重庆市2020届高三5月调研(二诊)考试数学(理)试题(含解析)

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重庆2020级高三下5月调研测试卷(二诊康德)理数答案

（2）由题知 170， = 4.6 115 2.14 ， ……5 分 5
（ⅰ） P(167.86 X 174.28) P( X 2) 0.6826 0.9544 0.6826 0.8185 ， 2
……8 分
（ⅱ） P( X 174.28) 1 0.9544 0.0228 ，故 10 人中至少有 1 人的身高在174.28 cm 以上的概率 2
故 [2x1 (1)x2]2 [2y1 (1)y2]2 1，
3
2
即 42( x12 y12 ) (1 )2( x22 y22 ) 4(1 )( x1x2 y1y2 ) 1，
32
32
32
42 (1 )2 4(1 )( x1x2 y1 y2 ) 1， ……8 分 32
由题知直线
MN
:
故 f (x) 在[k ，k 5 ] 上单增，在[k 5 ，k 11 ] 上单减， k Z ；……6 分
12
12
12
12
（2） f ( A) 2sin(A ) 3 ，则 sin(A ) 3 ， A(0， ) ，A ，即 A 2 ，……8 分
2
3
32
33
3
由正弦定理得 1 3 ， sin C 1 ，C ，故 B ，
则 A(2，0，0)，D(2，0，0)，B(2，3， 0)， C(2，6，0)，P(0，0，2 2) ，故 F(1，3， 2)，DB (4，3，0)，DF (1，3， 2) ，
设平面
DBF
的法向量为
m
(x，y，z)
，则
4x 3y x 3y
0 2z
0
，
令
x
3
得
m
(3，

重庆市2020届高三5月调研(二诊)考试数学(理)试题

2020年普通高等学校招生全国统一考试5月调研测试卷理科数学理科数学测试卷共4页.满分150分.考试时间120分钟. 注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2,3,5,7A =，{}2|log (2)1B x x =-<，则A B =I （） A.{}2B.{}3C.{}2,3D.{}3,52.若复数z 满足()2z i i i +=-，则z =（）B.2D.103.下列说法正确的是（）A.“若2a >，则24a>”的否命题为“若2a >，则24a≤” B.命题p q ∨与()p q ⌝∨至少有一个为真命题C.“0x ∀>，2220x x -+≥”的否定为“0x ∀>，2220x x -+<”D.“这次数学考试的题目真难”是一个命题4.为了判断英语词汇量与阅读水平是否相互独立，某语言培训机构随机抽取了100位英语学习者进行调查，经过计算2K 的观测值为7，根据这一数据分析，下列说法正确的是（）附：A.有99%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平无关B.有99.5%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平有关C.有99.9%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平有关D.在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为英语词汇量与阅读水平有关5.斐波那契数列，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，…，在数学上，斐波那契数列{}n a 定义如下：121a a ==，()123,n n n a a a n n Z --=+≥∈ .随着n 的增大，1nn a a +越来越逼近黄金分割10.6182≈，故此数列也称黄金分割数列，而以1n a +、n a 为长和宽的长方形称为“最美长方形”，已知某“最美长方形”的面积约为336平方分米，则该长方形的长应该是（） A.144厘米B.233厘米C.250厘米D.377厘米6.在103x 的展开式中，常数项为（） A.-252B.-45C.45D.2527.已知,0a b >，22a b +=，则1b a b+的取值范围是（） A.()0,+∞ B.[)2,+∞C.)1,+∞D.)⎡+∞⎣8.函数x xy e=的部分图象是（） A. B.C. D.9.定义在R 上的奇函数()f x 满足：3344f x f x ⎛⎫⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且当30,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()2log (1)f x x m =++，若()2100log 3f =，则实数m 的值为（） A.2B.1C.0D.-110.已知抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点为F ，以F 为圆心、3p 为半径的圆交抛物线E 于P ，Q 两点，以线段PF 为直径的圆经过点()0,1-，则点F 到直线PQ 的距离为（）A.5B.3C.5D.11.已知ABC △的面积为1，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若sin sin sin sin a A b B B c C -=+，cos cos 5B C =，则a =（）A.2B.212.已知,,,A B C D 四点均在球O 的球面上，ABC △是边长为6的等边三角形，点D 在平面ABC 上的射影为ABC △的中心，E 为线段AD 的中点，若BD CE ⊥，则球O 的表面积为（）A.36πB.42πC.54πD.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量()2,a m =r ，()1,2a b +=r r，若()//3a a b +r r r ，则实数m =______________.14.已知某几何体的三视图如右图所示，网格中的每个小方格是边长为1的正方形，则该几何体的体积为_______________.15.已知公差不为0的等差数列{}n a 中，2a ，4a ，8a 依次成等比数列，若3a ，6a ，1b a ，2b a ，…，n b a ，…成等比数列，则n b =_____________.16.若曲线2cos y ax x =+上存在两条切线相互垂直，则实数a 的取值范围是__________.三、解答题：共70分.解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17.（12分）已知函数()2cos 22f x x x π⎛⎫=--⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的单调性；（2）在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭a =1c =，求ABC △的面积. 18.（12分）国庆70周年阅兵式上的女兵们是一道靓丽的风景线，每一名女兵都是经过层层筛选才最终入选受阅方队，筛选标准非常严格，例如要求女兵身高（单位：cm ）在区间[]165,175内.现从全体受阅女兵中随机抽取200人，对她们的身高进行统计，将所得数据分为[)165,167，[)167,169，[)169,171，[)171,173，[]173,175五组，得到如图所示的频率分布直方图，其中第三组的频数为75，最后三组的频率之和为0.7.（1）请根据频率分布直方图估计样本的平均数x 和方差2s （同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）根据样本数据，可认为受阅女兵的身高X （cm ）近似服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s . （i ）求()167.86174.28P X <<；（ii ）若从全体受阅女兵中随机抽取10人，求这10人中至少有1人的身高在174.28cm 以上的概率. 参考数据：若()2~,X N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，()220.9544P X μσμσ-<<+=，10.7≈，100.95440.63≈，90.97720.81≈，100.97720.79≈.19.（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，AB AP ⊥，3AB =，4AD =，5BC =，6CD =.过直线AB 的平面分别交棱PD ，PC 于E ，F 两点. （1）求证：PD EF ⊥；（2）若直线PC 与平面PAD 所成角为3π，且PA PD =，EF AB =，求二面角A BD F --的余弦值.20.（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>⎛ ⎝⎭在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的右焦点F 作斜率为l 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，点P 满足2OP OM =u u u r u u u u r（O 为坐标原点），直线NP 与椭圆C 的另一个交点为Q ，若NQ NP λ=u u u r u u u r，求λ的值.21.（12分）已知函数()21ln 2f x x ax =+，a R ∈. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若不等式()12x f x e e a <-+对()1,x ∀∈+∞恒成立，求a 的取值范围. （二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22cos 32sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为(4sin 3cos )a ρθθ+=，且直线l 与曲线C 有两个不同的交点.（1）求实数a 的取值范围；（2）已知M 为曲线C 上一点，且曲线C 在点M 处的切线与直线l 垂直，求点M 的直角坐标. 23.【选修4-5：不等式选讲】（10分）已知函数()22f x x x =+-的最小值为m . （1）求m 的值；（2）若实数a ，b 满足22a b m +=，求221112a b+++的最小值. 2020年普通高等学校招生全国统一考试5月调研测试卷理科数学参考答案一、选择题 1-6 BCBDBC7-12 CABCDC第7题提示：由题知，211122ba b b a a b a b ++=++≥=，当且仅当2b aa b=，即2a =，2b =- C.第8题提示：由xx y e=为奇函数可排除C 选项，当0x >时，1x x y e -'=，故x xy e =在()0,1上单增，()1,+∞上单减，故选A.第9题提示：由()f x 为奇函数知3344f x f x ⎛⎫⎛⎫-=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴3344f x f x ⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()32f x f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，∴()()332f x fx f x ⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭，∴()f x 是周期为3的周期函数，故()()2131001log 22f f f m ⎛⎫===+⎪⎝⎭，即223log log 32m +=，∴1m =，故选B. 第10题提示：由题知32p p FP x p =+=，∴52p x p =，设点()0,1A -，由题知AP AF ⊥，即111522p y p p +⋅=-，p y =，∴p =522p p -=，故选C.第11题提示：由sin sin sin sin a A b B B c C -=+得222a b c -=+，则222cos 2b c a A bc +-==，故34A π=，由cos cos()sin sin cos cos A B C B C B C =-+=-得sin sin B C =sin sin b cB C==，即sin b B =，sin c C =，∴22111sin 2sin sin 22210S bc A a B C a ==⋅⋅=，所以a =，故选D.第12题提示：设ABC △的中心为G ，延长BG 交AC 于F ，则F 为AC 中点，连接DF .由题知DG ⊥平面ABC ，AC GB ⊥，由三垂线定理得AC BD ⊥，又BD CE ⊥，∴BD ⊥平面ACD ，又D ABC -为正三棱锥， ∴DA ，DB ，DC 两两垂直，故三棱锥D ABC -可看作以DA ，DB ，DC 为棱的正方体的一部分，二者有共同的外接球，由6AB =得DA =故正方体外接球直径为= 所以球O 的表面积为2454R ππ=，故选C.二、填空题13. 414.9452π-15.132n +⋅ 16.⎡⎣第14题提示：由三视图可知该几何体是一个长方体中挖去一个18球，如图所示，∴3149335345832V ππ=⨯⨯-⋅⋅=-.第15题提示：设公差为d ，由题知()()244424a a d a d =-+，即44a d =，故1a d =，∴n a nd =，33a d =，66a d =，故此等比数列首项为3d 、公比为2，因此132n n b a d +=⋅，故132n n b +=⋅.第16题提示：[]2sin 2,2y a x a a '=-∈-+，由题知在区间[]2,2a a -+内存在两数之积为-1，故只需()()221a a -+≤-，即a ≤≤ 三、解答题17.（12分）解：（1）())sin 21cos 22sin 23f x x x x π⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，………………2分由222232k x k πππππ-≤-≤+得51212k x k ππππ-≤≤+，………………4分故()f x 在5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上单增，在511,1212k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦上单减，k Z ∈；………6分（2）2sin 23A f A π⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin 32A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∵()0,A π∈，∴33A ππ-=，即23A π=，……………………………………………………8分由正弦定理得1sin C=1sin 2C =，∴6C π=，故6B π=，∴1sin 24ABC S ac B ==△.…………………………12分 18.（12分）解：（1）由题知五组频率依次为0.1，0.2，0.375，0.25，0.075，故0.11660.21680.3751700.251720.075174170x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，…………2分22222(170166)0.1(170168)0.2(170172)0.25(170174)0.075 4.6s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；……4分（2）由题知170μ=， 2.145σ==≈，………………5分（i ）()()0.95440.6826167.86174.2820.68260.81852P X P X μσμσ-<<=-<<+=+=，……8分（ii ）()10.9544174.280.02282P X ->==，故10人中至少有1人的身高在174.28cm 以上的概率10101(10.0228)10.977210.790.21P =--=-≈-=………………12分19.（12分）解：（1）∵//AB DC ，AB ⊄平面PDC ，∴//AB 平面PDC ，又面ABFE I 面PDC EF =，∴//AB EF ，取DC 中点G ，连接BG ，则ABGD 为平行四边形， ∴4BG =，又3GC =，5BC =，故90BGC ∠=︒， ∴AD DC ⊥，∴AB AD ⊥，又AB AP ⊥， ∴AB ⊥平面PAD ，∴EF ⊥平面PAD ，∴EF PD ⊥；………………6分（2）由（1）知CD ⊥平面PAD ，∴CPD ∠即为直线PC 与平面PAD 所成角， ∴3CPD π∠=，∴6PD =，即PD =12EF AB DC ==， ∴E ，F 分别为PD ，PC 的中点，取AD 中点O ，连接PO ，则PO AD ⊥，由CD ⊥平面PAD 可得CD PO ⊥，故PO ⊥平面ABCD ，………………7分以O 为原点，OA u u u r ，AB u u u r ，OP uuur 分别为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则()2,0,0A ，()2,0,0D -，()2,3,0B ，()2,6,0C -，(P ，故(F -，()4,3,0DB =u u u r，(DF =u u u r ，设平面DBF 的法向量为(),,m x y z =u r，则43030x y x y +=⎧⎪⎨++=⎪⎩，令3x =得3,m ⎛=- ⎝⎭r ，…………9分显然()0,0,1n =r 是平面ABD的一个法向量，∴cos ,m n ==r r，…………11分由题知二面角A BD F --的余弦值为………………12分 20.（12分）解（1）由题知3c a =，故2223b a =，又221413a b+=，∴23a =，22b =，所以椭圆C 的方程为22132x y +=；…………4分（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，由2OP OM =u u u r u u u u r得()112,2P x y ，由NQ NP λ=u u u r u u u r得()()221212,2,2Q Q x x y y x x y y λ--=--，∴122(1)Q x x x λλ=+-，122(1)Q y y y λλ=+-，又点Q 在椭圆C 上，故[][]2212122(1)2(1)132x x y y λλλλ+-+-+=即222222112212124(1)4(1)1323232x y x y x x y y λλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-++-+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴2212124(1)4(1)132x x y y λλλλ⎛⎫+-+-+=⎪⎝⎭，………………8分由题知直线:1MN y x =-，与椭圆C 的方程联立得25630x x --=，则1265x x +=，1235x x =-， ∴()()()121212123641111555y y x x x x x x =--=-++=--+=-，…………10分 ∴212524(1)055λλλλ⎛⎫-+---= ⎪⎝⎭，解得2237λ=或0，又N ，Q 不重合，∴0λ≠，故2237λ=………………12分 21.（12分）解：（1）()211(0)ax f x ax x x x+'=+=>，当0a ≥时()0f x '>，()f x 在()0,+∞上单增，当0a <时()00f x x'>⇔<<，()f x 在⎛ ⎝上单增，在⎫+∞⎪⎭上单减；…4分（2）221111ln ln 02222x x x ax e e a e ax x e a +<-+⇔---+>，令()211ln 22x g x e ax x e a =---+，()10g =，()1x g x e ax x'=--，若()10g '<，即1a e >-，则存在01x >使得当(]01,x x ∈时()0g x '<，()g x 单减，∴()()010g x g <=，与题意矛盾，故1a e ≤-，………………7分当1a e ≤-时，∵()1,x ∈+∞，∴()2112x g x e a e a x''=-+>+-≥，∴()g x '单增， ∴()()10g x g ''>≥，∴()g x 单增，∴()()10g x g >=，符合题意，∴1a e ≤-.………12分 22.（10分）解：（1）曲线C 的普通方程为()()22234x y -+-=，直线l 的直角坐标方程为43y x a +=，由直线l 与圆C 有两个交点知61225a+-<，解得828a <<；…………5分（2）设圆C 的圆心为1O ，由圆C 的参数方程可设点()0022cos ,32sin M θθ++，由题知1//O M l ， ∴04cos 5θ=-，03sin 5θ=，或04cos 5θ=，03sin 5θ=-，故点221,55M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，或189,55⎛⎫ ⎪⎝⎭……10分 23.（10分）解：（1）()()2222f x x x x x x x x =++-≥+--=+≥，当且仅当0x =时等号成立，故2m =；……………………5分（2）222a b +=，由柯西不等式得()222221112(11)12a b a b ⎛⎫++++≥+⎪++⎝⎭，当且仅当232a =，212b =时，等号成立，∴222211441235a b a b +≥=++++，故221112a b +++的最小值为45…………10分。

重庆2020届高三调研测试数学(理)试题Word版含答案及解析

重庆2020届高三调研测试数学（理）试题满分150分。

考试时间120分钟★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，请考生认真阅读答题卡上的注意事项。

务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上指定位置，贴好考号条形码或将考号对应数字涂黑。

用2B铅笔将试卷类型A填涂在答题卡相应位置上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

答在试题卷、草稿纸上无效。

3．非选择答题用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效。

4．考生必须保持答题卡的清洁。

考试结束后，监考人员将答题卡和试卷一并收回。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知为虚数单位，复数满足，则（）A. B. C. 1 D.2.已知集合，，则（）A. B.C. D.3.设，，，则的大小关系为（）A. B.C. D.4.设等比数列的前项和为，已知，且与的等差中项为20，则（）A. 127B. 64C. 63D. 325.已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A. 若，，则B. 若，，且，则C. 若，，且，，则D. 若直线与平面所成角相等，则6.函数的图像大致为（）A. B.C. D.7.运行如图所示的程序框图，则输出的值为（）A. 9B. 10C. 11D. 128.设函数的一条对称轴为直线，将曲线向右平移个单位后得到曲线，则在下列区间中，函数为增函数的是（）A. B.C. D.9.某班组织由甲、乙、丙等5名同学参加的演讲比赛，现采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为（）A. B. C. D.10.已知双曲线的一条渐近线方程为，左焦点为，当点在双曲线右支上，点在圆上运动时，则的最小值为（）A. 9B. 7C. 6D. 5 11.已知三棱锥各顶点均在球上，为球的直径，若，，三棱锥的体积为4，则球的表面积为（）A.B.C.D.12.已知是函数（其中常数）图像上的两个动点，点，若的最小值为0，则函数的最小值为（） A.B.C.D.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.13.若实数x ，y 满足00320x y x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =-+的最小值为______.14.住在狗熊岭的7只动物，它们分别是熊大，熊二，吉吉，毛毛，蹦蹦，萝卜头，图图.为了更好的保护森林，它们要选出2只动物作为组长，则熊大，熊二至少一只被选为组长的概率为______.15.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若23S =，()*11n n a S n N +=+∈，则通项公式n a =______.16.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点为1F 、2F ，过1F的直线l 与C 的一条渐近线在第一象限相交于A 点，若21AF AF ⊥，则该双曲线的离心率为______.三、解答题：共70分。

重庆市数学2020届普通高中毕业班理数第二次(5月)综合质量检查试卷C卷

A . ﹣1
B . ﹣
C .
D . 1
10. （2分） (2015高三下·武邑期中) 在二项式（4x2﹣2x+1）（2x+1）5的展开式中，含x4项的系数是（）
A . 16
B . 64
C . 80
D . 256
11. （2分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是（）
17-1、
17-2、
18-1、
18-2、
19-1、
20-1、
20-2、
21-1、
21-2、
22-1、
22-2、
23-1、
（1）
求证：EF⊥平面ACFD；
（2）
求二面角B﹣AD﹣F的余弦值．
19. （10分） (2015高二上·广州期末) 甲乙两机床同时加工直径为100mm的零件，为检验质量，随机从中各抽取5件，测量结果如图，请说明哪个机床加工的零件较好？
甲
99
100
98
100
103
乙
99
100
102
99
100
20. （10分） (2018高二上·无锡期末) 设动点是圆上任意一点，过作轴的垂线，垂足为，若点在线段上，且满足．
22. （10分） (2018高二下·双鸭山月考) 设直线过点 ,且倾斜角为。
（1）写出直线的标准参数方程；
（2）设此直线与曲线 ( 为参数)交于两点,求的值。
23. （10分） (2017高二下·运城期末) 已知函数f（x）=|x﹣a|．

重庆市2020届高三5月调研(二诊)考试数学(理)试题(含答案0

重庆市渝中区、九龙坡区等主城区2020届高三学业质量调研抽测(第二次)数学(理科)试题 (解析版)

2020年高考数学二诊试卷（理科）（5月份）一、选择题（共12个小题）1．已知集合A ＝{x |x 2﹣2x ﹣3≤0}，B ＝{x |log 2x ＞1}，则A ∪B ＝（） A ．（2，+∞）B ．（2，3]C ．[﹣1，3]D ．[﹣1，+∞）2．已知复数z 在复平面内对应点的坐标是（﹣3，4），i 为虚数单位，则z1−i =（）A ．−12+12i B ．−12+72i C ．−72+12i D ．72+12i3．某公司生产了一批新产品，这种产品的综合质量指标值x 服从正态分布N （100，σ2）且P （x ＜80）＝0.2．现从中随机抽取该产品1000件，估计其综合质量指标值在[100，120]内的产品件数为（） A ．200B ．300C ．400D ．6004．已知sin(α2−π4)=√33，则cos2α＝（）A ．79B ．−79C ．2√23D ．−2√235．已知p ：﹣2≤x ﹣y ≤2且﹣2≤x +y ≤2，q ：x 2+y 2≤2，则p 是q 的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知函数f （x ）的定义域为R 且满足f （﹣x ）＝﹣f （x ），f （x ）＝f （2﹣x ），若f （1）＝4，则f （6）+f （7）＝（） A ．﹣8B ．﹣4C ．0D ．47．已知函数f(x)=√3sinωx −cosωx(ω＞0)，f （x 1）＝2，f （x 2）＝﹣2，且|x 1﹣x 2|最小值为π2，若将y ＝f （x ）的图象沿x 轴向左平移φ（φ＞0）个单位，所得图象关于原点对称，则实数φ的最小值为（）A ．π12B ．π6C ．π3D ．7π128．2020年2月，在新型冠状病毒感染的肺炎疫情防控工作期间，某单位有4名党员报名参加该地四个社区的疫情防控服务工作，假设每名党员均从这四个社区中任意选取一个社区参加疫情防控服务工作，则恰有一个社区未被这4名党员选取的概率为（）A ．81256B ．2764C ．964D ．9169．已知f(x)={(3a −4)x −2a ，x ＜1log a x ，x ≥1对任意x 1，x 2∈（﹣∞，+∞）且x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0，那么实数a 的取值范围是（）A ．（1，+∞）B ．（0，1）C ．(43，2] D ．(43，4]10．在三棱锥P ﹣ABC 中，∠BAC ＝60°，∠PBA ＝∠PCA ＝90°，PB ＝PC =√6，点P 到底面ABC 的距离为2，则三棱锥P ﹣ABC 的外接球的体积为（） A ．4πB ．3√3πC ．4√3πD ．36π11．已知双曲线C ：x 2a −y 2b =1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，一条渐近线为l ，过点F 2且与l 平行的直线交双曲线C 于点M ，若|MF 1|＝2|MF 2|，则双曲线C 的离心率为（） A ．√2B ．√3C ．√5D ．√612．已知函数f （x ）＝（lnx +1﹣ax ）（e x ﹣2m ﹣ax ），若存在实数a 使得f （x ）＜0恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．(12，+∞) B ．(−∞，12)C ．(12，1)D ．(−1，12)二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相应的位置上．13．设非零向量a →，b →满足a →⊥(a →−b →)，且|b →|=2|a →|，则向量a →与b →的夹角为．14．过抛物线y 2＝8x 焦点的直线PC 与该抛物线相交于A ，B 两点，点P （4，y 0）是AB 的中点，则|AB |的值为．15．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的外接圆面积为16π，且cos 2C ﹣cos 2B ＝sin 2A +sin A sin C ，则a +c 的最大值为．16．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AC ∩BD ＝O ，E 是B 1C （不含端点）上一动点，则下列正确结论的序号是． ①D 1O ⊥平面A 1C 1D ； ②OE ∥平面A 1C 1D ；③三棱锥A 1﹣BDE 体积为定值； ④二面角B 1﹣AC ﹣B 的平面角的正弦值为√66．三、解答题：共70分．解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程．并答在答题卡相应的位置上．第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分 17．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n +1＝2S n +1．（Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n ＝log 3（a n •a n +1），数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：1T 1+1T 2+⋯+1T n＜2．18．某工厂通过改进生产工艺来提高产品的合格率，现从改进工艺前和改进工艺后所生产的产品中用随机抽样的方法各抽取了容量为100的样本，得到如表的2×2列联表：改进工艺前改进工艺后合计合格品8595180次品15520合计100100200（Ⅰ）是否有99%的把握认为“提高产品的合格率与改进生产工艺有关”？（Ⅱ）该工厂有甲、乙两名工人均使用改进工艺后的新技术进行生产，每天各生产50件产品，如果每生产1件合格品可获利30元，生产1件次品损失50元．甲、乙两名工人30天中每天出现次品的件数和对应的天数统计如表：甲一天生产的次品数（件）01234对应的天数（天）281073乙一天生产的次品数（件）01234对应的天数（天）369102将统计的30天中产生不同次品数的天数的频率作为概率，记X表示甲、乙两名工人一天中各自日利润不少于1340元的人数之和，求随机变量X的分布列和数学期望．附：P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n＝a+b+c+d．19．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点M，N分别是AB，CC1的中点，D为AB1与A1B的交点．（Ⅰ）求证：CM∥平面AB1N；（Ⅱ）已知AB＝2，AA1＝4，求A1B1与平面AB1N所成角的正弦值．20．已知圆C：（x+2）2+y2＝24与定点M（2，0），动圆I过M点且与圆C相切，记动圆圆心I的轨迹为曲线E．（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）斜率为k的直线l过点M，且与曲线E交于A，B两点，P为直线x＝3上的一点，若△ABP为等边三角形，求直线l的方程．21．设函数f（x）=e xx，g（x）＝lnx+1x．（Ⅰ）若直线x＝m（m＞0）与曲线f（x）和g（x）分别交于点P和Q，求|PQ|的最小值；（Ⅱ）设函数F（x）＝xf（x）[a+g（x）]，当a∈（0，ln2）时，证明：F（x）存在极小值点x0，且e x0（a+lnx0）＜0．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{x=2+√22ty=√22t（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝8cosθ．（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点M的直角坐标为（2，0），直线l和曲线C交于A、B两点，求1|MA|+1 |MB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）＝|2x+a2|．（Ⅰ）当a＝2时，求不等式f（x）+|x﹣1|≥5的解集；（Ⅱ）若对于任意实数x，不等式|2x+3|﹣f（x）＜2a成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将正确答案的代号填涂在答题卡上.1．已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，B＝{x|log2x＞1}，则A∪B＝（）A．（2，+∞）B．（2，3]C．[﹣1，3]D．[﹣1，+∞）【分析】求出A，B中不等式的解集确定出A，B，找出A与B的并集即可．解：由A中不等式变形得：（x﹣3）（x+1）≤0，解得：﹣1≤x≤3，即A＝[﹣1，3]，∵B＝{x|log2x＞1}＝[2，+∞），∴A∪B＝[﹣1，+∞），故选：D．【点评】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．2．已知复数z在复平面内对应点的坐标是（﹣3，4），i为虚数单位，则z1−i=（）A．−12+12i B．−12+72i C．−72+12i D．72+12i【分析】复数z在复平面内对应点的坐标是（﹣3，4），可得z＝﹣3+4i，代入再利用复数运算法则即可得出．解：复数z在复平面内对应点的坐标是（﹣3，4），∴z＝﹣3+4i，则z1−i =−3+4i1−i=(−3+4i)(1+i)(1−i)(1+i)=−72+12i，故选：C．【点评】本题考查了复数运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．某公司生产了一批新产品，这种产品的综合质量指标值x服从正态分布N（100，σ2）且P（x＜80）＝0.2．现从中随机抽取该产品1000件，估计其综合质量指标值在[100，120]内的产品件数为（）A．200B．300C．400D．600【分析】先根据正态曲线的对称性性质，算出P（100≤x≤120），然后用该值乘以1000即可．解：因为综合质量指标值x服从正态分布N（100，σ2）且P（x＜80）＝0.2．∴P（x＜80）＝P（x＞120）＝0.2，P（x≤100）＝P（x≥100）＝0.5．∴P（100≤x≤120）＝P（x≥100）﹣P（x＞120）＝0.3．故综合质量指标值在[100，120]内的产品件数为1000×0.3＝300．故选：B．【点评】本题考查正态分布密度函数的性质及应用，要注意利用正态曲线的对称性求解概率，同时考查学生利用转化思想解决问题的能力，属于中档题．4．已知sin(α2−π4)=√33，则cos2α＝（）A．79B．−79C．2√23D．−2√23【分析】由已知利用二倍角的余弦函数公式可求cos（α−π2），利用诱导公式可求sinα，再根据二倍角的余弦函数公式即可计算得解．解：∵sin(α2−π4)=√33，∴cos（α−π2）＝1﹣2sin2（α2−π4）＝1﹣2×（√33）2=13，即sinα=13，∴cos2α＝1﹣2sin2α＝1﹣2×（13）2=79．故选：A．【点评】本题主要考查了二倍角的余弦函数公式，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．5．已知p：﹣2≤x﹣y≤2且﹣2≤x+y≤2，q：x2+y2≤2，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】p：﹣2≤x﹣y≤2且﹣2≤x+y≤2，可得：﹣2≤x≤2，﹣2≤y≤2．q：x2+y2≤2，可得：−√2≤x≤√2，−√2≤y≤√2．即可判断出关系．解：p：﹣2≤x﹣y≤2且﹣2≤x+y≤2，可得：﹣2≤x≤2，﹣2≤y≤2．q：x2+y2≤2，可得：−√2≤x≤√2，−√2≤y≤√2．∴由q⇒p，由p无法得出q．∴p是q的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了不等式的应用、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．已知函数f（x）的定义域为R且满足f（﹣x）＝﹣f（x），f（x）＝f（2﹣x），若f（1）＝4，则f（6）+f（7）＝（）A．﹣8B．﹣4C．0D．4【分析】推导出f（x+4）＝f（2﹣x﹣4）＝﹣f（x+2）＝﹣f（2﹣x﹣2）＝f（x），f（0）＝0，由此根据f（1）＝4，能求出f（6）+f（7）的值．解：∵函数f（x）的定义域为R且满足f（﹣x）＝﹣f（x），f（x）＝f（2﹣x），∴f（x+4）＝f（2﹣x﹣4）＝﹣f（x+2）＝﹣f（2﹣x﹣2）＝f（x），f（0）＝0，∵f （1）＝4，∴f （6）＝f （2）＝f （0）＝0，f （7）＝f （3）＝f （﹣1）＝﹣f （1）＝﹣4，则f （6）+f （7）＝0﹣4＝﹣4．故选：B ．【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．已知函数f(x)=√3sinωx −cosωx(ω＞0)，f （x 1）＝2，f （x 2）＝﹣2，且|x 1﹣x 2|最小值为π2，若将y ＝f （x ）的图象沿x 轴向左平移φ（φ＞0）个单位，所得图象关于原点对称，则实数φ的最小值为（）A ．π12B ．π6C ．π3D ．7π12【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的性质的应用求出结果．解：函数f(x)=√3sinωx −cosωx(ω＞0)=2sin （ωx −π6），由于函数满足f （x 1）＝2，f （x 2）＝﹣2，且|x 1﹣x 2|最小值为π2，所以T ＝π，解得ω＝2．故f （x ）＝2sin （2x −π6）．将y ＝f （x ）的图象沿x 轴向左平移φ（φ＞0）个单位，所得函数g （x ）＝2sin （2x +2φ−π6）图象，由于函数g （x ）关于原点对称，所以2φ−π6=k π（k ∈Z ），解得φ=kπ2+π12（k ∈Z ），当k ＝0时，φ=π12，即实数φ的最小值为π12．故选：A ．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，函数的图象的平移变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．8．2020年2月，在新型冠状病毒感染的肺炎疫情防控工作期间，某单位有4名党员报名参加该地四个社区的疫情防控服务工作，假设每名党员均从这四个社区中任意选取一个社区参加疫情防控服务工作，则恰有一个社区未被这4名党员选取的概率为（）A ．81256B ．2764C ．964D ．916【分析】基本事件总数n ＝44，恰有一个社区未被这4名党员选取包含的基本事件个数m =C 41C 42A 33，由此能求出恰有一个社区未被这4名党员选取的概率．解：某单位有4名党员报名参加该地四个社区的疫情防控服务工作，假设每名党员均从这四个社区中任意选取一个社区参加疫情防控服务工作，基本事件总数n ＝44，恰有一个社区未被这4名党员选取包含的基本事件个数m =C 41C 42A 33，则恰有一个社区未被这4名党员选取的概率为P =m n =C 41C 42A 3344=916．故选：D ．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9．已知f(x)={(3a −4)x −2a ，x ＜1log a x ，x ≥1对任意x 1，x 2∈（﹣∞，+∞）且x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0，那么实数a 的取值范围是（）A ．（1，+∞）B ．（0，1）C ．(43，2] D ．(43，4]【分析】根据题意，由函数单调性的定义分析可得函数f （x ）在R 上是增函数，结合函数的解析式可得{3a −4＞0a ＞1(3a −4)−2a ≤log a 1，解可得a 的取值范围，即可得答案．解：根据题意，f （x ）满足对任意x 1，x 2∈（﹣∞，+∞）且x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0，则函数f （x ）在R 上是增函数，又由f(x)={(3a −4)x −2a ，x ＜1log a x ，x ≥1，则有{3a −4＞0a ＞1(3a −4)−2a ≤log a 1，解可得：43＜a ＜4，即a 的取值范围为（43，4）．故选：D ．【点评】本题考查分段函数的单调性，注意函数单调性的定义，属于基础题． 10．在三棱锥P ﹣ABC 中，∠BAC ＝60°，∠PBA ＝∠PCA ＝90°，PB ＝PC =√6，点P 到底面ABC 的距离为2，则三棱锥P ﹣ABC 的外接球的体积为（） A ．4πB ．3√3πC ．4√3πD ．36π【分析】先由题设条件找到球心的位置，再利用∠BAC ＝60°，∠PBA ＝∠PCA ＝90°，PB ＝PC =√6⇒△ABC 为等边三角形，进一步找出球的半径，计算出体积．解：如图，记PA 的中点为O ，连OB ，OC ．∵∠PBA ＝∠PCA ＝90°， ∴OA ＝OP ＝OB ＝OC ，因此O 为三棱锥P ﹣ABC 的外接球的球心．又∵PB ＝PC =√6，∴△PAB ≌△PAC ，∴AB ＝AC ．又∠BAC ＝60°， ∴△ABC 为等边三角形．记点O 在底面ABC 内的射影为O 1，则O 1为△ABC 的中心．连接OO 1，O 1A ，点P 到底面ABC 的距离为2，∴OO 1＝1．设AB ＝a ，则O 1A =√33a ．在直角三角形PBA 中，PA =√6+a 2．在直角三角形OO 1A 中，OA 2＝1+（√3a 3）2＝1+a 23=|PA|24=6+a 24，解得：a =√6， ∴三棱锥P ﹣ABC 的外接球的半径R ＝OA =√3．所以三棱锥P ﹣ABC 的外接球的体积V =43π（√3）3＝4√3π．故选：C ．【点评】本题主要考查多面体的外接球问题，属于基础题．11．已知双曲线C ：x 2a −y 2b =1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，一条渐近线为l ，过点F 2且与l 平行的直线交双曲线C 于点M ，若|MF 1|＝2|MF 2|，则双曲线C 的离心率为（） A ．√2B ．√3C ．√5D ．√6【分析】利用已知条件，结合双曲线定义，通过余弦定理以及渐近线的斜率，列出关系式求解双曲线的离心率即可．解：由题意可知|MF 1|﹣|MF 2|＝2a ，所以|MF 2|＝2a ，|MF 1|＝4a ，所以16a 2＝4a 2+4c 2﹣2×2a ×2c cos ∠MF 2F 1，tan∠MF2F1=ba，所以cos∠MF2F1=ac，所以：16a2＝4a2+4c2﹣2×2a×2c×ac，可得5a2＝4c2．所以双曲线的离心率为：e=√5．故选：C．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．12．已知函数f（x）＝（lnx+1﹣ax）（e x﹣2m﹣ax），若存在实数a使得f（x）＜0恒成立，则实数m的取值范围是（）A．(12，+∞)B．(−∞，12)C．(12，1)D．(−1，12)【分析】分析题意可知，存在实数a，使得直线y＝ax始终在函数g（x）＝lnx+1与函数h（x）＝e x﹣2m之间，作出函数g（x）与函数h（x）的图象，只需分析出极限情况即可得解．解：依题意，存在实数a，使得直线y＝ax始终在函数g（x）＝lnx+1与函数h（x）＝e x﹣2m之间，考虑直线y＝ax与函数g（x），函数h（x）均相切于同一点的情况，设切点为（x0，y0），由g′(x)=1x，h′(x)=ex−2m可知，{1x0=e x0−2my0=e x0−2my0=lnx0+1，解得{x0=1y0=1m=12，作出图象如下，由图象观察可知，当m ＜12时，函数h （x ）越偏离函数g （x ），符合题意，即实数m 的取值范围为(−∞，12)．故选：B ．【点评】本题考查利用导数研究不等式的恒成立问题，涉及了导数的几何意义的运用，考查等价转化思想，推理能力与计算能力，理解题意是关键，属于较难难题．二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相应的位置上．13．设非零向量a →，b →满足a →⊥(a →−b →)，且|b →|=2|a →|，则向量a →与b →的夹角为 π3 ．【分析】根据题意，设向量a →与b →的夹角为θ，设|a →|＝t ，则|b →|＝2t ，由向量垂直与数量积的关系可得a →•（a →−b →）=a →2−a →•b →=t 2﹣2t 2cos θ＝0，变形可得cos θ的值，结合θ的范围分析可得答案．解：根据题意，设向量a →与b →的夹角为θ，又由|b →|=2|a →|，设|a →|＝t ≠0，则|b →|＝2t ，又由a →⊥(a →−b →)，则a →•（a →−b →）=a →2−a →•b →=t 2﹣2t 2cos θ＝0，变形可得：cos θ=12；又由0≤θ≤π，则θ=π3；故答案为：π3．【点评】本题考查向量数量积的计算，涉及向量垂直的性质以及应用，属于基础题． 14．过抛物线y 2＝8x 焦点的直线PC 与该抛物线相交于A ，B 两点，点P （4，y 0）是AB 的中点，则|AB |的值为 12 ．【分析】通过抛物线的方程可知p ＝4，利用中点坐标公式可知x A +x B ＝2×4＝8，最后结合抛物线的定义即可求得焦点弦|AB|的长度．解：∵抛物线y2＝8x，∴p＝4，又点P（4，y0）是AB的中点，∴x A+x B＝2×4＝8，由抛物线的定义可知，|AB|＝x A+x B+p＝x A+x B+4＝8+4＝12．故答案为：12．【点评】本题考查抛物线的定义及其焦点弦的应用，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．15．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的外接圆面积为16π，且cos2C﹣cos2B＝sin2A+sin A sin C，则a+c的最大值为8．【分析】设△ABC的外接圆的半径为R．根据△ABC的外接圆面积为16π，利用正弦定理可得R．由cos2C﹣cos2B＝sin2A+sin A sin C，化为：1﹣sin2C﹣（1﹣sin2B）＝sin2A+sin A sin C，利用正弦定理及其余弦定理可得B，进而得出b．利用基本不等式的性质即可得出．解：设△ABC的外接圆的半径为R．∵△ABC的外接圆面积为16π，∴16π＝πR2，解得R＝4．∵cos2C﹣cos2B＝sin2A+sin A sin C，∴1﹣sin2C﹣（1﹣sin2B）＝sin2A+sin A sin C，∴b2﹣c2＝a2+ac，即c2+a2﹣b2＝﹣ac，∴cos B=a2+c2−b 22ac =−ac2ac=−12，B∈（0，π），解得B=2π3．∴b＝2R sin B＝8×√32=4√3．∴（c+a）2＝ac+(4√3)2≤(a+c)24+48，∴c+a≤8．当且仅当a＝c＝4时取等号．故答案为：8．【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC∩BD＝O，E是B1C（不含端点）上一动点，则下列正确结论的序号是②③．①D1O⊥平面A1C1D；②OE∥平面A1C1D；③三棱锥A1﹣BDE体积为定值；④二面角B1﹣AC﹣B的平面角的正弦值为√6．6【分析】根据正方体的几何特征，即可判断各命题的真假．解：如图所示，取AD中点F，连接OF，D1F，因为OF⊥平面ADD1A1，所以D1F为OD1在平面ADD1A1的射影，显然，D1F不垂直于A1D，故OD1不垂直于A1D，D1O不垂直于平面A1C1D，①错误；因为AC∥A1C1，B1C∥A1D，所以平面ACB1∥平面A1C1D，而OE⊂平面ACB1，根据线面平行的定义可知，OE∥平面A1C1D，所以②正确；因为B1C∥A1D，所以B1C∥平面A1BD，故点E到平面A1BD等于点C到平面A1BD的距离，所以三棱锥A1﹣BDE体积为定值，③正确；因为B 1B ⊥平面ABC ，AC ⊥BD ，所以∠B 1OB 为二面角B 1﹣AC ﹣B 的平面角的平面角，在△B 1BO 中，tan ∠B 1OB =22=√2，sin ∠B 1OB =√23=√63，④错误．故答案为：②③．【点评】本题主要考查利用面面平行的判定定理，线面平行的定义，线面垂直的判定定理判断命题真假，以及三棱锥体积的求法，二面角的求法的应用，考查学生的直观想象能力和逻辑推理能力，属于中档题．三、解答题：共70分．解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程．并答在答题卡相应的位置上．第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分 17．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n +1＝2S n +1．（Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n ＝log 3（a n •a n +1），数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：1T 1+1T 2+⋯+1T n＜2．【分析】本题第（Ⅰ）题根据题干a n +1＝2S n +1，可得当n ≥2时有a n ＝2S n ﹣1+1成立，两式相减后再运用公式a n ＝S n ﹣S n ﹣1（n ≥2），进一步转化计算可判断出数列{a n }是以1为首项，以3为公比的等比数列，即可得到数列{a n }的通项公式；第（Ⅱ）题先由第（Ⅰ）题的结果计算出数列{b n }的通项公式并判别出数列{b n }是以1为首项，2为公差的等差数列，再通过等差数列的求和公式可计算出T n的表达式，再代入1 T1+1T2+⋯+1T n进行计算时运用1n2＜1n−1−1n（n≥2）进行放缩即可证明不等式成立．【解答】（Ⅰ）解：依题意，由a n+1＝2S n+1，可得当n≥2时，a n＝2S n﹣1+1，两式相减，得a n+1﹣a n＝2S n+1﹣2S n﹣1﹣1＝3a n（n≥2），又∵a1＝1，a2＝2S1+1＝2×1+1＝3，∴a2＝3a1符合上式，∴数列{a n}是以1为首项，以3为公比的等比数列，故a n=3n−1，n∈N*．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，b n＝log3（a n•a n+1）＝log3（3n﹣1•3n）＝log332n﹣1＝2n﹣1，则b n＝2n﹣1＝1+（n﹣1）•2，故数列{b n}是以1为首项，2为公差的等差数列，∴T n=n(1+2n−1)2=n2，∴1T1+1T2+⋯+1T n=1 12+122+⋯+1n2＜1+11⋅2+12⋅3+⋯+1(n−1)n＝1+1−12+12−13+⋯+1n−1−1n＝2−1 n＜2，∴不等式1T1+1T2+⋯+1T n＜2成立．【点评】本题主要考查数列求通项公式，数列求和与不等式的综合问题．考查了转化与化归思想，放缩法，定义法，指、对数的运算，以及逻辑思维能力和数学运算能力．本题属中档题．18．某工厂通过改进生产工艺来提高产品的合格率，现从改进工艺前和改进工艺后所生产的产品中用随机抽样的方法各抽取了容量为100的样本，得到如表的2×2列联表：改进工艺前改进工艺后合计合格品8595180次品15520合计100100200（Ⅰ）是否有99%的把握认为“提高产品的合格率与改进生产工艺有关”？（Ⅱ）该工厂有甲、乙两名工人均使用改进工艺后的新技术进行生产，每天各生产50件产品，如果每生产1件合格品可获利30元，生产1件次品损失50元．甲、乙两名工人30天中每天出现次品的件数和对应的天数统计如表：甲一天生产的次品数（件）01234对应的天数（天）281073乙一天生产的次品数（件）01234对应的天数（天）369102将统计的30天中产生不同次品数的天数的频率作为概率，记X表示甲、乙两名工人一天中各自日利润不少于1340元的人数之和，求随机变量X的分布列和数学期望．附：P （K 2≥k 0）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.0722.7063.841 5.0246.6357.87910.828K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n ＝a +b +c +d ．【分析】（Ⅰ）求出K 2，即可判断是否有99%的把握认为“提高产品的合格率与改进生产工艺有关”．（Ⅱ）每天生产的次品数为x ，X 的可能值为0，1，2，求出概率，得到分布列，然后求解期望即可．解：（Ⅰ）K 2=200×(85×5−95×15)2100×100×20×180=509≈5.556＜6.635．∴没有99%的把握认为“提高产品的合格率与改进生产工艺有关”．（Ⅱ）∵每天生产的次品数为x ，日利润y ＝30（50﹣x ）﹣50x ＝1500﹣80x ，其中0≤x ≤4，x ∈N ．由1500﹣80x ≥1340得0≤x ≤2．∵X 是甲、乙1天中生产的次品数不超过2件的人数之和， ∴X 的可能值为0，1，2，又甲1天中生产的次品数不超过2件的概率为2+8+1030=23，乙1天中生产的次品数不超过2件的概率为3+6+930=35，∴P(X =0)=13×25=215，P(X =1)=23×25+13×35=715，P(X =2)=23×35=615， ∴随机变量X 的分布列为：X12P215715615∴E(X)=0×215+1×715+2×615=1915．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．19．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点M，N分别是AB，CC1的中点，D为AB1与A1B的交点．（Ⅰ）求证：CM∥平面AB1N；（Ⅱ）已知AB＝2，AA1＝4，求A1B1与平面AB1N所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）连接DM，DN．由已知可得BB1∥CC1，BB1＝CC1，且四边形AA1B1B 是矩形，结合D为AB1的中点．即可证明四边形CMDN是平行四边形，得CM∥DN，再由直线与平面平行的判定可得CM∥平面AB1N；（Ⅱ）取BC的中点为O，B1C1的中点为E，连接AO，OE，证得AO⊥平面BB1C1C．以OB，OE，OA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出A1B1→的坐标与平面AB1N 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得A1B1与平面AB1N所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：连接DM，DN．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1∥CC1，BB1＝CC1，且四边形AA1B1B是矩形，∴D为AB1的中点．又∵M为AB的中点，∴DM∥BB1，且DM=12BB1．∵N 为CC 1 的中点，∴CN =12CC 1， ∴DM ＝CN ，且DM ∥CN ，∴四边形CMDN 是平行四边形，得CM ∥DN ，又DN ⊂平面AB 1N ，CM ⊄平面AB 1N ， ∴CM ∥平面AB 1N ；（Ⅱ）解：取BC 的中点为O ，B 1C 1 的中点为E ，连接AO ，OE ， ∵△ABC 为正三角形，∴AO ⊥BC ，又平面BB 1C 1C ⊥平面ABC ，∴AO ⊥平面BB 1C 1C ．以OB ，OE ，OA 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示．则A （0，0，√3），A 1（0，4，√3），B 1（1，4，0），N （﹣1，2，0）， A 1B 1→=(1，0，−√3)，AB 1→=(1，4，−√3)，B 1N →=(−2，−2，0)．设平面AB 1N 的法向量为n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅AB 1→=x +4y −√3z =0n →⋅B 1N →=−2x −2y =0，令x ＝1，得n →=(1，−1，−√3)．设A 1B 1与平面AB 1N 所成角为θ，则sin θ＝|cos ＜A 1B 1→，n →＞|＝|A 1B 1→⋅n→|A 1B 1→|⋅|n →||=25=2√55． ∴A 1B 1与平面AB 1N 所成角的正弦值为2√55．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．20．已知圆C ：（x +2）2+y 2＝24与定点M （2，0），动圆I 过M 点且与圆C 相切，记动圆圆心I 的轨迹为曲线E ．（Ⅰ）求曲线E 的方程；（Ⅱ）斜率为k 的直线l 过点M ，且与曲线E 交于A ，B 两点，P 为直线x ＝3上的一点，若△ABP 为等边三角形，求直线l 的方程．【分析】（Ⅰ）设圆I 的半径为r ，由题意可得|IC |+|IM |＝2√6＞4为定值，由椭圆的定义可得E 的轨迹为椭圆，且可知a ，c 的值，再由a ，b ，c 之间的关系求出椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l 的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，求出AB 的中点D 的坐标，进而求出弦长|AB |，可得直线PQ 的斜率，再由P 在直线x ＝3上，可得|PQ |的长，由△ABP 为等边三角形时，|PQ |=√32|AB |，进而求出k 的值．解：（Ⅰ）设圆I 的半径为r ，题意可知，点I 满足： |IC |＝2√6−r ，|IM |＝r ，所以，|IC |+|IM |＝2√6，由椭圆定义知点I 的轨迹是以C ，M 为焦点的椭圆，所以a =√6，c ＝2，b =√2，故轨迹E 方程为：x 26+y 22=1；（Ⅱ）直线l 的方程为y ＝k （x ﹣2），联{x 26+y 22=1y =k(x −2)消去y 得（1+3k 2）x 2﹣12k 2x +12k 2﹣6＝0．直线y ＝k （x ﹣2）恒过定点（2，0），在椭圆内部，所以△＞0恒成立，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则有x 1+x 2=12k21+3k2，x 1x 2=12k 2−61+3k2，所以|AB |=√1+k 2|x 1﹣x 2|=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=2√6(1+k 2)1+3k2，设AB 的中点为Q （x 0，y 0），则x 0=6k21+3k2，y 0=−2k 1+3k2，直线PQ 的斜率为−1k（由题意知k ≠0），又P 为直线x ＝3上的一点，所以x P ＝3，|PQ |=√1+1k2|x 0﹣x P |=√1+k2k2−3(1+k 2)1+3k2，当△ABP 为等边三角形时，|PQ |=√32|AB |，即√1+k 2k 2−3(1+k 2)1+3k2=√32−2√6(1+k 2)1+3k2，解得k ＝±1，即直线l 的方程为x ﹣y ﹣2＝0，或x +y ﹣2＝0．【点评】本题考查求轨迹方程和直线与椭圆的综合，及等边三角形的性质，属于中档题．21．设函数f （x ）=e xx，g （x ）＝lnx +1x ．（Ⅰ）若直线x ＝m （m ＞0）与曲线f （x ）和g （x ）分别交于点P 和Q ，求|PQ |的最小值；（Ⅱ）设函数F （x ）＝xf （x ）[a +g （x ）]，当a ∈（0，ln 2）时，证明：F （x ）存在极小值点x 0，且e x 0（a +lnx 0）＜0．【分析】（Ⅰ）设函数h(x)=f(x)−g(x)=e xx−lnx−1x(x＞0)，利用导数求出函数h（x）在定义域上的最小值，即为|PQ|的最小值；（Ⅱ）对函数F(x)=e x(a+1x+lnx)求导得F′(x)=e x(a+2x−1x2+lnx)，分析可知当x∈(12，x0)，F（x）单调递减；当x∈（x0，1），F（x）单调递增，进而得证x0是F（x）的极小值点，且x0∈(12，1)，a+lnx0=1x02−2x=1−2x0x02，由此可证ex0（a+lnx0）＜0．解：（Ⅰ）设函数h(x)=f(x)−g(x)=e xx−lnx−1x(x＞0)，则h′(x)=xex−e xx2−1x+1x2=(x−1)(e x−1)x2，当x∈（0，+∞）时，e x﹣1＞0，故当x∈（0，1）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，∴h（x）在（0，+∞）上有最小值h（1）＝e﹣1，∴当m＝1时，|PQ|的最小值为e﹣1；（Ⅱ）证明：F(x)=e x(a+1x+lnx)，则F′(x)=e x(a+2x−1x2+lnx)，因为e x＞0，所以F′（x）与a+2x−1x2+lnx同号．设t(x)=a+2x−1x2+lnx，则t′(x)=x2−2x+2x3=(x−1)2+1x3＞0，故t（x）在（0，+∞）单调递增，因a∈（0，ln2），t（1）＝a+1＞0，t(12)=a+ln12＜0，所以存在x0∈(12，1)，使得t（x0）＝0，当x∈(12，x0)，F′（x）＜0，F（x）单调递减；当x ∈（x 0，1），F ′（x ）＞0，F （x ）单调递增；所以若a ∈（0，ln 2），存在x 0∈(12，1)，使得x 0是F （x ）的极小值点，由t （x 0）＝0得a +2x 0−1x 02+lnx 0=0，即a +lnx 0=1x 02−2x 0=1−2xx 02，所以e x 0(a +lnx 0)=e x 0⋅1−2x 0x 02＜0．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查转化思想及推理论证能力，属于中档题．一、选择题22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =2+√22ty =√22t（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝8cos θ．（Ⅰ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点M 的直角坐标为（2，0），直线l 和曲线C 交于A 、B 两点，求1|MA|+1|MB|的值．【分析】（Ⅰ）直接将直线的参数方程中的参数t 消去，可得直线的普通方程，利用极坐标方程与直角坐标方程的互化公式可得曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）将直线的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，化为关于t 的一元二次方程，由根与系数的关系结合此时t 的几何意义求解．解：（Ⅰ）将{x =2+√22ty =√22t 中参数t 消去得x ﹣y ﹣2＝0，将{x =ρcosθy =ρsinθ代入ρsin 2θ＝8cos θ，得y 2＝8x ， ∴直线l 和曲线C 的直角坐标方程分别为x ﹣y ﹣2＝0和y 2＝8x ；（Ⅱ）将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程，得t 2−8√2t −32=0，设A 、B 两点对应的参数为t 1，t 2，则|MA |＝|t 1|，|MB |＝|t 2|，且t 1+t 2=8√2，t 1t 2＝﹣32，∴|t 1|+|t 2|=|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=16， ∴1|MA|+1|MB|=1|t 1|+1|t 2|=|t 1|+|t 2||t 1t 2|=|t 1−t 2||t 1t 2|=12．【点评】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，关键是直线参数方程中此时t 的几何意义的应用，是中档题． [选修4-5：不等式选讲] 23．已知f （x ）＝|2x +a 2|．（Ⅰ）当a ＝2时，求不等式f （x ）+|x ﹣1|≥5的解集；（Ⅱ）若对于任意实数x ，不等式|2x +3|﹣f （x ）＜2a 成立，求实数a 的取值范围．【分析】（Ⅰ）由题意可得|2x +4|+|x ﹣1|≥5，由零点分区间法，绝对值的定义，去绝对值，解不等式，求并集，即可得到所求解集；（Ⅱ）由题意可得|2x +3|﹣|2x +a 2|＜2a 恒成立，运用绝对值不等式的性质可得该不等式左边的最大值，再由绝对值的解法和二次不等式的解法可得所求范围．解：（Ⅰ）当a ＝2时，f （x ）+|x ﹣1|＝|2x +4|+|x ﹣1|≥5，则{x ＜−2−2x −4−x +1≥5或{−2≤x ≤12x +4−x +1≥5或{x ＞12x +4+x −1≥5，解得x ≤−83或0≤x ≤1或x ＞1，所以原不等式的解集为（﹣∞，−83]∪[0，+∞）；（Ⅱ）对于任意实数x ，不等式|2x +3|﹣f （x ）＜2a 成立，即|2x +3|﹣|2x +a 2|＜2a 恒成立，又因为|2x +3|﹣|2x +a 2|≤|2x +3﹣2x ﹣a 2|＝|a 2﹣3|，要使原不等式恒成立，则只需|a 2﹣3|＜2a ，由﹣2a ＜a 2﹣3＜2a ，即{a 2+2a −3＞0a 2−2a −3＜0，即为{a ＞1或a ＜−3−1＜a ＜3，可得1＜a ＜3，所以实数a 的取值范围是（1，3）．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，注意运用分类讨论思想，考查不等式恒成立问题解法，注意运用绝对值不等式的性质，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．。

2020年重庆市名校联盟高考数学二诊试卷(理科)(B卷)(含答案解析)

2020年重庆市名校联盟高考数学二诊试卷（理科）（B卷）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合，，则A. B. C. D.2.设，则在复平面内对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.若x，y满足约束条件，且的最大值为，则a的取值范围是A. B. C. D.4.小方，小明，小马，小红四人参加完某项比赛，当问到四人谁得第一时，回答如下：小方：“我得第一名”；小明：“小红没得第一名”；小马：“小明没得第一名”；小红：“我的第一名”已知他们四人中只有一人说真话，且只有一人得第一．根据以上信息可以判断出得第一名的人是A. 小明B. 小马C. 小红D. 小方5.设点O在的内部，且有，则的面积与的面积之比为A. 3B.C. 2D.6.算法统宗全称新编直指算法统宗，是中国古代数学名著，程大位著．书中有如下问题：“今有五人均银四十两，甲得十两四钱，戊得五两六钱．问：次第均之，乙丙丁各该若干？”意思是：有5人分40两银子，甲分10两4钱，戊分5两6钱，且相邻两项差相等，则乙丙丁各分几两几钱？注：1两等于10钱A. 乙分8两，丙分8两，丁分8两B. 乙分8两2钱，丙分8两，丁分7两8钱C. 乙分9两2钱，丙分8两，丁分6两8钱D. 乙分9两，丙分8两，丁分7两7.设实数，则展开式中的常数项为A. B. C. D.8.在直角坐标系xOy中，角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与圆O：交于第一象限内的点P，点P的纵坐标为，把射线OP顺时针旋转，到达射线OQ，Q点在圆O上，则Q的横坐标是A. B. C. D.9.如图是一个算法的程序框图，如果输入，，那么输出的结果为A. B. C. D.10.设函数是定义在上的连续函数，且在处存在导数，若函数及其导函数满足，则函数A. 既有极大值又有极小值B. 有极大值，无极小值C. 有极小值，无极大值D. 既无极大值也无极小值11.过双曲线的右焦点F作渐近线的垂线，设垂足为为第一象限的点，延长FP交抛物线于点Q，其中该双曲线与抛物线有一个共同的焦点，若，则双曲线的离心率的平方为A. B. C. D.12.奔驰定理：已知O是内的一点，，，的面积分别为，，，则“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的l o go很相似，故形象地称其为“奔驰定理”若O是锐角内的一点，A，B，C是的三个内角，且点O满足，则必有A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知实数x，y满足，则的最小值为______14.已知等差数列和等差数列的前n项和分别为，，且，则______．15.长沙市为了支援边远山区的教育事业，组织了一支由13名教师组成的队伍下乡支教，记者采访队长时询问这个团队的构成情况，队长回答：“有中学高级教师；中学教师不多于小学教师；小学高级教师少于中学中级教师；小学中级教师少于小学高级教师；支教队伍的职称只有小学中级、小学高级、中学中级、中学高级无论是否把我计算在内，以上条件都成立．”由队长的叙述可以推测出他的学段及职称分别是______．16.定义函数，表示函数与较小的函数．设函数，，p为正实数，若关于x的方程恰有三个不同的解，则这三个解分别是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．求角B的大小；若，求的值．18.如图1所示，在等腰梯形ABCD中，把沿BE折起，使得，得到四棱锥如图2所示．求证：平面平面ABD；求平面ABE与平面ACD所成锐二面角的余弦值．19.已知椭圆，、为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，且．求椭圆的标准方程；设直线l：，过点的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l、直线AB于M、N两点，当最小时，求直线AB的方程．20.已知函数．求函数的单调区间和极值；证明：．21.手工艺是一种生活态度和对传统的坚持，在我国有很多手工艺品制作村落，村民的手工技艺世代相传，有些村落制造出的手工艺品不仅全国闻名，还大量远销海外．近年来某手工艺品村制作的手工艺品在国外备受欢迎，该村村民成立了手工艺品外销合作社，为严把质量关，合作社对村民制作的每件手工艺品都请3位行家进行质量把关，质量把关程序如下：若一件手工艺品3位行家都认为质量过关，则该手工艺品质量为A级；若仅有1位行家认为质量不过关，再由另外2位行家进行第二次质量把关，若第二次质量把关这2位行家都认为质量过关，则该手工艺品质量为B级，若第二次质量把关这2位行家中有1位或2位认为质量不过关，则该手工艺品质量为C级；若有2位或3位行家认为质量不过关，则该手工艺品质量为D级．已知每一次质量把关中一件手工艺品被1位行家认为质量不过关的概率为，且各手工艺品质量是否过关相互独立．求一件手工艺品质量为B级的概率；若一件手工艺品质量为A，B，C级均可外销，且利润分别为900元，600元，300元，质量为D级不能外销，利润记为100元．求10件手工艺品中不能外销的手工艺品最有可能是多少件；记1件手工艺品的利润为X元，求X的分布列与期望．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数点在曲线C上，点满足．Ⅰ以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，求动点Q的轨迹C的极坐标方程；Ⅱ点A、B分别是曲线C上第一象限，第二象限上两点，且满足，求的值．23.设函数．求不等式的解集记函数的最小值为t，若a，b，c为正实数，且，求的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：，，，，故选：A．根据交集补集的定义即可求出．本题主要考查求集合的补集，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题．2.答案：A解析：【分析】根据复数的四则运算及复平面内点的意义即可求解．本题考复数的概念与复数的运算．【解答】解：由题意得，所以，因此在复平面内对应的点位于第一象限，故选：A．3.答案：A解析：解：作出不等式组对应的平面区域如图：阴影部分．由，得，平移直线，要使的最大值为，即直线经过点时，截距最大，则目标函数的斜率，满足，解得，故选：A．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键．4.答案：A解析：解：假设第一名是小方，则小方、小明、小马说的都是真话，小红说的是假话，不合题意；假设第一名是小明，则只有小明说的是真话，别外三人说的都是假话，符合题意；假设第一名是小马，则小方、小马、小红说的都是假话，小明说的是真真话，不合题意；假设第一名是小红，则小方、小明说的是假话，小马和小红说的是真话，不合题意．故选：A．分别假设第一名是小方、小明、小马、小红，依次判断四个人的话的真假，由此能求出结果．本题考查命题真假的判断，考查简单的合情推量等基础知识，考查推理论证能力，考查化归与转化思想，是基础题．5.答案：A解析：【分析】本题考查了平面向量的线性运算与三角形面积的计算问题，是中档题．以OB、OC为邻边作平行四边形，根据题意画出图形，结合图形求出三角形的面积比．【解答】解：以OB、OC为邻边作平行四边形OBDC，连接OD交BC于点M，如图所示：由，则，，的面积与的面积之比为．故选：A．6.答案：C解析：解：由题意可得甲、乙、丙、丁、戊所得钱数成等差数列，设公差为d，则，，所以，即，解得，可得；；，所以乙分9两2钱，丙分8两，丁分6两8钱，故选：C．由题意可得甲、乙、丙、丁、戊所得钱数成等差数列，设公差为d，则，，利用等差数列的通项公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.答案：D解析：解：因为实数，表示以为圆心，1为半径的圆的上半圆的面积；所以：．；其展开式的通项公式为：，令；展开式中的常数项为：．故选：D．先由积分的几何意义求出a，再求出二项展开式的通项，让x的指数为0即可求出其常数项．本题主要考查二项式定理的应用以及定积分的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．8.答案：A解析：解：角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与圆O：交于第一象限内的点P，则点P的纵坐标为，点P的横坐标为，把射线OP顺时针旋转，到达射线OQ，Q点在圆O上，则Q的横坐标为，故选：A．由题意利用任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，求出点P的横坐标为的值，再利用两角差的余弦公式，求出Q的横坐标的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式，求出Q的横坐标，属于基础题．9.答案：C解析：【分析】本题考查了循环结构的程序框图，以及数列的裂项求和法，是基础题．分析程序中各变量、各语句的作用，根据流程图所示的顺序知：该程序是利用循环计算的值，用裂项法求值即可．【解答】解：模拟程序框图运行过程，如下；当时，，满足循环条件，此时；当时，，满足循环条件，此时；当时，，满足循环条件，此时；当时，，不满足循环条件，此时．故选C．10.答案：C解析：解：函数是定义在上的连续函数，，令，则，为常数，函数是连续函数，且在处存在导数，，，，，，，令，则，令，则，当时，，此时单调递减；当时，，此时单调递增，，，使，又，函数在的两个零点，分别为和0，当时，令，则，当时，，当时，，在上单调递增，在上单调递减，在上有极小值，无极大值．故选：C．由已知条件求出函数的解析式，然后判断函数的单调性，根据单调性确定函数的极值点，从而得到正确选项．本题考查了利用导数求函数的解析式、利用导数研究函数的单调性极值和零点存在定理，考查了转化思想和函数思想，考查了推理能力和计算能力，属难题．11.答案：D解析：解：由，可得P为FQ的中点，设，由渐近线方程，可设直线FP的方程为，由解得，由中点坐标公式可得，代入抛物线的方程可得，由题意可得，即，即有，由可得，解得．故选：D．由，可得P为FQ的中点，设，一条渐近线方程和垂直的垂线方程，求得交点P的坐标，由中点坐标公式可得Q的坐标，代入抛物线的方程，结合离心率公式，解方程可得所求值．本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的渐近线方程和中点坐标公式，以及点满足抛物线的方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题．12.答案：C解析：解：如图，由题知O为垂心，所以，．同理，，，所以．．又，．由奔驰定理得，故选：C．利用已知条件画出图形，通过向量的数量积，转化求解即可．本题考查向量的数量积的应用，考查数形结合以及计算能力，是中档题．13.答案：3解析：解：由已知的不等式组得到平面区域如图：根据得到，当此直线经过图中A时在y轴截距最大，z最小，由得到，所以z的最大值为；故答案为：3．画出可行域，根据目标函数的几何意义求最小值即可．本题考查了简单线性规划问题；画出可行域，利用目标函数的几何意义求最值．14.答案：解析：解：．故答案为：．利用等差数列的性质可得：，代入即可得出．本题考查了等差数列的通项公式、求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15.答案：小学中级解析：解：设小学中级、小学高级、中学中级、中学高级人数分别为a，b，c，d，则，所以，，，若，则，，，，，，若，则，，，，，矛盾，若队长为小学中级时，去掉队长则，，，，满足，，，；若队长为小学高级时，去掉队长则，，，，不满足；若队长为中学中级时，去掉队长则，，，，不满足；若队长为中学高级时，去掉队长则，，，，不满足；综上可得队长为小学中级．故答案为：小学中级．设小学中级、小学高级、中学中级、中学高级人数分别为a，b，c，d，根据条件建立不等式组关系，分别讨论队长的学段和职称是否满足不等式组即可．本题主要考查合情推理的应用，结合不等式组，利用分类讨论的数学是解决本题的关键．16.答案：、、p解析：解：函数，且为偶函数，，p为正实数，由关于x的方程恰有三个不同的解，可得函数与有两个交点；函数与必然相交于一个点，如图所示，由，得，则或；由，得，即．综上，关于x的方程的三个不同的解分别是、、p．故答案为：、、p．判断函数的奇偶性并求值域，求出的值域，作出简图，由关于x的方程恰有三个不同的解，可得函数与有两个交点；函数与必然相交于一个点，由此求解关于x的方程的三个解．本题考查了函数的图象与性质、方程的解转化为函数图象的交点问题、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.答案：解：．．，由正弦定理可得：，，，，，，，，，，，，可得：，，，，可得：，，，，，由正弦定理，，，可得：．解析：由已知利用余弦定理，正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得，结合范围，可求B的值；利用三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，结合范围，可求，由正弦定理即可求得的值．本题主要考查了余弦定理，正弦定理，三角函数恒等变换的应用在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.答案：证明：在等腰梯形ABCD中，，，可知，．因为，，可得．又因为，得，则．又，，BE，平面BCDE，可得平面BCDE，又平面BCDE，故AE．又因为，则，，则，所以，又，AE、平面ACE，所以平面ACE，又平面ABD，所以平面平面ACE；解：设，过点O作交AC于点F，以点O为原点，以OB，OC，OF所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．在中，，，，则，，，，，，，，设平面ABE的法向量为，由取，可得平面ABE的一个法向量；设平面ACD的法向量为，由，取，可得平面ABE的一个法向量设平面ABE与平面ACD所成锐二面角的平面角为，则，所以平面ABE与平面ACD所成锐二面角的余弦值为．解析：本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，属于较难题．推导出，，，从而平面ACE，由此能证明平面平面ACE．设，过点O作交AC于点F，以点O为原点，以OB，OC，OF所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面ABE与平面ACD所成锐二面角的余弦值．19.答案：解：由题意，可知，则，解得．．点为椭圆上一点，．联立，解得．椭圆C的标准方程为．由题意，设，则当直线AB的斜率不存在时，则：．此时点N即为右焦点，即．此时．当直线AB的斜率存在时，设斜率为k，很明显则：．由题意，联立，消去y，整理得．则，，．，．点N坐标为线段AB的垂直平分线的斜率为，线段AB的垂直平分线的直线方程为设点M坐标为点M在直线l：上，即．．点M坐标为．．．在中，．令，则；令．则，，解得．当时，取最小值．此时，解得即．综上所述，可知的最小值为4，此时．直线AB的方程为：或．解析：本题第题由题意可知，再根据，可解得c的值，再根据点为椭圆上一点可得方程通过计算可得，的值，即可得到椭圆C的标准方程；第题设，则再分直线AB的斜率不存在和存在两种情况分类讨论．当斜率不存在时，：当斜率存在时，设斜率为k，很明显则：联立直线与椭圆方程，消去y，整理得一元二次方程，根据韦达定理可得，则通过计算可得点N坐标为再根据线段AB的垂直平分线的斜率为可得直线方程，然后将点代入直线方程可得的值，则即可得到，根据弦长公式可得，从而可得的值．在中，，通过换元法和判别式法求出的最小值，从而可得最小时k的取值，即可得到直线AB的方程．本题主要考查椭圆的基础知识和椭圆与直线综合的问题，考查了方程思想的应用，弦长公式的应用，换元法，设而不求法，判别式法求最值的应用，以及两直线互相垂直的关系，考查了逻辑思维能力和数学运算能力．本题属综合性很强的偏难题．20.答案：解：函数，，则，x1单调递增极大值1单调递减因此增区间为，减区间为，极大值为，无极小值．证明：由可得，，当且仅当时取等号．令，，，．解析：求出导函数，求出极值点，判断导函数的符号，得到函数的单调性，求解函数的极值即可．由可得，推出，当且仅当时取等号．令，通过累加法以及裂项消项法证明求解即可．本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的求法，数列的应用，考查转化思想以及计算能力是难题．21.答案：解：一件手工艺品质量为B级的概率为．由题意可得一件手工艺品质量为D级的概率为，设10件手工艺品中不能外销的手工艺品可能是件，则，则，．由得，所以当时，，即，由得，所以当时，，所以当时，最大，即10件手工艺品中不能外销的手工艺品最有可能是2件．由上可得一件手工艺品质量为A级的概率为，一件手工艺品质量为B级的概率为，一件手工艺品质量为C级的概率为，一件手工艺品质量为D级的概率为，所以X的分布列为X900600300100P则期望为．解析：利用独立重复实验的关键求解一件手工艺品质量为B级的概率．求出一件手工艺品质量为D级的概率，设10件手工艺品中不能外销的手工艺品可能是件，得到二项分布，通过概率的比值，判断10件手工艺品中不能外销的手工艺品最有可能是2件．求出一件手工艺品质量为A级的概率，一件手工艺品质量为B级的概率，一件手工艺品质量为C级的概率，一件手工艺品质量为D级的概率，得到X的分布列，然后求解期望即可．本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，独立重复实验的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．22.答案：解：Ⅰ曲线C的参数方程为为参数点在曲线C上，，，，，点满足，，，动点Q的轨迹C的极坐标方程为：．Ⅱ，设，，，，．解析：Ⅰ推导出，，从而，，由此能求出动点Q的轨迹C的极坐标方程．Ⅱ，设，，，，由此能求出．本题考查动点的极坐标方程的求法，考查代数式求值，考查参数方程、普通方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．23.答案：解：，，或或，或或，不等式的解集为；由知，函数的最小值为t，，，当且仅当时取等号，的最小值为．解析：对去绝对值改写为分段函数的形式，然后分别解不等式，从而得到不等式的解集；根据求出的最小值，然后由，求出最小值．本题考查了求绝对值不等式和利用基本不等式求最值，考查了转化思想和分类讨论思想，属中档题．第21页，共21页。

2020年重庆市高考数学二诊试卷(理科) (含答案解析)

2020年重庆市高考数学二诊试卷(理科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 若集合A ={x|3−2x <1}，B ={x|3x −2x 2≥0}，则A ∩B =( )A. (1,2]B. (1,94]C. (1,32]D. (1,+∞) 2. 设复数z 满足1−z 1+z =i ，则|z|=( )A. 1B. √2C. √3D. 23. 下列说法正确的是( )A. 命题“若 cos x =cos y ，则 x =y ”的逆否命题为真命题B. 命题“若 xy =0，则 x =0”的否命题为“若 xy =0，则 x ≠0”C. 命题“∃x ∈R ，使得 2x 2−1<0”的否定是“∀x ∈R ，都有 2x 2−1<0”D. 若 a ∈R ，则“a >2”是“|a|>2”的充分不必要条件4. 为了判断英语词汇量与阅读水平是否相互独立，某语言培训机构随机抽取了100位英语学习者进行调查，经过计算K 2的观测值为7，根据这一数据分析，下列说法正确的是( )附：A. 有99%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平无关B. 有99.5%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平有关C. 有99.9%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平有关D. 在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为英语词汇量与阅读水平有关 5. 对于数列{a n }，定义数列{a n+1−a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1=3，{a n }的“差数列”的通项为3n ，则数列{a n }的通项a n =( )A. 3nB. 3n −32C. 3n +32D. 3n−1+2 6. (x 3−1)(√x +2x )6的展开式中的常数项为( )A. −60B. 240C. −80D. 180 7. 已知a >0,b >0,a +b =2，则y =1a +4b 的最小值是( )A. 92B. 72C. 5D. 48.函数y=e|x|4x的图象可能是()A. B.C. D.9.设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意x∈R都有f(x)=f(x+4)，当x∈[−2,0)时，f(x)=2x，则f(2015)−f(2014)的值为()A. 34B. −34C. 14D. 1210.已知点P(6,y)在抛物线y2=2px(p>0)上，若点P到抛物线的焦点F的距离等于8，则焦点F到抛物线准线的距离等于()A. 2B. 1C. 4D. 811.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(sinA+sinB)(a−b)=(sinC−sinB)c，则A=()A. π6B. π3C. 2π3D. 5π612.已知三棱锥P−ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为()A. 8√6πB. 4√6πC. 2√6πD. √6π二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设向量a⃗=(2,1+m),b⃗ =(3,m)，且a⃗//b⃗ ，则m=______ ．14.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______．15.公差不为0的等差数列{a n}的部分项a k1，a k2，a k3…构成等比数列{a kn}，且k1=1，k2=2，k3=6，则k5=______ ．16.若曲线y=ax+2cos x上存在两条切线相互垂直，则实数a的取值范围是________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosBcosC =b2a−c．(1)求角B的大小；(2)若b=√13，a+c=5，求△ABC的面积．18.为调查某校学生每周体育锻炼落实的情况，采用分层抽样的方法，收集100位学生每周平均锻炼时间的样本数据(单位：ℎ)根据这100个样本数据，制作出学生每周平均锻炼时间的频率分布直方图(如图所示)．(Ⅰ)估计这100名学生每周平均锻炼时间的平均数x¯和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(Ⅱ)由频率分布直方图知，该校学生每周平均锻炼时间Z近似服从正态分布N(μ,σ2)，其中μ近似为样本平均数x¯，σ2近似为样本方差s2．①求P(0.8<Z<8.3)②若该校共有5000名学生，记每周平均锻炼时间在区间(0.8,8.3)的人数为ε，试求E(ε).附：√6.16≈2.5，若Z−N(μ,σ2)，则P(μ−σ<Z<μ+σ)=0.6827，P(μ−2σ<Z<μ+2σ)=0.954519.如图四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，PB⊥BC，PD⊥CD，且PA=AB，E为PD中点．(1)求证：PA⊥平面ABCD；(2)求二面角A−BE−C的余弦值．20. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)过点A(2,0)，且离心率为√32． (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设直线y =kx +√3与椭圆C 交于M ，N 两点，若直线x =3上存在点P ，使得四边形PAMN 是平行四边形，求k 的值．21. 已知函数f(x)=ax−1x 2+1，a ∈R ．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若a =1，证明：当x ∈[1,+∞)时，f(x)≤lnx 2．22. 已知在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =1+t 21−t 2y =t 1−t 2(t 为参数).以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos (θ+π3)=√54. (1)求曲线和直线的直角坐标方程；(2)若直线l 交曲线C 于A ，B 两点，交x 轴于点P ，求1|PA|+1|PB|的值．23.已知函数f(x)=2|x|+|x−2|的最小值为m．(1)求m的值；(2)若实数a，b满足a2+b2=m，求11+a2+12+b2的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：本题考查交集的求法，一元一次、一元二次不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题．分别求出集合A 和B ，由此能求出A ∩B ．解：因为集合A ={x|3−2x <1}，B ={x|3x −2x 2≥0}，所以A ={x|x >1},B ={x|0≤x ≤32}，所以A ∩B ={x|1<x ≤32}，即A ∩B =(1,32],故选C ． 2.答案：A解析：本题考查复数的运算，复数的模，属于基础题．先求出复数z ，再求复数z 的模即可．解：∵复数z 满足1−z 1+z =i ，∴1−z =i +zi ，∴z(1+i)=1−i∴z =1−i 1+i =(1−i)(1−i)(1+i)(1−i)=−i ，∴|z|=1，故选A ．3.答案：D解析：本题考查四种命题间的关系、命题的否定与否命题、特称命题与全称命题、充要条件等知识，比较容易．按照相关知识，逐个判断即可．解：A.易知原命题是假命题，根据原命题与逆否命题等价可知，其逆否命题为假命题，故A错误；B.命题“若xy=0，则x=0”的否命题应为“若xy≠0，则x≠0”，故B错误；C.命题“∃x∈R，使得2x2−1<0”的否定是“∀x∈R，都有2x2−1≥0”，故C错误；D.由|a|>2⇒a>2或a<−2，所以若a∈R，则“a>2”是“|a|>2”的充分不必要条件，故D 正确．故选D．4.答案：D解析：本题考查了独立性检验，属于基础题．根据K2的值，结合临界值表可得．解：K2=7>6.635，故有99%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平有关系或者说在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为英语词汇量与阅读水平有关．故选D．5.答案：C解析：本题考查数列的新定义，考查累加法，是中档题．利用已知条件及累加法可直接求解出答案．由已知得a n+1−a n=3n，a1=3，则a2−a1=3，当n≥2时，a3−a2=32，…，a n−a n−1=3n−1．．由累加法得a n=3+3+32+⋯+3n−1=3n+32∵a1=3符合上式．。

重庆市2020届5月份高三“二诊”考试理科数学试题(含答案)

故只需 (a 2)(a 2) ≤ 1 ，即 - 3 ≤ a ≤ 3 ．
三、解答题
17．（12 分）
解：（1） f (x) sin 2x
3(1 cos 2x)
3
2 sin(2 x
)
，……2
分
3
由 2k ≤ 2x ≤2k 得 k ≤ x ≤ k 5 ，……4 分
2
3
2
12
12
4
4
4
4
2
f (x 3) f (x 3) f (x) ， f (x) 是周期为 3 的周期函数， 2
故
f
(100)
f
(1)
f
( 1) 2
log 2
3m 2
，即 log2
3 2
m
log2 3 ， m
1 ，故选 B．
第Leabharlann 10题提示：由题知 |FP |
xP
p 2
3p
， xP
5 2
p ，设点
15． 3 2n1
16．[ 3， 3]
5 月调研测试卷（理科数学）参考答案第 1页共 4 页
1
第 14 题提示：由三视图可知该几何体是一个长方体中挖去一个球，
8
如图所示，V 3 3 5 1 4 33 45 9 ．
83
2
第 15 题提示：设公差为 d ，由题知 a42 (a4 2d )(a4 4d ) ，
cos 0
4 5
，sin
0
3 5
，或 cos0
4 5
，sin
0
3 5
，故点
M
( 2，21) 55
，或
(18 ，9 ) 55

【精准解析】重庆市2020届高三5月调研(二诊)数学(理)试题

-8-
由题知 DG 平面 ABC ，所以 DG AC ，又 AC GB ， DG GB G ，所以 AC 平面 DGB ，所以 AC BD ，又 BD CE ， CE AC C ，∴ BD 平面 ACD ，∴ BD CD ， BD AD ，又 D ABC 为正三棱锥，∴ DA ， DB ， DC 两两垂直，故三棱锥 D ABC 可看作以 DA ，DB ，DC 为棱的正方体的一部分，二者有共同的外接球，
3i
，
所以 z 12 32 10 .
故选：C.
【点睛】本题考查了复数的运算与模的求解，属于基础题.
3.下列说法正确的是（）
A. “若 a 2 ，则 2a 4 ”的否命题为“若 a 2 ，则 2a 4 ”
B. 命题 p q 与 p q 至少有一个为真命题
C. “ x 0 ， x2 2x 2 0 ”的否定为“ x 0 ， x2 2x 2 0 ”
上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个备选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1.已知集合 A 2,3,5, 7 ， B x | log2 (x 2) 1 ，则 A B （）
A. 2
B. 3
C. 2,3
c
2a sin C
，则 S△ABC
1 2
2a 2
sin B sin C
2 即可得解. 2
【详解】由 a sin A b sin B 2c sin B c sin C 得 a2 b2 2cb c2 ，
则 cos A b2 c2 a2 2bc
2 ，由 A 0, 可得 A 3 ，
1 ，求得

2020届重庆市高三5月调研(二诊)数学(理)试题(解析版)

2020年普通高等学校招生全国统一考试5月调研测试卷理科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2,3,5,7A =，{}2|log (2)1B x x =-<，则A B =I （） A. {}2 B. {}3 C. {}2,3D. {}3,5 【答案】B【分析】由对数函数的性质可得{}|24B x x =<<，再由集合交集的概念即可得解. 【详解】由题意{}{}{}2|log (2)1|022|24B x x x x x x =-<=<-<=<<，所以{}{}{}2,3,5,7|243x A x B <<==II . 故选：B.【点睛】本题考查了对数不等式的求解及集合的运算，属于基础题.2.若复数z 满足()2z i i i +=-，则z =（）A. B. 2 C. D. 10【答案】C【分析】由题意13z i =--，再由复数模的概念即可得解. 【详解】由题意()22213i i i z i i i i i --=-=-=--，所以z ==故选：C. 【点睛】本题考查了复数的运算与模的求解，属于基础题.3.下列说法正确的是（）A. “若2a >，则24a>”的否命题为“若2a >，则24a ≤” B. 命题p q ∨与()p q ⌝∨至少有一个为真命题C. “0x ∀>，2220x x -+≥”的否定为“0x ∀>，2220x x -+<”D. “这次数学考试的题目真难”是一个命题【答案】B【分析】由否命题的概念即可判断A ，由命题及其否定的关系可判断B ，由全称命题的否定方法可判断C ，由命题的概念可判断D ，即可得解.【详解】对于A ，“若2a >，则24a>”的否命题为“若2a ≤，则24a ≤”，故A 错误；对于B ，命题p q ∨的否定为()p q ⌝∨，故命题p q ∨与()p q ⌝∨有一个命题为真，故B 正确；对于C ，“0x ∀>，2220x x -+≥”的否定为“0x ∃≤，2220x x -+<”，故C 错误；对于D ，“这次数学考试的题目真难”不能判断真假，故“这次数学考试的题目真难”不是一个命题，故D 错误. 故选：B.【点睛】本题考查了命题、命题的否定及否命题的概念，属于基础题.4.为了判断英语词汇量与阅读水平是否相互独立，某语言培训机构随机抽取了100位英语学习者进行调查，经过计算2K 的观测值为7，根据这一数据分析，下列说法正确的是（）附：A. 有99%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平无关B. 有99.5%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平有关C. 有99.9%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平有关D. 在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为英语词汇量与阅读水平有关【答案】D【分析】由题意()2 6.6350.01P K ≥=，由独立性检验的原理即可得解. 【详解】由题意27K =，()2 6.6350.01P K ≥=，所以在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为英语词汇量与阅读水平有关，有99%的把握认为英语词汇量与阅读水平有关.故选：D.【点睛】本题考查了独立性检验的应用，属于基础题.5.斐波那契数列，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，…，在数学上，斐波那契数列{}n a 定义如下：121a a ==，()123,n n n a a a n n Z --=+≥∈.随着n 的增大，1n n a a +0.618≈，故此数列也称黄金分割数列，而以1n a +、n a 为长和宽的长方形称为“最美长方形”，已知某“最美长方形”的面积约为336平方分米，则该长方形的长应该是（）A. 144厘米B. 233厘米C. 250厘米D. 377厘米【答案】B【分析】由题意可得10.618n n a a +≈且133600n n a a +=，即可得解. 【详解】由题意可得10.618n n a a +≈且133600n n a a +=，解得1233n a +≈. 故选：B.【点睛】本题考查了数学文化及数列新定义的应用，属于基础题.6.在103x 的展开式中，常数项为（） A. -252B. -45C. 45D. 252 【答案】C【分析】由题意写出10的展开式的通项公式，令8r =即可得解.【详解】由题意，10的展开式的通项公式为：()()105110101r r r r r r r T C x C x x --+⎛=⋅-=-⋅⋅ ⎪⎝⎭，令53r -=-即8r =，()()8583310101145r r r C x C x x ----⋅⋅=-⋅⋅=，所以103x x x ⎛- ⎪⎭的展开式中，常数项为45. 故选：C.【点睛】本题考查了二项式定理的应用，属于基础题.7.已知,0a b >，22a b +=，则1b a b +的取值范围是（）A. ()0,∞+B. [)2,+∞C. )21,⎡++∞⎣D. )22,⎡+∞⎣ 【答案】C【分析】由题意112b b a a b a b+=++，利用基本不等式即可得解. 【详解】由题意得，1212121222b b a b b a b a a b a b a b a b++=+=++≥⋅+=+，当且仅当2b a a b=，即222a =-，22b =-时等号成立. 故选：C. 【点睛】本题考查了基本不等式的应用，关键是对于条件做适当的变形，属于基础题.8.函数x x y e =的部分图象是（） A. B.C.D.【答案】A【分析】对比函数的性质与图象的特征，逐项排除即可得解.【详解】令()x x f x e =，则()()x x f x f x e---==-，所以()f x 为奇函数，可排除C 选项；当0x >时，()1x x f x e -'=，故()f x 在()0,1上单调递增，()1,+∞上单调递减，故排除B 、D. 故选：A.【点睛】本题考查了函数图象的识别及利用导数判断函数单调性的应用，属于基础题.9.定义在R 上的奇函数()f x 满足：3344f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且当30,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()2log (1)f x x m =++，若()2100log 3f =，则实数m 的值为（）A. 2B. 1C. 0D. -1 【答案】B【分析】由题意结合奇函数的性质可得()32f x f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，结合函数周期的概念可得()f x 是周期为3的周期函数，进而可得()()110012f f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，即可得解. 【详解】由()f x 为奇函数知3344f x f x ⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴3344f x f x ⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()32f x f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， ∴()()332f x f x f x ⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭，∴()f x 是周期为3的周期函数，故()()2131001log 22f f f m ⎛⎫===+⎪⎝⎭，即223log log 32m +=，∴1m =. 故选：B. 【点睛】本题考查了函数周期性、奇偶性的综合应用，考查了对数运算及运算求解能力，属于中档题. 10.已知抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点为F ，以F 为圆心、3p 为半径的圆交抛物线E 于P ，Q 两点，以线段PF 为直径的圆经过点()0,1-，则点F 到直线PQ 的距离为（）A.B.C.D. 【答案】C【分析】由题意结合抛物线的性质得52p x p =，p y =，由以线段PF 为直径的圆经过点()0,1A -可得1212p =-，求得p =. 【详解】由题意点,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设点()(),0P P P P x y y >，()0,1A -， Q 32p p FP x p =+=，∴52p x p =，p y =， Q 以线段PF 为直径的圆经过点()0,1A -，∴AP AF ⊥，即115212p p+⋅=-，∴5p =，由//PQ y轴可得所求距离为5225p p -=. 故选：C.【点睛】本题考查了直线与抛物线的综合应用，考查了运算求解能力和转化化归思想，属于基础题.11.已知ABC V 的面积为1，角,,A B C 的对边分别为,,a b c，若sin sin sin sin a A b B B c C -=+，cos cos 5B C =，则a =（）A.B.C.D.【答案】D【分析】由题意结合正弦定理得222a b c -=+，由余弦定理得cos 2A =-即34A π=，再由cos sin sin cos cos A B C B C =-可得sin sin 10B C =，根据正弦定理得sin b B =，sin c C =，则212sin sin 22ABC S a B C =⋅⋅△即可得解.【详解】由sin sin sin sin a A b B B c C -=+得222a b c -=+，则222cos 22b c a A bc +-==-，由()0,A π∈可得34A π=，由cos cos()sin sin cos cos A B C B C B C =-+=-得sin sin 10B C =，由正弦定理知sin sin b c B C==，即sin b B =，sin c C =，∴22111sin 2sin sin 222101ABC S bc A a B C a ==⋅⋅==△，所以a =故选：D. 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理与三角形面积公式的综合应用，考查了运算能力与转化化归思想，属于中档题.12.已知,,,A B C D 四点均在球O 的球面上，ABC V 是边长为6的等边三角形，点D 在平面ABC 上的射影为ABC V 的中心，E 为线段AD 的中点，若BD CE ⊥，则球O 的表面积为（）A. 36πB. 42πC. 54πD.【答案】C【分析】设ABC V 的中心为G ，连接BG 并延长BG 交AC 于F ，则F 为AC 中点，连接DF 、DG ，由题意可得AC BD ⊥，进而可得BD ⊥平面ACD ，即可得DA ，DB ，DC 两两垂直，可把原三棱锥的外接球转化为以DA ，DB ，DC 为棱的正方体的外接球，即可得解.【详解】设ABC V 的中心为G ，连接BG 并延长BG 交AC 于F ，则F 为AC 中点，连接DF 、DG ，由题知DG ⊥平面ABC ，所以DG AC ⊥，又AC GB ⊥，DG GB G =I ，所以AC ⊥平面DGB ，所以ACBD ⊥，又BD CE ⊥，CE AC C =I ，∴BD ⊥平面ACD ，∴BD CD ⊥，BD AD ⊥，又D ABC -为正三棱锥，∴DA ，DB ，DC 两两垂直，故三棱锥D ABC -可看作以DA ，DB ，DC 为棱的正方体的一部分，二者有共同的外接球，由6AB =得32DA = 故正方体外接球直径232336R ==，所以球O 的表面积为223644542R πππ⎛== ⎝⎭. 故选：C.【点睛】本题考查了棱锥的几何特征与外接球半径的求解，考查了线面垂直的性质与判定和空间思维能力，属于中档题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知向量()2,a m =r ，()1,2a b +=r r ，若()//3a a b +r r r ，则实数m =______________. 【答案】4【分析】由题意可得()1,2b m =--r ，进而可得()31,62a b m +=--r r ，再由平面向量共线的特征即可得解.【详解】Q ()2,a m =r ，()1,2a b +=r r ，∴()1,2b m =--r ，∴()31,62a b m +=--r r ，又()//3a a b +r r r，∴()262m m -=-，解得4m =. 故答案为：4.【点睛】本题考查了平面向量线性运算的坐标表示及共线的特征，属于基础题.14.已知某几何体的三视图如图所示，网格中的每个小方格是边长为1的正方形，则该几何体的体积为_______________.【答案】9 452π-【分析】由三视图还原该几何体为一个长方体中挖去一个18球，利用体积公式即可得解.【详解】由三视图可知该几何体是一个长方体中挖去一个18球，如图所示，∴3149335345832Vππ=⨯⨯-⋅⋅=-.故答案为：9452π-.【点睛】本题考查了三视图识别与立体图形体积的求解，属于基础题.15.已知公差不为0的等差数列{}n a中，2a，4a，8a依次成等比数列，若3a，6a，1b a，2b a，…，n b a，…成等比数列，则nb=_____________.【答案】132n+⋅【分析】由题意结合等比数列、等差数列的性质可得n a nd=，进而可得132nnba d+=⋅，即可得解.【详解】设数列{}n a公差为d，由题知()()24284424a a a a d a d==-+，即44a d=，故413dda a=-=，∴n a nd =，33a d =，66a d =，故新等比数列首项为3d 、公比为2，因此132n n b a d +=⋅，故132n n b +=⋅.故答案为：132n +⋅.【点睛】本题考查了等差数列、等比数列的综合应用，考查了运算求解能力，属于基础题.16.若曲线2cos y ax x =+上存在两条切线相互垂直，则实数a 的取值范围是__________.【答案】⎡⎣【分析】求导得[]2sin 2,2y a x a a '=-∈-+，转化条件得存在[]12,2,2k k a a ∈-+使得121k k =-，进而可得()()221a a -+≤-，即可得解.【详解】求导得[]2sin 2,2y a x a a '=-∈-+，Q 曲线2cos y ax x =+上存在两条切线相互垂直，∴存在[]12,2,2k k a a ∈-+使得121k k =-，不妨设120k k <<，Q ()()()121222k k k a a a ≥+≥-+，∴()()221a a -+≤-，即a ≤≤故答案为：⎡⎣.【点睛】本题考查了导数几何意义的应用及导数的计算，考查了转化化归思想，属于中档题.三、解答题：共70分.解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知函数()2cos 22f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的单调性；（2）在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2A f ⎛⎫=⎪⎝⎭，a =1c =，求ABC V 的面积.【答案】（1）在5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上单调递增，在511,1212k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦上单调递减，k Z ∈；（2）4【分析】（1）由三角恒等变换得()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，分别令()222232k x k k Z πππππ-≤-≤+∈、()3222232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈即可得解；（2）由题意可得23A π=，由正弦定理得1sin 2C =，进而可得6B π=，再利用1sin 2ABC S ac B =△即可得解.【详解】（1）由题意()2cos 22f x x x π⎛⎫=--⎪⎝⎭1cos 2sin 22sin 223x x x π+⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，由()222232k x k k Z πππππ-≤-≤+∈得()51212k x k k Z ππππ-≤≤+∈，由()3222232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈得()1212k x k k Z 5π11ππ+≤≤π+∈，故()f x 在()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，在()511,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦上单调递减；（2）由题意2sin 23A f A π⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 32A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∵()0,A π∈，∴33A ππ-=，即23A π=，由正弦定理得sin sin c a C A=即1sin C =1sin 2C =，由0,3C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得6C π=，∴ππ6B A C =--=，∴111sin 12224ABC S ac B ==⨯=△. 【点睛】本题考查了三角函数性质、三角恒等变换及解三角形的综合应用，属于中档题.18.国庆70周年阅兵式上的女兵们是一道靓丽的风景线，每一名女兵都是经过层层筛选才最终入选受阅方队，筛选标准非常严格，例如要求女兵身高（单位：cm ）在区间[]165,175内.现从全体受阅女兵中随机抽取200人，对她们的身高进行统计，将所得数据分为[)165,167，[)167,169，[)169,171，[)171,173，[]173,175五组，得到如图所示的频率分布直方图，其中第三组的频数为75，最后三组的频率之和为0.7.（1）请根据频率分布直方图估计样本的平均数x 和方差2s （同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）根据样本数据，可认为受阅女兵的身高X （cm ）近似服从正态分布()2,Nμσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s .（i ）求()167.86174.28PX <<；（ii ）若从全体受阅女兵中随机抽取10人，求这10人中至少有1人的身高在174.28cm 以上的概率. 参考数据：若()2~,XN μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，()220.9544P X μσμσ-<<+=，11510.7≈，100.95440.63≈，90.97720.81≈，100.97720.79≈.【答案】（1）170x =，2 4.6s =；（2）（i ）0.8185；（ii ）0.21 【分析】（1）由题意求出各组频率，由平均数公式及方差公式即可得解；（2）（i ）由题意结合正态分布的性质即可得解；（ii ）由题意结合正态分布的性质可得()174.280.0228P X >=，再由()10110.0228P =--即可得解.【详解】（1）由题知第三组的频率为750.375200=，则第五组的频率为0.70.3750.12520.075--⨯=，第二组的频率为10.70.0520.2--⨯=，所以五组频率依次为0.1，0.2，0.375，0.25，0.075，故0.11660.21680.3751700.251720.075174170x=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，22222(170166)0.1(170168)0.2(170172)0.25(170174)0.075s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯4.6=；（2）由题知170μ=，1154.6 2.145σ==≈，（i ）()()167.86174.282PX P X μσμσ<<=-<<+()()()222P X P X P X μσμσμσμσμσμσ-<<+--<<+=-<<++0.95440.68260.68260.81852-=+=；（ii ）()()10.9544174.2820.02282P XP X μσ->=>+==，故10人中至少有1人的身高在174.28cm 以上的概率：()1010110.022810.977210.790.21P =--=-≈-=.【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用，考查了正态分布的应用，属于中档题.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，AB AP ⊥，3AB =，4=AD ，5BC =，6CD =.过直线AB 的平面分别交棱PD ，PC 于E ，F 两点.（1）求证：PD EF ⊥；（2）若直线PC 与平面PAD 所成角为3π，且PA PD =，EF AB =，求二面角A BD F --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）9131131-【分析】（1）由线面平行的性质可得//AB EF ，取DC 中点G ，连接BG ，则ABGD 为平行四边形，由平面几何知识90BGC ∠=︒即AB AD ⊥，由线面平行的判定可得AB ⊥平面PAD ，再由线面垂直的性质即可得证；（2）由题意3PD =E 、F 分别为PD 、PC 的中点，建立空间直角坐标系，求出各点坐标后，进而可得平面DBF 的一个法向量为m u r 、平面ABD 的一个法向量n r，由cos ,m n m n m n⋅=⋅r r r r r r 即可得解.【详解】（1）证明：∵//AB DC ，AB ⊄平面PDC ，∴//AB 平面PDC ，又面ABFE I 面PDC EF =，∴//AB EF ，取DC 中点G ，连接BG ，如图：则ABGD 为平行四边形，∴4BG =，又3GC =，5BC =，故90BGC ∠=︒， ∴AD DC ⊥，∴AB AD ⊥，又AB AP ⊥，AP AD A ⋂=，∴AB ⊥平面PAD ，∴EF ⊥平面PAD ，又PD ⊂平面PAD ，∴PD EF ⊥；（2）由（1）知CD ⊥平面PAD ，∴CPD ∠即为直线PC 与平面PAD 所成角， ∴3CPD π∠=，∴tan 3CPD DCDP ∠==，解得23PD =，又12EFAB DC ==，∴E ，F 分别为PD ，PC 的中点，取AD 中点O ，连接PO ，则PO AD ⊥，2222PO PD OD =-=，由CD ⊥平面PAD 可得CD PO ⊥，CD AD D =I，故PO ⊥平面ABCD ，以O 为原点，OA u u u r ，AB u u u r ，OP uuur 分别为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图：则()2,0,0A，()2,0,0D -，()2,3,0B ，()2,6,0C -，(0,0,22P ，故(2F -，()4,3,0DB =u u u r，(2DF =u u u r ，设平面DBF 的一个法向量为(),,m x y z =u r，则43030m DB x y m DF x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩u u u v v u u u v v ，令3x =得3,4,2m ⎛=- ⎝⎭u r ，显然()0,0,1n =r是平面ABD 的一个法向量，∴c os ,m n m n m n ⋅===⋅r r r r r r ，由题知二面角A BD F --的余弦值为131-. 【点睛】本题考查了线面平行、垂直的判定及利用空间向量求二面角，考查了空间思维能力与运算求解能力，属于中档题.20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>⎛ ⎝⎭在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的右焦点F 作斜率为1的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，点P 满足2OP OM =u u u r u u u u r（O 为坐标原点），直线NP 与椭圆C 的另一个交点为Q ，若NQ NP λ=u u u r u u u r，求λ的值.【答案】（1）22132x y +=；（2）2237λ= 【分析】（1）由题意可得c a =、221413a b +=，解出23a =，22b =后即可得解；（2）设()11,Mx y ，()22,N x y ，转化条件得2212124(1)4(1)132x x y y λλλλ⎛⎫+-+-+=⎪⎝⎭，联立方程可得1265x x +=，1235x x =-，即可得解. 【详解】（1）由题知c a =2223b a =，又221413a b+=，∴23a =，22b =，所以椭圆C 的方程为22132x y +=；（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，由2OP OM =u u u r u u u u r得()112,2P x y ，由NQ NP λ=u u u r u u u r得()()221212,2,2QQ xx y y x x y y λ--=--，∴122(1)Q x x x λλ=+-，122(1)Q y y y λλ=+-，又点Q椭圆C 上，故[][]2212122(1)2(1)132x x y y λλλλ+-+-+=，即222222112212124(1)4(1)1323232x y x y x x y y λλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-++-+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴2212124(1)4(1)132x x y y λλλλ⎛⎫+-+-+=⎪⎝⎭，由题知直线:1MN y x =-，与椭圆C 的方程联立得25630x x --=，>0∆，则1265x x +=，1235x x =-， ∴()()()121212123641111555y y x x x x x x =--=-++=--+=-，∴212524(1)055λλλλ⎛⎫-+---= ⎪⎝⎭，解得2237λ=或0，又N ，Q 不重合，∴0λ≠，故2237λ=. 【点睛】本题考查了椭圆方程的确定及直线、平面向量与椭圆的综合应用，考查了运算求解能力，属于中档题. 21.已知函数()21ln 2f x x ax =+，a R ∈.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若不等式()12x f x e e a <-+对()1,x ∀∈+∞恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）当0a ≥时，在()0,∞+上单调递增，当0a <时，在⎛⎝上单调递增，在⎫+∞⎪⎭上单调递减；（2）1a e -≤ 【分析】（1）求导后，按照0a ≥、0a <分类讨论，求出()0f x '>、()0f x '<的解集即可得解；（2）转换条件得211ln 022xe ax x e a ---+>在()1,+∞上恒成立，令()211ln 22x g x e ax x e a =---+，求导后结合()10g=，按照1a e >-、1a e -≤分类讨论，即可得解.【详解】（1）求导得()211(0)ax f x ax x x x+'=+=>，当0a ≥时，()0f x '>，()f x 在()0,∞+上单调递增；当0a <时，()00f x x'>⇔<<，所以()f x 在⎛ ⎝上单调递增，在⎫+∞⎪⎭上单调递减；（2）()2111ln 0222x x f x e e a e ax x e a <-+⇔---+>，令()211ln 22xg x e ax x e a =---+，()10g =，则()1xg x e ax x'=--，若()10g '<，即1a e >-，则存在01x >，使得当(]01,x x ∈时()0g x '<，()g x 单调递减，∴()()010g x g <=，与题意矛盾；当1a e -≤时，令()1xh x eax x=--，()1,x ∈+∞，∴()()221110xh x e a e e x x'=-+>--+>，∴()h x 即()g x '单调递增，∴()()110g x g e a ''>=--≥，∴()g x 单调递增，∴()()10g x g >=，符合题意；综上所述，1a e -≤.【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了运算求解能力与推理能力，属于中档题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22cos 32sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为(4sin 3cos )a ρθθ+=，且直线l 与曲线C 有两个不同的交点. （1）求实数a 的取值范围；（2）已知M 为曲线C 上一点，且曲线C 在点M 处的切线与直线l 垂直，求点M 的直角坐标. 【答案】（1）828a <<；（2）221,55⎛⎫ ⎪⎝⎭或189,55⎛⎫⎪⎝⎭ 【分析】（1）分别求出曲线C 与直线l 的直角坐标方程，由点到直线的距离公式即可得解；（2）设点()0022cos ,32sin M θθ++，由题意可得1//O M l 即002sin 32co 4s θθ=-，结合同角三角函数的平方关系求得004cos 53sin 5θθ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或004cos 53sin 5θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩后即可得解.【详解】（1）消参可得曲线C 的普通方程为()()22234x y -+-=，可得曲线C 是圆心为()2,3，半径为2的圆，直线l 的直角坐标方程为43y x a +=，由直线l 与圆C 有两个交点知61225a+-<，解得828a <<；（2）设圆C 的圆心为()12,3O ，由圆C 的参数方程可设点()0022cos ,32sin M θθ++，由题知1//O M l ，∴002sin 32co 4s θθ=-，又2200s cos in 1θθ+=，解得004cos 53sin 5θθ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，或004cos 53sin 5θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，故点M 的直角坐标为221,55⎛⎫⎪⎝⎭或189,55⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了参数方程、极坐标方程、直角坐标方程之间的互相转化，考查了参数方程的应用，属于中档题. 23.已知函数()22f x x x =+-的最小值为m .（1）求m 的值；（2）若实数a ，b 满足22a b m +=，求221112a b+++的最小值. 【答案】（1）2m =；（2）45【分析】（1）由绝对值三角不等式可得()()222f x x x x x ≥+--=+≥，即可得解；（2）由柯西不等式可得()222221112(11)12a b ab ⎛⎫++++≥+⎪++⎝⎭，结合222a b +=即可得解.【详解】（1）由题意()()2222f x x x x x x x x =++-≥+--=+≥，当且仅当0x =时等号成立，故2m =；（2）由题意222a b +=，由柯西不等式得()222221112(11124)a b ab ⎛⎫++++≥+ ⎪++⎭=⎝，当且仅当232a =，212b =时，等号成立， ∴222211441235a b a b +≥=++++，故221112a b +++的最小值为45. 【点睛】本题考查了绝对值三角不等式与柯西不等式的应用，属于中档题.。

2020年重庆市高三学业检测(第二次)-理科数学(含答案、评分细则)

所以 CM / /DN ,又 DN 平面 AB1N ， CM 平面 AB1N ，
（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如多做，则按所做的第一题计分.
·5·
22.【选修 4-4：坐标系与参数方程】(本小题满分 10 分）
在平面直角坐标系
xOy
中，直线
l
的参数方程为
x
2
2t 2
（ t 为参数），以坐标原点 O
y
2t 2
为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 sin2 8cos ．
值为 π ,若将 y f (x) 的图象沿 x 轴向左平移 ( 0) 个单位，所得图象关于原点对称， 2
则实数的最小值为
·1·
A. 12
B.
6
C.
3
7
D.
12
8.2020 年 2 月，在新型冠状病毒感染的肺炎疫情防控工作期间，某单位有 4 名员工报名参加
该地四个社区的疫情防控服务工作，假设每名员工均从这四个社区中任意选取一个社区参加疫情
所以 D 为 AB1 的中点．又因为 M 为 AB 的中点，
所以 DM
/
/BB1 ，且 DM
1 2
BB1 .
……………………………………………2 分
因为
N
为 CC1
的中点，所以 CN
1 2
CC1
，
所以 DM CN ，且 DM / /CN ，
所以四边形 CMDN 是平行四边形，………………………………………………4 分
223
n 1 n
n
18.解：（Ⅰ） K 2 200 (85 5 9515)2 50 5.556 6.635 100100 20180 9

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一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知集合 A {2，3，5，7}， B {x | log2 (x 2) 1}，则 A B
A． {2}
B．{3}
C．{2，3}
D．{3，5}
2．若复数 z 满足 (z i)i 2 i ，则 | z |
B．[2， )
C．[ 2 1， )
8．
函数 y
x e|x|
的部分图象是
y
y
y
D． 252 D．[2 2， )
y
O
x
Ox
O
x
Ox
A
B
C
D
9．
定义在 R 上的奇函数
f (x) 满足：
f (3 x) 4
f
(3 4
x)
，且当 x (0，3) 时， 4
f
(x) log2 (x 1) m ，若
f (100) log2 3 ，则实数 m 的值为
4
4
4
4
2
f (x 3) f (x 3) f (x) ， f (x) 是周期为 3 的周期函数， 2
故
f
(100)
f
(1)
f
( 1) 2
log 2
3m 2
，即 log2
3 2
m
log2 3 ， m
1 ，故选 B．
第
10
题提示：由题知 |
FP |
xP
p 2
3p
， xP
5 2
p ，设点
（1）求实数 a 的取值范围；
（2）已知 M 为曲线 C 上一点，且曲线 C 在点 M 处的切线与直线 l 垂直，求点 M 的直角坐标．
23．[选修 4－5：不等式选讲]（10 分）
已知函数 f (x) 2 | x | | x 2 | 的最小值为 m ．
（1）求 m 的值；
（2）若实数 a，b 满足 a2
A． 2
B． 2
C． 10
D．10
3．下列说法正确的是
A．“若 a 2 ，则 2a 4 ”的否命题为“若 a 2 ，则 2a ≤ 4 ” B．命题 p q 与 ( p q) 至少有一个为真命题 C．“ x 0，x2 2x 2≥ 0 ”的否定为“ x 0，x2 2x 2 0 ”
．
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，每个试题考生都必
须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答橙子辅导。
（一）必考题：共 60 分。
17．（12 分）
已知函数
f
(x)
cos(
2x)
2
3 cos 2 x
3．
2
（1）求函数 f (x) 的单调性；（2）在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c ，且 f ( A) 3 ，a 3 ，c 1，求 ABC 的面积．
A．144 厘米
B． 233 厘米
C． 250 厘米
D． 377 厘米
5 月调研测试卷（理科数学）第 1页共 8 页
6．在 x3 ( x 1 )10 的展开式中，常数项为 x
A． 252
B． 45
C． 45
7．已知 a，b 0 ， a 2b 2 ，则 b 1 的取值范围是 ab
A． (0， )
（1）请根据频率分布直方图估计样本的平均数
x 和方差 s2（同一组中的数据用该组区间
的中点值代表）；
（2）根据样本数据，可认为受阅女兵的身高
X ( cm )近似服从正态分布 N (， 2 ) ，其中近似为样本平均数 x ， 2 近似为样本方差 s2 ．（ⅰ）求 P(167.86 X 174.28) ；
A(0，1) ，由题知
AP
AF
，即
1 p
yP 5
p
1
=
-
1
，
22
yP -
5 p ， p 2 5 ，故所求距离为 5 p p 4 5 ，故选 C．
5
22 5
第 11 题提示：由 a sin A bsin B
2csin B csin C 得 a2 b2
2cb c2 ，则 cos A b2 c2 a2
是边长为1的正方形，则该几何体的体积为_________．
5 月调研测试卷（理科数学）第 2页共 8 页
15．已知公差不为 0 的等差数列{an} 中，a2，a4，a8 依次成等比数列，若 a3，a6，ab1，ab2，，abn，成等比数
列，则 bn
．
16. 若曲线 y ax 2 cos x 上存在两条切线相互垂直，则实数 a 的取值范围是
A． 36
B． 42
C． 54
D． 24 6
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分橙子辅导。
13．已知向量 a (2，m) ， a b (1，2) ，若 a // (a 3b) ，
则实数 m _________．
14．已知某几何体的三视图如右图所示，网格中的每个小方格
2020 年普通高等学校招生全国统一考试 5 月调研测试卷理科数学
理科数学测试卷共 4 页。满分 150 分。考试时间 120 分钟。
注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
2
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修 4－4：坐标系与参数方程]（10 分）
x 2 2cos
在直角坐标系
xOy
中，曲线
C
的参数方程为
y3ຫໍສະໝຸດ 2sin（为参数），以原点 O 为极点， x 轴正半轴
为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 (4 sin 3cos ) a ，且直线 l 与曲线 C 有两个不同的交点．
E
F
3
D
C
求二面角 A BD F 的余弦值．
A
B
20．（12 分）
已知椭圆 C
:
x2 a2
y2 b2
1(a b 0) 的离心率为
3 ，且点 (1，2 3 ) 在椭圆 C 上．
3
3
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）过椭圆 C 的右焦点 F 作斜率为1的直线与椭圆 C 交于M，N两点，点 P 满足 OP 2OM （ O 为坐标
2
，
2bc
2
故 A 3 ，由 cos A cos(B C) sin B sin C cos B cos C 得 sin B sin C
2
，
4
10
由正弦定理知 b c 2a ，即b 2asin B，c 2asin C ， sin B sin C
S 1 bc sin A 1 2a2 sin B sin C 2 1 a2 ，
A． 2
B．1
C． 0
D． 1
10．已知抛物线 E : y2 2 px( p 0) 的焦点为 F ，以 F 为圆心、 3 p 为半径的圆交抛物线 E 于 P，Q 两点，以
线段 PF 为直径的圆经过点 (0，1) ，则点 F 到直线 PQ 的距离为
25
A．
5
23
B．
3
45
C．
5
D． 2 3
11．已知 ABC 的面积为1，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c ，若 a sin A b sin B 2c sin B c sin C ，
（ⅱ）若从全体受阅女兵中随机抽取10 人，求这10 人中至少有1人的身高在174.28 cm 以上的概率．
参考数据：若 X ～ N (, 2) ，则 P( X ) 0.6826 ， P( 2 X 2 ) 0.9544 ， 115 10.7 ， 0.954410 0.63 ， 0.97729 0.81 ， 0.977210 0.79 ．
下：a1
a2
1，an
an1 an2
(n ≥3，n Z ) ．随着 n 的增大， an an1
越来越逼近黄金分割
5 1 0.618， 2
故此数列也称黄金分割数列，而以 an1 、 an 为长和宽的长方形称为“最美长方形”，已知某“最美长方形”
的面积约为 336 平方分米，则该长方形的长应该是
DA，DB，DC 两两垂直，
故三棱锥 D ABC 可看作以 DA，DB，DC 为棱的正方体的一部分，
二者有共同的外接球，由 AB 6 得 DA 3 2 ，
故正方体外接球直径为 3 2 3 3 6 ，
二、填空题
13． 4
所以球 O 的表面积为 4 R2 54 ，故选 C．
14． 45 9 2
5 月调研测试卷（理科数学）第 3页共 8 页
19．（12 分）
如图，在四棱锥 P ABCD 中， AB // CD ， AB AP ， AB 3，AD 4，BC 5，CD 6 ．过直线 AB
的平面分别交棱 PD，PC 于 E，F 两点．
P
（1）求证： PD EF ；（2）若直线 PC 与平面 PAD 所成角为 π ，且 PA PD ， EF AB ，
D．“这次数学考试的题目真难”是一个命题
4．为了判断英语词汇量与阅读水平是否相互独立，某语言培训机构随机抽取了 100 位英语学习者进行调查，经
过计算 K 2 的观测值为 7 ，根据这一数据分析，下列说法正确的是