两类曲线积分的联系与习题课

= ∫ A⋅ t ds = ∫ A cosθ ds
L L
说明: 说明 上述证法可推广到三维的第二类曲线积分.
例30.2. 将积分 .
其中L 沿上半圆周
化为对弧长的积分,
解： y = 2x − x , d y =
2
1− x
2x − x2 1 ds = 1+ y′2 dx = dx 2 2x − x
dx
向坐标原点, 其大小与作用点到 xoy 面的距离成反比. r r r k xi + y j + zk k 0 解: F = z (−r ) = − B 2 2 2 z z x + y +z
W = ∫ F ⋅ ds = −k∫
L
x dx + y d y + z dz z x2 + y2 + z2
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o
A
用直角坐标方程 用极坐标方程
(2) 确定积分上下限
对弧长 : 下小上大 对坐标 : 下始上终
例30.３. ３
计算
y
其中L为摆线
上对应 t 从 0 到 2π 的一段弧. 解：
O
2πa
x
例30.４. 计算 ４
其中Γ由平面 y = z 截球面 从 z 轴正向看沿逆时针方向.
z
解：
o x
1y
2. 基本技巧 (1) 利用对称性及重心公式简化计算 ; (2) 利用两类曲线积分的联系公式 . 例30.5. 计算 .
其中Γ 为曲线
z
Γ
解：
o
y
x
4 3 = πa . 3
例30.6. .
求力
沿有向闭曲线 Γ 所作的
功, 其中 Γ 为平面 x + y + z = 1 被三个坐标面所截成三 角形的整个边界, 从 z 轴正向看去沿顺时针方向. 解：
z
B
o
A x
C y
备用题
( 例30.7. 一质点在力场F 作用下由点 A 2, 2,1) 沿直 . 线移动到 B(4, 4, 2), 求 F 所作的功 W. 已知 F 的方向指
t = (cosα , cos β , cosγ )
∫Γ A⋅ ds= ∫Γ A⋅t ds
记 A 在 t 上的投影为 At
∫Γ A⋅ ds
例30.1 设 续, 曲线段 L 的长度为s, 证明
在L上连
证:
L
=
∫L( Pcosα +Qcos β ) ds
≤ ∫ Pcosα +Qcos β ds
设 A= (P, Q , t = (cosα,cos β) ) 二者夹角为 θ
y
L
x = 2t + 2 ) L: y = 2t + 2 (t : 0 →1 z =t +1 1 3d t = −3k ln2 = −k∫ 0 t +1
x
AB = (2,2,1 )
例30.8. . 设曲线C为曲面
与曲面
从 ox 轴正向看去为逆时针方向, (1) 写出曲线 C 的参数方程 ; (2) 计算曲线积分 解: (1)
两类曲线积分之间的联系 曲线积分习题课
一． 两类曲线积分之间的联系
设有向光滑弧 L 以弧长为参数 的参数方程为
dx dy 已知L切向量的方向余弦为 cosα = , cos β = ds ds 则两类曲线积分有如下联系
∫L P(x, y)d x +Q(x, y)d y
= ∫ {P[x(s), y(s)]cosα +Q[x(s), y(s)]cos β }ds
l 0
= ∫ { P(x, y)cosα +Q(x, y)cosβ }ds
L
类似地, 在空间曲线 Γ上的两类曲线积分的联系是
∫Γ Pdx +Qd y + Rd z
Γ
= ∫ ( Pcosα +Q cos β + Rcosγ )ds
令 A= (P, Q, R), ds = (d x , dy , dz)
(2) 原式 = 令
利用“偶倍奇零 ”
作业讲评
y
o
=1− x
(1− x)
Bx
= 2x− x2,
∫L P(x, y)dx +Q(x, y)dy =
2x− x2
注：若L是从B(2,0)到O(0,0), 则情况又如何呢？
二． 两类曲线积分的计算方法
1. 基本方法 曲线积分
对弧长 (第一类) 对坐标 (第二类 ) 用参数方程 转化
定积分
(1) 统一积分变量