北师大版数学高一-2016-2017数学北师大版必修3模块综合测评

模块综合测评
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．一个年级共有12个班，每个班学生的学号都从1到50，为了交流学习经验，要求每班学号为14的同学留下，这里运用的是()
A．分层抽样法B．抽签法
C．随机数表法D．系统抽样法
【解析】根据各种抽样的特点知该抽样方法为系统抽样法．
【答案】 D
2．下列选项中，正确的赋值语句是()
A．A＝x2－1＝(x＋1)(x－1)
B．5＝A
C．A＝A*A＋A－2
D．4＝2＋2
【解析】赋值语句的表达式“变量＝表达式”，故C正确．
【答案】 C
3．执行如图1所示的程序框图，则输出的k的值是()
图1
A．3 B．4
C．5 D．6
【解析】k＝1，s＝1＋02＝1；k＝2，s＝1＋12＝2；k＝3，s＝2＋22＝6；k ＝4，s＝6＋32＝15，k＝5，s＝15＋42＝31>15.故输出k＝5，选C.
【答案】 C
4．已知x，y的取值如下表所示：
x 23 4
y 54 6
如果y与x呈线性相关，且线性回归方程为y＝bx＋7
2，则b等于()
A．－1
2 B.
1
2
C．－1
10 D.
1
10
【解析】由表格数据x＝3，y＝5，又线性回归方程过(x，y)，即过点(3,5)，
∴5＝3b＋7
2
，
∴b＝1
2.
【答案】 B
5．用二分法求方程的近似解，精确度为ε，则循环结构的终止条件为() A．|x1－x2|>εB．|x1－x2|<ε
C．x1<ε<x2D．x2<ε<x1
【解析】本题考查二分法的实际应用．结合二分法关于精确度的要求可知，当精确度为ε时，只要|x1－x2|<ε时，循环终止，故选B.
【答案】 B
6．奥林匹克会旗中央有5个互相套连的圆环，颜色自左至右，上方依次为蓝、黑、红，下方依次为黄、绿，象征着五大洲．在手工课上，老师将这5个环分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学制作，每人分得1个，则事件“甲分得红色”与“乙分得红色”是()
图2
A．对立事件B．不可能事件
C．互斥但不对立事件D．不是互斥事件
【解析】甲、乙不能同时得到红色，因此这两个事件是互斥事件；又甲、乙可能都得不到红色，即“甲或乙分得红色”的事件不是必然事件，故这两个事件不是对立事件．
【答案】 C
7．某中学高三年级从甲、乙两个班级中各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图3，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83，则x＋y的值为()
图3
A．7 B．8
C．9 D．10
【解析】∵85×7＝2×70＋3×80＋2×90＋30＋x，∴x＝5.又∵乙班学生成绩的中位数是83，∴y＝3，∴x＋y＝5＋3＝8，故选B.
【答案】 B
8．(2016·潍坊月考)执行如图4所示的程序框图，若输入n＝10，则输出S ＝()
图4
A.5
11 B.
10
11
C.3655
D.7255
【解析】 因为S ＝13，i ＝4<10，所以S ＝13＋115＝25，i ＝6<10，所以S ＝25＋
135＝37，i ＝8<10，所以S ＝37＋163＝49，i ＝10＝10，所以S ＝49＋199＝511，i ＝12>10，
输出S ＝511.
【答案】 A
9．某校举行2016年元旦汇演，七位评委为某班的小品打出的分数茎叶统计图如图5，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为
( )
A ．85,1.6
B ．85,4
C ．84,1.6
D ．84,0.8 【解析】 由已知的茎叶图七位评委为某班的小品打出的分数为79,84,84,86,84,87,93.去掉一个最高分93和一个最低分79后.x ＝84＋84＋86＋84＋875
＝85. 方差s 2
＝15[(84－85)2＋(84－85)2＋(86－85)2＋(84－85)2＋(87－85)2]＝1.6. 【答案】 A
10．(2015·广东高考)已知5件产品中有2件次品，其余为合格品，现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为( )
A ．0.4
B ．0.6
C ．0.8
D ．1
【解析】 记3件合格品为a 1，a 2，a 3,2件次品为b 1，b 2，则任取2件构成的基本事件空间为Ω＝{(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，a 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(b 1，b 2)}，共10个元素．
记“恰有1件次品”为事件A ，则A ＝{(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)}，共6个元素．
故其概率为P (A )＝610＝0.6.
【答案】 B
11．(2015·山东高考)在区间[0,2]上随机地取一个数x ，则事件“－1≤log 12
⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋12≤1”发生的概率为( ) A.34
B.23
C.13
D.14
【解析】 不等式－1≤log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12≤1可化为log 122≤log 12⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋12≤log 1212，即12≤x ＋12≤2，解得0≤x ≤32，故由几何概型的概率公式得P ＝32－0
2－0
＝34. 【答案】 A
12. 某工厂对一批产品进行了抽样检测．图6是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106]，样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是( )
图6
A．90 B．75
C．60 D．45
【解析】设样本容量是n，产品净重小于100克的概率为(0.050＋0.100)×2＝0.300，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则36
＝0.300，所以n＝
n
120.净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.75.所以样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是120×0.75＝90.
【答案】 A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．将参加数学竞赛的1 000名学生编号如下：0 001,0 002，…，1 000，打算从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样的方法分成50个部分，从第一部分随机抽取一个号码为0 015，则第40个号码为________．
【解析】本题考查系统抽样方法的应用，根据系统抽样方法的定义，得第40个号码对应15＋39×20＝795，即得第40个号码为0 795.
【答案】0 795
14．执行如图7所示的程序框图，若输入x＝8，则输出的k＝________.
图7
【解析】依题意，得x＝88，k＝1，x＜2 016；x＝888，k＝2，x＜2 016；x＝8 888，k＝3，x＞2 016，满足条件．，输出的k的值为3.
【答案】 3
15．半径为8 cm的圆形纸板内有一个相同圆心的半径为1 cm的小圆．现将半径为1 cm的一枚硬币抛到此纸板上，使硬币整体随机落在纸板内，则硬币落下后与小圆无公共点的概率为________．
【解析】由几何概型知所求概率为π×72－π×22
π×72
＝45
49.
【答案】45 49
16．已知直线l过点(－1,0)，l与圆C：(x－1)2＋y2＝3相交于A，B两点，则弦长|AB|≥2的概率为________．
【解析】设直线方程为y＝k(x＋1)，代入(x－1)2＋y2＝3中得(k2＋1)x2＋2(k2－1)x＋k2－2＝0，因为l与圆C相交于A，B两点，所以Δ＝4(k2－1)2－4(k2＋1)(k2－2)＞0，所以k2＜3，所以－3＜k＜ 3.
又当弦长|AB|≥2时，
因为圆半径r＝3，所以圆心到直线的距离d≤2，即|2k|
1＋k2
≤2，所以k2≤1，所以－1≤k≤1.
由几何概型知，事件M：“直线l与圆C相交，弦长|AB|≥2”的概率P(M)
＝1－(－1)
3－(－3)
＝3
3.
【答案】
3
3
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明
过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)高一(1)班参加校生物竞赛学生的成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：
图8图9
(1)求高一(1)班参加校生物竞赛的人数及分数在[80,90)之间的频数，并计算频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高；
(2)若要从分数在[80,100]之间的学生中任选2人进行某项研究，求至少有1人分数在[90,100]之间的概率．
【解】(1)因为分数在[50,60)之间的频数为2，频率为0.008×10＝0.08，所
以高一(1)班参加校生物竞赛的人物为2
0.08
＝25.
分数在[80,90)之间的频数为25－2－7－10－2＝4，频率为4
25
＝0.16.
所以频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高为0.16
10
＝0.016.
(2)设“至少有1人分数在[90,100]之间”为事件A，将[80,90)之间的4人编号为1,2,3,4，[90,100]之间的2人编号为5,6.
在[80,100]之间任取2人的基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，
(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15个．其中，至少有1人分数在[90,100]之间的基本事件有9个，根据古典概型概率的计算公式
得P(A)＝9
15＝3 5.
18．(本小题满分12分)随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图10所示．
(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；
(2)计算甲班的样本方差；
(3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173 cm的同学，求身高为176 cm的同学被抽中的概率．
图10
【解】(1)由茎叶图可知：甲班身高集中于160 cm～179 cm之间，而乙班身高集中于170 cm～180 cm之间．因此乙班平均身高高于甲班．
(2)x＝158＋162＋163＋168＋168＋170＋171＋179＋179＋182
10
＝170(cm)．
甲班的样本方差
s2＝1
10[(158－170)
2＋(162－170)2＋(163－170)2＋(168－170)2＋(168－170)2
＋(170－170)2＋(171－170)2＋(179－170)2＋(179－170)2＋(182－170)2]＝57.2(cm)．
(3)设“身高为176 cm的同学被抽中”为事件A，从乙班10名同学中抽中两
名身高不低于173 cm的同学有(181,173)，(181,176)，(181,178)，(181,179)，(179,173)，(179,176)，(179,178)，(178,173)，(178,176)，(176,173)共10个基本事件，而事件A含有4个基本事件(181,176)，(179,176)，(178,176)，(176,173)，∴P(A)＝
4
10
＝2
5.
19．为迎接春节，某工厂大批生产小孩玩具——拼图，工厂为了规定工时定额，需要确定加工拼图所花费的时间，为此进行了10次试验，测得的数据如下：拼图数
x/个
102030405060708090100 加工时间
y/分钟
626875818995102108115122
(2)求回归方程；
(3)根据求出的回归方程，预测加工2 010个拼图需用几个小时．(精确到0.1)
【解】(1)散点图如图所示．
由散点图可以看出，两个变量具有线性相关关系．
(2)经计算得x＝55，y＝91.7，∑
i＝1
10
x2i＝38 500，∑
i＝1
10
x i y i＝55 950.设所求的回归方程为y^＝b^x＋a^，则有b^＝
55 950－10×55×91.7
38 500－10×552
≈0.668，a
^＝y－b^
x≈54.96.因此，所求的回归方程是y^＝0.668x＋54.96.
(3)当x＝2 010时，y＝0.668×2 010＋54.96≈1 397.6(分钟)，1 397.6分钟
≈23.3小时，因此，加工2 010个拼图所需时间约为23.3小时． 20.如图11，已知AB 是半圆O 的直径，AB ＝8，M ，N ，P 是将半圆圆周四等分的三个分点．
图11
(1)从A ，B ，M ，N ，P 这5个点中任取3个点，求这3个点组成直角三角形的概率；
(2)在半圆内任取一点S ，求△SAB 的面积大于82的概率．
【解】 (1)从A ，B ，M ，N ，P 这5个点中任取3个点，一共可以组成10个三角形：△ABM ，△ABN ，△ABP ，△AMN ，△AMP ，△ANP ，△BMN ，△BMP ，△BNP ，△MNP ，其中是直角三角形的只有△ABM ，△ABN ，△ABP 3个，所以组成
直角三角形的概率为310.
(2)连接MP ，取线段MP 的中点D ，则OD ⊥MP ，易求得
OD ＝22，
当S 点在线段MP 上时，S △ABS ＝12×22×8＝82，
所以只有当S 点落在阴影部分时，△SAB 的面积才能大于82，而S 阴影＝S 扇形MOP －S △OMP ＝12×π2×42－12×42＝4π－8，
所以由几何概型的概率公式得△SAB 的面积大于82的概率为4π－88π＝π－22π.
21．(2015·福建高考)全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标．根据相关报道提供的全网传播2015年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前20名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计，结果如表所示．
(1)现从融合指数在2家进行调研，求至少有1家的融合指数在[7,8]内的概率；
(2)根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数．
【解】法一：(1)融合指数在[7,8]内的“省级卫视新闻台”记为A1，A2，A3；融合指数在[4,5)内的“省级卫视新闻台”记为B1，B2.从融合指数在[4,5)和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有基本事件是
{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}，共10个．
其中，至少有1家融合指数在[7,8]内的基本事件是{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，共9个．
所以所求的概率P＝9
10.
(2)这20家“省级卫视新闻台”的融合指数平均数等于4.5×2
20
＋5.5×8
20
＋
6.5×7
20
＋7.5×3
20
＝6.05.
法二：(1)融合指数在[7,8]内的“省级卫视新闻台”记为A1，A2，A3；融合指数在[4,5)内的“省级卫视新闻台”记为B1，B2.从融合指数在[4,5)和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有的基本事件是{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}，共10个．
其中，没有1家融合指数在[7,8]内的基本事件是{B1，B2}，共1个．
所以所求的概率P＝1－1
10＝9 10.
(2)同解法一．
22．(本小题满分12分)某中学团委组织了“中国梦”的知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩(均为整数)分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后，画出如图12频率分布直方图．观察图形给出的信息，回答下列问题：
图12
(1)求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；
(2)估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)和平均分；
(3)从成绩是[40,50)和[90,100]的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率．
【解】(1)因为各组的频率和等于1，第四小组的频率：f4＝1－(0.025＋0.015×2＋0.010＋0.005)×10＝0.3，其频率分布直方图如图所示．
(2)依题意，60分及以上的分数所在的第三、四、五、六组，频率和为(0.015＋0.030＋0.025＋0.005)×10＝0.75.
所以，估计这次考试的及格率是75%.
利用组中值估算这次考试的平均分，可得45·f1＋55·f2＋65·f3＋75·f4＋85·f5＋95·f6
＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71.
所以估计这次考试的平均分是71分．
(3)[40,50)和[90,100]的人数分别是6和3，所以从成绩是[40,50)与[90,100]的学生中选两人，将[40,50)分数段的6人编号为A1，A2，…，A6，将[90,100]分数段的3人编号为B1，B2，B3，从中任取两人，则基本事件构成集合Ω＝{(A1，A2)，(A1，A3)，…，(A1，A6)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，A3)，(A2，A4)，…，(B2，B3)}，共有36个基本事件，其中，在同一分数段内的事件所含基本事件为(A1，A2)，(A1，A3)，…，(A1，A6)，(A2，A3)，…，(A5，A6)，(B1，B2)，(B1，B3)，
(B2，B3)共18个，故概率P＝18
36
＝1
2.。