第1讲 集合的概念与运用

表示 运算
文字语言
全集 U 中 07 补集 ___不__属__于__A 的元素
组成的集合
符号语言
{x|x∈U，且 x 08 __∉_A}
图形语言
记法 09 __∁_U_A_____
4．集合的运算性质 (1)并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔ 01 __B__⊆_A____.
2m－1>m＋1， m＋1>－2， 2m－1≤5.
1．(2020·广州市高三学情调研)已知集合{x|x2＋ax＝0}＝{0,1}，则实数
a 的值为( )
A．－1
B．0
C．1
D．2
解析 由 x2＋ax＝0，得 x(x＋a)＝0，所以 x＝0 或 x＝－a.所以由已知
条件可得－a＝1，所以 a＝－1.
2
PART TWO
经典题型冲关
题型 一 集合的基本概念与表示方法
1．(2019·厦门一中模拟)设集合 M＝{x|x＝2m＋1，m∈Z}，P＝{y|y＝
2m，m∈Z}，若 x0∈M，y0∈P，a＝x0＋y0，b＝x0y0，则( )
A．a∈M，b∈P
B．a∈P，b∈M
C．a∈M，b∈M
D．a∈P，b∈P
解析 答案
(3)已知集合 A＝{x|x＝3n，n∈N}，B＝{x|x＝6m，m∈N}，则 A 与 B 的关系为________________________.
答案 B A 解析 任取 x∈B，则 x＝6m＝3·2m,2m∈N，所以 x∈A，所以 B⊆A， 又 3∈A 但 3∉B，所以 B A.
解析 答案
2．小题热身
(1)已知集合 A＝{x|(x－1)(x＋2)＝0}，B＝{x∈Z|－3＜2x－1≤3}，则 A
∪B＝( )
A．{－2,1}
B．{0,1,2}
C．{－2，－1,0,1,2}
D．{－2,0,1,2}
解析 因为 A＝{－2,1}，B＝{x∈Z|－1＜x≤2}＝{0,1,2}，所以 A∪B ＝{－2,0,1,2}．
解析 答案
2．已知集合 A＝{x|x2－2x≤0}，B＝{x|x≤a}，若 A⊆B，则实数 a 的取
值范围是( )
A．a≥2
B．a>2
C．a<0
D．a≤0
解析 ∵A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|x≤a}，∴为使 A⊆B，a 须满足 a≥2.
1,0,1，所以 A 中元素共有 9 个，故选 A.
解析 答案
3 ． 若 集 合 A ＝ {a － 3,2a － 1 ， a2 － 4} ， 且 － 3 ∈ A ， 则 实 数 a ＝ ________________________.
答案 0 或 1 解析 因为－3∈A，所以 a－3＝－3 或 2a－1＝－3 或 a2－4＝－3，解 得 a＝0 或 a＝－1 或 a＝1. 当 a＝0 时，A＝{－3，－1，－4}，符合题意； 当 a＝－1 时，2a－1＝a2－4＝－3，不满足集合中元素的互异性，故舍 去； 当 a＝1 时，A＝{－2,1，－3}，符合题意． 综上知 a＝0 或 1.
解析
2．(2018·全国卷Ⅱ)已知集合 A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则
A 中元素的个数为( )
A．9
B．8
C．5
D．4
解析 ∵x2＋y2≤3，∴x2≤3，∵x∈Z，∴x＝－1,0,1，
当 x＝－1 时，y＝－1,0,1；当 x＝0 时，y＝－1,0,1；当 x＝1 时，y＝－
4．能使用 Venn 图表达集合间的基本关系及基本运算
[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲一直是高考中的必考内容．预测 2021 年高考会以考查集合交、并、补的运算为主，结合不等式的解法，求 函数的定义域、值域等简单综合命题，试题难度不大，以选择题形式呈现.
1
PART ONE
基础知识过关
1．集合与元素 (1)集合中元素的三个特征：01 __确__定__性___、02 __互__异__性___、03 _无__序__性____. (2)元素与集合的关系有 04 __属__于__或 05 __不__属__于___两种，用符号 06 _∈__ 或 07 __∉_表示． (3)集合的表示法： 08 __列__举__法___、 09 __描__述__法___、 10 __图__示__法___.
A．1
B．2
C．3
D．4
解析 若 x∈B，则－x∈A，所以 x 只可能取 0，－1，－2，－3.而 1－
x∉A，逐一检验可知 B＝{－3}，只有 1 个元素．
解析 答案
2．已知单元素集合 A＝{x|x2－(a＋2)x＋1＝0}，则 a 等于( )
A．0
B．－4
C．－4 或 1
D．－4 或 0
解析 因为集合 A 只有一个元素．所以一元二次方程 x2－(a＋2)x＋1 ＝0 有两个相等的实根，所以 Δ＝(a＋2)2－4＝0，解得 a＝－4 或 0.
8 (4)已知集合 A＝x，y，B＝{0，x2}，且 A＝B，则集合 A 的子集为 ________________________. 答案 ∅，{0}，{4}，{0,4}
8 解析 由题意得x＝x2，y＝0，解得 x＝2， 所以 A＝{0,4}，其子集为∅，{0}，{4}，{0,4}．
解析 答案
第一章 集合与常用逻辑用语 第1讲 集合的概念与运用
[考纲解读] 1.了解集合的含义．体会元素与集合的关系，能用自然语言、 图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述具体问题． 2．理解集合间的相等与包含关系，会求集合的子集，了解全集与空集的含 义．(重点) 3．在理解集合间的交、并、补的含义的基础上，会求两个集合的并集与交 集，会求给定子集的补集．(重点、难点)
解得 2≤m≤3.
由①②可得，符合题意的实数 m 的取值范围为 m≤3.
解析 答案
条件探究 将本例中的集合 A 改为“A＝{x|x<－2 或 x>5}”，则实数 m
的取值范围为________________________.
答案 (－∞，2)∪(4，＋∞)
解析 因为 B⊆A，所以
①当 B＝∅时，即 2m－1<m＋1 时，m<2，符合题意．
3．集合的基本运算
表示 运算
文字语言
符号语言
属于 A 01 _且__属于 B {x|x∈A， 交集
的元素组成的集合 02 _且__x∈B}
属于 A 04 _或__属于 B {x|x∈A， 05 并集
的元素组成的集合 _或__x∈B}
图形语言
记法wk.baidu.com
03 _A__∩__B____
06 __A_∪__B____
(4)若有限集 A 中有 n 个元素，则 A 的子集个数为 06 __2_n 个，非空子集 个数为 07 ____2_n_－__1___个，真子集有 08 _____2_n－__1_______个，非空真子集的 个数为 09 ____2_n_－__2____个．
1．概念辨析 (1)若 1∈{x，x2}，则 x＝±1.( × ) (2){x|y＝x2}＝{y|y＝x2}＝{(x，y)|y＝x2}．( × ) (3){x|x≥2}＝{t|t≥2}．( √ ) (4)对于任意两个集合 A，B，总有(A∩B)⊆A，A⊆(A∪B)．( √ )
m＋1≤2m－1， m＋1≤2m－1，
②当 B≠∅时，m＋1>5
或2m－1<－2，
m≥2， m≥2，
解得m>4
或m<－12， 即 m>4.
综上可知，实数 m 的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞)．
解析 答案
1．判断集合间关系的三种方法 根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比较集合元素的异
列举法 同，从而找出集合之间的关系．如举例说明 1 从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素
(4)常见数集的记法
集合 自然数集
正整数集
符号
N
N*(或 N＋)
整数集 Z
有理数集 Q
实数集 R
2．集合间的基本关系
(1)基本关系
关系
自然语言
符号语言
Venn 图
集合 A 中所有元素都在集合 01 ___A_⊆__B____ 子集
B 中(即若 x∈A，则 x∈B) (或 02 _B_⊇__A____)
2．两个易错点 (1)忽视集合中元素的互异性．如举例说明 3，求出 a 值后应注意检验． (2)忽视分类讨论．如举例说明 2，要分 x＝－1，x＝0 和 x＝1 三种情况 讨论，可以保证不重不漏.
1．设集合 A＝{0,1,2,3}，B＝{x|－x∈A,1－x∉A}，则集合 B 中元素的个
数为( )
解析 答案
1．用描述法表示集合的两个关键点 (1)搞清楚集合中的代表元素是什么．如举例说明 1,3 是数，举例说明 2 是有序数对(或平面内的点)． (2)看这些元素满足什么共同特征．如举例说明 1，集合 M 是所有奇数 构成的集合，集合 P 是所有偶数构成的集合．如举例说明 2，x，y 是整数 且满足 x2＋y2≤3.
解析 答案
2．已知集合 M＝xx＝k4π＋π4，k∈Z，集合 N＝xx＝k8π－π4，k∈Z，则(
)
A．M N
B．N M
C．M＝N
D．以上都不对
kπ π 2k＋1
kπ π k－2
解析 ∵ 4 ＋4＝ 8 π，k∈Z，8 －4＝ 8 π，k∈Z，∴任取 x∈M，
π
π
有 x∈N，且8∈N，但8∉M，∴M N.
解析 答案
3．已知集合 A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若 B⊆A， 则实数 m 的取值范围为________________________.
答案 (－∞，3]
解析 因为 B⊆A，所以①若 B＝∅，则 2m－1<m＋1，此时 m<2.
2m－1≥m＋1， ②若 B≠∅，则m2m＋－1≥ 1≤－52. ，
(2)交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔ 02 __A__⊆_B____.
(3)补集的性质：A∪(∁UA)＝ 03 _U__；A∩(∁UA)＝ 04 _∅__；∁U(∁UA)＝ 05 __A_；∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)；∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)．
结构法 结构上找差异进行判断．如举例说明 2 在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，从
数轴法 而确定集合与集合之间的关系．如举例说明 3
2．根据集合间的关系求参数的策略 (1)注意对集合是否为空集进行分类讨论 因为∅⊆A 对任意集合 A 都成立．如举例说明 3 中 2m－1<m＋1 时，B ＝∅，B⊆A 也成立． (2)借助 Venn 图和数轴使抽象问题直观化．如举例说明 3，当 B≠∅时， 由 B⊆A，借助数轴，列出关于 m 的不等式组． (3)注意检验区间端点值，如举例说明 3，若将两个集合改为 A＝{x|－ 2<x≤5}，B＝{x|m＋1≤x<2m－1}，若 B≠∅，为使 B⊆A，m 须满足
解析 答案
题型 二 集合间的基本关系
1．集合 M＝{x|x＝3n，n∈N}，集合 N＝{x|x＝3n，n∈N}，则集合 M
与集合 N 的关系为( )
A．M N
B．N M
C．M＝N
D．M N 且 N M
解析 因为 1∈M,1∉N，所以 M N，因为 0∈N,0∉M，所以 N M.综上 知，M N 且 N M.
解析 答案
(2)设全集为 R，集合 A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x≥1}，则 A∩(∁RB)＝( )
A．{x|0＜x≤1}
B．{x|0＜x＜1}
C．{x|1≤x＜2}
D．{x|0＜x＜2}
解析 因为 B＝{x|x≥1}，所以∁RB＝{x|x＜1}．因为 A＝{x|0＜x＜2}， 所以 A∩(∁RB)＝{x|0＜x＜1}，故选 B.
答案
解析 解法一：设 x0＝2n＋1，y0＝2k(n，k∈Z)， 则 x0＋y0＝2n＋1＋2k＝2(n＋k)＋1∈M， x0y0＝(2n＋1)(2k)＝2(2nk＋k)∈P， 故 a∈M，b∈P. 解法二：由已知得，集合 M 是所有奇数构成的集合，集合 P 是所有偶 数构成的集合，根据奇数＋偶数是奇数，奇数×偶数是偶数可知 a∈M，b ∈P.
关系
自然语言
符号语言
真子集
集合 A 是集合 B 的子集，且 03 __A__B____
集合 B 中至少有一个元素不 (或 04 __B___A____)
在集合 A 中
集合 A，B 中的元素相同或集
集合相等
05 __A__＝__B______
合 A，B 互为子集
Venn 图
(2)结论 ①空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集，符号表示为∅⊆ A，∅ B(B≠∅)． ②对于任意集合 A，A⊆A. ③若 A⊆B，B⊆C，则 06 ___A_⊆__C______.