 m 处质点在负的最大位移处,则该简谐波的波动方程 为________。 答案:������ = 0.03cos(10������������ − 5������������)(SI)
(D)������ = 6m 的质点向下运动
答案:D
分析:如图分析可得该简谐波的波长为λ = 8m,B 选项错误;将波沿着波传播方向做一微小
平移(如图中红色虚线所示),可得������ = 6m 的质点向下运动,故 D 选项正确。该图信息不
全,无法得到波的周期,A 选项错误;质点仅在其平衡位置来回振动,不会随波一起运动,
(A)在连线上 S2 外侧的各点干涉相消 (B)在连线上 S2 外侧的各点干涉加强 (C)在 S1、S2 之间各点干涉加强 (D)在 S1、S2 之间各点干涉相消 答案:A 分析:质点同时参与两列相干波的振动的相位差为ΔΦ = −������(������2 − ������1) + (������2 − ������1),其中 ������ = 2������⁄������为相干波的角波数,������2和������1表示两相干波源到相遇点的距离,������2和������1表示两相干 波源的初相位;当ΔΦ = 2������������时质点干涉加强,当ΔΦ = (2������ + 1)������时质点干涉相消。由上述 公式可知在波源 S1 左侧各点参与两个振动的相位差为ΔΦ = − 2������⁄������ ∙ ������⁄2 + (������2 − ������1) = (2������ + 1)������,故������2 − ������1 = (2������ + 2)������,即两相干波源同相位������2 = ������1;由对称性可知在 S2 外 侧的各点也是干涉相消,即 A 选项正确。在 S1、S2 之间两波相向而行,形成驻波,故 S1、 S2 之间各点干涉结果不同,C、D 选项错误。 12. (×)下列关于驻波的描述中正确的是
分析:【方法】已知位于������������处的 P 点振动方程������������ = ������cos(������������ + ������������),则该平面简谐波的波动 方程为������ = ������cos[������������ ± ������(������ − ������������) + ������������],其中±为:波沿正向传播取负,波沿反向传播取正; ������ 为 角 波 数 , ������ = 2������⁄������ = ������⁄������ 。 利 用 该 方 法 , 由 波 沿 正 向 传 播 可 得 ������������ = 5cos[2������������ − ������(������������ − ������������) + ������] , 其 中 ������ = 2������⁄������ = ������⁄2 , ������������ = −2 , ������������ = 3 , 代 入 可 得 ������������ = 5cos(2������������ − 3 ������⁄2) = 5cos(2������������ + ������⁄2),故 A 选项正确。
(B)������ = 2cos(10������������ − ������⁄2)
(C)������ = 2cos(5������������ + ������)
(D)������ = 2cos(5������������ + ������⁄2)
答案:A
分析:同选择题 5,做出初始时刻的波形图如图中黑色虚线所示;利用选择题 2 的判断方法
可知初始时刻 P 点位于平衡位置、沿−������方向运动,由旋转矢量图可知 P 点初相������������ = ������⁄2。 由波形图可得振幅������ = 2 m,波长������ = 4 m,由u = ������⁄������可得������ = ������������ = ������ ∙ 2������⁄������ = 10������,因
此 P 点的振动方程为������ = 2cos(10������������ + ������⁄2),即选项 A 正确。
7. (★)一平面简谐波沿 Ox 轴正方向传播,波长为 4 m。若图 4 中 A 点处质点的振动方程
为������������ = 5cos(2������������ + ������)(SI),则 B 点处质点的振动方程为 (A)������������ = 5cos(2������������ + ������⁄2) (B)������������ = 5cos(2������������ − ������⁄2) (C)������������ = 5cos(2������������ + ������) (D)������������ = 5cos(2������������ − ������������⁄2 + ������⁄2)
的 质 点 的 相 位 为 Φ(������, ������) = ������������ + ������������ + ������ , 故 题 中 所 求 的 相 位 差 为 Φ(������1, ������) − Φ(������2, ������) =
������(������1 − ������2) = 2������⁄������ ∙ (������ + ������⁄2) = 3������,故 B 选项正确。
=
������cos
[������
(������
−
������2+������1)
������
+
������0]
答案:C 分析:方法同选择题 7,可知������2 处的振动方程为������ = ������cos[������������ − ������(������2 − ������1) + ������0],其中 ������ = ������⁄������,代入即可得选项 C 正确。 10. (☆)一平面简谐波在弹性媒质中传播,研究其中一个质点,下列说法正确的是
9. (★)一平面简谐波沿 Ox 轴正方向传播,其波速为 u,已知在������1处的质点的振动方程为
������ = ������cos(������������ + ������0),则在������2处的振动方程为
(A)������
=
������cos
[������
(������
+
������2−������1)
(A)若该质点位于负的最大位移处,其动能为零,势能最大 (B)该质点的机械能总是守恒的 (C)该质点在最大位移处的势能最大,在平衡位置的势能最小 (D)该质点的动能和势能总是相等 答案:D 分析:在平面简谐波的传播过程中,媒质中质点的动能和势能总是相等,其动能或势能在平
衡位置处达到最大值,在波峰、波谷处达到最小值(为零)。故选项 D 正确。 11. 如图 5 所示,有距离为������⁄2两相干波源 S1、S2,若在 S1、S2 的连线上 S1 外侧(即 S1 左 侧)各点干涉相消,则
8. 一平面简谐波沿 Ox 轴负方向传播,其波长为λ,则位于������1 = ������的质点的振动与位于
������2 = −������/2的质点的振动的相位差为
(A)−3π
(B)3π
(C)−3π/2
(D)π/2
答案:B
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分析:沿 Ox 轴负方向传播的波动方程为������ = cos(������������ + ������������ + ������),其中������ = 2������⁄������,位于 x 处
4. 有一平面简谐波沿 Ox 轴的正方向传播,已知其周期为 0.5 s,振幅为 1 m,波长为 2 m,
且在������ = 0时坐标原点处的质点位于负的最大位移处,则该简谐波的波动方程为
(A)������ = cos(������������ − 4������������ + ������)
(B)������ = cos(4������������ + ������������ + ������)
故 C 选项错误。
3. 如果上题中的波速������=10 m/s,则其频率为
(A)1.25 Hz
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(B)1 Hz
(C)0.8 Hz
(D)条件不够,无法求解
答案:A
分析:由波速的计算公式������ = ������⁄������ = ������⁄������ = ������������可得其频率为������ = ������⁄������ = 1.25 Hz,故 A 正确。
为初始时刻的波形图(因为经过一个周期波向波的传播方
向移动一个波长)。由图形可知原点 O 处质点初始时刻位于
负的位移最大处,初相为������ = ������。故 C 选项正确。
6. 图 3 为一平面简谐波在������ = ������⁄4时的波形图,则 P 点处的振动方程应为
(A)������ = 2cos(10������������ + ������⁄2)
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一、选择题
1. 已知一平面简谐波的波动表达式为y = 6cos(������������ − 3������������ + ������/2)(SI),则
(A)其波速为 3 m/s
(B)其波速为 1/3 m/s
(C)其频率为������Hz
(C)������ = cos(4������������ − ������������ − ������)
(D)������ = cos(4������������ − ������������)
答案:C
分析:由已知条件可得振幅������ = 1 m,角频率������ = 2������⁄������ = 4������ rad/s,角波数������ = 2������⁄������ = ������
(D)其频率为 1.5Hz
答案:B
分析:由波动方程可知ω = π,k = 3π,故频率f = ������⁄2������ = 0.5Hz,波速u = ������⁄������ = 1/3m/s。
2. 一平面简谐波的波形曲线如图 1 所示,则
(A)其周期为 8s
(B)其波长为 10m
(C)������ = 6m 的质点向右运动
5. 一沿着 Ox 轴负方向传播的平面简谐波在������ = ������⁄4时的波形曲线如图 2 所示,则原点 O 处
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质点振动的初相为
(A)0
(B)������⁄2
(C)������
(D)3������⁄2
答案:C
分析:如图中黑色虚线所示,逆着波传播的方向移动������⁄4即
������
+
������0]
(B)������
=
������cos
[������
(������
+
������2+������1)
������
+
������0]
(C)������
=
������cos
[������
(������
−
������2−������1)
������
+
������0]
(D)������
1/m,由波沿正向传播可得角波数前符号为负,由初始条件及旋转矢量图可得原点处质点振
动初相为������ = ������或−������,代入波动表达式������ = cos(������������ − ������������ + ������)可得������ = cos(4������������ − ������������ − ������)。
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(A)波节的能量为零,波腹的能量最大 (B)波节的能量最大,波腹的能量为零 (C)两相邻波节之间各点的相位相同 (D)两相邻波腹之间各点的相位相同 答案:C 分析:对于驻波,当各点都达到最大位移处时,媒质中各质点的动能为零,波腹处势能为零, 波节处势能最大;当各点都回到平衡位置时,媒质中各质点的势能为零,波腹处动能最大, 波节处动能为零。对于驻波,两相邻波节之间所有质点同相位,波节两侧的质点相位相反。 故 C 选项正确。 二、填空题 1. (★)已知一简谐波的波动方程为������ = 5cos(������������ + 4������������ + ������⁄2)(SI),可知该简谐波的传 播方向为_____,其振幅为_____,周期为_____,波长为_____,波速为_____。 答案:负方向;5 m;2 s;0.5 m;0.25 m/s 分析:波动方程������ = ������cos(������������ ± ������������ + ������)中������表示振幅,������表示角频率,������表示角波数,������表示 原 点处质 点的初 相位,������������ ± ������������ + ������ 表 示������ 处质 点在������ 时 刻的相位 ;质点 的振动 周期 为 ������ = 2������⁄������,频率为������ = 1⁄������,波长为������ = 2������⁄������,波速为������ = ������⁄������ = ������⁄������ = ������������;波动方程中 的±表示波的传播方向,正号表示波沿负 x 方向传播,负号表示波沿正 x 方向传播。故对于 该题,波沿负 x 方向传播,������ = 5 m,������ = ������ rad/s,������ = 2������⁄������ = 2 s,������ = 4������ 1/m, ������ = 2������⁄������ = 0.5 m,������ = ������⁄������ = 0.25 m/s。 2. 已知一简谐波在介质 A 中的传播速度为 u。若该简谐波进入介质 B 时,波长变为在介质 A 中的波长的两倍,则该简谐波在介质 B 中的传播速度为_____。 答案:2u 分析:如填空题 1 中所述,波的传播速度为������ = ������������,由于波在传播过程中,频率������始终保持 不变,故波长加倍,波速加倍。即该简谐波在介质 B 中的传播速度为 2u。 3. 一简谐波的波形曲线如图 6 所示,若已知该时刻质点 A 向上运动, 则该简谐波的传播方向为_____,B、C、D 质点在该时刻的运动方向 为 B_____,C_____,D_____。 答案:正方向;向上;向下;向上 分析:该题的处理方法见选择题 2。如图,根据 A 点的运动方向,可以得到下一时刻的波形 图(图中黑色虚线所示),故波沿正向传播,B 向上运动,C 向下运动,D 向上运动。 4. (★)已知一沿 Ox 轴正方向传播的平面简谐波的波速为������ = 2 m/s,周期为������ = 0.2 s, 振幅为 3 cm,又知初始时刻在������ = 1 m 处质点在负的最大位移处,则该简谐波的波动方程 为________。 答案:������ = 0.03cos(10������������ − 5������������)(SI)
(D)������ = 6m 的质点向下运动
答案:D
分析:如图分析可得该简谐波的波长为λ = 8m,B 选项错误;将波沿着波传播方向做一微小
平移(如图中红色虚线所示),可得������ = 6m 的质点向下运动,故 D 选项正确。该图信息不
全,无法得到波的周期,A 选项错误;质点仅在其平衡位置来回振动,不会随波一起运动,
(A)在连线上 S2 外侧的各点干涉相消 (B)在连线上 S2 外侧的各点干涉加强 (C)在 S1、S2 之间各点干涉加强 (D)在 S1、S2 之间各点干涉相消 答案:A 分析:质点同时参与两列相干波的振动的相位差为ΔΦ = −������(������2 − ������1) + (������2 − ������1),其中 ������ = 2������⁄������为相干波的角波数,������2和������1表示两相干波源到相遇点的距离,������2和������1表示两相干 波源的初相位;当ΔΦ = 2������������时质点干涉加强,当ΔΦ = (2������ + 1)������时质点干涉相消。由上述 公式可知在波源 S1 左侧各点参与两个振动的相位差为ΔΦ = − 2������⁄������ ∙ ������⁄2 + (������2 − ������1) = (2������ + 1)������,故������2 − ������1 = (2������ + 2)������,即两相干波源同相位������2 = ������1;由对称性可知在 S2 外 侧的各点也是干涉相消,即 A 选项正确。在 S1、S2 之间两波相向而行,形成驻波,故 S1、 S2 之间各点干涉结果不同,C、D 选项错误。 12. (×)下列关于驻波的描述中正确的是