一元二次方程配方法
一元二次方程专题复习
一元二次方程专题复习（一）直接开平方法→配方法要点一、一元二次方程的解法---配方法1．配方法解一元二次方程： (1)配方法解一元二次方程： 将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 要点诠释：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方； （2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式．类型一、用配方法解一元二次方程1.用配方法解方程x 2-7x-1＝0．【答案与解析】将方程变形为x 2-7x ＝1，两边加一次项的系数的一半的平方，得x 2-7x+＝1+，所以有＝1+．直接开平方，得x-＝或x-＝-．所以原方程的根为x ＝+或x ＝-．【总结升华】一般地，用先配方，再开平方的方法解一元二次方程，应按以下步骤进行： (1)把形如ax 2+bx+c ＝0(a ≠0)的方程中二次项的系数化为1； (2)把常数项移到方程的右边；2222()a ab b a b ±+=±(3)方程的两边都加“一次项系数一半的平方”，配方得形如(x+m)2＝n(n ≥0)的方程； (4)用直接开平方的方法解此题．举一反三：【变式】用配方法解方程.(1)x 2-4x-2＝0； (2)x 2+6x+8＝0.要点二、配方法的应用1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 要点诠释：“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，一定要学好．类型二、配方法在代数中的应用2．若代数式，，则的值（ ）A ．一定是负数B ．一定是正数C ．一定不是负数D ．一定不是正数【答案】B ；【解析】（作差法）．故选Ｂ．【总结升华】本例是“配方法”在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项、配成完全平方，使此差大于零而比较出大小.221078Ma b a =+-+2251N a b a =+++M N -22221078(51)M N a b a a b a -=+-+-+++2222107851a b a a b a =+-+----29127a a =-+291243a a =-++2(32)30a =-+>3．用配方法说明：代数式x2+8x+17的值总大于0.【答案与解析】x2+8x+17＝ x2+8x+42-42+17＝（x+4）2+1∵（x+4）2≥0，∴（x+4）2+1＞0，故无论x取何实数，代数式 x2+8x+17的值总大于0.【总结升华】利用配方法将代数式配成完全平方式后，再分析代数式值得符号.举一反三：【变式】求代数式 x2+8x+17的最小值4．（2014春•滦平县期末）已知x2+y2﹣4x+6y+13＝0，求（x+y）2013的值．【思路点拨】采用配方法求出x、y的值，代入计算即可得到答案．【答案与解析】解：x2+y2﹣4x+6y+13＝0，x2﹣4x+4+y2﹣+6y+9＝0，（x﹣2）2+（y+3）2＝0∴x﹣2＝0，y+3＝0，解得，x＝2，y＝﹣3，（x+y）2013＝﹣1．【总结升华】本题考查的是配方法的应用和非负数的性质的应用，掌握配方法的步骤和几个非负数的和为0，每个非负数都为0是解题的关键．1.一元二次方程的求根公式 一元二次方程，当时，.2.一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的判别式：． ①当时，原方程有两个不等的实数根；②当时，原方程有两个相等的实数根；③当时，原方程没有实数根.3.用公式法解一元二次方程的步骤 用公式法解关于x 的一元二次方程的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定a 、b 、c 的值（要注意符号）； ③求出的值；④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根.要点诠释：（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用.（2）一元二次方程，用配方法将其变形为：①当时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：② 当时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根： ③ 当时，右端是负数．因此，方程没有实根.20 (0)ax bx c a ++=≠2224()24b b ac x a a -+=240b ac ∆=->1,22b x a-±=240b ac ∆=-=1,22b x a=-240b ac ∆=-<5． 用公式法解下列方程．(1)； (2)．【总结升华】 用公式法解一元二次方程的关键是对a 、b 、c 的确定．用这种方法解一元二次方程的步骤是：(1)把方程化为一元二次方程的一般形式；(2)确定a ，b ，c 的值并计算的值；(3)若是非负数，用公式法求解．举一反三：【变式】用公式法解方程6．用公式法解下列方程：(1)； (2) ．【总结升华】首先把每个方程化成一般形式，确定出a 、b 、c 的值，在的前提下，代入求根公式可求出方程的根．23310x x --=2241x x =-24b ac -24b ac -2341x x =+2100x -+=(1)(1)x x +-=240b ac -≥举一反三：【变式】（2014秋•泽州县校级期中）用公式法解方程：5x 2﹣4x ﹣12＝0．【巩固练习】 一、选择题1.已知关于x 的一元二次方程，用配方法解此方程，配方后的方程是（ ）A ．B ．C ．D ． 2．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）A ．化为B ．化为C ．化为D ．化为3．（2015春•张家港市校级期中）若M=2x 2﹣12x+15，N=x 2﹣8x+11，则M 与N 的大小关系为（ ） A ．M ≥N B ． M ＞N C ． M ≤N D ． M ＜N 4．不论x 、y 为何实数，代数式的值 ( )A ．总小于2B ．总不小于7C ．为任何实数D ．不能为负数 5．已知，则的值等于（ ）A.4B.-2C.4或-2D.-4或2 6．若t 是一元二次方程的根，则判别式和完全平方式的关系是( )A.△=MB. △＞MC. △＜MD. 大小关系不能确定二、填空题 7．（1）x 2-x+ =（ ）2； （2）x 2+px+ =（ ）2. 220x x m --=2(1)1x m -=+2(1)1x m +=+22(1)1x m -=+22(1)1x m +=+22990x x --=2(1)100x -=22740t t --=2781416t ⎛⎫-= ⎪⎝⎭2890x x ++=2(4)25x +=23420x x --=221039x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭22247x y x y ++-+438．已知，则的值为 ． 9．已知4x 2-ax+1可变为（2x-b ）2的形式，则ab=_______．10．将一元二次方程x 2-2x-4=0用配方法化成（x+a ）2=b 的形式为____ ___，∴所以方程的根为_________． 11．把一元二次方程3x 2-2x-3=0化成3(x+m)2=n 的形式是___ ________；若多项式x 2-ax+2a-3是一个完全平方式，则a=_________. 12．（2015春•重庆校级期中）a 2+b 2﹣4a+2b+5=0，则b a 的值为 ．三、解答题 13. 用配方法解方程.(1) 3x 2-4x-2=0； (2)x 2-4x+6=0．14. 用公式法解下列方程：（2） ．15．（2014•甘肃模拟）用配方法证明：二次三项式﹣8x 2+12x ﹣5的值一定小于0．16．已知在⊿ABC 中,三边长a 、b 、c ,满足等式a 2-16b 2-c 2+6ab+10bc=0，求证:a+c=2b223730216b a a b -+-+=a -2(1)210x ax --=；22222(1)()ab x a x b x a b +=+>一元二次方程专题复习（二）温故知新:1.直接开平方法2.配方法3.公式法一、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
一元二次方程的解法
一元二次方程的解法一般解法1.配方法（可解全部一元二次方程）如：解方程：x^2+2x－3=0解：把常数项移项得：x^2+2x=3等式两边同时加1（构成完全平方式）得：x^2+2x+1=4因式分解得：（x+1)^2=4解得：x1=-3,x2=1用配方法解一元二次方程小口诀二次系数化为一常数要往右边移一次系数一半方两边加上最相当2.公式法（可解全部一元二次方程）首先要通过Δ=b^2-4ac的根的判别式来判断一元二次方程有几个根1.当Δ=b^2-4ac<0时x无实数根（初中）2.当Δ=b^2-4ac=0时x有两个相同的实数根即x1=x23.当Δ=b^2-4ac>0时x有两个不相同的实数根当判断完成后，若方程有根可根属于2、3两种情况方程有根则可根据公式：x={-b±√（b^2－4ac）}/2a来求得方程的根3.因式分解法（可解部分一元二次方程）（因式分解法又分“提公因式法”、“公式法（又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种）”和“十字相乘法”。
如：解方程：x^2+2x+1=0解：利用完全平方公式因式分解得：（x+1﹚^2=0解得：x1=x2=-14.直接开平方法（可解部分一元二次方程）5.代数法（可解全部一元二次方程）ax^2+bx+c=0同时除以a，可变为x^2+bx/a+c/a=0设：x=y-b/2方程就变成：(y^2+b^2/4-by)+(by+b^2/2)+c=0 X错__应为(y^2+b^2/4-by)除以(by-b^2/2)+c=0再变成：y^2+(b^22*3)/4+c=0 X ___y^2-b^2/4+c=0y=±√[(b^2*3)/4+c] X ____y=±√[(b^2)/4+c]1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。
1、直接开平方法直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。
用直接开平方法解形如(x-m)^2;=n (n≥0)的方程，其解为x=±√n+m .例(3x+1)^2;=7 解：(3x+1)^2=7 ∴(3x+1)^2=7 ∴3x+1=±√7 2．配方法：用配方法解方程ax^2+bx+c=0 (a≠0) 先将常数c移到方程右边：ax^2+bx=-c 将二次项系数化为1：x^2+b/ax=- c/a 方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x^2+b/ax+( b/2a)^2=- c/a+( b/2a)^2; 方程左边成为一个完全平方式：(x+b/2a )2= -c/a﹢﹙b/2a﹚²当b²-4ac≥0时，x+b/2a =±√﹙﹣c/a﹚﹢﹙b/2a﹚²∴x=﹛﹣b±[√﹙b²﹣4ac﹚]﹜/2a(这就是求根公式)例x^2-4x-12=0 (x-2)^2-4-12=0 (x-2)^2=16 x-2=±4 x=6或-2 3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b^2;-4ac的值，当b^2;-4ac≥0时，把各项系数a, b, c的值代入求根公式x=[-b±√(b^2;-4ac)]/(2a) , (b^2;-4ac≥0)就可得到方程的根。
配方法解方程的步骤
配方法解方程的步骤一、引言解方程是数学中的重要内容之一，它在各个领域都有着广泛的应用。
配方法是解一元二次方程的一种常用方法，通过将方程转化为完全平方的形式，从而求解出方程的根。
本文将以配方法解方程的步骤为标题，详细介绍配方法的具体流程。
二、步骤一：观察方程在使用配方法解方程之前，我们首先要观察方程的形式。
一元二次方程一般可以写为ax²+bx+c=0的形式，其中a、b、c分别是已知系数。
我们需要确定方程中a的系数是否为1，如果不为1，则需要进行系数的调整。
三、步骤二：进行系数的调整如果方程中a的系数不为1，我们可以将方程两边同时除以a，从而将a的系数变为1。
这样做的目的是为了方便后续的计算。
如果方程中只有b或只有c有系数，我们可以根据需要将方程进行调整。
四、步骤三：配方法的应用在完成系数的调整之后，我们可以开始应用配方法。
配方法的核心思想是将二次项的系数的一半平方加到方程两边，从而构造一个完全平方的二次项。
具体操作如下：1. 将方程的一元二次项的系数的一半平方加到方程两边；2. 将方程的常数项与一元二次项的系数的一半平方相加，得到一个完全平方的二次项；3. 将方程进行因式分解，得到一个完全平方的二次项和一个一次项的乘积；4. 根据因式分解的结果，得到方程的解。
五、步骤四：解方程完成配方法之后，我们可以根据因式分解的结果来解方程。
根据因式分解的性质，方程的解可以通过令括号中的两个因子等于零来求得。
具体操作如下：1. 令括号中的第一个因子等于零，解得一个根；2. 令括号中的第二个因子等于零，解得另一个根。
六、步骤五：验证解的正确性在求得方程的解之后，我们需要验证解的正确性。
将解代入原方程中，如果等式成立，则说明解是正确的；如果等式不成立，则说明解是错误的。
通过验证解的正确性，可以确保我们求得的解是准确无误的。
七、总结配方法是解一元二次方程的一种常用方法，它通过将方程转化为完全平方的形式来求解方程的根。
初中数学 如何求解一元二次方程的分数解
初中数学如何求解一元二次方程的分数解求解一元二次方程的分数解可以通过配方法、求根公式或图像法等方法来实现。
下面将详细介绍这些方法的步骤。
方法一：配方法配方法是一种通过将方程转化为完全平方的形式来求解一元二次方程的方法。
它的步骤如下：1. 将方程表示成标准形式：ax² + bx + c = 0，其中a，b和c是已知的实数常数，且a ≠ 0。
2. 如果方程的系数a不为1，可以通过除以a的方式，将方程转化为首项系数为1的形式。
3. 计算配方项的系数：将方程中的b项除以2，得到b/2。
4. 将方程两边加上(b/2)²，即将方程转化为完全平方的形式。
5. 将完全平方形式的方程进行因式分解。
6. 使用零乘法，将方程拆分为两个线性因式。
7. 解这两个方程，得到方程的解。
举个例子：考虑方程2x² + 3x - 1 = 0。
1. 将方程表示成标准形式，得到2x² + 3x - 1 = 0。
2. 方程的系数a为2，不为1，我们可以通过除以2的方式，将方程转化为首项系数为1的形式，得到x² + (3/2)x - 1/2 = 0。
3. 配方项的系数为3/2除以2，得到3/4。
4. 将方程两边加上(3/4)²，得到x² + (3/2)x + (9/16) - 1/2 - (9/16) = 0。
即得到(x + 3/4)² - 1/2 - 9/16 = 0。
5. 整理得到(x + 3/4)² - 25/16 = 0。
6. 将方程进行因式分解，得到[(x + 3/4) + √(25/16)][(x + 3/4) - √(25/16)] = 0。
简化得到[(x + 3/4) + 5/4][(x + 3/4) - 5/4] = 0。
7. 使用零乘法，得到(x + 8/4)(x - 2/4) = 0。
进一步简化得到(x + 2)(x - 1/2) = 0。
用配方法解一元二次方程的方法总结
用配方法解一元二次方程的方法总结:大家知道，解一元二次方程的方法很多，有直接开平分法，配方法，公式法和因式分解法等。
其中，配方法是解一元二次方程很好的方法，下面我就分情况对此方法进行讲解。
（一）二次项系数为1的情况:例:用配方法解方程x²－2x－3＝0解:x²－2x－3＝0，移项，得x²－2x＝3，配方，得x²－2x＋1²＝3＋1²，即（x－1）²＝4，x －1＝±2，x＝3或x＝－1(二)二次项系数为非1的正数的情况:例:用配方法解方程3x²＋6x－24＝0解:3x²＋6x－24＝0，3(x²＋2x)－24＝0，移项，得3(x²＋2x)＝24，配方，得3（x²＋2x＋1²）＝24＋3×1²，即3（x＋1）²＝27，即（x＋1）²＝9，x＋1＝±3，x＝2或x＝－4(三)二次项系数为负数的情况:例:用配方法解方程－2x²＋4x＋6＝0解:－2x²＋4x＋6＝0，－2（x²－2x）＋6＝0，移项，得－2（x²－2x）＝－6，配方，得－2（x²－2x＋1²）＝－6－2×1²，即－2(x－1)²＝－8，即（x－1）²＝4，x－1＝±2，x＝3或x＝－1综上所述:用配方法解一元二次方程的思路如下:（1）化二次项系数为1。
（2）移项:使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项。
（3）配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方，原方程变为（x＋m）²＝p的形式。
(4)直按开平方:求出方程的解。
同学们:看完我的讲述，用配方法解一元二次方程，你们学会了吗？。
一元二次方程配方法例题20道
一元二次方程配方法例题20道例题 1: 求解方程：x^2 - 5x + 6 = 0解法: 分解因式：(x - 2)(x - 3) = 0，所以 x = 2 或 x = 3。
例题 2: 求解方程：x^2 - 8x + 15 = 0解法: 分解因式：(x - 3)(x - 5) = 0，所以 x = 3 或 x = 5。
例题 3: 求解方程：x^2 + 7x + 12 = 0解法: 分解因式：(x + 3)(x + 4) = 0，所以 x = -3 或 x =-4。
例题 4: 求解方程：x^2 - 10x + 25 = 0解法: 分解因式：(x - 5)^2 = 0，所以 x = 5。
例题 5: 求解方程：x^2 + 6x + 8 = 0解法: 分解因式：(x + 2)(x + 4) = 0，所以 x = -2 或 x =-4。
例题 6: 求解方程：x^2 - 4x - 5 = 0解法: 分解因式：(x - 5)(x + 1) = 0，所以 x = 5 或 x = -1。
例题 7: 求解方程：x^2 - 2x - 3 = 0解法: 分解因式：(x - 3)(x + 1) = 0，所以 x = 3 或 x = -1。
例题 8: 求解方程：x^2 + 5x - 6 = 0解法: 分解因式：(x - 1)(x + 6) = 0，所以 x = 1 或 x = -6。
例题 9: 求解方程：x^2 - 7x + 12 = 0解法: 分解因式：(x - 3)(x - 4) = 0，所以 x = 3 或 x = 4。
例题 10: 求解方程：x^2 + 8x + 15 = 0解法: 分解因式：(x + 3)(x + 5) = 0，所以 x = -3 或 x =-5。
例题 11: 求解方程：x^2 - 9x + 20 = 0解法: 分解因式：(x - 4)(x - 5) = 0，所以 x = 4 或 x = 5。
例题 12: 求解方程：x^2 + 4x + 3 = 0解法: 分解因式：(x + 1)(x + 3) = 0，所以 x = -1 或 x =-3。
一元二次方程的解法(配方法)
在下列横线上填上适当的数
(1) x2 2x __1_2__ (x __1_)2
(2) x2 8x __4_2__ (x__4_)2
注意:配方时, 等式两边同时加上的是 一次项系数一半的平方.
2.用配方法解一元二次方程的步骤:
移项:把常数项移到方程的右边; 配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方; 开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 求解:解一元一次方程; 定解:写出原方程的解.
P 1、书 93习题4.2 2
P 2、《数学补充习题》 50
(1)x 2 12 x 9 (2)x2 x 1 (3) x2 4x 3 0(4)x2 2x 1 0
(5)x2 3x 5 0
配方时, 等式两边同时加上的是一 次项系数一半的平方
问题解决
群益中学教学楼前正在建造一长方形花园，
x x 要求长比宽多10m，面积是 200m2 ，若设
3、预习配方法解一元二次方程第2课时
x2 6x 32 4 32
左边写成完全平方的形式
(x 3)2 5
开平方
变成了(x+h)2=k 的形式
x3 5
x3 5,x3 5 得: x1 3 5, x2 3 5
以上解法中,为什么在方程 x2 6x 4
两边加9?加其他数行吗?
把一元二次方程的左边配成一个完全平方式, 然后用开平方法求解,这种解一元二次方程的 方法叫做配方法.
解一元二次方程的基本思路
降次
二次方程
一次方程
把原方程变为(x+h)2＝k的形式 (其中h、k是常数）。
一元二次方程的解法总结
一元二次方程的解法（直接开平方法、配方法、公式法和分解法）一元二次方程定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程。
一般形式:ax²+bx+c=0(a,b，c为常数，x为未知数，且a≠0）.顶点式: y=a（x—h）²+k（a≠0，a、h、k为常数）交点式：y=a（x—x₁）（x—x₂）(a≠0）［有交点A（x₁，0)和B（x₂，0)的抛物线，即b²-4ac≥0］ .直接开平方法：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。
用直接开平方法解形如(x—m）²=n(n≥0）的方程，其解为x=m±配方法：1.将此一元二次方程化为ax²+bx+c=0的形式（此一元二次方程满足有实根）2.将二次项系数化为13.将常数项移到等号右侧4。
等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方5.将等号左边的代数式写成完全平方形式6。
左右同时开平方7.整理即可得到原方程的根公式法:1。
化方程为一般式：ax²+bx+c=0 (a≠0）2。
确定判别式，计算Δ(=b²—4ac)；3。
若Δ〉0，该方程在实数域内有两个不相等的实数根：x=若Δ=0,该方程在实数域内有两个相等的实数根:x₁=x₂=若Δ〈0,该方程在实数域内无实数根因式分解法:因式分解法又分“提公因式法”;而“公式法”（又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种），另外还有“十字相乘法”，因式分解法是通过将方程左边因式分解所得，因式分解的内容在八年级上学期学完。
用因式分解法解一元二次方程的步骤1. 将方程右边化为0;2. 将方程左边分解为两个一次式的积;3. 令这两个一次式分别为0,得到两个一元一次方程；4. 解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。
用待定系数法求二次函数的解析式（1）当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时,可设解析式为一般形式：y=ax²+bx+c(a≠0）.(2）当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴或极大（小）值时,可设解析式为顶点式：y=a（x-h）²+k（a≠0)。
一元二次方程的解法—配方法
5、课后作业、拓展延伸
P41 A组2
教学后记：：
（1）x＝土2．
(2)
x十3＝士3，
x十3＝3或x十3＝一3，
x ＝0，x ＝一6．
这种方法叫直接开平方法．
(x十m) ＝n(n 0)．
因此，解一元二次方程的基本思路是将方程转化为(x+m)2=n 的形式，它的一边是一个完全平方式，另一边是一个常数，当n≥0 时，两边开平方便可求出它的根。
学生：P33 练习1
配方：填上适当的数，使下列等式成立：
（1）x2+12x+=(x+6)2
（2）x2―12x+=(x―)2
（3）x2+8x+=(x+)2
3、思考：解方程：
x2+12x－15=0
二、引例讲解、讲授新知
解：x 十12x一15＝0，
1、引入：像上面第3题，我们解方程会有困难，是否将方程转化为第1题的方程的形式呢？
（1）x1=5+ x2=5－
（2）x1=－3+ x2=－3－
这节课我们研究了一元二次方程的解法：
(1)直接开平方法．
(2)配方法．
即：(x+4)2=25
开平方，得：x+4=±5
即：x+4=5，或x+4=―5
所以：x1=1，x2=―9
4、配方法：通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法。
三、课堂练习、巩固新知
1．解下列方程
(1) x 一l0x十25＝7； (2) x 十6ห้องสมุดไป่ตู้＝1.
2、书P33 2
2、解方程的基本思路（配方法）
人教版九年级上册数学精品教学课件 第二十一章 一元二次方程 解一元二次方程 配方法 第2课时 配方法
3 2
x
3 4
2
1 2
3 4
2
x
3 4
2
1 16
31
1
x , 44
x1 1, x2 2
(3) 3x2-6x+4=0
(3) 解：移项，得：3x2-6x=-4 二次项系数化为1：x2 2x 4
3
配方，得：x2 2x 12 4 12 ,
3 ( x 1)2 1
3
因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，
①当p>0时，则 x n p ，方程的两个根为
x1 n p, x2 n p
②当p=0时,则(x+n)2=0，x+n=0,开平方得方程的两个根为 x1=x2=-n.
③当p<0时，则方程(x+n)2=p 无实数根.
随堂训练
基础巩固
1．将方程x2＋4x＝5左边配方成完全平方式，右边的常数应该 是( A )
A．9 B．6 C．4 D．1 2．若x2－6x＋m2是一个完全平方式，则m的值是( C ) A．3 B．－3 C．±3 D．以上都不对
3．用配方法解方程：
(1)2x2－4x－2＝1；
解：x1＝1＋
10 2
，x 2＝1－
10 2
(2)－3x2＋2x＋1＝0.
解：x1＝1，x 2＝－13
综合应用
4．能否存在一个实数x，使得x满足下列条件： ①x＋1＜3x－3；②3x－12＜2x－8；③代数式x2－2x的值为4. 若存在，请你求出这个x的值；若不存在，请说明理由．
(1)解：移项，得：x2-8x=-1
配方，得：x2-8x+42=-1+42
(x-4)2=15
一元二次方程四种解法例题
一元二次方程四种解法例题一元二次方程是我们学习高中数学课程中的重要内容，解一元二次方程是解决实际问题和数学推理的基础。
本文将介绍一元二次方程的四种解法，通过例题来演示每种解法的具体步骤和思路。
一、配方法解一元二次方程配方法是一种常见且基础的解一元二次方程的方法。
这种方法的核心思想是将方程化简为一个完全平方的差或和的形式。
下面通过一个例题来说明配方法的具体过程。
例题：解方程x^2+6x+8=0解法：Step 1: 观察方程，确定a、b、c的值方程中a=1，b=6，c=8。
Step 2: 将方程化简为完全平方的差在这个例题中，我们需要找到两个数m和n，使得x^2+6x+8能够表示为(x+m)^2+n的形式。
通过观察和试验，我们可以得到(x+2)^2-4的形式。
Step 3: 利用完全平方的差公式进行化简将方程x^2+6x+8=x^2+4x+4-4化简为(x+2)^2-4=0。
Step 4: 得到方程的解因此，方程的解为(x+2)^2=4，解得x+2=±2，即x=-4和x=0。
通过配方法解决问题，我们得到了方程x^2+6x+8=0的解为x=-4和x=0。
二、因式分解解一元二次方程因式分解是一种常用的解一元二次方程的方法，通过分解方程的左边和右边为两个因式相乘的形式，进而解得方程。
下面通过一个例题来说明因式分解的具体过程。
例题：解方程x^2-5x=0解法：Step 1: 观察方程，确定a、b、c的值方程中a=1，b=-5。
Step 2: 因式分解方程将方程x^2-5x=0因式分解为x(x-5)=0。
Step 3: 得到方程的解因此，方程的解为x=0和x=5。
通过因式分解解决问题，我们得到了方程x^2-5x=0的解为x=0和x=5。
三、完成平方解一元二次方程完成平方是一种常用的解一元二次方程的方法，通过将方程两边进行平方，消去符号，进而解得方程。
下面通过一个例题来说明完成平方的具体过程。
例题：解方程3x^2-4x+1=0解法：Step 1: 观察方程，确定a、b、c的值方程中a=3，b=-4，c=1。
沪科版八年级下册数学精品教学课件 第17章 一元二次方程 配方法
一元二次方程配方的方法：
在方程两边都加上一次项系数一半的平方——注意是 在二次项系数为 1 的一般式前提下进行的.
要点ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ纳
配方法解一元二次方程的定义 像这样通过配成完全平方式来解一元二次方程的
方法，叫做配方法.
配方法解一元二次方程的基本思路 把一元二次方程化为 (x + n)2 = p 的形式，通过开
(x 3)2 21. 4 16
x1
3 4
21
，x2
3 4
21
.
x1 = 6，x2 = -2. （4）3x2 + 6x - 9 = 0.
解：x2 + 2x - 3=0，
(x + 1)2 = 4.
x1 = -3，x2 = 1.
5. 如图，在一块长 35 m、宽 26 m 的矩形地面上，修建
同样宽的两条互相垂直的道路，剩余部分栽种花草，要
归纳 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的 根的方法叫直接开平方法.
典例精析
例1 利用直接开平方法解下列方程：
(1) x2 = 6；
(2) x2 - 900 = 0.
解：直接开平方，得 解：移项，得 x2 = 900.
x 6，
直接开平方，得
x1 6，x2 6.
x = ± 30， ∴ x1 = 30，x2 = -30.
解题归纳
上面的解法中 ，由方程①得到②，实质上是 把一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方 程，这样就把方程①转化为我们会解的方程了.
例2 解下列方程：
(1) (x 1)2 4 0； (2) 12(3 2x)2 3 0.
解：移项，得
解： 移项，得12(3 2x)2 3，
一元二次方程求解配方法
一元二次方程求解配方法嘿，朋友们！今天咱来聊聊一元二次方程求解的配方法呀！这配方法就像是一把神奇的钥匙，能打开一元二次方程那神秘的大门。
咱先说说啥是一元二次方程，就像 ax²+bx+c=0 这样的式子。
那配方法是咋回事呢？其实啊，就是把这个方程通过一些巧妙的手段，变成一个完全平方式。
你想啊，就好比你有一堆杂乱的积木，你得把它们拼成一个你熟悉的形状，这样你不就好处理了嘛！配方法就是这样的作用。
比如说，给你个方程 x²+6x+8=0。
那咱就开始动手啦！先把 x²+6x 这部分看成一个整体，要把它变成一个完全平方式，那就得加上一个数。
加啥呢？嘿，就是加上一次项系数一半的平方，也就是 3²=9。
那方程就变成了 x²+6x+9-9+8=0，整理一下就是 (x+3)²-1=0。
哇塞，这不就变成了一个我们熟悉的完全平方式嘛！接下来求解就简单啦，x+3=±1，那 x 不就出来了嘛！这配方法是不是很有意思呀？就像你在走迷宫，突然找到了一条特别的通道，一下子就走通了。
再举个例子，x²-4x+3=0。
这次咱还是一样的操作，先把 x²-4x 看成整体，一次项系数一半的平方是 4，那就加上 4 变成 x²-4x+4-4+3=0，也就是 (x-2)²-1=0，后面就不用说啦，你们肯定都会啦！学会了配方法，好多一元二次方程的问题都能迎刃而解啦！这感觉多棒呀！就好像你掌握了一门独特的技能，能在数学的世界里畅游无阻。
咱可别小瞧了这配方法，它可是数学里很重要的一部分呢！以后再遇到更复杂的问题，说不定都得靠它来帮忙呢！所以啊，朋友们，一定要好好掌握配方法呀！它能给你带来意想不到的收获呢！让我们一起在数学的海洋里快乐地遨游吧！这配方法，真的是太有用啦，你们说是不是呢？。
第02课 一元二次方程的解法(二)配方法(教师版)
故选：A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法---配方法，熟练掌握配方的步骤是解题的关键；配方法的一般步骤：（1）把
常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为 1；（3）等式两边同时加上一次项系数的绝对值一半的平
方．
3．用配方法解一元二次方程 2x2 - 4x - 2 = 1 的过程中，变形正确的是（ ）
7．将一元二次方程 x2 8x 5 0 化成 (x a)2 b （a，b 为常数）的形式，则 a，b 的值分别是（ ）
A． 4 ，21
B． 4 ，11
C．4，21
D． 8 ，69
【答案】A
【分析】
根据配方法步骤解题即可．
【详解】
解： x2 8x 5 0
移项得 x2 8x 5 ，
配方得 x2 8x 42 5 16 ，
D． 3x2 -4x
2
0
化为
x
2 3
2
10 9
【答案】C
【分析】
根据配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为 1；（3）等式两边同时加
上一次项系数一半的平方分别进行配方，即可求出答案．
【详解】
A、由原方程，得 x2 2x 99 0 ，
等式的两边同时加上一次项系数 2 的一半的平方 1，得 x 12 100 ；
【解析】
解：﹣8x2 + 12x-5 =﹣8（x2﹣ 3 x）﹣5 2
=﹣8[x2﹣ 3 x+（ 3 ）2]﹣5+8×（ 3 ）2
24
4
=﹣8（x﹣ 3 ）2﹣ 1 ，
4
2
∵（x﹣ 3 ）2≥0， 4
∴﹣8（x﹣ 3 ）2≤0， 4
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21.2.1 配方法
【复习回顾】
1.因式分解
（1）=++122x x （ ）2 (2)=+-122x x （ ）2
(3）=++962x x （ ）2 （4）=+
+4
932x x （ ）2
2. 填空题
（1）())2(224+=++x x x (2)())5(2210-=+-x x x
21.2.1 配方法(2)
配方法的理论依据是完全平方公式：()2
222b a b ab a ±=+±. 例1 在下列各空白处填上适当的数，使等式成立.
(1)()22_________12+=++x x x (2)()2
2__________3-=+-x x x (3)()22__________31+=++x x x (4)2
23191____⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-x x x 例2 解方程：
(1)01242=-+x x (2)0122=--x x
练一练：
1、在下列各题的横线上填上适当的数，使等式成立.
(1)()22____________10+=++x x x (2)()2
2____________12-=+-x x x (3)()22____________5+=++x x x (4)()22____________3
2-=+-x x x 2、用配方法解方程：
(1)03932=+-x x (2)x x 3122=+
【知识总结】
用配方法解一元二次方程的一般步骤：
(1)把二次项系数化为1：方程左右两边同时除以二次项的系数；
(2)移项：把常数项移到方程右边；
(3)配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化成()n m x =+2
的形式； (4)直接开平方：当0≥n 时，用直接开平方的方法解变形后的方程.
【课堂练习】
1、方程05422=--x x 配方可化为_________________.
2、若方程()012
=+-p x 有解，则p 的取值范围是___________. 3、用直接开平方法解下列方程，其中无实数解的方程为( )
A.032=-x
B.022=-x
C.092=+x
D.()022
=-x 4、一元二次方程022=+-n x x ，用配方法解方程，配方后的结果是( )
A.()112+=-n x
B.()112+-=-n x
C.()112--=-n x
D.()112
+-=+n x 5、关于x 的一元二次方程()024112=++++x x m m 的解为( )
A.1121-==x x ，
B.121==x x
C.121-==x x
D.无解
6、解方程：
(1)()0122=+-x x (2)()()331=+-x x
(3)0721242=-+x x (4)x x 2142=-
【巩固提升】
1、关于x 的一元二次方程052522=+-+-p p x x 的一个根为1，则实数p 的值是( )
A.4
B.1
C.-1
D.0或2
2、用配方法解方程x 2﹣6x ﹣4＝0，下列配方正确的是（ ）
A ．（x ﹣3）2＝13
B ．（x +3）2＝13
C ．（x ﹣6）2＝4
D ．（x ﹣3）2＝5
3、将方程x 2+2x ﹣5＝0的左边配成完全平方式后所得的方程是（ ）
A ．（x +2）2＝5
B ．（x +1）2＝6
C ．（x +1）2＝5
D ．（x +2）2＝6
4、将一元二次方程x 2﹣4x +1＝0配方后，原方程可化为（ ）
A ．（x +2）2＝5
B ．（x ﹣2）2＝5
C ．（x ﹣2）2＝3
D ．（x ﹣4）2＝15
5、用配方法解方程x 2﹣8x +5＝0，将其化为（x +a ）2＝b 的形式，正确的是（ ）
A ．（x +4）2＝11
B ．（x +4）2＝21
C ．（x ﹣8）2＝11
D ．（x ﹣4）2＝11
二．用配方法解方程
（1）x 2﹣8x +4＝0． （2） x 2﹣4x ﹣9＝0
(3)（2x +3）（x ﹣6）＝16 (4)（x +3）（x ﹣1）＝12
3、用配方法证明：无论x 取何实数，代数式18822+-x x 的值不小于10.
4、请你说明，无论a 取任何实数，代数式322++a a 的值不小于2.。