第3章 水动力学理论基础(1)

第三章 水动力学理论基础

目的要求：掌握水动力学的一些基本概念；三大方程的推导和应用。 难点：动量方程的应用。

全部为重点，尤其是能量方程的应用。

质量守恒原理 牛顿第二定律 动量定理 ↓ ↓ ↓

连续性方程 能量方程 动量方程

§3-1 描述液体运动的两种方法 一、拉格朗日法

无论运动、平衡的液体，都是由液体质点组成的。拉格朗日法的实质就是以液体质点为研究对象。跟踪它，研究每个液体质点所具有的运动要素（速度、加速度、压强）随时间的变化规律。质点运动的轨迹线叫迹线。如果把组成流场的所有质点的运动规律

都搞清楚了，即可得到整个流场的运动特性。

以起始时刻的坐标区别质点（不同质点有不同的起始坐标，而每一质点的起始坐标不随时间变化，就好比人的名字）。

某一质点，起始坐标（a 、b 、c 、t ），t 时刻的运动坐标（x 、y 、z ），则x=x (a 、b 、c 、t ) ， y=(a 、b 、c 、t ) ， z=z (a 、b 、c 、t )。a 、b 、c 、t 统称为拉格朗日变量

t x u x ∂∂= ， t y u y ∂∂=

， t z

u z ∂∂=； 22t x a x ∂∂= ， 22t

y a y ∂∂=， 22t z a z ∂∂= 由于液体质点的运动轨迹非常复杂，除特殊情况外，在水力学中均采用欧拉法。 二、欧拉法

欧拉法的实质是研究流场中某些固定空间点上的运动要素随时间的变化规律，而不直接追究给定质点在某时刻的位置及其运动状况。

若某一质点在t 时刻占据的空间坐标为（x ，y ，z ），则u x =u x (x , y, z, t)， u y =u y (x, y, z , t) , u z =u z (x , y, z, t)，p=(x , y, z, t) (x, y, z, t 称为欧拉变量)。由于某一质点在不同时刻占据不同的空间点，因此空间坐标也是时间t 的函数。 则：

dt

dz

z u dt dy y u dt dx x u t u dt du a x x x x x ∂∂+

∂∂+∂∂+∂∂==

χ =z u u y u u x u u t u x z x y x x x ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂

z

u u y

u u x

u u t

u a y z

y y

y x

y y ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=

z

u

u y u u x u u t u a z z z y z x z z ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=

上面三个式子中，等号右边第一项是速度相对于时间的变化率，称为当地加速度；后三项之和是速度相对于位移的变化率，称为迁移加速度。

用欧拉法描述液体运动时，液体质点的加速度应是当地加速度和迁移加速度之和。 §3-2 欧拉法的几个基本概念 一、恒定流与非恒定流

液体运动分为恒定流和非恒定流。

若流场中所有空间点上的一切运动要素都不随时间变化称为恒定流，否则称之为非恒定流。

例如，水箱里的水位不恒定时，水流中各点的流速与压强等运动要素随时间而变化，这样的流动就是非恒定流。若设法使箱内水位保持恒定，则液体的运动就成为恒定流。

恒定流中一切运动要素只是坐标x 、y 、z 的函数，而与时间t 无关，因而恒定流中

恒定流中当地加速度等于零，但迁移加速度可以不等于零。

恒定流与非恒定流相比较，欧拉变量中少了一个时间变量t ，因而问题要简单得多。在实际工程中不少非恒定流问题的运动要素非常缓慢地随时间变化，或者是在一段时间内运动要素的平均值几乎不变，此时可近似地把这种流动作为恒定流来处理。本章只研究恒定流。 二、迹线与流线

迹线概念简单，是液体质点走过的轨迹线。

1 流线的定义：某一时刻在流场中绘制的一条曲线（或直线），在该线上各点的速度向量都与该线相切。

在运动液体的整个空间可绘出一系列流线，称为流线簇。流线簇构成的流线图称为流谱。

2、流线的特性

（1）一般情况下，流线不能相交，且流线只能是一条光滑曲线。否则在交点或非光滑处存在两个切线方向，这意味着在同一时刻，同一液体质点具有两个运动方向，这显然是不可能的。

（2

）流场中每一点都有流线通过，流线充满整个流场，这些流线构成某一时刻流场内的流谱。

（3）在恒定流条件下，流线的形状、位置以及流谱不随时间变化，且流线与迹线重合。

（4）对于不可压缩液体，流线簇的疏密程度反映了该时刻流场中各点的速度大小。流线密的地方速度大，而疏的地方速度小。 三、流管、元流、总流、过水断面

1、流管：由流线组成侧面而构成的管状物，液体不能穿越管壁。

2、元流：充满流管的一束液流（微小流束），认为过水断面上运动要素相等。

3、总流：由无数多个元流组成的、有一定大小尺寸的实际液流。

4、过水断面：与元流或总流的流线正交的横断面（平面或曲面）。

5、流量：单位时间通过过水断面的液体体积Q （m 3/s 对于元流，dt 时段通过ωd 断面的液体体积为：ωudtd ωωud dt

udtd dQ ==

ωωud dQ Q ⎰=⎰=

6、断面平均流速：若过水断面上各点流速都相等（等于v ）,此时通过的流量与实际流速为不均匀分时所通过的流量相等，v 叫断面平均流速。

ω

ωωωω

ω

Q

v v vd ud Q ====⎰⎰

四、均匀流与非均匀流

1、均匀流的定义：流线为相互平行的直线。

2、均匀流的特征：

（1）过水断面为平面，且形状、尺寸均沿程不变。

（2）同一流线上各点流速相等，各过水断面流速分布相同。v 相等。 （3）均匀流同一过水断面上的动水压强符合静压分布规律，即c p

z =+γ

证：沿n-n 方向所受力：,)(,

ωωd dp p pd +

dz d dn d dG ωγαωγα==cos cos

力的平衡方程 ：0=--dz dp γ，积分得：

c p

z =+

γ

(只适用于有固体边界约束时)

3、非均匀流

流线不是相互平行的直线叫非均匀流。 流线近似平行称为渐变流，近似认为c p

z =+

γ

。 急变流：不平行程度或弯曲程度很大， c p

z ≠+γ

。

五、一元流、二元流、三元流

三元流：运动要素是三个空间坐标的函数。

二元流：运动要素是两个空间坐标的函数（宽度大的顺直明渠）。 一元流：运动要素是一个空间坐标的函数。 引入断面平均流速后的总流为一元流。

s u

u t u dt du a t s p p t s u u ∂∂+∂∂====),,(),,(。

§3-3 恒定一元流的连续性方程

依据：质量守恒原理