河南地区中考数学23题汇总

2008-2013年河南省中考数学第23题汇总
（2008年）23．（12分）如图，直线y=43
4
+-
x 和x 轴、y 轴的交点分别为B ，C 。

点A 的坐标是（－2,0）
（1） 试说明△ABC 是等腰三角形；
（2） 动点M 从点A 出发沿x 轴向点B 运动，同时动点N 从点B 出发沿线段BC 向点C 运动，
运动的速度均为每秒1个单位长度，当其中一个动点到达终点时，它们都停止运动，设点运动t 秒时，△MON 的面积为s 。

① 求s 与t 的函数关系式；
② 当点M 在线段OB 上运动时，是否存在s=4的情形？若存在，求出对应的t 值；若不存
在，说明理由；
③ 在运动过程中，当△MON 为直角三角形时，求t 的值。

(2009年)23.（11分）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形
ABCD 的三个顶点B （4，0）、C （8，0）、D （8，8）.抛物线y=ax 2
+bx 过A 、C 两点.
(1)直接写出点A 的坐标，并求出抛物线的解析式；
(2)动点P 从点A 出发．沿线段AB 向终点B 运动，同时点Q 从点C 出发，沿线段CD 向终点D 运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t 秒.过点P 作PE ⊥AB 交AC 于点E
①过点E 作EF ⊥AD 于点F ，交抛物线于点G.当t 为何值时，线段EG 最长?
②连接EQ ．在点P 、Q 运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ 是等腰三角形? 请直接写出相应的t 值.
（2010年）23．（11分）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A )0,4(-，B )4,0(-，
C )0,2(三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△AMB 的面积为S ．求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值．
（3）若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线x y -=上的动点，判断有几个位置能够使得点
P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标．
（2011年）23. （11
分）如图，在平面直角坐标系中，直线33
42
y x =
-与抛物线21
4
y x bx c =-++交于A 、B 两点，点A 在x 轴上，点B 的横坐标为－8.
（1）求该抛物线的解析式； （2）点P 是直线AB 上方．．的抛物线上一动点（不与点A 、B 重合），过点P 作x 轴的垂线，垂足为C ，交直线AB 于点D ，作PE ⊥AB 于点E .
①设△PDE 的周长为l ，点P 的横坐标为x ，求l 关于x 的函数关系式，并求出l 的最大值；
②连接P A ，以P A 为边作图示一侧的正方形APFG .随着点P 的运动，正方形的大小、位置也随之改变.当顶点F 或G 恰好落在y 轴上时，直接写出对应的点P 的坐标.
2012
（2013年）23．（11分）如图，抛物线2
y x bx c =-++与直线1
22
y x =+交于C 、D 两点，其中点C 在y 轴上，点D 的坐标为（3，72
），点P 是y 轴右侧的抛物线上的一动点，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，交CD 于点F 。

（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P 的横坐标为m ，当m 为何值时， 以O 、C 、P 、F 为顶点的四边形是平形四边形？ 请说明理由．
（3）若存在点P ，使∠PCF=45°，请直接写．．． 出．
相应的点P 的坐标． 答案 2008年
解：（1）将y=0代入y=43
4
+-x ,得到x=3,∴点B 的坐标为（3,0）
； 将x=0,代入y=43
4
+-
x ,得到y=4, ∴点C 的坐标为（0,4） …………2分 在Rt △OBC 中，∵OC ＝4，OB ＝3，∴BC ＝5。

又A （－2,0），∴AB ＝5，∴AB ＝BC ，∴△ABC 是等腰三角形。

………………4分 （2）∵AB=BC=5，故点M 、N 同时开始运动，同时停止运动。

过点N 作ND ⊥x 轴于D ， 则ND ＝NB ●sin ∠OBC ＝
t 5
4
， ① 当0＜t ＜2时（如图甲）
OM ＝2－t,
∴s=
ND OM •21=t t 54)2(21•- =t t 5
4
522+- ……………………7分
当2＜t ≤5时（如图乙），OM ＝t －2,
∴s=
ND OM •21=t t 54)2(21•- =t t 5
4
522- …………………………8分 （注：若将t 的取值范围分别写为0≤t ≤2和2≤t ≤5,不扣分） ② 存在s ＝4的情形。

当s ＝4时，
t t 5
4
522-＝4 解得t 1=1+11, t 2=1-11秒。

…………………………10分 ③ 当MN ⊥x 轴时，△MON 为直角三角形，
MB ＝NB ●COS ∠MBN ＝t 5
3
，又MB ＝5－t.
∴t 53=5-t, ∴t=8
25 ………………11分 当点M ，N 分别运动到点B ，C 时，△MON 为直角三角形，t=5. 故△MON 为直角三角形时，t=
8
25
秒或t ＝5秒 …………12分 2009年
23.(1)点A 的坐标为（4，8） …………………1分 将A (4,8)、C （8，0）两点坐标分别代入y=ax 2+bx
8=16a +4b
得
0=64a +8b
解 得a =-1
2
,b =4 ∴抛物线的解析式为：y =-12
x 2
+4x …………………3分
（2）①在Rt △APE 和Rt △ABC 中，tan ∠PAE =PE AP =BC AB ,即PE AP =4
8
∴PE =12AP =1
2
t ．PB=8-t ．
∴点Ｅ的坐标为（4+1
2t ，8-t ）.
∴点G 的纵坐标为：-12（4+12t ）2
+4(4+12t ）=-18
t 2+8. …………………5分
∴EG=-18t 2
+8-(8-t )
=-18t 2
+t .
∵-1
8
＜0，∴当t =4时，线段EG 最长为2. …………………7分
②共有三个时刻. …………………8分
t 1=
163， t 2=4013，t 3． …………………11分
2010年
2011年
23.（1）对于3342y x =
-，当y =0，x =2.当x =-8时，y =-152
. ∴A 点坐标为（2，0），B 点坐标为15
(8,).2
--…………………………………………1分
由抛物线21
4
y x bx c =-++经过A 、B 两点，得
012,15
168.2
b c b c =-++⎧⎪
⎨-=--+⎪⎩ 解得235135
..4
2442b c y x x =-=∴=--+，…………………………………………3分 （2）①设直线33
42y x =-与y 轴交于点M
当x =0时，y =32-. ∴OM =3
2
.
∵点A 的坐标为（2，0），∴OA =2.∴AM 22
5.2
OA OM +=……………………4分
∵OM ：OA ：AM =3∶4：5.
由题意得，∠PDE =∠OMA ，∠AOM =∠PED =90°，∴△AOM ～△PED .
∴DE ：PE ：PD =3∶4：5.…………………………………………………………………5分 ∵点P 是直线AB 上方的抛物线上一动点， ∴PD =y P -y D
213533()()44242x x x =--+--
=213
444x x --+.………………………………………………………………………6分
∴21213(4)542l x x =--+
231848
.555x x =--+…………………………………………………………………7分
23
(3)15.315.5
l x x l ∴=-++∴=-=最大时，……………………………………8分
②满足题意的点P 有三个，分别是122),2),P P
3P ……………………………………………………………11分 【解法提示】
当点G 落在y 轴上时，由△ACP ≌△GOA 得PC =AO =2，即2135
2442
x x -
-+=，解得
32
x -±=
，所以12
33(2),(,2).22P P ---
当点F 落在y 轴上时，同法可得377(
)22P -+-+，
4P （舍去）. 2012年
2013年 23.（11分）
（1）∵直线1
22
y x =
+经过C ，∴C 点坐标为（0，2） ∵抛物线2
y x bx c =-++经过C （0，2）和D （3，72
）
∴2
27332c b c =⎧⎪⎨=++⎪⎩，∴2
72
c b =⎧⎪⎨=⎪⎩，∴抛物线的解析式为2
722y x x =-++ （2）∵P 点横坐标为m ，∴P （m ，2
722m m -+
+）
，F （m ，1
22
m +） ∵PF ∥CO ，∴ 当PF=CO 时，以O 、C 、P 、F 为定点的四边形为平行四边形 ①当03m <<时，2
271
2(2)322
PF m m m m m =-+
+-+=-+ ∴2
32m m -+=，解得：11m =，22m =， 即当12m =或时，OCPF 为平行四边形.
②当3m ≥时，2
217
(2)(2)32
2
PF m m m m m =+--+
+=- ∴2
32m m -=，解得：1317m +=
，2317
m -=（舍去） 即当317
2
m +=
时，四边形OCPF 为平行四边形. （3）点P 的坐标为（
12，72）或（236，1318
） ①当03m <<时，点P 在CD 上方且∠PCF=45°， 作PM ⊥CD 于M ，CN ⊥PF 于N ，则： △PMF ∽△CNF ，从而
212
PM CN m
MF FN m ===，∴PM=CM=2CF ，
∴5555=52CN =52
m 又∵PF=2
3m m -+，∴2
5
32
m m m -+=， 解得：112m =
，20m =（舍去），∴P 的坐标为（12，72
） ②当3m >时，点P 在CD 下方且∠FCP=45°，作PM ⊥CD 于M ，CN ⊥PF 于N ，则： △PMF ∽△CNF ，从而
212
MP CN m
FM FN m
===，∴5FP ∵∠MCP=45°，∴CM=MP=
55FP ，∴FC=FM+MC=35
5
FP
^.
又∵FC=2=2m ， ∴有52FP m =，56FP m = 又∵2217(2)(2)322FP m m m m m =+--+
+=-，∴2536m m m =- 解得：1236m =，20m =（舍去）
∴P 的坐标为（236，1318
）。