5.2.2《复数的乘法与除法》课件(北师大版选修2-2)
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北师大版高中数学选修2-2 复数的乘法与除法 课件(45张)
3．证明 z 为纯虚数的方法 (1)设 z＝a＋bi，证明 a＝0 且 b≠0； (2)z2<0⇔z 为纯虚数； (3)若 z≠0，则 z＋ z ＝0⇔z 为纯虚数． 4．证明 z∈R 的方法 (1)设 z＝a＋bi(a、b∈R)，证明 b＝0； (2)z∈R⇔z＝ z ； (3)z∈R⇔z2≥0； (4)z∈R⇔|z|2＝z2．
2 2
1＋i 1－i a＋bi ＝i， ＝－i， ＝i， 1－i 1＋i b－ai in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N＋)．
2．重要等式 z· z ＝|z|2＝| z |2 的应用 z· z ＝|z|2＝| z |2，即两个互为共轭复数的乘积等于这个复数 (或其共轭复数)模的平方． 此等式虽然结构很简单，但它将 z、 z 、|z|、| z |紧密地联系 在一起，并且等式左→右具有实数化功能，右→左具有分解因 式功能．
－1 合并 __________ ，并且把实部与虚部分别__________ ．
设z1＝a＋bi、z2＝c＋di是任意两个复数，那么它们的积(a
(ac－bd)＋(ad＋bc)i (a 、 ＋ bi)(c ＋ di) ＝ ac ＋ bci ＋ adi ＋ bdi2 ＝ __________________
5．乘法、乘方的一些运算在实数集、复数集内的差异 (1)实数集 R 中正整指数幂的运算律，在复数集 C 中仍然 1 成立．若规定 z ＝1，z ＝zm(z∈C，z≠0，m∈N＋)，则对于复
0
－m
数的指数幂运算，可以把 m、n 推广到整数集(注意只推广到整 1 1 数集)，复数集中未定义分数指数幂，如[(1＋i) ]4≠(1＋i)4×4．
1．虚数单位i的乘方的几个注意点： 对任意n∈N＋，都有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n ＝1．
最新北师大版选修2-2高考数学5.2《复数的四则运算》ppt课件
典例提升 1
计算:
(1)(5-6i)+(-2-i)-(3+4i);
(2)(1-i)1(+1+i 2i). 解:(1)(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)=5-6i-2-i-3-4i
=(5-2-3)+(-6-1-4)i=-11i.
(2)(1-i)1(+1+i 2i)
=
(1-i)2(1+2i) (1+i)(1-i)
=
4-22i=2-i.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
������ ������ 变式训练 (1)i 是虚数单位,复数37++4ii=(
)
A.1-i
B.-1+i
C.1275 + 3215i
D.-177 + 275i
(2)若(1+i)(2+i)=a+bi,其中 a,b∈R,i 为虚数单位,则 a+b=
1234
练一练 2
已知复数 z 对应的点在第二象限,它的模是 3,实部是- 5,则������=( )
A.- 5+2i B.- 5-2i
C. 5+2i
D. 5-2i
解析:设 z=- 5+bi(b∈R,且 b>0),
则|z|= 5 + ������2=3,且 z 对应的点在第二象限,即 b=2,z=- 5+2i,故
1234
1.复数的加法与减法
设 a+bi 和 c+di 是任意两个复数,则(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i,也
计算:
(1)(5-6i)+(-2-i)-(3+4i);
(2)(1-i)1(+1+i 2i). 解:(1)(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)=5-6i-2-i-3-4i
=(5-2-3)+(-6-1-4)i=-11i.
(2)(1-i)1(+1+i 2i)
=
(1-i)2(1+2i) (1+i)(1-i)
=
4-22i=2-i.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
������ ������ 变式训练 (1)i 是虚数单位,复数37++4ii=(
)
A.1-i
B.-1+i
C.1275 + 3215i
D.-177 + 275i
(2)若(1+i)(2+i)=a+bi,其中 a,b∈R,i 为虚数单位,则 a+b=
1234
练一练 2
已知复数 z 对应的点在第二象限,它的模是 3,实部是- 5,则������=( )
A.- 5+2i B.- 5-2i
C. 5+2i
D. 5-2i
解析:设 z=- 5+bi(b∈R,且 b>0),
则|z|= 5 + ������2=3,且 z 对应的点在第二象限,即 b=2,z=- 5+2i,故
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1.复数的加法与减法
设 a+bi 和 c+di 是任意两个复数,则(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i,也
2015高中数学北师大版选修2-2课件：《复数代数形式的乘除运算》
2 +2
4
= =1.
4
(法二)原式=
2
2
[(1 + )-(1-)][(1 + ) + (1 + )(1-) + (1-) ]
[(1 + ) + (1-)][(1 + )-(1-)]
4
= =1.
4
1
3
2
2
(3)原式=[( + i) ] +
2 2
1+ 3
1
3
2
1
2
3
4
=(-2+11i+5)(3-4i)+2i
=(3+11i)(3-4i)+2i
2
=(9-12i+33i-44i )+2i
=53+21i+2i=53+23i.
5
7
11
(3)(4-i )(6+2i )+(7+i )(4-3i)
=(4-i)(6-2i)+(7-i)(4-3i)
2
2
=(24-8i-6i+2i )+(28-21i-4i+3i )
2
+ 3 = 0, = 3,
第十六页，编辑于星期五：十二点 十二分。
...
导学固思
(2-)
1.复数 z=
2
(i 为虚数单位),则|z|等于( C ).
B. 41
A.25
【解析】z=
3-4
=-4-3i,所以|z|=5.
2.i 是虚数单位,则复数
2
1+
A.-2-5i
4
= =1.
4
(法二)原式=
2
2
[(1 + )-(1-)][(1 + ) + (1 + )(1-) + (1-) ]
[(1 + ) + (1-)][(1 + )-(1-)]
4
= =1.
4
1
3
2
2
(3)原式=[( + i) ] +
2 2
1+ 3
1
3
2
1
2
3
4
=(-2+11i+5)(3-4i)+2i
=(3+11i)(3-4i)+2i
2
=(9-12i+33i-44i )+2i
=53+21i+2i=53+23i.
5
7
11
(3)(4-i )(6+2i )+(7+i )(4-3i)
=(4-i)(6-2i)+(7-i)(4-3i)
2
2
=(24-8i-6i+2i )+(28-21i-4i+3i )
2
+ 3 = 0, = 3,
第十六页，编辑于星期五：十二点 十二分。
...
导学固思
(2-)
1.复数 z=
2
(i 为虚数单位),则|z|等于( C ).
B. 41
A.25
【解析】z=
3-4
=-4-3i,所以|z|=5.
2.i 是虚数单位,则复数
2
1+
A.-2-5i
高中数学 第五章 数系的扩充与复数的引入 5.2.2 复数的乘法与除法课件 北师大版选修2-2
20
【解析】1.因为xi-y=-1+i，所以 则(1+i)x+y=(1+i)2=2i. 答案：2i
x 1,
y
1.
21
2.z1=
(1－3i)(1＋i)＝2－i. 22
设z2=a+2i，z1·z2=(2-i)(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i.
因为z1·z2是实数，所以4-a=0，即a=4，所以z2=4+2i.
55
55
49
类型三 复数的除法运算及综合应用 角度1 复数的除法运算 【典例】1.(2018·天津高考)i是虚数单位，复数 6 7 i =________.
1 2i
50
2.(2018·北京高考)在复平面内，复数
数对应的点位于 ( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
1 的共轭复
1 i
复习课件
高中数学 第五章 数系的扩充与复数的引入 5.2.2 复数的乘法与除法课 件 北师大版选修2-2
1
2.2 复数的乘法与除法
2
3
1.共轭复数的概念 (1)定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时， 这两个复数叫作互为共轭复数. 虚部不等于0的两个共轭复数也叫作共轭虚数.
4
(2)表示：通常记复数z的共轭复数为__z_. (3)性质：若z=a+bi，则z· =a2+z b2=|z|2.
59
2.复数 |1＋2i|＋(1 3i)2=________.
1i
【解析】原式= 12( 2)2＋(1(－ 1i3)i2)2
＝ 3＋ 223i＝ 3＋ i－ 3＝ i. 2i
【解析】1.因为xi-y=-1+i，所以 则(1+i)x+y=(1+i)2=2i. 答案：2i
x 1,
y
1.
21
2.z1=
(1－3i)(1＋i)＝2－i. 22
设z2=a+2i，z1·z2=(2-i)(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i.
因为z1·z2是实数，所以4-a=0，即a=4，所以z2=4+2i.
55
55
49
类型三 复数的除法运算及综合应用 角度1 复数的除法运算 【典例】1.(2018·天津高考)i是虚数单位，复数 6 7 i =________.
1 2i
50
2.(2018·北京高考)在复平面内，复数
数对应的点位于 ( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
1 的共轭复
1 i
复习课件
高中数学 第五章 数系的扩充与复数的引入 5.2.2 复数的乘法与除法课 件 北师大版选修2-2
1
2.2 复数的乘法与除法
2
3
1.共轭复数的概念 (1)定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时， 这两个复数叫作互为共轭复数. 虚部不等于0的两个共轭复数也叫作共轭虚数.
4
(2)表示：通常记复数z的共轭复数为__z_. (3)性质：若z=a+bi，则z· =a2+z b2=|z|2.
59
2.复数 |1＋2i|＋(1 3i)2=________.
1i
【解析】原式= 12( 2)2＋(1(－ 1i3)i2)2
＝ 3＋ 223i＝ 3＋ i－ 3＝ i. 2i
5.2.2 复数代数形式的乘除运算 课件(北师大版选修2-2)
5.2.2
复数代数形式的乘除运算
导.学. 固. 思
1.理解复数的代数形式的四则运算,并能用运算 律进行复数的四则运算.
2.能根据所给运算的形式选择恰当的方法进行
复数的四则运算.
导.学. 固. 思
两个多项式可以进行乘除法运算,例如 (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd;对于两个复数 a+bi,c+di(a,b,c,d∈R),能像多项式一样进行乘除法 运算吗?
解得 b=-2.
设复数 z 满足 i(z+1)=-3+2i(i 为虚数单位),试求 z 的实部.【解析】(法一)∵i(z+1)=-3+2i,
∴z=
-3+2i i
-1=-(-3i-2)-1=1+3i,
故 z 的实部是 1. (法二)令 z=a+bi(a、b∈R),由 i(z+1)=-3+2i, 得 i[(a+1)+bi]=-3+2i, -b+(a+1)i=-3+2i, ∴a+1=2,∴a=1.故 z 的实部是 1.
(法二)原式= [(1 + ������)-(1-������)][(1 + ������) + (1 + ������)(1-������) + (1-������) ] [(1 + ������) + (1-������)][(1 + ������)-(1-������)] = =1.
4������ 4������ 2 2
导.学. 固. 思
A
复数代数形式的乘法运算
计算:(1)(1-i)(1+i)+(-1+i); (2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i; 5 7 11 (3)(4-i )(6+2i )+(7+i )(4-3i) 3 (4)(1-i) .
复数代数形式的乘除运算
导.学. 固. 思
1.理解复数的代数形式的四则运算,并能用运算 律进行复数的四则运算.
2.能根据所给运算的形式选择恰当的方法进行
复数的四则运算.
导.学. 固. 思
两个多项式可以进行乘除法运算,例如 (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd;对于两个复数 a+bi,c+di(a,b,c,d∈R),能像多项式一样进行乘除法 运算吗?
解得 b=-2.
设复数 z 满足 i(z+1)=-3+2i(i 为虚数单位),试求 z 的实部.【解析】(法一)∵i(z+1)=-3+2i,
∴z=
-3+2i i
-1=-(-3i-2)-1=1+3i,
故 z 的实部是 1. (法二)令 z=a+bi(a、b∈R),由 i(z+1)=-3+2i, 得 i[(a+1)+bi]=-3+2i, -b+(a+1)i=-3+2i, ∴a+1=2,∴a=1.故 z 的实部是 1.
(法二)原式= [(1 + ������)-(1-������)][(1 + ������) + (1 + ������)(1-������) + (1-������) ] [(1 + ������) + (1-������)][(1 + ������)-(1-������)] = =1.
4������ 4������ 2 2
导.学. 固. 思
A
复数代数形式的乘法运算
计算:(1)(1-i)(1+i)+(-1+i); (2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i; 5 7 11 (3)(4-i )(6+2i )+(7+i )(4-3i) 3 (4)(1-i) .
高中数学选修1-2北师大版 复数的加法与减法、复数的乘法与除法 课件(25张)
①|z|=|������|;②|z1z2|=|z1||z2|;③ ������1 = |������1|(z2≠0).
2 2
������
|������ |
【做一做 3】 已知复数 z 对应的点在第二象限,它的模是 3,实 部是- 5,则������=( ) A.- 5+2i B.- 5-2i C. 5+2i D. 5-2i 解析: 设 z=- 5+bi(b∈R,且 b>0), 则|z|= 5 + ������ 2 =3,且 z 对应的点在第二象限, 即 b=2,z=- 5+2i.故������=- 5-2i. 答案: B
【做一做 4】
1 2 1 C. 1 + i 2 1+2i
1+2i (1-i)
2 =(
)
A.-1- i
B.-1+ i D.1- i
=
1+2i -2i
1 2
1 2
解析:
(1-i)2
=
(1+2i)i 2
=
-2+i 1 =-1+ i. 2 2
答案: B
思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“ ”,错误的画 “×”. (1)若复数z1,z2满足z1-z2>0,则z1>z2. ( ) (2)两个互为共轭复数的复数的和与积都是实数.( ) (3)若两个复数z1,z2满足|z1+z2|=|z1-z2|,则z1=z2=0. ( ) (4)两复数a+bi与c+di(a,b,c,d∈R),则(a+bi)÷(c+di)
维
脉
络
一、复数的加法、减法 设z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R, 1.运算:z1+z2=(a+c)+(b+d)i,z1-z2=(a-c)+(b-d)i. 2.法则:两个复数的和或差仍然是一个复数,它的实部是原来两个 复数的实部的和(或差),它的虚部是原来两个复数的虚部的和(或差). 名师点拨1.一种规定:复数的加减法法则是一种规定,减法是加法 的逆运算; 特殊情形:当复数的虚部为零时,与实数的加法、减法法则一致. 2.运算律:实数加法的交换律、结合律在复数集中仍成立.实数的 移项法则在复数中仍然成立. 3.运算结果:两个复数的和(差)是唯一确定的复数. 4.适当推广:可以推广到多个复数进行加、减运算. 5.虚数单位i:在进行复数加减运算时,可将虚数单位i看成一个字母, 然后去括号,合并同类项即可.
高二数学北师大版选修2-2第五章 2.2 复数的乘法与除法 课件(北师大版选修2-2)
i i ห้องสมุดไป่ตู้1
2
Z 一般地，如果 n n N ，有
i i i i
4 n1
i i i i i 1
4 3
i 1, i
4n
i , i
4 n 2
1, i
4 n 3
i
复数的乘法与多项式的乘法是类似的,但必须 在所得的结果中把i2换成-1,并且把实部合并. 两个复数的积仍然是一个复数.
第五章 数系的扩充与复数的引入 2.2 复数的乘法与除法
复数的加法：
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数， 则它们和为 z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i
复数的和仍然为一个复数，其实部为z1、z2的实部和， 虚部为z1、z2的虚部和。 复数加法满足 (1)交换律：z1＋z2＝z2＋z1； (2)结合律(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)
2
1 3 6 练习 1.计算( i) . 1 2 2 4 (2 2i) 练习2.计算 . 1 3i 5 (1 3i)
练习3.
1 3 1 3i i ________ 4 4 2
( 3 i)
3 i 1 3i 8 练习4.计算( ). 2 2 8 8 3i
例1.计算 (1 2i)(3 4i)(2 i)
解:
(1 2i )(3 4i )( 2 i ) (11 2i )( 2 i ) 20 15i
(a bi)(a bi) a b (a, b R).
2 2
概念：共轭复数：实部相等，虚部互为相反数 的两个复数。
1、复数的乘法法则： 设 z1 a bi ， z 2 c di是任意两个复数，
新教材2023版高中数学北师大版必修第二册：复数的乘法与除法课件
方法归纳
在复数的运算过程中，适当地运用运算技巧能使复杂问题简单化． (1)i 的运算律：i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1， in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0，n∈N. (2)(1±i)2＝±2i. (3)11＋ －ii＝i，11－ ＋ii＝－i.
解析：∵z＝1＋i i＝1－i， ∴|z|＝ 2. 答案： 2
题型一 复数的乘、除运算——自主完成 计算下列各题： (1)(1－i)2；
(2)－12＋ 23i－12－ 23i； (3)(1＋i)(2－i)(3＋2i)； (4)13＋－24ii；
3＋i (5)1＋ 3i.
解析：(1)(1－i)2＝1－2i＋i2＝－2i；
－
将 本 例 中 条 件 改 为 “(1 ＋ 2i)z ＝ 4 ＋ 3i” ， 则
z z
＝
解析：设 z＝x＋yi(x，y∈R)， 则(1＋2i)(x＋yi)＝4＋3i，得2x－x＋2yy＝＝34，， 解得xy＝ ＝2－，1， 所以 z＝2－i.所以－zz ＝22＋ －ii＝35＋54i. 答案：53＋45i
2.2 复数的乘法与除法
[教材要点]
要点一 复数的乘法 1．运算法则：设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 z1·z2 ＝(a＋bi)(c＋di)＝_(_a_c－__b_d_)_＋(_b_c_＋__a_d_)_i.
2．乘法运算律
(1)交换律：z1·z2＝z2·z1； (2)结合律：(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)； (3)乘法对加法的分配律：z1·(z2＋z3)＝z1·z2＋z1·z3. 3．整数指数幂的运算性质：对复数 z，z1，z2 和正整数 m，n 有 zm·zn ＝zm＋n，(zm)n＝zmn，(z1·z2)n＝zn1·zn2. 4．i 的乘方规律 (1)i0＝1，i1＝i，i2＝－1，i3＝－i，… (2)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i.
5.2.2复数的乘法与除法-【新教材】北师大版高中数学必修第二册课件
因此，定义复数的乘法如下：
(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i
课文精讲
➢ 复数的乘法
在进行复数乘法运算时，实际上不直接使
用乘法法则，而使用多项式乘法法则.
(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i
典型例题
例1：计算:(-2-i)(3+i).
解：(-2-i)(3+i)
思考：
计算下列各式，你发现其中有什么
规律吗？
(1) (3+2i)(3-2i)；
(2) (2+i)(2-i) ；
(3) (2 -i) (-2 +i) ；
(4) ( + i) ( - i).
解：(1)(3+2i)(3-2i)=9+4=13；
(2) (2+i)(2-i)=4+1=5 ；
课文精讲
+
−
= .
典型例题
例3：求一元二次方程ax2+bx+c=0(a，b，
c∈R，且a≠0)在复数范围内的根x1，x2，
并验证x1+x2=− ，x1x2=.
解： (1)若b2-4ac≥0，则
−+ −
x1=
，
−− −
x2=
.
典型例题
例3：求一元二次方程ax2+bx+c=0(a，b，
课文精讲
➢ 复数的乘法
在复数的乘方运算中，经常要计算i的
乘方，i的乘方有如下规律：
i0=1， i1=i， i2=−1， i3=−i，···
(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i
课文精讲
➢ 复数的乘法
在进行复数乘法运算时，实际上不直接使
用乘法法则，而使用多项式乘法法则.
(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i
典型例题
例1：计算:(-2-i)(3+i).
解：(-2-i)(3+i)
思考：
计算下列各式，你发现其中有什么
规律吗？
(1) (3+2i)(3-2i)；
(2) (2+i)(2-i) ；
(3) (2 -i) (-2 +i) ；
(4) ( + i) ( - i).
解：(1)(3+2i)(3-2i)=9+4=13；
(2) (2+i)(2-i)=4+1=5 ；
课文精讲
+
−
= .
典型例题
例3：求一元二次方程ax2+bx+c=0(a，b，
c∈R，且a≠0)在复数范围内的根x1，x2，
并验证x1+x2=− ，x1x2=.
解： (1)若b2-4ac≥0，则
−+ −
x1=
，
−− −
x2=
.
典型例题
例3：求一元二次方程ax2+bx+c=0(a，b，
课文精讲
➢ 复数的乘法
在复数的乘方运算中，经常要计算i的
乘方，i的乘方有如下规律：
i0=1， i1=i， i2=−1， i3=−i，···
2018学年高中数学北师大版选修2-2课件：5.2.1+2 复数的加法与减法 复数的乘法与除法 精品
我还有这些不足： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________ 我的课下提升方案： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________
由①可得 y＝3. ∴z＝3i. 【答案】 3i
复数的乘法与除法运算
已知复数 z1＝1＋i，z2＝3－2i.试计算： (1)z1·z2 和 z41； (2)z1÷z2 和 z22÷z1. 【精彩点拨】 按照复数的乘法和除法法则进行.
【自主解答】 (1)z1·z2＝3－2i＋3i－2i2＝5＋i. z41＝[(1＋i)2]2＝(2i)2＝4i2＝－4. (2)z1÷z2＝31－＋2ii＝（（31－＋2ii））（（33＋＋22ii））＝1＋135i＝113＋153i. z22÷z1＝（31－＋2ii）2＝5－ 1＋12i i＝（（5－ 1＋12i）i）（（11－－i）i） ＝－7－2 17i＝－72－127i.
2.复数的减法 设 a＋bi(a，b∈R)和 c＋di(c，d∈R)是任意两个复数，定义复数的减法如下： (a＋bi)－(c＋di)＝ (a－c)＋(b－d)i .
复数 z1＝2－12i，z2＝12－2i，则 z1＋z2 等于(
)
A.0
B.32＋52i
C.52－52i 【解析】
D.52－32i z1＋z2＝2＋12＋－12－2i＝52－52i.
北师大版选修1-2--第四章-2-2.2-复数的乘法与除法----课件(23张)
变形为|x|2-5|x|+6=0⇒|x|=2或|x|=3⇒x=±2或x=±3.
≥ 0,
< 0,
(2)将方程化为 2
或 2
求解.
-5 + 6 = 0
+ 5 + 6 = 0
典例透析
题型一
题型二
题型三
题型四
正解:设 x=a+bi(a,b∈R),原方程可化为 a2-b2-5 2 + 2 + 6 +
2
3
4
5
1
1.设复数z1=1+i,z2=x+2i(x∈R),若z1·z2为实数,则x等于(
A.-2
B.-1
C.1
D.2
解析:z1·z2=(1+i)(x+2i)=(x-2)+(2+x)i,
∵z1·z2∈R,∴2+x=0,∴x=-2.
答案:A
2
4
3
)
5
1
2
3
2
4
5
2.若复数 z=1+i(i 为虚数单位), 是的共轭复数, 则2 + 的虚部为
(
)
A.0
B.-1
C.1
D.-2
解析:因为 z=1+i,所以 = 1 − i.
2
而 z2=(1+i)2=2i, = (1 − i)2 = −2i,
2
所以 z2+ = 0, 故选A.
答案:A
1
3.设(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等,其中a为实数,则a=(
A.-3
B.-2
C.2
D.3
解析:由已知,得(1+2i)(a+i)=a-2+(2a+1)i.
≥ 0,
< 0,
(2)将方程化为 2
或 2
求解.
-5 + 6 = 0
+ 5 + 6 = 0
典例透析
题型一
题型二
题型三
题型四
正解:设 x=a+bi(a,b∈R),原方程可化为 a2-b2-5 2 + 2 + 6 +
2
3
4
5
1
1.设复数z1=1+i,z2=x+2i(x∈R),若z1·z2为实数,则x等于(
A.-2
B.-1
C.1
D.2
解析:z1·z2=(1+i)(x+2i)=(x-2)+(2+x)i,
∵z1·z2∈R,∴2+x=0,∴x=-2.
答案:A
2
4
3
)
5
1
2
3
2
4
5
2.若复数 z=1+i(i 为虚数单位), 是的共轭复数, 则2 + 的虚部为
(
)
A.0
B.-1
C.1
D.-2
解析:因为 z=1+i,所以 = 1 − i.
2
而 z2=(1+i)2=2i, = (1 − i)2 = −2i,
2
所以 z2+ = 0, 故选A.
答案:A
1
3.设(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等,其中a为实数,则a=(
A.-3
B.-2
C.2
D.3
解析:由已知,得(1+2i)(a+i)=a-2+(2a+1)i.
北师大版高中数学课件第五章 2.2 复数的乘法与除法 2.3 复数乘法几何意义初探
知识点拨
微练习3
已知是 z 的共轭复数,若 z·i+2=2z,则 z=(
A.1+i B.1-i
C.-1+i D.-1-i
)
解析设 z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,代入 z·i+2=2z 中
得,(a+bi)(a-bi)i+2=2(a+bi),所以 2+(a2+b2)i=2a+2bi,由复数相等的
2 = 2,
= 1,
条件得, 2
所以
所以 z=1+i,故选 A.
+ 2 = 2,
= 1.
答案A
-7-
2.2 复数的乘法与除法
激趣诱思
课前篇自主预习
*2.3 复数乘法几何意义初探
课堂篇探究学习
知识点拨
二、复数范围内一元二次方程的解法
一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c∈R,且a≠0)在复数范围内的根
即实部与虚部要完全分开的形式.
-20-
2.2 复数的乘法与除法
探究一
课前篇自主预习
*2.3 复数乘法几何意义初探
探究二
探究三
探究四
课堂篇探究学习
课堂篇探究学习
当堂检测
变式训练 1 计算下列各题:
(1)(1+i)(1-i)+(-1+i);
-2+3i
(2) 1+2i ;
(3)(1+ 3i)3.
解(1+i)(1-i)+(-1+i)=1-i2+(-1+i)=2-1+i=1+i.
-8+6i+4i+3
2018年高中数学 第五章 数系的扩充与复数的引入 5.2.2 复数的乘法与除法课件5 北师大版选修2-2
a b i (a b i)(c d i) (a c b d ) (b c
c d i (c d i)(c d i)
c 2 d 2
所以
abi(acbd)(bcad)i cdi c2d2 c2d2
复数除法运算结果仍为复数，结果比较复 不需要背诵。只需要记住通过分子分母同时 以分母的共轭复数来达到分母实数化即可。
复数的乘法与除法
复数乘法
复数a bi与 c di 分别是任意两个复数， 我们定义复数的乘法如下：
( a b i ) ( c d i ) ( a c b d ) ( a d b c
例1.计算： ( 22i)( 6i) 练习：计算
(23i)(13i) (3 + 5 i ) 2
(32i)(32i) (22i)(22i
共轭复数
定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相 时，这样的两个复数叫作互为共轭复数。
概念辨析：写出下列复数的共轭复数。
1 i i 3 4 2 i
化虚为实
性质： z z zza2b2z2z2
复数除法定义
重点：
1
提示：实数范围内如何计算 3 1
例2.计算：
1 2i 2 3i
课堂检测
完成本课பைடு நூலகம்堂检测内容
课堂小结：
1.复数乘法运算法则 2.共轭复数概念及性质 3.复数除法运算法则
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题5分，共10分） 4.复数(1+ai)(2-i)的实部与虚部相等，则实数a=_____. 【解析】(1+ai)(2-i)=(2+a)+(2a-1)i，因为它的实部与虚部
相等，即2+a=2a-1，解得a=3.
答案：3
5.若 1+i +(1+3i)2=a+bi(a,b∈R)，则a-b的值为_____.
i
【解题提示】先根据复数的乘法和除法对等式的左侧进行 化简，然后由复数相等求出a,b的值，最后求a-b的值. 【解析】1+i +(1+3i)2=-i(1+i)+1+6i+9i2=-7+5i=a+bi，所以
i
a-b=-7-5=-12. 答案：-12
三、解答题（6题12分，7题13分，共25分） 6.已知1+i是复系数方程x2+(2i+1)x+m-2=0的根，求m的值. 【解题提示】把x=1+i直接代入方程化简，求出m. 【解析】把x=1+i直接代入方程，得 (1+i)2+(2i+1)(1+i)+m-2=0, 即2i+2i+2i2+1+i+m-2=0，解得m=3-5i.
，则1+z50+z100=（ （C）1
） （D）2+i
【解析】选A.因为z2=（ =1+i25+i50=i，故选A.
）2 = 2i =i，所以1+z50+z100 2
3.（5分）满足条件｜z-i｜=｜1+
3i｜的复数z在复平面上
对应的点（x,y）的轨迹方程为_____. 【解题提示】首先设z=x+yi(x,y∈R),然后再利用复数的 模进行计算. 【解析】设z=x+yi(x,y∈R), 则｜z-i｜=｜x+(y-1)i｜=｜1+ 3 i｜=2，即 ∴x2+(y-1)2=4,即(x,y)的轨迹方程为x2+(y-1)2=4. 答案：x2+(y-1)2=4 =2
x=2 2 x=-2 2 或 , 即6+8i的平方根为 2 2 + 2 i或- 2 2 - 2 i. y= 2 y=- 2
1.（5分）(2010·福建高考)i是虚数单位, （A）i （B）-i （C）1 （D）-1
等于（
）
【解析】选C.
2.（5分）已知z= （A）i （B）3
7．求复数6+8i的平方根.
【解析】设复数6+8i的平方根为x+yi(x,y∈R)，
则有(x+yi)2=x2-y2+2xyi=6+8i.
x 2 -y 2 =6 y 2 =x 2 -6 由复数相等，有 ,即 . 2xy=8 xy=4
因为xy=4，所以x2y2=16，
把y2=x2-6代入得x2(x2-6)=16，解得x2=8，即x=〒 2 2 ,所以
4.（15分）（2010·苏州高二检测）已知复数z1=3+4i，z2的 平方根是2+3i，z1,z2在复平面上对应的点分别为Z1,Z2且函数 f(x)=
2x ，(1)求向量 的模，(2)求f( +z )的值，(3) z1 2 Z1Z1 x+1
若f(z)=1+i，求复数z的值. 【解析】（1）z1=3+4i,则点Z1(3,4)， z2=(2+3i)2=-5+12i,则点Z2(-5,12)，
2.（2010·济宁高二检测）设i是虚数单位，则复数
部是（ ）
i 的虚 -1+i
【解析】选D. i =
i(-1-i) 1-i ，所以复数的虚部为- 1 ， = 2 -1+i (-1+i)(-1-i) 2
故选D.
3.（2010·天津高二检测） 3i 的共轭复数是（
1-i
）
【解析】选D. 复数为 - 3 - 3 i ，故选D.
Z1Z1 =(-8,8),| Z1Z1|=
(2) z1 +z2=3-4i-5+12i=-2+8i，
(3)f(z)=
2z =1+i,所以2z=(1+i)(z+1)， z+1
即2z=(1+i)z+1+i,化简得(1-i)z=1+i,
所以z=
课程目标设置
主题探究导学
典型例题精析
知能巩固提高
一、选择题（每题5分，共15分）
1.复数 3-i 等于（
i
）
（C）1-3i （D）1+3i
（A）-1-3i
（B）-1+3i
3-i (3-i)i 【解析】选A． = 2 =-(3i-i2)=-1-3i.故选A. i i
相等，即2+a=2a-1，解得a=3.
答案：3
5.若 1+i +(1+3i)2=a+bi(a,b∈R)，则a-b的值为_____.
i
【解题提示】先根据复数的乘法和除法对等式的左侧进行 化简，然后由复数相等求出a,b的值，最后求a-b的值. 【解析】1+i +(1+3i)2=-i(1+i)+1+6i+9i2=-7+5i=a+bi，所以
i
a-b=-7-5=-12. 答案：-12
三、解答题（6题12分，7题13分，共25分） 6.已知1+i是复系数方程x2+(2i+1)x+m-2=0的根，求m的值. 【解题提示】把x=1+i直接代入方程化简，求出m. 【解析】把x=1+i直接代入方程，得 (1+i)2+(2i+1)(1+i)+m-2=0, 即2i+2i+2i2+1+i+m-2=0，解得m=3-5i.
，则1+z50+z100=（ （C）1
） （D）2+i
【解析】选A.因为z2=（ =1+i25+i50=i，故选A.
）2 = 2i =i，所以1+z50+z100 2
3.（5分）满足条件｜z-i｜=｜1+
3i｜的复数z在复平面上
对应的点（x,y）的轨迹方程为_____. 【解题提示】首先设z=x+yi(x,y∈R),然后再利用复数的 模进行计算. 【解析】设z=x+yi(x,y∈R), 则｜z-i｜=｜x+(y-1)i｜=｜1+ 3 i｜=2，即 ∴x2+(y-1)2=4,即(x,y)的轨迹方程为x2+(y-1)2=4. 答案：x2+(y-1)2=4 =2
x=2 2 x=-2 2 或 , 即6+8i的平方根为 2 2 + 2 i或- 2 2 - 2 i. y= 2 y=- 2
1.（5分）(2010·福建高考)i是虚数单位, （A）i （B）-i （C）1 （D）-1
等于（
）
【解析】选C.
2.（5分）已知z= （A）i （B）3
7．求复数6+8i的平方根.
【解析】设复数6+8i的平方根为x+yi(x,y∈R)，
则有(x+yi)2=x2-y2+2xyi=6+8i.
x 2 -y 2 =6 y 2 =x 2 -6 由复数相等，有 ,即 . 2xy=8 xy=4
因为xy=4，所以x2y2=16，
把y2=x2-6代入得x2(x2-6)=16，解得x2=8，即x=〒 2 2 ,所以
4.（15分）（2010·苏州高二检测）已知复数z1=3+4i，z2的 平方根是2+3i，z1,z2在复平面上对应的点分别为Z1,Z2且函数 f(x)=
2x ，(1)求向量 的模，(2)求f( +z )的值，(3) z1 2 Z1Z1 x+1
若f(z)=1+i，求复数z的值. 【解析】（1）z1=3+4i,则点Z1(3,4)， z2=(2+3i)2=-5+12i,则点Z2(-5,12)，
2.（2010·济宁高二检测）设i是虚数单位，则复数
部是（ ）
i 的虚 -1+i
【解析】选D. i =
i(-1-i) 1-i ，所以复数的虚部为- 1 ， = 2 -1+i (-1+i)(-1-i) 2
故选D.
3.（2010·天津高二检测） 3i 的共轭复数是（
1-i
）
【解析】选D. 复数为 - 3 - 3 i ，故选D.
Z1Z1 =(-8,8),| Z1Z1|=
(2) z1 +z2=3-4i-5+12i=-2+8i，
(3)f(z)=
2z =1+i,所以2z=(1+i)(z+1)， z+1
即2z=(1+i)z+1+i,化简得(1-i)z=1+i,
所以z=
课程目标设置
主题探究导学
典型例题精析
知能巩固提高
一、选择题（每题5分，共15分）
1.复数 3-i 等于（
i
）
（C）1-3i （D）1+3i
（A）-1-3i
（B）-1+3i
3-i (3-i)i 【解析】选A． = 2 =-(3i-i2)=-1-3i.故选A. i i