海南文昌中学九年级数学上册第一单元《一元二次方程》测试(答案解析)

一、选择题1．用配方法解方程x 2﹣6x ﹣3＝0，此方程可变形为（ ）A ．（x ﹣3）2＝3B ．（x ﹣3）2＝6C ．（x+3）2＝12D ．（x ﹣3）2＝122．方程2240x x --=经过配方后，其结果正确的是（ ）A ．()215x -=B ．()217x -=C ．()214x -=D ．()215x += 3．关于x 的一元二次方程()25410a x x ---＝有实数根，则a 满足（ ）． A ．5a ≠B ．1a ≥且5a ≠C ．1a ≥D ．1a <且5a ≠ 4．x=－2是关于x 的一元二次方程2x 2+3ax －2a 2=0的一个根，则a 的值为（ ） A ．1或4 B ．－1或－4 C ．－1或4 D ．1或－4 5．由于疫情得到缓和，餐饮行业逐渐回暖，某地一家餐厅重新开张，开业第一天收入约为5000元，之后两天的收入按相同的增长率增长，第3天收入约为6050元，若设每天的增长率为x ，则x 满足的方程是（ ）A ．5000（1+x ）＝6050B ．5000（1+2x ）＝6050C ．5000（1﹣x ）2＝6050D ．5000（1+x ）2＝6050 6．方程22x x =的解是（ ）A ．0x =B ．2x =C ．10x =，22x =D ．10x =，22x =7．某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件100元降到每件64元，则平均每次降价的百分率为（ ）A ．15%B ．40%C ．25%D ．20%8．在一幅长80cm ，宽50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm 2，设金色纸边的宽为xcm ，那么x 满足的方程是（ ）A ．x 2+65x-350=0B ．x 2+130x-1400=0C ．x 2-130x-1400=0D ．x 2-65x-350=0 9．关于x 的方程2mx 0x +=的一个根是1-，则m 的值为（ ） A ．1B ．0C ．1-D ．1或0 10．下列方程中，有两个不相等的实数根的是（ ） A ．x 2＝0 B ．x ﹣3＝0 C ．x 2﹣5＝0 D ．x 2+2＝0 11．已知m 是方程2210x x --=的一个根，则代数式2242020m m -+的值为（ ）A ．2022B ．2021C ．2020D ．2019 12．一元二次方程x （x ﹣2）＝x ﹣2的解是（ ）A ．x 1＝x 2＝0B ．x 1＝x 2＝1C ．x 1＝0，x 2＝2D ．x 1＝1，x 2＝2 二、填空题13．生物学家研究发现，很多植物的生长都有这样的规律：即主干长出若干数目的支干后，每个支干又会长出同样数目的小分支．现有符合上述生长规律的某种植物，它的主干、支干和小分支的总数是91，则这种植物每个支干长出多少个小分支？设这种植物每个支干长出x 个小分支，可列方程___________．14．将一元二次方程(32)(1)83x x x -+=-化成一般形式是_____．15．方程230x -=的解为___________．16．某小区2019年的绿化面积为3000m 2，计划2021年的绿化面积为4320m 2，如果每年绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是_________．17．某商贸公司2017年盈利100万元，2019年盈利144万元，且2017年到2019年每年盈利的增长率相同，则该公司2018年盈利_____万元．18．已知实数a ，b 是方程210x x --=的两根，则11a b +的值为______． 19．若()22214x y +-=，则22x y +=________．20．已知关于x 的方程28m 0x x ++=有一根为2-，则方程的另一根为______三、解答题21．已知关于x 的方程()220x mx m -+=-． （1）求证：不论m 为何值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有一个根是2，求m 的值以及方程的另一个根．22．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下面的问题：例题：说明代数式m 2+2m+4的值一定是正数．解：m 2+2m+4＝m 2+2m+1+3＝（m+1）2+3．∵（m+1）2≥0，∴（m+1）2+3≥3，∴m 2+2m+4的值一定是正数．（1）说明代数式﹣a 2+6a ﹣10的值一定是负数．（2）设正方形面积为S 1，长方形的面积为S 2，正方形的边长为a ，如果长方形的一边长比正方形的边长少3，另一边长为4，请你比较S 1与S 2的大小关系，并说明理由． 23．阿里巴巴电商扶贫对某贫困地区一种特色农产品进行网上销售，按原价每件200元出售，一个月可卖出100件，通过市场调查发现，售价每件每降低1元，月销售件数就增加2件．（1）已知该农产品的成本是每件100元，在保持月利润不变的情况下，尽快销售完毕，则售价应定为多少元；（2）小红发现在附近线下超市也有该农产品销售，并且标价为每件200元，买五送一，在(1)的条件下，小红想要用最优惠的价格购买38件该农产品，应选择在线上购买还是线下超市购买？24．解下列方程（1）2210x x ++= （2）233x x25．阅读下列材料，解答问题． 222(25)(37)(52)x x x -++=+．解：设25,37m x n x =-=+，则52m n x +=+， 原方程可化为222()m n m n +=+，0mn ，即(25)(37)0x x -+=．250x ∴-=或370x +=，解得1257,23x x ==-． 请利用上述方法解方程：222(45)(32)(3)x x x -+-=-．26．阅读下列材料：对于任意的正实数a ，b ，总有2a b ab +≥成立（当且仅当a b =时，等号成立），这个不等式称为“基本不等式”利用“基本不等式”可求一些代数式的最小值．例如：若0x >，求式子1x x +的最小值． 解：∵0x >，∴112212x x x x+≥⋅==，∴1x x +的最小值为2．（1）若0x >，求9x x+的最小值； （2）已知1x >，求2251x x x -+-的最小值． （3）如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AOB 、COD △的面积分别为4和9，求四边形ABCD 面积的最小值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】先移项，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方，最后配方即可得新答案．【详解】由原方程移项得：x 2﹣6x ＝3，方程两边同时加上一次项系数一半的平方得：x 2﹣6x+9＝12，配方得；（x ﹣3）2＝12．故选：D ．【点睛】此题主要考查配方法的运用，配方法的一般步骤为：移项、二次项系数化为1、两边同时加上一次项系数一半的平方、配方完成；熟练掌握配方法的步骤并熟记完全平方公式是解题关键．2．A解析：A【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．【详解】解：∵x 2﹣2x ﹣4＝0，∴x 2﹣2x ＝4，∴x 2﹣2x +1＝4+1，∴（x ﹣1）2＝5．故选：A ．【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 3．B解析：B【分析】由方程有实数根可知根的判别式b 2-4ac≥0，结合二次项的系数非零，可得出关于a 一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．【详解】解：由已知得：()()()25044510a a -≠⎧⎪⎨--⨯-⨯-≥⎪⎩，解得：a≥1且a≠5．故选：B ．【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是得出关于a 的一元一次不等式组．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，由根的判别式结合二次项系数非零得出不等式组是关键．4．D解析：D【分析】根据一元二次方程的解的定义知，x=－2满足关于x 的一元二次方程2x 2+3ax －2a 2=0，可得出关于a 的方程，通过解方程即可求得a 的值．【详解】解：将x=－2代入一元二次方程2x 2+3ax －2a 2=0，得：()()222-23-2-20a a ⨯+⋅=，化简得：2+340a a -=，解得：a=1或a=-4．故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义．一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的所有解都满足该一元二次方程的关系式． 5．D解析：D【分析】根据开业第一天收入约为5000元，之后两天的收入按相同的增长率增长，第3天收入约为6050元列方程即可得到结论．【详解】解：设每天的增长率为x ，依题意，得：5000（1+x ）2＝6050．故选：D ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．6．C解析：C【分析】移项并因式分解，得到两个关于x 的一元一次方程，即可求解．【详解】解：移项，得220x x -=，因式分解，得()20x x -=，∴0x =或20x -=，解得10x =，22x =，故选：C ．【点睛】本题考查解一元二次方程，掌握因式分解法是解题的关键． 7．D解析：D【分析】设平均每次降价的百分率为x ，根据该商品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x 的一元二次方程，解之即可得出结论．【详解】解：设平均每次降价的百分率为x ，依题意，得：100（1-x ）2=64，解得：x 1=0.2=20%，x 2=1.8（不合题意，舍去）．故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 8．A解析：A【分析】本题可设长为（80+2x ），宽为（50+2x ），再根据面积公式列出方程，化简即可．【详解】解：依题意得：（80+2x ）（50+2x ）=5400，即4000+260x+4x 2=5400，化简为：4x 2+260x-1400=0，即x 2+65x-350=0．故选：A ．【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，解此类题目要注意运用面积的公式列出等式再进行化简．9．A解析：A【分析】由关于x 的方程x 2+mx=0的一个根为-1，得出将x=-1，代入方程x 2+mx=0求出m 即可．【详解】解：∵-1是方程x 2+mx=0的根，∴1-m=0，∴m=1，故答案为：A.【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解，由方程的根为-1，代入方程是解决问题的关键． 10．C解析：C【分析】利用直接开平方法分别求解可得．【详解】解：A ．由x 2＝0得x 1＝x 2＝0，不符合题意；B ．由x ﹣3＝0得x ＝3，不符合题意；C ．由x 2﹣5＝0得x 1=x 2=，符合题意； D ．x 2+2＝0无实数根，不符合题意；故选：C ．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 11．A解析：A【分析】把x m =代入方程2210x x --=求出221m m -=，把2242020m m -+化成()2222020m m -+，再整体代入求出即可．【详解】∵把x m =代入方程2210x x --=得：2210m m --=，∴221m m -=，∴()222420202220202120202022m m m m -+=-+=⨯+=，故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，采用了整体代入的方法．注意：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 12．D解析：D【分析】方程x （x ﹣2）＝x ﹣2移项后，运用因式分解法可以求得方程的解，本题得以解决．【详解】解：x （x ﹣2）＝x ﹣2，移项，得x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，提公因式，得（x﹣2）（x﹣1）＝0，∴x﹣2＝0或x﹣1＝0，解得x＝2或x＝1．故选：D．【点睛】本题考查解解一元二次方程﹣因式分解法，解题的关键是会利用提公因式法解方程．二、填空题13．1+x+x2=91【分析】如果设每个支干分出x个小分支根据每个支干又长出同样数目的小分支可知：支干的数量为x个小分支的数量为x•x=x2个然后根据主干支干和小分支的总数是91就可以列出方程【详解】解解析：1+x+x2=91【分析】如果设每个支干分出x个小分支，根据“每个支干又长出同样数目的小分支”可知：支干的数量为x个，小分支的数量为x•x=x2个，然后根据主干、支干和小分支的总数是91就可以列出方程．【详解】解：依题意得支干的数量为x个，小分支的数量为x•x=x2个，那么根据题意可列出方程为：1+x+x2=91，故答案为：1+x+x2=91．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．14．【分析】先计算多项式乘以多项式并移项再合并同类项即可【详解】故答案为：【点睛】此题考查一元二次方程的一般形式掌握多项式乘以多项式合并同类项计算法则是解题的关键解析：2-+=3710x x【分析】先计算多项式乘以多项式，并移项，再合并同类项即可．【详解】-+=-x x x(32)(1)832+---+=3322830x x x x2-+=3710x x故答案为：23710-+=．x x【点睛】此题考查一元二次方程的一般形式，掌握多项式乘以多项式，合并同类项计算法则是解题的关键．15．【分析】先移项然后利用数的开方直接求出即可【详解】移项得解得：故答案为：【点睛】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程用直接开方法求一元二次方程的解要仔细观察方程的特点解析：x =【分析】先移项，然后利用数的开方直接求出即可.【详解】移项得，23x =，解得：x =故答案为：x =【点睛】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点.16．20【分析】设每年绿化面积的增长率为x 根据该小区2019年及2021年的绿化面积即可得出关于x 的一元二次方程解之取其正值即可得出结论【详解】解：设每年绿化面积的增长率为x 依题意得：3000（1+x ）解析：20%【分析】设每年绿化面积的增长率为x ，根据该小区2019年及2021年的绿化面积，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：设每年绿化面积的增长率为x ，依题意，得：3000（1+x ）2=4320，解得：x 1=0.2=20%，x 2=-2.2（不合题意，舍去）．故答案为：20%．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 17．120【分析】设平均年增长率为x 列式求出年平均增长率即可算出结果【详解】解：设平均年增长率为x 根据题意得：整理得：开方得：解得：（舍去）则平均年增长率为20∴该公司2018年盈利100(1+20)＝解析：120【分析】设平均年增长率为x ，列式()21001144x +＝，求出年平均增长率，即可算出结果．【详解】解：设平均年增长率为x ，根据题意得：()21001144x +＝，整理得：()21 1.44x +＝，开方得：1 1.2x +=±，解得：10.2x =，2 2.2x =-（舍去），则平均年增长率为20%，∴该公司2018年盈利100(1+20%)＝120（万元）．故答案为：120．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是掌握增长率问题的求解方法． 18．-1【分析】利用根与系数的关系得到a+b=1ab=-1再根据异分母分式加减法法则进行计算代入求值【详解】∵是方程的两根∴a+b=1ab=-1∴===-1故答案为：-1【点睛】此题考查一元二次方程根与解析：-1【分析】利用根与系数的关系得到a+b=1，ab=-1，再根据异分母分式加减法法则进行计算代入求值.【详解】∵a ，b 是方程210x x --=的两根，∴a+b=1，ab=-1， ∴11a b+ =a b ab+ =11- =-1， 故答案为：-1.【点睛】此题考查一元二次方程根与系数的关系式，异分母分式的加减法计算法则.19．3【分析】根据题意将两边开方即可分情况得出的值【详解】解：两边开方得或故答案为：3【点睛】本题考查开方运算熟练掌握开方运算以及整体代换思想是解题的关键解析：3【分析】根据题意将()22214x y +-=两边开方，即可分情况得出22x y +的值． 【详解】解：两边开方得2212x y +-=±，223x y ∴+=或221x y +=-，220x y +≥，223x y ∴+=．故答案为：3．【点睛】本题考查开方运算，熟练掌握开方运算以及整体代换思想是解题的关键．20．【分析】根据一元二次方程根与系数的关系直接求解即可【详解】因为已知关于的方程有一个根是-2由二次方程根与系数的关系可知：即有：解得：故答案为：【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系如果方程的 解析：6-【分析】根据一元二次方程根与系数的关系直接求解即可．【详解】因为已知关于x 的方程 280x x m ++=有一个根是-2，由二次方程根与系数的关系可知：128x x +=-，即有：228x -+=-解得：26x =-．故答案为：6-．【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，如果方程20x px q ++=的两个根是 1x ，2x ，那么12x x p +=-， 12·x x q =，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．三、解答题21．（1）见解析；（2）m 的值为2，另一个根为0【分析】（1）先计算判别式的值得到△=（m-2）2+4，然后根据判别式的意义得到结论；（2）设方程的另一个为t ，利用根与系数的关系得到2+t=m ，2t=m-2，然后解方程组即可．【详解】（1）证明：∵1a =，b m =-，2c m =-∴()()()222244124824-=--⨯⨯-=-+=-+b ac m m m m m ∵()220m -≥，∴()2240m -+>． ∴无论m 为何值，该方程总有两个不相等的实数根．（2）根据题意：()22220-+-=m m ，∴2m =则220x x -=，∴10x =，22x =． ∴m 的值为2，另一个根为0．【点睛】 本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x 1+x 2=-b a ，x 1x 2=c a，也考查了判别式的意义． 22．（1）见解析；（2）S 1＞S 2，见解析【分析】 （1）利用配方法，将原式化成含平方代数式形式﹣（a ﹣3）2﹣1，可判断其值为负数； （2）用a 分别表示出S 1与S 2，再作差比较即可．【详解】解：（1）﹣a 2+6a ﹣10＝﹣（a 2﹣6a+9）﹣1＝﹣（a ﹣3）2﹣1，∵（a ﹣3）2≥0，∴﹣（a ﹣3）2≤0，∴﹣（a ﹣3）2﹣1＜0，∴代数式﹣a 2+6a ﹣10的值一定是负数；（2）S 1＞S 2，理由是：∵S 1＝a 2，S 2＝4（a ﹣3），∴S 1﹣S 2＝a 2﹣4（a ﹣3）＝a 2﹣4a+12＝a 2﹣4a+4+8＝（a ﹣2）2+8，∵（a ﹣2）2≥0，∴（a ﹣2）2+8≥8，∴S 1﹣S 2＞0，∴S 1＞S 2．【点睛】本题主要考查配方法的应用，掌握配方法是解题的关键，注意两数比较大小时可用作差法．23．（1）售价应定为150元；（2）选择在线上购买更优惠【分析】（1）设售价应定为x 元，则每件的利润为()100-x 元，月销售量为(5002)-x 件，列出方程计算即可；（2）分别算出线上购买和线下购买的费用，再进行比较即可；【详解】解：(1)当售价为200元时月利润为()2001001001000-⨯=(元)．设售价应定为x 元，则每件的利润为()100-x 元，月销售量为2001002(5002)1x x -+⨯=-件， 依题意，得：()()100500210000x x --=，整理，得：2350300000--=x x ，解得：1150x =，2200x =(舍去)．答：售价应定为150元．(2)线上购买所需费用为150385700⨯=(元)；∵线下购买，买五送一，∴线下超市购买只需付32件的费用，∴线下购买所需费用为200326400⨯=(元)．57006400<．答：选择在线上购买更优惠．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，准确列方程计算是解题的关键．24．（1）121x x ==-；（2）123,4x x ==．【分析】（1）利用配方法解一元二次方程即可得；（2）利用因式分解法解一元二次方程即可得．【详解】（1）2210x x ++=，2(1)0x +=，解得121x x ==-；（2）233x x ，2330x x ， 3310x x ，即()()340x x --=，30x -=或40x -=，3x =或4x =，即123,4x x ==．【点睛】本题考查了解一元二次方程，主要解法包括：直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法、换元法等，熟练掌握各解法是解题关键．25．x 1=54，x 2=23【分析】设m ＝4x -5，n ＝3x -2，则m -n ＝（4x -5）-（3x -2）＝x -3，代入后求出mn ＝0，即可得出（4x -5）（3x -2）＝0，求出即可．【详解】解：（4x -5）2+（3x -2）2＝（x -3）2，设m ＝4x -5，n ＝3x -2，则m -n ＝（4x -5）-（3x -2）＝x -3，原方程化为：m 2+n 2＝（m -n ）2，整理得：mn ＝0，即（4x -5）（3x -2）＝0，∴4x -5＝0，3x -2＝0，∴x 1=54，x 2=23． 【点睛】 本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成（4x -5）（3x -2）＝0是解此题的关键．26．（1）6；（2）4；（3）25．【分析】（1）将原式变形为9x x +≥ （2）结合阅读材料将原式变形为()411x x -+-后即可确定最小值； （3）设S △BOC =x ，已知S △AOB =4，S △COD =9，则由等高三角形可知：BOC AOB COD AOD S S S S =△△△△，用含x 的式子表示出36AOD S x =△，再按照题中所给公式求得最小值，加上常数即可． 【详解】解：（1）∵0x >，∴9x x +≥又∵6=， ∴96x x+≥ ∴9x x+的最小值为6； （2）∵1x >∴10x ->， ∴222521411x x x x x x -+-++=--()2141x x -+=-()411x x =-+-≥∵∴22541x x x -+≥- ∴2251x x x -+-的最小值为4． （3）设(0)BOC S x x =>△，则由等高三角形可知：BOC AOB COD AODS S S S =△△△△ ∴49AOD x S =△，即36AOD S x=△， ∴四边形ABCD 面积364913x x =+++≥， ∵13=25，当且仅当x=6时，取等号， ∴四边形ABCD 面积的最小值为25．【点睛】本题考查了配方法在最值问题中的应用，同时本题还考查了等高三角形的在面积计算中的应用．对不能直接应用公式的，需要正确变形才可以应用，本题中等难度略大．。