1.3反证法
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宝石学校活页课时教案(首页)
班级:高一年级科目:数学周次教学时间2016年3月日月教案序号
课题1-3反证法课型新授
教学目标(识记、理解应用、分析、创见) 知识目标:通过实例,培养学生用反证法证明简单问题的推理技能,进一步培养观察能力、分析能力、逻辑思维能力及解决问题的能力.
能力目标:了解反证法证题的基本步骤,会用反证法证明简单的命题.
情感目标:培养学生形成严谨的科学态度的数学精神.
教学重点及难点教学重点:体会反证法证明命题的思路方及反证法证题的步骤. 教学难点:理解“反证法”证明得出“矛盾的所在”即矛盾依据.
教学方法观察、思考、交流、讨论、小结。教学反馈
板书设计
1-3反证法
1、定义:
反证法:一般地,假设原命题不成立,(即在原命题的条件下,结论不成立),经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫做反证法。
2、步骤
反证法证题的基本步骤:
1)假设原命题的结论不成立;(假设)
2)从这个假设出发,经过正确的推理,推出矛盾;(归缪)
3)因此说明假设错误,从而证明了原命题成立.(结论)
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一、学前准备
1、复习回顾
上节课我们学习了用,直接证明问题的方法。但是有的问题是显然成立的或要分成多种情况进行讨论。我们再用直接方法就显的比较困难或麻烦,那么证明一个问题的成立是不是还有其他的方法呢?这节课我们就来学习用间接的方法证明一个问题是成立的——反证法。
2、情景创设:
A、B、C三个人,A说B撒谎,B说C撒谎,C说A、B都撒谎.则C必定是在撒谎,为什么?
【设计意图】:通过对这个问题的解答,使学生自主探究反证法的概念及反证法证明的步骤.导入新课。此环节旨在提升学生的求知欲、探索欲,使学生保持良好、积极的情感体验。
二、自学、合作探究(一)
通过对这两个个问题的解答,有学生自主探究反证法的概念及反证法证明的步骤.
(1)定义:
反证法:一般地,假设原命题不成立,(即在原命题的条件下,结论不成立),经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫做反证法。(2)步骤
反证法证题的基本步骤:
1.假设原命题的结论不成立;(假设)
2.从这个假设出发,经过正确的推理,推出矛盾;(归缪)
3.因此说明假设错误,从而证明了原命题成立.(结论)
三、例题讲解
例1、写出用“反证法”证明下列命题的第一步“假设”.
【设计意图】:能否正确地写出假设,是解决问题的基础和保障
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(1)互补的两个角不能都大于90°.
(2)△ABC 中,最多有一个钝角
(3)c b a ,,中至少有一个是正数
例2、已知直线a,b 和平面α,如果,,//a b a b αα⊄⊂且,求证://a α
【设计意图】:本例是位于必修2第55页线面平行的判定定理的证明,要证的结论与条件之间的联系不明显,直接由条件推出结论的线索不够清晰,于是考虑采用反证法证明本例
例2、 求证:2是无理数
【设计意图】:本例是一个典型的使用反证法证明的问题,本例的难点是学生对无理数的了解很少,有理数的性质也接触得很少,许多学生对有理数的表示也不太熟悉,因此用反证法得出矛盾的方向也很不明确,教学中要逐步引导到位
例3、已知,0,2x y x y >+>且。求证:11,x y y x
++中至少有一个小于2. 【设计意图】:结论中含“至少”,如果从正面证明,需要分成三种情形进行分类讨论,而从反面证明,只要研究一种情形,故采用反证法.
证明:假设y
x +1与x y +1都不小于2 则21≥+y
x 且21≥+x y y x 21≥+且x y 21≥+
所以x y y x 2211+≥+++即2≤+y x 与2>+y x 矛盾
所以假设错误
所以21<+y
x 和21<+x y 至少有一个成立.
四、巩固训练:
1. 求证:5,3,2不可能成等差数列.
π
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五、自学、合作探究(二)
根据以上问题让学生归纳反证法证明的常见四类问题.和应用反证法的关键。
六、课堂小结
由学生总结本节课的收获
【设计意图】:通常,课堂小结均由老师和盘托出,学生接受现成的结论。本设计充分发挥学生思维参与的主动性和创造性,师生合作,让课堂小结成为点睛之笔。
七、小试牛刀
1.否定下列命题的结论:
(1)在⊿ABC中如果AB=AC,那么∠B=∠C。。(C、D组完成)
(2)如果点P在⊙O外,则d>r(d为P到O的距离,r为半径)(C、D组完成)(3)在⊿ABC中,至少有两个角是锐角。(A、B组完成)
(4)在⊿ABC中,至多有只有一个直角。(A、B组完成)
2.选择题:
证明“在⊿ABC中至多有一个直角或钝角”,第一步应假设:()
A.三角形中至少有一个直角或钝角
B.三角形中至少有两个直角或钝角
C.三角形中没有直角或钝角
D 。三角形中三个角都是直角或钝角
3.用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”•应先假设这个三角形() A.有一个内角小于60° B.每一个内角都小于60°
C.有一个内角大于60° D.每一个内角都大于60°
八、作业
课本91页A组1(存在唯一性问题)、4
九、教学反思:
1、本课就新课程理念下定理教学课的课堂模式,做了一些探索。以问题解决为中心,通过提出问题,完善问题,解决问题,拓展问题,采用实验探究、自主学习的研究性学习方式,重点放在反证法的思想上,努力挖掘教学中蕴涵的思维价值,培养学生的逆向思维能力。改变了传统的解决问题模式
2、“用教材教,而不是教教材”,针对学生特点,将教材的例题和习题重组,尽量满足不同思维层次学生的需求。