第三章 静定结构的内力计算

m l
m l
例: 作内力图 铰支座有外 力偶,该截面弯矩 等于外力偶.
M图 FQ图 无剪力杆的 弯矩为常数. M图 自由端有外 力偶,弯矩等于外 力偶
FQ图
练习: 利用上述关系作弯矩图,剪力图
FP FP FP FP
FP FP
FP FP FP FP
FP
FP
FP
练习: 利用上述关系作弯矩图,剪力图
静定平面桁架
根据桁架的几何构造特点，桁架可分为：
简 单 桁 架
根据桁架的几何构造特点，桁架可分为：
简 单 桁 架
根据桁架的几何构造特点，桁架可分为：
联 合 桁 架
根据桁架的几何构造特点，桁架可分为：
联 合 桁 架
根据桁架的几何构造特点，桁架可分为：
复 杂 桁 架
桁架的内力计算
1、结点法 1）、定义：利用各结点的平衡条件求解桁架内力的方法。 2）、实质：作用在结点上的各力组成一平面汇交力系。
ql2 / 2
FQ=0的截面为抛 物线的顶点.
ql / 2
ql
2
M图
FQ图
例: 作内力图
ql2 / 2
M图 FQ图
1.无荷载分布段(q=0),FQ图为水平线,M图为斜直线. 2.均布荷载段(q=常数),FQ图为斜直线,M图为抛物线, 且凸向与荷载指向相同. 3.集中力作用处,FQ图有突变,且突变量等于力值; M 图有尖点,且指向与荷载相同.
FAx
FAy
l
FBy
F
FBy ql / 2()
x
0, FN ( x) 0
M FQ
1 ql 2
1 Fy 0, FQ ( x) 2 qx qx 1 2 ql 1 x 8 M 0, M ( x) qlx qx 1 2 2 ql
2
4.弯矩、剪力、荷载集度之间的微分关系
第三章 静定结构的内力计算
基本要求：
理解恰当选取分离体和平衡方程计算
静定结构内力的方法和技巧，会根据几何 组成寻找解题途径。
掌握内力图的形状特征和绘制内力图
的方法， 静定平面刚架、多跨梁、三铰拱、 平面桁架及组合结构的内力计算。
熟练掌握叠加法作弯矩图。
容易产生的错误认识：
“静定结构内力分析无非就是 选取隔离体，建立平衡方程， 以前早就学过了，没有新东西”
在用结点法进行计算时，注意以下三点， 可使计算过程得到简化。
1. 对称性的利用 如果结构的杆件轴线对某轴（空间桁架为 某面）对称，结构的支座也对同一条轴对 称的静定结构，则该结构称为对称结构。 对称结构在对称或反对称的荷载作用下， 结构的内力和变形（也称为反应）必然对 称或反对称，这称为对称性。
对称结构受对称荷载作用, 内力和反 力均为对称:
FN1
FN2
FN1=FN2=0
FN1 FN3
FN2
FN1=FN2
FN3=0
FN4 FN1 FN2
FN1=FN2
FN3
FN1
FN3=FN4
q
A
x
B
M ( x) qdx
FN ( x)
M dM
FN dFN
l
微分关系: dFQ ( x ) / dx q ( x )
FQ ( x)
FQ dFQ
dx
dM ( x ) / dx FQ ( x ) d 2 M ( x ) / dx2 q ( x ) FPl 1.无荷载分布段(q=0),FQ图 为水平线,M图为斜直线. M图
E 点无荷载,红色杆不受力
FAy
FBy
对称结构受反对称荷载作用, 内力和 反力均为反对称:
垂直对称轴的杆不受力
FAy
FBy
对称轴处的杆不受力
2. 结点单杆 以结点为平衡对象能仅用一个方程 求出内力的杆件，称为结点单杆。 利用这个概念，根据荷载状况可判断此杆内力是 否为零。 3. 零杆 零内力杆简称零杆。
q
0.086ql 2
x 0.172 l
0.086ql 2 l
x
q
0.086ql 2 l
1 2 ql 8
1 2 ql 0.125 ql 2 8
与简支梁相比:弯矩较小而且均匀.
从分析过程看:附属部分上若无外力,其上也无内力.
桁架内力分析
桁架结构（truss structure）
横梁
主桁架
纵梁
自由端无外力偶 则无弯矩. FQ图
截面弯矩等于该截面一 侧的所有外力对该截面 的力矩之和
FP
例: 作内力图
FP
FP
M图
FP FP
FQ图
铰支端无外力偶 则该截面无弯矩.
1.无荷载分布段(q=0),FQ图为水平线,M图为斜直线. 2.均布荷载段(q=常数),FQ图为斜直线,M图为抛物线, 且凸向与荷载指向相同.
3）、注意点：
（1）一般结点上的未知力不能多余两个; （2）可利用比例关系求解各轴力的铅直、水平分量。
B l A FN
FN FN ly A
B

lx

Fx
Fy
FN Fx Fy l lx ly
结点法
以只有一个结点的隔离体为研究对象， 用汇交力系的平衡方程求解各杆内力的方法 例1. 求以下桁架各杆的内力
1.单跨梁支座反 力
例.求图示梁支反力
A FX FP
解:
M
L/2
L/2
FY
F 0 F 0 M 0
X Y A
FX 0 FY FP () M FP L / 2( )
2.截面法求指定截面内力
K
内力符号规定: 弯矩 以使下侧受拉为正 剪力 绕作用截面顺时针转为正 轴力 拉力为正
面的负弯矩的绝对值相等,确定铰D的位置.
q
A
D
l
B
C
l
x
q(l x) / 8
2
RD
RD
B
q
解: RD q(l x) / 2()
M B qx2 / 2 q(l x) x / 2
x 0.172 l
M B 0.086ql2
q(l x)2 / 8 qx2 / 2 q(l x) x / 2
M图
FQ图
在几种荷载下剪力图与弯矩图的特征
一段梁上
的外力情
况
向下的均布荷载 q<0
无荷载
集中力 F C
集中力偶 m C
剪力图 的特征 弯矩图 的特征 Mmax所在 截面的可 能位置
向下倾斜的直线
水平直线
在C处有突变
在C处无变化 C
上凸的二次抛物线
一般斜直线 或
在C处有尖角
在C处有突变 m
在FQ=0的截面
杆号 起点号 终点号 1 2 4 2 4 6 3 6 8 4 8 10 5 1 3 6 3 5 7 5 7 8 7 9
桁架轴力 -35.000 -60.000 -75.000 -80.000 0.000 35.000 60.000 75.000
刚架轴力 -34.966 -59.973 -74.977 -79.977 0.032 35.005 59.997 74.991
q
1 ql 2
内力计算的关键在于 : 1 ql ql 2 正确区分基本部分和附 ql ql 属部分. 熟练掌握单跨梁的计算 . ql ql / 2
ql
2 2
ql
5ql / 4
11ql / 4
ql / 2
3.多跨静定梁的受力特点
为何采用多跨静定梁这种结构型式?
简支梁(两个并列)
多跨静定梁 连续梁
例.对图Βιβλιοθήκη Baidu静定梁,欲使AB跨的最大正弯矩与支座B截
例:求跨中截面内力
q
A
解: FAx 0, FAy ql / 2(),
B
FBy ql / 2()
FAx
FAy
C
l
FBy
F 0, F F 0, F M 0, M
x y c
NC
0 0
QC
2 ql /8 C (下侧受拉)
3.作内力图的基本方法 内力方程式: M M ( x) 弯矩方程式 FQ FQ ( x) 剪力方程式 例:作图示粱内力图 FN FN ( x) 轴力方程式 q A B 解: FAx 0, FAy ql / 2(),
在剪力突变 的截面
在紧靠C的某 一侧截面
简易法
总口诀 一分二定三连线；
注意正负和突变；
弯矩斜率是剪力；
形状大小多检验。
剪力图 无荷区间水平线； 均布荷载斜率现； 力偶似乎不管用； 集中力处有突变。 弯矩图 无荷区间直线行； 均布荷载抛物形； 力偶作用要突变； 集中力处是尖角。
简易法绘制内力图的一般步骤
M图
FP/2 FPl/4
FQ图
FP/2
ql2 / 2
M图
A支座的反力 大小为多少, 方向怎样?
FQ图
FPl/2 FP
M图
FP FP/2
FQ图
1.无荷载分布段(q=0),FQ图为水平线,M图为斜直线. 2.均布荷载段(q=常数),FQ图为斜直线,M图为抛物线, 且凸向与荷载指向相同. 3.集中力作用处,FQ图有突变,且突变量等于力值; M 图有尖点,且指向与荷载相同. 4.集中力偶作用处, M图有突变,且突变量等于力偶 值; FQ图无变化.
0
-33
34.8 19 19
Y
0 YNAD 11 kN
YNAD CD 0.5 X NAD AC 1.5
X NAD 3YNAD 33 kN

X 0 FNAC 33 kN
0
-33 -8
-33
34.8 19
19
0
-33 -8
-33
34.8 19
-5.4 37.5 19
FN2=0
FN=0
FN=0
FN1=0
判断结构中的零杆
FP FP FP/2
FP/ 2
FP
特殊结点：
（1）L形结点：在不共线的两杆结点 上，若无外荷载作用，则两杆内力 均 为零。内力为零的杆称为零杆。 （2）T形结点：三杆结点无外荷载作用时， 如其中两杆在一条直线上，则共线的两杆内 力性质相同，而第三杆内力为零。 （3）X形结点：四杆结点无外荷载作用时， 如其中两杆在一条直线上，另外两杆在另一 条直线上，则同一直线上的两杆内力性质相 同。 （4）K形结点：四杆结点无外荷载作用时， 如其中两杆在一条直线上，另外两杆在此直 线同侧且交角相等，则非共线两杆内力大小 相等而符号相反。
l/2
练习: 分段叠加法作弯矩图
q
A B
C
1 2 ql 4
l
q
1 ql 2
ql
l
l
l
多跨静定梁受力分析
1.多跨静定梁的组成
附属部分--不能独 立承载的部分。 基本部分--能独立 承载的部分。
基、附关系层叠图
练习:区分基本部分和附属部分并画出关系图
2.多跨静定梁的内力计算
拆成单个杆计算,先算附属部分,后算基本部分.
例: 作内力图
ql
q
ql
l ql
l
2l
4l
2l
l
l ql
q
1 ql 2
ql ql
1 ql 2
2ql2
q
ql 2
A B FQ AB FQ BA M A 0 FQ BA 11ql / 4
F
Y
0 FQ AB 5ql / 4
例: 作内力图
ql
q
ql
l ql
l
2l
4l
2l
l
l ql
切忌：浅尝辄止
主要内容
静定结构内力计算的基本方
法
静定结构内力计算举例
静定结构特性
几何特性：无多余联系的几何不变体系 静力特征：仅由静力平衡条件可求全部反力内力
静定结构分类
1、静定梁； 2、静定刚架； 3、三铰拱；
4、静定桁架； 5、静定组合结构；
单跨静定梁受力分析
单跨梁受力分析方法
1.单跨梁支反力 2.截面法求指定截面内力 3.作内力图的基本方法 4.弯矩、剪力、荷载集度之间的微分关系 5.叠加法作弯矩图 6.分段叠加法作弯矩图
1）、求支反力； 2）、分段；（控制截面点的位置：集中力作用处、集中力偶作用处、 分布荷载起始点、支座处、杆与杆的连接点） 3）、定点；
4）、连线。
应熟记常用单跨梁的弯矩图
FP
a
FP a b B
A ql2 2
l
q A l
B
F
A Fab l a b B
l
q
A
ql2 8 l
B
a m l m A b m l a b l B
-8 kN
YDE CD 0.75 X DE CE 0.5
0
-33 -8
-33
-33 -8
-33
34.8 19
-5.4 -5.4 37.5
34.8 19
小结：
• 以结点作为平衡对象，结点承受汇交力 系作用。 • 按与“组成顺序相反”的原则，逐次建 立各结点的平衡方程，则桁架各结点未 知内力数目一定不超过独立平衡方程数。 • 由结点平衡方程可求得桁架各杆内力。
FP FP FP FP
5.叠加法作弯矩图
注意:
是竖标相加,不是 图形的简单拼合.
练习:
q
1 2 ql 16 1 2 ql 16
l
q
ql 2
ql 2
l
6.分段叠加法作弯矩图
q
A
1 2 ql 16
B
1 ql 8
C
q
l/2
q
l/2
1 2 ql 16
1 2 ql 16
l/2
q
q
1 2 ql 16
1 2 ql 16
弦杆 下弦杆
上弦杆
斜杆
竖杆
腹杆 桁高
d 节间 跨度
• 经抽象简化后，杆轴交于一点，且“只 受结点荷载作用的直杆、铰结体系”的 工程结构. • 特性：只有轴力，而没有弯矩和剪力。 轴力又称为主内力。
• 实际结构中由于结点并非是理想铰，同时还将 产生弯矩、剪力，但这两种内力相对于轴力的 影响是很小的，故称为次内力。 次内力的影响举例