微分方程习题教材

微分方程和差分方程作业题

专业：土规1101班 姓名：刘迈克 学号：2011306200521

微分方程模型作业：

1．用matlab 求解微分方程组

00dx x y dt dy x y dt ⎧++=⎪⎪⎨

⎪+-=⎪⎩

（1）求在初始条件0|,1|00====t t y x 下的特解，并画出解函数()y f x =的图形．

（2）分别用 ode23、ode45 求此微分方程组初值问题的数值解(近似解)，求解区间为[0,2]t ∈．利用画图来比较两种求解器之间的差异．

解：

程序：

[x,y]=dsolve('Dx+x+y=0','Dy+x-y=0', ...

'x(0)=1', 'y(0)=0', 't')

ezplot(x,y,[0,5]);

（1）

=x t t t t e e e e 22224242212

1+-+ 4242

22t t e e y -=

（2）

先编写函数文件 verderpol.m

function xprime=verderpol(t,x)

xprime=[-x(1)-x(2); -x(1)+x(2)];

再编写脚本文件 vdpl.m，在命令窗口直接运行该文件

clear;

y0=[1;0];

[t,x]=ode45（23）('verderpol',[1,40],y0);

plot(t,x(:,1),'or-');

ode45求解器微分方程组初值问题的数值解(近似解)

Ode23求解器微分方程组初值问题的数值解(近似解)

两种求解器之间的差异：

由图像可知，Ode45求解器的图像中点数比较多，更加精确。

2．设初始时容器里盛放着含净盐10千克的盐水100升，现对其以每分钟3升的速率注入清水，容器内装有搅拌器能将溶液迅时搅拌均匀，并同时以每分钟2升

的速率放出盐水，求1小时后容器里的盐水中还含有多少净盐？

解：

分析：

设t 时刻（单位为分钟）净盐量为x(t)（单位: kg/l ），考虑时间区间为[t,t+△t]。 t x dt dx +-=100*2 10)0(=x

程序：

x=dsolve('Dx=-2*x/(100+t)','x(0)=10','t');

结果：

2

)100(100000+=t x 程序：ezplot(x);

结果：

当t=60时，x=3.9025

3.医生给病人开药时需告诉病人服药的剂量和两次服药的间隔时间，服用的剂量过大会产生副作用甚至危险，服用的剂量过小又达不到治疗的目的，例如，为有效杀死病菌，体内药物浓度应达到A,试分析这一问题并设计出一种病人服药的方法。

解：

方法一：快速静脉注射

微分方程 0=+kx dt dx D x =)0(

结果 kt De t x -=)(

kt e V

D t c -=)(

方法二：恒速静脉点滴

方程 0K kx dt dx =+ 0)0(=x

解为 )1()(0kt e k

K t x --=

)1()(0kt e Vk

K t c --=（为第一次点滴，时间T1） 第二次点滴初始值 )1()()1(0T t k e Vk

K t c ---= 方法三：口服药或肌注

方程 t k De k kx dt dx 11-=+ 0)0(=x

解得 )()(111t k kt e e k

k D k t x ----= )()

()(111t k kt e e k k V D k t c ----=

由分析可知，第二种效果更好一些。

4. 早期肿瘤的体积增长满足Malthus 模型（dV V dt

λ=，其中λ为常数），（1）求肿瘤的增倍时间σ。根据统计资料，一般有σ∈(7,465)（单位为天），肺部恶性肿瘤的增倍时间大多大于70天而小于465天（发展太快与太慢一般都不是恶性肿瘤），故σ是确定肿瘤性质的重要参数之一（2）为方便起见，医生通常用肿瘤直径来表示肿瘤的大小，试推出医生用来预测病人肿瘤直径增大速度的公式302t

D D σ=. (3) 正常人身上也有癌细胞，一个癌细胞直径约为10μm ，重约0.001μg.，当患者被查出患有癌症时，通常直径已有1cm 以上（即已增大1000倍），由此容易算出癌细胞转入活动期已有30σ天，故如何在早期发现癌症是攻克癌

症的关键之一。手术治疗常不能割去所有癌细胞，故有时需进行放射疗法。射线强度太小无法杀死癌细胞，太强病人身体又吃不消且会使病人免疫功能下降。一次照射不可能杀死全部癌细胞，请设计一个可行的治疗方案（医生认为当体内癌细胞数小于105个时即可凭借体内免疫系统杀灭。

解：

（1）dV V dt

λ=，其中λ为常数 t ce V λ=（其中c 为常数）

当,20V V =λσ2ln =

（2）302

t D D σ= 5

61D V π= 33)(D dt

D d λ= 3

32D dt dD D λ= λσ2ln =

λ

32ln D dt dD = 因为 t=0时，0D D =

所以 302t

D D σ=

（3）假设，不考虑杀死免疫细胞从而影响人类免疫功能，一位病人癌细胞直径

为1cm ，癌细胞含量为610，治疗打算用17/2σ天使癌细胞减少到可杀死水平，每两次治疗的间隔为1/2σ,用9次治疗使癌细胞得到控制。

程序：

clear;

clc;

for x=1:900000

k=1000000-x;

for i=1:9

k=sqrt(2)*k-x;

end

if k<=100000

break

end