2019届广州市高三年级调研测试(理科数学)试题
2019届广东省广州市高三上学期调研考试(零模)理科数学试题(word版)
2019届广州市高三年级调研测试理科数学本试卷共5页，23小题，满分150分，考试用时120分钟 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
1.设集合M=2{|02},{|230},x x N x x x ?=--<则集合M N Ç=（ ）A. {|02}x x ?B. {|03}x x ?C. {|12}x x -<<D. {|01}x x ?【答案】A 2.若复数(1a iz i i+=-是虚数单位）为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 【答案】C3.已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若36a =，312S =，则公差d 等于（ ）． A. 1 B. 53C. 2D. 3 【答案】C4.若点(1,1)P 为圆2260x y x +-=的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线的方程为( ) A. 230x y +-= B. 210x y -+= C. 230x y +-= D. 210x y --= 【答案】D5.已知实数ln 222,22ln 2,(ln 2)a b c ==+=，则,,a b c 的大小关系是 A. c b a << B. c a b << C. b a c << D. a c b << 【答案】B6.下列命题中，真命题的是（ ） A. 00,0x x R e $危B. 2,2xx R x "?C. 0a b +=的充要条件是1ab=- D. 若,x y R Î，且2x y +>，则,x y 中至少有一个大于1 【答案】D7.由()y f x =的图象向左平移3p个单位，再把图象上所有点横坐标伸长到原来的2倍得到sin 36y x p骣琪=-琪桫的图象，则()f x =（ ） A. 3sin 26x p 骣琪+琪桫 B. sin 66x p 骣琪-琪桫 C. 3sin 23x p骣琪+琪桫D. sin 63x p 骣琪+琪桫 【答案】B8. 已知甲袋中有1个黄球和2个红球，乙袋中有2个黄球和2个红球，现随机地从甲袋中取出两个球放入乙袋中，然后从乙袋中随机取出1个球，则从乙袋中取出红球的概率为（ ） A.13 B. 12 C. 59 D. 29【答案】C9.已知抛物线22(0)y px p =>为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个点，且AF⊥x 轴，则双曲线的离心率为（ ）1+112 【答案】A10.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若367,63S S ==，则数列{}n na 的前n 项和为（ ） A. 3(1)2n n -++? B. 3(1)2n n ++? C. 1(1)2n n ++? D. 1(1)2n n +-? 【答案】D11.如图为一个多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）A.203 B. 7 C. 223 D. 233【答案】C12.已知过点(,0)A a 作曲线:x C y x e =?的切线有且仅有两条，则实数a 的取值范围是（ ）A. ()(--4)0+ト?，，B. ()0+¥， C. ()(--1)1+ト?，， D. ()--1¥， 【答案】A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量,a b 的夹角为45°，且1,2a b ==，则a b-=__________ 【答案】114.已知423401234(2x a a x a x a x a x =++++，则2202413()()a a a a a ++-+=__________． 【答案】115.已知实数,x y 满足203500x y x y x y ì-?ïï-+?ïí>ïï>ïî，则11()()42x y z =的最小值为__________．【答案】C三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-23题为选考题，考生根据要求作答.17.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222cos cos sin sin sin B C A A B -=+. （1）求角C 的大小；（2）若A=6p，△ABC 的面积为M 为BC 的中点，求AM. 【答案】(1) 2;3C p=(2) .【解析】 【分析】（1）利用正弦定理，结合同角三角函数的关系化简已知的等式，得到三边的关系式，再利用余弦定理表示出cos C 的值，可求角C 的大小；（2）求得()6B AC A pp =-+==，ABC D为等腰三角形，由三角形面积公式可求出CB CM 、的值，再利用余弦定理可得出AM 的值. 【详解】(1)∵222cos cos sin sin sin B C A A B -=+ ∴()2221sin 1sin sin sin sin B C A A B ---=+（） ∴222sin sin sin sin sin C B A A B -=+ 由正弦定理得：222c b a ab -=+即222a b c ab +-=-∴22211cos 222a b c C ab +-=-=-即∵C 为三角形的内角，∴23C p= (2)由（1）知23C p =，∴()6B AC A pp =-+== ∴△ABC 为等腰三角形，即CA=CB 又∵M 为CB 中点 ∴CM=BM 设CA=CB=2x 则CM=BM=x1sin 2CABSCA CB C =鬃=∴1222x x 鬃x=2∴CA=4,CM=2由余弦定理得：=.【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理以及三角形的面积公式，属于中档题. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．18.某企业对设备进行升级改造，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项指标值落在[20,40)内的产品视为合格品，否则为不合格品，图1是设备改造前样本的频率分布直方图，表1是设备改造后的频数分布表.表1，设备改造后样本的频数分布表:（1）请估计该企业在设备改造前的产品质量指标的平均数；（2）企业将不合格品全部销毁后，并对合格品进行等级细分，质量指标值落在[25，30)内的定为一等品，每件售价240元，质量指标值落在[20，25)或[30，35)内的定为二等品，每件售价180元，其它的合格品定为三等品，每件售价120元.根据表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率，现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为X （单位：元），求X 得分布列和数学期望. 【答案】(1) 30.2；(2)分布列见解析， 400. 【解析】 【分析】（1）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标、组距相乘后求和可得平均值；（2）X 的可能取值为：240， 300，360, 420, 480，根据直方图求出样本中一、二、三等品的频率分别为111,,236，利用独立事件与互斥事件概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得X 的数学期望. 【详解】(1)样本的质量指标平均值为0.0417.50.1622.50.427.50.1232.51837.51042.5??????30.2=.根据样本质量指标平均值估计总体质量指标平均值为30.2 .（2）根据样本频率分布估计总体分布，样本中一、二、三等品的频率分别为111,,236， 故从所有产品中随机抽一件，是一、二、三等品的概率分别为111,,236， 随机变量X 的取值为：240， 300，360, 420, 480，()()12111111240;3006636369P X P X C ==?==创=；()()112211115111360;420263318233P X C P X C ==创+?==创=， ()111480224P X ==?， 所以随机变量X 的分布列为：()115112403003604204804003691834E X \=?????.【点睛】本题主要考查直方图的应用，互斥事件的概率公式、独立事件同时发生的概率公式以及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题. 求解数学期望问题，首先要正确理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关.19.如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为矩形，二面角A-CD-F 为60°，DE∥CF，CD⊥DE，AD=2，DE=DC=3，CF=6.（1）求证：BF ∥平面ADE ；（2）在线段CF 上求一点G ，使锐二面角B-EG-D 的余弦值为14. 【答案】（1）详见解析；（2）点G 满足32CG =. 【解析】 【分析】（1）先证明//BC 平面ADE ，//CF 平面ADE ，可得平面//BCF 平面ADE ，从而可得结果；（2）作AO DE ^于点O ，则AO ^平面CDEF ，以平行于DC 的直线为x 轴，DE 所在直线为y 轴，OA 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，设()3,,0,15G t t-＃，利用向量垂直数量积为零列方程组求得平面BEG 的法向量，结合面DEG 的一个法向量为()0,0,1n =，利用空间向量夹角余弦公式列方程解得12t =，从而可得结果. 【详解】（1）因为ABCD 是矩形，所以BC ∥AD ， 又因为BC 不包含于平面ADE ， 所以BC ∥平面ADE ，因为DE ∥CF ，CF 不包含于平面ADE ， 所以CF ∥平面ADE ，又因为BC ∩CF ＝C ，所以平面BCF ∥平面ADF ， 而BF ⊂平面BCF ，所以BF ∥平面ADE ．（2）∵CD⊥AD，CD⊥DE∴∠ADE 为二面角A-CD-F 的平面角 ∴∠ADE=60° ∵CD⊥面ADE\平面CDEF ^平面ADE ，作AO DE ^于点O ，则AO ^平面CDEF ，由2,3AD DE ==，得1,2DO EO ==，以O 为原点，平行于DC 的直线为x 轴，DE 所在直线为y 轴，OA 所在直线为z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则(()()()(),3,1,0,0,1,0,0,2,0,3,5,0A C D E F --，(OB OA AB OA DC =+=+=，设()3,,0,15G t t-＃，则()(3,2,3,0,,BE BG t =--=-，设平面BEG 的法向量为(),,m x y z =，则由00m BEm BG ì?ïí?ïî，得3200x y tyì-+-=ïíï-=î，取23x ty z ì=-ïï=íïï=î， 得平面BEG 的一个法向量为()2m t =-， 又面DEG 的一个法向量为()0,0,1n =，2cos ,4m n m n m n t ×\==，314t\=，解得12t =或1322t =-（舍去），此时14CG CF =，得1342CG CF ==，即所求线段CF 上的点G 满足32CG =.【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理、空间向量的应用，属于难题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.20.已知椭圆C ：22221(0,0)x y a b a b +=>>的离心率为12，点P 在C 上.（1）求椭圆C 的方程；（2）设12,F F 分别为椭圆C 的左右焦点，过2F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A 、B ，求△1F AB 的内切圆的半径的最大值.【答案】（1） 22143x y += ；(2) 最大值为34.【解析】 【分析】(1) 根据离心率为12，点2在椭圆上，结合性质222a b c =+ ，列出关于a 、b 、c 的方程组，求出a 、b ，即可得结果；（2）可设直线l 的方程为1x m y =+，与椭圆方程联立，可得()2234690m y my ++-=，结合韦达定理、弦长公式，利用三角形面积公式可得11212112F AB S F F y D =-，换元后利用导数可得1F AB S D 的最大值为3，再结11442F AB S a rr D =?可得结果.【详解】（1）依题意有22222123314c a a b c a b ì=ïïï=+íïï+=ïî，解得21a b c ì=ïïíï=ïî，故椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）设()()1122,,,A x y B x y ，设1F AB D 的内切圆半径为r ，1F AB D 的周长为121248AF AF BF BF a +++==，11442F AB S a rr D \=?，根据题意知，直线l 的斜率不为零， 可设直线l 的方程为1x my =+，由221431x y x my ìï+=íï=+ïî，得()2234690m y my ++-=， ()()22636340,m m m R D=++>?，由韦达定理得12122269,3434m y y y y m m --+==++，1121221234F ABS F F y y m D \=-==+，令t ，则1t ³，121241313F AB t S t t tD \==++， 令()13f t t t =+，则当1t ³时，()()21'10,3f t f t t=->单调递增，()()141,33F AB f t f S D \??，即当1,0t m ==时，1F AB S D 的最大值为3，此时max 34r =，故当直线l 的方程为1x =时，1F AB D 内切圆半径的最大值为34.【点睛】本题主要考查待定系数求椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系，属于难题. 用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程()222210x y a b a b +=>>或22221x y b a+= ()0a b >>；③找关系：根据已知条件，建立关于a 、b 、c 的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求. 21.已知函数21()(2ln ),x f x a x x a R x -=-+?. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 的有两个零点，求实数a 的取值范围.【答案】(1) 当a≤0，()f x 在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）递减；当104a <<，()f x 在（0，2）和+?）上单调递增，在（2a=14，()f x 在（0，+∞）递增；当a ＞14，()f x 在（02，+2）递减；(2) ()1,081ln2a 骣琪?琪-桫.【解析】 【分析】（1）求出()'f x ，分四种情况讨论a 的范围，在定义域内，分别令()'0f x >求得x 的范围，可得函数()f x增区间，()'0f x <求得x 的范围，可得函数()f x 的减区间；（2）由（1）知当0a <时，()f x 单调递增区间为()0,2，单调递减区间为()2,+?，又()10f a =<，取01max ,5x a 禳镲=-睚镲铪，可证明()()00022200000111112ln 0f x a x x a x x x x x =-+-?-?<，()f x 有两个零点等价于()()1222ln 204f a =-+>，得188ln 2a >--，可证明，当14a =时与当0a >且14a ¹时，至多一个零点，综合讨论结果可得结论. 【详解】（1）()f x 的定义域为()0,+?，()()()2332122'1x ax x f x a xx x --骣-琪=-+=琪桫， （i ）当0a £时，210ax -<恒成立，()0,2x Î时，()()'0,f x f x >在()0,2上单调递增； ()2,x ??时，()()'0,f x f x <在()2,+?上单调递减.（ii ）当0a >时，由()'0f x =得，1232,x x x ===-（舍去）， ①当12x x =，即14a =时，()0f x ³恒成立，()f x 在()0,+?上单调递增；②当12x x >，即14a >时，x 骣琪Î琪桫或()2,x ??，()'0f x >恒成立，()f x在(),2,骣琪+?琪桫上单调递增；x 骣Î时，()'0f x <恒成立，()f x在2骣上单调递减.③当12x x <，即104a <<时，x 骣??或()0,2x Î时，()'0f x >恒成立，()f x 在()0,2,骣+?单调递增，x 骣琪Î琪桫时，()'0f x <恒成立，()f x在骣琪琪桫上单调递减. 综上，当0a £时，()f x 单调递增区间为()0,2，单调递减区间为()2,+?；当14a =时，()f x 单调递增区间为()0,+?，无单调递减区间为；当14a >时，()f x单调递增区间为(),2,骣琪+?琪桫，单调递减区间为2骣. （2）由（1）知当0a <时，()f x 单调递增区间为()0,2，单调递减区间为()2,+?，又()10f a =<，取01max ,5x a禳镲=-睚镲铪，令()()1212ln ,f x x x f x x =-=， 则()12'10f x x=->在()2,+?成立，故()12ln f x x x =-单调递增，()()1052ln5122ln51f x ?=+->，()()00022200000111112ln 0f x a x x a x x x x x =-+-?-?<， ()f x \有两个零点等价于()()1222ln 204f a =-+>，得188ln 2a >--， 1088ln 2a \>>--， 当0a =时，()21x f x x-=，只有一个零点，不符合题意；当14a =时，()f x 在()0,+?单调递增，至多只有一个零点，不符合题意；当0a >且14a ¹时，()f x 有两个极值，()()1222ln 20,ln 4f a f a a a 骣=-+>=-， 记()ln g x x x x =-，()()'1ln 1ln g x x x =++-+， 令()ln h x x =+，则()3322111'22h x x x x =-+=， 当14x >时，()()'0,'h x g x >在1,4骣琪+?琪桫单调递增；当104x <<时，()()'0,'h x g x <在10,4骣琪琪桫单调递减， 故()()1''=22ln 20,4g x g g x 骣琪>->琪桫在()0,+?单调递增，0x ®时，()0g x ®，故ln 0f a a a 骣=->， 又()()1222ln 204f a =-+>， 由（1）知，()f x 至多只有一个零点，不符合题意， 综上，实数a 的取值范围为1,088ln 2骣琪-琪-桫.【点睛】本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值、零点等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.（二）选考题：共10分，请在22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C的极坐标方程为2sin r q q +，直线1:()6l p q r =?R ，直线 2:()3l pq r =?R ．以极点O 为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系． （1）求直线1l ，2l 的直角坐标方程以及曲线C 的参数方程；（2）已知直线1l 与曲线C 交于,O A 两点，直线2l 与曲线C 交于,O B 两点，求AOB D 的面积．【答案】（1）1:l y x = ；2:l y；2,12x cos y sin q qqì=ïíï=+î 为参数；（2）【解析】 【分析】（1）利用极角的定义、直线的倾斜角的定义以及两直线过原点，可得到直线1l 与直线2l 的直角坐标方程；曲线C 的极坐标方程两边同乘以r 利用222,cos ,sin x y x y rr q r q =+== 即可得其直角坐标方程，然后化为参数方程即可；（2）联立62sin pq r q qì=ïïíï=+ïî，得14OA r ==，同理2OB r ==用三角形面积公式可得结果.【详解】（1）依题意，直线1l直角的坐标方程为y x =， 直线2l直角的坐标方程为y ，由2sin r q q =+得2cos 2sin rq r q =+，222,cos ,x y x sin y r r q r q =+==，(()22214x y r \=-+-=，\曲线C的参数方程为2cos (12x y sin a aaìïíï=+î为参数）.（2）联立62sin pq r q qì=ïïíï=+ïî，得14OA r ==，同理2OB r ==6AOBp?，1114222AOB S OA OB sin AOB D \=?创即AOB D的面积为【点睛】本题主要考查极坐标方程化为直角坐标方程与参数方程，属于中档题. 利用关系式cos sin x y r q r qì=ïí=ïî，222tan x y yxr q ì+=ïíï=ïî可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程.23.选修4－5：不等式选讲 已知函数()()13f x x a a R =-?． （1）当2a =时，解不等式()113x f x -+?； （2）设不等式()13x f x x -+?的解集为M ，若11,32M 轾Í犏犏臌，求实数a 的取值范围．【答案】（1）{|0x x £或1}x ³；（2）14,23轾-犏犏臌.【解析】试题分析：（1）分段去绝对值求解即可； （2）不等式的解集包含11,32轾犏犏臌，所以不等式313x x a x -+-?在11,32轾犏犏臌恒成立，可得1x a -?，即11a x a -＃+，所以113{112a a -?+?，求解即可.试题解析：（1）当2a =时，原不等式可化为3123x x -+-?. ①当13x £时，原不等式可化为3123x x -++-?,解得0x £，此时得不等式的解集为{|0}x x £.② 当123x <<时，原不等式可化为3123x x ++-?,解得1x ³，此时得不等式的解集为{|12}x x ＃.③当2x ³时，原不等式可化为3123x x ---?,解得32x ³，此时得不等式的解集为{|2}x x ³.综上所述，当2a =时，不等式可化为()11133x f x -+?，的解集为{|0x x £或1}x ³. （2）不等式()1131333x f x x x x a x -+［-+-?，因为不等式的解集包含11,32轾犏犏臌，所以不等式313x x a x -+-?在11,32轾犏犏臌，所以不等式313313x x a x x x a x -+-［-+-?，所以可得1x a -?，即11a x a -＃+，所以113{112a a -?+?，解得1423a-＃，求实数a 的取值范围是14,23轾-犏犏臌.。
广东省广州市2019届高三调研测试数学(理)试题
试卷类型：B广州市2019届高三年级调研测试数 学（理科） 2019.12参考公式：锥体体积公式13V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高．一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设全集{}2,1,0,1,2U =--，集合{}1,2A =，{}2,1,2B =-，则()UAB ð等于A ．∅B ．{}1C ．{}1,2D ．{}1,0,1,2-2．设复数113i z =-，232i z =-，则21z z 在复平面内对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．已知向量()21=，a ，()2x =-，b ，若a ∥b ，则a+b 等于A ．()2,1--B ．()2,1C ．()3,1-D ．()3,1-4．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知85=a ，63=S ，则710S S -的值是A ．24B ．48C ．60D ．72 5．设随机变量()2~1,5X N ，且()()02P X P X a ≤=>-，则实数a 的值为A ． 4B ． 6C ． 8D ．106．在正四棱锥V ABCD -中，底面正方形ABCD 的边长为1，侧棱长为2，则异面直线VA 与BD 所成角的大小为A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 7．已知函数3()sin 2()2f x x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，给出下面四个命题：①函数)(x f 的最小正周期为π； ②函数)(x f 是偶函数；③函数)(x f 的图象关于直线4x π=对称；④函数)(x f 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，其中正确命题的个数是A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．定义：若函数)(x f 的图像经过变换T 后所得图像对应函数的值域与)(x f 的值域相同，则称变换T是)(x f 的同值变换．下面给出四个函数及其对应的变换T ，其中T 不属于)(x f 的同值变换的是 A ．2)1()(-=x x f ，T 将函数)(x f 的图像关于y 轴对称 B ．12)(1-=-x x f ，T 将函数)(x f 的图像关于x 轴对称C ．32)(+=x x f ，T 将函数)(x f 的图像关于点()1,1-对称D ．()sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，T 将函数)(x f 的图像关于点()1,0-对称二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．521⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 展开式中4x 的系数为 (用数字作答).10．向面积为S 的三角形ABC 内任投一点P ，则△PBC 的面积小于S的概率是． 11．已知程序框图如右，则输出的i = ．12．已知实数y x ,满足0,1,2210.x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪-+≤⎩若目标函数y ax z +=()0≠a 取得最小值时的最优解有无数个，则实数a 的值为_____．13．已知直线()2y k x =-()0k >与抛物线28y x =相交于A 、B 两点，F 为抛物线的焦点，若2FA FB =，则k 的值为 ．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．（几何证明选讲选做题）如右图，AB 是圆O 的直径，直线CE 与圆O 相切于点C ，AD CE ⊥于点D ，若圆O 的面积为4π，30ABC ∠=，则AD 的长为 ． 15．（极坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，点A 的坐标为4π⎛⎫⎪⎝⎭，曲线C 的方程为θρcos 2=，则OA （O 为极点）所在直线被曲线C 所截弦的长度为 ．三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）如图，在ABC ∆中，点D 在BC 边上，33AD =，5sin 13BAD ∠=， 3cos 5ADC ∠=． （1）求sin ABD ∠的值； （2）求BD 的长．EABCD17．（本小题满分12分）某城市为准备参加“全国文明城市”的评选，举办了“文明社区”评选的活动，在第一轮暗访评分中，评委会对全市50个社区分别从“居民素质”和“社区服务”两项进行评分，每项评分均采用5分制，若设“社区服务”得分为x 分，“居民素质”得分为分，统计结果如下表：（1）若“居民素质”得分和“社区服务”得分均不低于3分（即3x ≥且3y ≥）的社区可以进入第二轮评比，现从50个社区中随机选取一个社区，求这个社区能进入第二轮评比的概率； （2）若在50个社区中随机选取一个社区，这个社区的“居民素质”得分y 的均值（即数学期望）为16750，求a 、b 的值．18.（本小题满分14分）已知正方形ABCD 的边长为2，ACBD O =．将正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使AC a =，得到三棱锥A BCD -，如图所示．（1）当2a =时，求证：AO BCD ⊥平面；（2）当二面角A BD C --的大小为120时，求二面角A BC D --的正切值．19．（本小题满分14分）设椭圆222:12x y M a +=(a >的右焦点为1F ，直线2:22-=a a x l 与x 轴交于点A ，若112OF AF +=0（其中O 为坐标原点）． （1）求椭圆M 的方程；（2）设P 是椭圆M 上的任意一点，EF 为圆()12:22=-+y x N 的任意一条直径（E 、F 为直径的两个端点），求⋅的最大值．20.（本小题满分14分）已知数列{}n a 中，11a =，23a =，且112n n n a a a +-=+()2n ≥．（1）设1n n n b a a λ+=+，是否存在实数λ，使数列{}n b 为等比数列．若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ． 21．（本小题满分14分）已知函数()32()ln 2123x f x ax x ax =++--()a ∈R ． （1）若2x =为)(x f 的极值点，求实数a 的值；（2）若)(x f y =在[)3,+∞上为增函数，求实数a 的取值范围；（3）当12a =-时，方程()()311+3x b f x x--=有实根，求实数b 的最大值．广州市2019届高三年级调研测试 数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题． 9．10 10．5911．9 12．1-13. 14．1 15三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）解：（1）因为3cos 5ADC ∠=，所以4sin 5ADC ∠==．…………………………………………………………2分 因为5sin 13BAD ∠=，所以12cos 13BAD ∠==．…………………………………………………………4分 因为ABD ADC BAD ∠=∠-∠，所以()sin sin ABD ADC BAD ∠=∠-∠sin cos cos sin ADC BAD ADC BAD =∠∠-∠∠ ………………………………6分 412353351351365=⨯-⨯=．…………………………………………………………8分 （2）在△ABD 中，由正弦定理，得sin sin BD ADBAD ABD =∠∠，………………………………10分所以533sin 132533sin 65AD BAD BD ABD⨯⨯∠===∠．……………………………………………………12分 17．（本小题满分12分）解：（1）从表中可以看出，“居民素质”得分和“社区服务”得分均不低于3分（即3x ≥且3y ≥）8的社区数量为24个．………………………………………………………………………2分 设这个社区能进入第二轮评比为事件A ，则()P A =24125025=． 所以这个社区能进入第二轮评比的概率为1225．……………………………………………………4分 （2）由表可知“居民素质”得分y 有1分、2分、3分、4分、5分，其对应的社区个数分别为()4a +个、()4b +个、15个、15个、9个．…………………………………………………………6分 所以“居民素质”得分y 的分布列为：28分因为“居民素质”得分y 的均值（数学期望）为16750， 所以501675095501545015350425041=⨯+⨯+⨯++⨯++⨯b a ．…………………………………10分 即25a b +=．因为社区总数为50个，所以4750a b ++=．解得1a =，2b =．…………………………………………………………………………………12分18．（本小题满分14分）（1）证明：根据题意，在AOC ∆中，2==a AC ，2==COAO ，所以222AC AO CO=+，所以CO AO ⊥.………………………………………………………2分因为AC BD 、是正方形ABCD 的对角线，所以AO BD ⊥．………………………………………………………………………………………3分 因为BDCO O =，所以AO BCD ⊥平面.………………………………………………………………………………4分 （2）解法1：由（1）知，CO OD ⊥，如图，以O 为原点，OC ，OD 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立如图的空间直角坐标系O xyz -，…………………………………………………………5分则有()0,0,0O ，()D ，)C，()0,B ．设()00,0,A x z ()00x <，则()00,0,OA x z =，()OD =．………………………………6分 又设面ABD 的法向量为()111,,x y z =n ，则0,0.OA OD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即010110,0.x x z z +=⎧⎪=所以10y =，令10x z =，则10z x =-． 所以()00,0,z x =-n ．………………………8分 因为平面BCD 的一个法向量为(0,0,1)=m ，且二面角A BD C --的大小为120，………………………………………………………………9分 所以1cos ,cos1202==m n ，得20203x z =． 因为2=OA ，所以22020=+z x ．解得26,2200=-=z x ．所以22A ⎛- ⎝⎭．………………………………10分 设平面ABC 的法向量为()222,,x y z =l，因为()26,2,,2,22BA BC ⎛⎫=-=⎪ ⎝⎭，则0,0.BA BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩l l，即222220,20.x z ⎧-+=⎪⎨+=令21x =，则3,122=-=z y ．所以(1,=-l ．…………………………………………………………………………………12分 设二面角A BC D --的平面角为θ，所以cos cos ,5θ====l m ．……………………………………………13分所以tan 3θ=． 所以二面角A BC D --的正切值为3．…………………………………………………………14分解法2：折叠后在△ABD 中，BD AO ⊥，在△BCD 中，BD CO ⊥．……………………………5分 所以AOC ∠是二面角A BD C --的平面角，即120AOC ∠=．………………………………………6分 在△AOC 中，2==CO AO ，所以AC=．………………………………………………………………………………………7分如图，过点A 作CO 的垂线交CO 延长线于点H ， 因为BD CO ⊥，BD AO ⊥，且CO AO O =，所以BD ⊥平面AOC ．…………………………………………………………8分 因为AH ⊂平面AOC ，所以BD AH ⊥．又CO AH ⊥，且CO BD O =，所以AH ⊥平面BCD ．……………………………………9分 过点作A 作AK BC ⊥，垂足为K ，连接HK ，因为BC AH ⊥，AK AH A =，所以BC ⊥平面AHK ．…………………………………10分 因为HK ⊂平面AHK ，所以BC HK ⊥．所以AKH ∠为二面角A BC D --的平面角．……………………………………………………11分 在△AOH 中，60AOH ∠=，AO =AH =OH =所以22CH CO OH =+==．………………………………………………………12分 在Rt △CHK 中，45HCK ∠=，所以232==CH HK ………………………………………13分 在Rt △AHK 中，tan AKH ∠=362326==KH AH ．所以二面角A BC D --的正切值为3．…………………………………………………………14分 19．（本小题满分14分）（1）由题设知，2A ⎛⎫⎪⎭，)1F ，………………………………1分由112OF AF +=0，得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-22222222a a a a ．……………………………………3分 解得62=a ．所以椭圆M 的方程为126:22=+y x M ．…………………………………………………………4分 （2）方法1：设圆()12:22=-+y x N 的圆心为N ，则()()-⋅-=⋅ ………………………………………………………………6分 ()()NF NP NF NP =--⋅-…………………………………………………7分2221NP NF NP =-=-．………………………………………………………………8分从而求⋅的最大值转化为求2的最大值．………………………………………………9分 因为P 是椭圆M 上的任意一点，设()00,y x P ，…………………………………………………10分所以1262020=+y x ，即202036y x -=．…………………………………………………………11分因为点()2,0N ，所以()()121222020202++-=-+=y y x NP ．……………………………12分因为0y ⎡∈⎣，所以当10-=y 时，2取得最大值12．……………………………13分所以⋅的最大值为11．………………………………………………………………………14分方法2：设点112200(,),(,),(,)E x y F x y P x y ， 因为,E F 的中点坐标为(0,2)，所以2121,4.x x y y =-⎧⎨=-⎩ ………………………………………………6分所以10201020()()()()PE PF x x x x y y y y ⋅=--+--……………………………………………7分 10101010()()()(4)x x x x y y y y =---+---222201011044x x y y y y =-+-+-22220001114(4)x y y x y y =+--+-．…………………………………………………9分因为点E 在圆N 上，所以2211(2)1x y +-=，即2211143x y y +-=-．………………………10分因为点P 在椭圆M 上，所以2200162x y +=，即220063x y =-．…………………………………11分所以PE PF ⋅200249y y =--+202(1)11y =-++．……………………………………………12分因为0[y ∈，所以当01y =-时，()min11PE PF⋅=．………………………………14分方法3：①若直线EF 的斜率存在，设EF 的方程为2y kx =+，………………………………6分 由⎩⎨⎧=-++=1)2(222y x kx y ，解得112+±=k x ．………………………………………………………7分因为P 是椭圆M 上的任一点，设点()00,y x P ，所以1262020=+y x ，即202036y x -=．…………………………………………………………8分所以002PE x y ⎛⎫=-+-⎪⎭，00,2PF x y ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭……………………………………………………9分 所以11)1(21)2(1)2(11202020222022++-=--+=+--++-=⋅y y x k k y k x ． ……………………………………………………10分因为0y ⎡∈⎣，所以当10-=y 时，⋅取得最大值11．…………………………11分②若直线EF 的斜率不存在，此时EF 的方程为0x =， 由22(2)1x x y =⎧⎨+-=⎩，解得1y =或3y =．不妨设，()0,3E ，()0,1F ．……………………………………………………12分 因为P 是椭圆M 上的任一点，设点()00,y x P ，所以1262020=+y x ，即202036y x -=．所以()00,3PE x y =--，()00,1PF x y =--． 所以2220000432(1)11PE PF x y y y ⋅=+-+=-++．因为0y ⎡∈⎣，所以当10-=y 时，⋅取得最大值11．…………………………13分综上可知，⋅的最大值为11．………………………………………………………………14分20．（本小题满分14分）（1）方法1：假设存在实数λ，使数列{}n b 为等比数列，则有2213b b b =． ①……………………………………1分由11a =，23a =，且112n n n a a a +-=+，得35a =，411a =．所以1213b a a λλ=+=+，23253b a a λλ=+=+，343115b a a λλ=+=+，………………2分 所以()()()2533115λλλ+=++，解得1λ=或2λ=-．…………………………………………………………………………………3分 当1λ=时，1n n n b a a +=+，11n n n b a a --=+，且1214b a a =+=，有()1111122n n n n n n n n n n n a a a b a ab a a a a -+---+++===++()2n ≥．………………………………………………4分 当2λ=-时，12n n n b a a +=-，112n n n b a a --=-，且12121b a a =-=， 有()11111222122n n nn n n n n n n n a a a b a a b a a a a -+---+--===---()2n ≥．…………………………………………5分 所以存在实数λ，使数列{}n b 为等比数列．当1λ=时，数列{}n b 为首项是4、公比是2的等比数列；当2λ=-时，数列{}n b 为首项是1、公比是1-的等比数列．……………………………………6分 方法2：假设存在实数λ，使数列{}n b 为等比数列， 设1nn b q b -=()2n ≥，……………………………………………………………………………………1分 即()11n n n n a a q a a λλ+-+=+，……………………………………………………2分即()11n n n a q a q a λλ+-=-+．………………………………………………………………………3分与已知112n n n a a a +-=+比较，令1,2.q q λλ-=⎧⎨=⎩………………………………………………………4分 解得1λ=或2λ=-．…………………………………………………………………………………5分 所以存在实数λ，使数列{}n b 为等比数列．当1λ=时，数列{}n b 为首项是4、公比是2的等比数列；当2λ=-时，数列{}n b 为首项是1、公比是1-的等比数列．……………………………………6分（2）解法1：由（1）知111422n n n n a a -+++=⨯=()1n ≥，……………………………………7分当n 为偶数时，()()()()1234561n n n S a a a a a a a a -=++++++++…………………………8分2462222n =++++…………………………………………………………9分()22414124143nn +⎛⎫- ⎪⎝⎭==--．…………………………………………………10分 当n 为奇数时，()()()123451n n n S a a a a a a a -=+++++++………………………………11分351222n =++++…………………………………………………………12分()1228141125143n n -+⎛⎫- ⎪⎝⎭=+=--．……………………………………………13分 故数列{}n a 的前n 项和()()22124,3125,3n n n n S n ++⎧-⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩为偶数，为奇数.………………………………………14分注：若将上述和式合并，即得()()21112432nn n S +⎡⎤--=-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦．解法2：由（1）知()1121n n n a a ++-=-()1n ≥，…………………………………………………7分所以()11111112222n n n n n n n a a +++++-⎛⎫-==- ⎪⎝⎭()1n ≥，……………………………………………………8分当2n ≥时，31121212132122222222n n n n nn a a a a a a a a --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2311112222n⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭21111122111111226212n n --⎡⎤⎛⎫⎛⎫---⎢⎥ ⎪ ⎪⎡⎤⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+=+--⎢⎥ ⎪⎛⎫⎝⎭⎢⎥⎣⎦-- ⎪⎝⎭．因为11122a =也适合上式，……………………………………………………………………………10分 所以2n n a =11111262n -⎡⎤⎛⎫+--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦()1n ≥．所以()11213nn n a +⎡⎤=+-⎣⎦．…………………………………………………………………………11分 则()()()()()()12323411222211113nn n S +⎡⎤=+++++-+-+-++-⎣⎦，………………12分()()()()()111412131211nn ⎡⎤----⎢⎥=+⎢⎥---⎢⎥⎣⎦……………………………………………………………13分()()21112432nn +⎡⎤--=-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦．……………………………………………14分解法3：由（1）可知，()111142,211.n n n n n n a a a a -+-+⎧+=⨯⎪⎨-=⨯-⎪⎩…………………………………………………7分 所以()11213nn n a +⎡⎤=+-⎣⎦．…………………………………………………………………………8分则()()()()()()()()12345112121212121213n n nn n S -+⎡⎤=-+++-+++++-++-⎣⎦，……9分当n 为偶数时，()2345112222223n n n S +=++++++………………………………………10分()()241211243123nn +-=⨯=--．……………………………………………11分当n 为奇数时，()23451122222213n n n S +⎡⎤=++++++-⎣⎦………………………………12分()()2412111253123nn +⎡⎤-⎢⎥=⨯-=--⎢⎥⎣⎦．………………………………………13分故数列{}n a 的前n 项和()()22124,3125,3n n n n S n ++⎧-⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩为偶数，为奇数.………………………………………14分注：若将上述和式合并，即得()()21112432nn n S +⎡⎤--=-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦．21．（本小题满分14分）解：（1）22()2221af x x x a ax '=+--+()()222144221x ax a x a ax ⎡⎤+--+⎣⎦=+．……………1分 因为2x =为()f x 的极值点，所以()20f '=．…………………………………………………2分即22041aa a -=+，解得0a =．……………………………………………………………………3分又当0=a 时，()(2)f x x x '=-，从而2()x f x =为的极值点成立．……………………………4分（2）因为()f x 在区间[)3,+∞上为增函数，所以()()()2221442021x ax a x a f x ax ⎡⎤+--+⎣⎦'=≥+在区间[)3,+∞上恒成立．…………………5分①当0=a 时，()(2)0f x x x '=-≥在[3,)+∞上恒成立，所以()[3,)f x +∞在上为增函数，故0=a符合题意．………………………………………………………………………………………………6分 ②当0a ≠时，由函数()f x 的定义域可知，必须有10ax +>2对3x ≥恒成立，故只能0a >， 所以222(14)(42)0[3,)ax a x a x +--+≥∈+∞对上恒成立．…………………………………7分令22()2(14)(42)g x ax a x a =+--+，其对称轴为114x a=-，……………………………8分因为0a >所以1114a -<，从而()0[3,)g x ≥+∞在上恒成立，只要(3)0g ≥即可， 因为()3g =24610a a -++≥，a ≤≤．……………………………………………………………9分因为0a >，所以0a <≤．综上所述，a 的取值范围为30,4⎡⎢⎣⎦．………………………………………………………10分 （3）若12a =-时，方程3(1)(1)+3xb f x x --=可化为，x b x x x =-+--)1()1(ln 2． 问题转化为223ln (1)(1)ln b x x x x x x x x x x =--+-=+-在()0,+∞上有解，即求函数32ln )(x x x x x g -+=的值域．…………………………………………………………11分 以下给出两种求函数()g x 值域的方法：方法1：因为()()2ln g x x x x x =+-，令2()ln (0)h x x x xx =+->，则xx x x x x h )1)(12(211)(-+=-+=' ，…………………………………………………………12分 所以当01,()0x h x '<<>时，从而)1,0()(在x h 上为增函数，当0)(,1<'>x h x 时，从而),1()(+∞在x h 上为减函数，…………………………………………13分 因此()(1)0h x h ≤=． 而0x >，故()0b x h x =⋅≤，因此当1x =时，b 取得最大值0．…………………………………………………………………14分方法2：因为()()2ln g x x x x x =+-，所以2321ln )(x x x x g -++='．设2()ln 123p x x x x =++-，则21621()26x x p x x x x--'=+-=-．当106x +<<时，()0p x '>，所以()p x 在⎛ ⎝⎭上单调递增；当16x +>时，()0p x '<，所以()p x 在16⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减；因为()10p =，故必有106p ⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭，又22441233210p e e e e ⎛⎫=-++-<-< ⎪⎝⎭，因此必存在实数0211,6x e ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭使得0'()0g x =，00,()0x x g x '∴<<<当时，所以()0()0,g x x 在上单调递减； 当0)(,10>'<<x g x x 时，所以()0(),1g x x 在上单调递增； 当()1,'()0,()1,x g x g x ><+∞时所以在上单调递减；又因为)41(ln )(ln ln )(232+≤-+=-+=x x x x x x x x x x x g ，当10,ln 04x x →+<时，则()0g x <，又(1)0g =． 因此当1x =时，b 取得最大值0. ………………………………………………………14分。
广东省广州市2019届高三年级第一学期调研考试(零模)理科数学试题(精编含解析)
2019届广州市高三年级调研测试理科数学本试卷共5页，23小题，满分150分，考试用时120分钟 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
1.设集合M=2{|02},{|230},x x N x x x ?=--<则集合M N Ç=（ ）A. {|02}x x ?B. {|03}x x ?C. {|12}x x -<<D. {|01}x x ?【答案】A 【解析】 【分析】利用一元二次不等式的解法化简集合N ，再由交集的定义即可得结果. 【详解】因为集合{}|02M x x=?,{}{}2|230|13N x x x x x =--<=-<<,{}|02M Nx x \??,故选A.【点睛】本题考查一元二次不等式的解法和集合的交集问题，属于简单题. 研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A 且属于集合B 的元素的集合. 2.若复数(1a iz i i+=-是虚数单位）为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数代数形式的除法运算化简复数1a iz i+=-,再根据实部为0且虚部不为0求解即可. 【详解】()()()()i 1i i 11i 1i 1i 1i 22a a a a z +++-+===+-+-为纯虚数，1010a a ì+?ï\í-=ïî，即1a =，故选C. 【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算，考查复数的基本概念，是基础题. 复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3.已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若36a =，312S =，则公差d 等于（ ）． A. 1 B. 53C. 2D. 3 【答案】C 【解析】试题分析：因为322123124S a a =??，所以32642d a a =-=-=，选C.考点：等差数列性质4.若点(1,1)P 为圆2260x y x +-=的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线的方程为( ) A. 230x y +-= B. 210x y -+= C. 230x y +-= D. 210x y --= 【答案】D 【解析】圆心C(3,0)，k PC ＝12-，∵点P 是弦MN 的中点，∴PC ⊥MN ， ∴k MN k PC ＝－1，∴k MN ＝2，∴弦MN 所在直线方程为y －1＝2(x －1)， 即2x －y －1＝0.考点：圆的弦所在的直线方程.5.已知实数ln 222,22ln 2,(ln 2)a b c ==+=，则,,a b c 的大小关系是 A. c b a << B. c a b << C. b a c << D. a c b << 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出,,a b c 的取值范围，从而可得结果.【详解】由对数函数的性质0ln21<<, 所以22ln 22,+>所以由指数函数的单调性可得，()()200ln 2112222,0ln 2ln 21=<<=<<=，c a b \<<，故选B.【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于中档题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（本题三个数分别在三个区间()()()0,1,1,2,2,+? ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用. 6.下列命题中，真命题的是（ ） A. 00,0x x R e $危B. 2,2xx R x "?C. 0a b +=的充要条件是1ab=- D. 若,x y R Î，且2x y +>，则,x y 中至少有一个大于1 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数的值域判断A ；根据特殊值判断B C 、；根据逆否命题与原命题的等价性判断D . 【详解】根据指数函数的性质可得x 0e >,故A 错误；2x =时，22x x >不成立，故B 错误；当0a b ==时，1ab=-不成立，故C 错误； 因为“2x y +>，则,x y 中至少有一个大于1”的逆否命题 “,x y 都小于等于1，则2x y +?”正确，所以“2x y +>，则,x y 中至少有一个大于1”正确，故选D.【点睛】本题主要考查指数函数的值域、特称命题与全称命题的定义，以及原命题与逆否命题的等价性，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题. 7.由()y f x =的图象向左平移3p个单位，再把图象上所有点横坐标伸长到原来的2倍得到sin 36y x p骣琪=-琪桫的图象，则()f x =（ ） A. 3sin 26x p 骣琪+琪桫 B. sin 66x p 骣琪-琪桫 C. 3sin 23x p骣琪+琪桫D. sin 63x p 骣琪+琪桫 【答案】B 【解析】 【分析】 将36y sin x p 骣琪=-琪桫的图象上各个点的横坐标变为原来的12，再把所得图象向右平移3p个单位，即可得到()f x 的图象，根据三角函数的图象变换规律可得()f x 的解析式.【详解】将36y sin x p 骣琪=-琪桫的图象上各个点的横坐标变为原来的12， 可得函数66y sin x p骣琪=-琪桫的图象， 再把函数66y sin x p 骣琪=-琪桫的图象向右平移3p个单位， 即可得到()66366f x sin x sin x p pp 轾骣骣犏琪琪=--=-琪琪犏桫桫臌的图象， 所以()f x = 66sin x p骣琪-琪桫，故选B. 【点睛】本题考查了三角函数的图象，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，属于中档题. 能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度. 8. 已知甲袋中有1个黄球和2个红球，乙袋中有2个黄球和2个红球，现随机地从甲袋中取出两个球放入乙袋中，然后从乙袋中随机取出1个球，则从乙袋中取出红球的概率为（ ） A.13 B. 12 C. 59 D. 29【答案】C 【解析】试题分析：甲取出的求有两种情况：（1）从甲取出1黄球1红球，概率为：132136213C C C ?，（2）从甲取出2红球，概率为：142136129C C C ?，故概率为125399+=．考点：1、古典概型；2、分类加法、分步乘法计数原理．9.已知抛物线22(0)y px p =>为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为（ ）A.1B. 1C. 1D. 2【答案】A 【解析】 【分析】求出抛物线与双曲线的焦点坐标，将其代入双曲线方程求出A 的坐标，将A 代入抛物线方程求出双曲线的三参数,,a b c 的关系，则双曲线的离心率可求.【详解】抛物线的焦点坐标为,02p骣琪琪桫，双曲线的焦点坐标为(),0c ，2p c \=，点A 是两曲线的一个交点，且AF x ^轴，将x c =代入双曲线方程得到2,b A c a骣琪琪桫， 将A 的坐标代入抛物线方程可得,422222444b pc c a b a===+， 即4224440a a b b +-=，解得ba=222222b c a a a -\==+)22231c a=+=解得1ce a=，故选A .【点睛】本题主要考查双曲线性质与双曲线的离心率，是中档题. 离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②构造,a c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．10.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若367,63S S ==，则数列{}n na 的前n 项和为（ ） A. 3(1)2n n -++? B. 3(1)2n n ++? C. 1(1)2n n ++? D. 1(1)2n n +-? 【答案】D 【解析】当1q = 时，不成立，当1q ¹ 时，()()3161171{1631a q q a q q-=--=- ，两式相除得3631171163q q q -==-+ ，解得：2q = ，11a = 即1112n n n a a q --== ，12n n n a n -?? ，2112232......2n n s n -=+??+? ，2n s = ()211222......122n n n n -??+-?? ，两式相减得到：21122......22n n n s n --=++++-?()12212112nnnn n -=-?-?- ，所以()112n n s n =+-? ，故选D.11.如图为一个多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）A.203 B. 7 C. 223 D. 233【答案】C 【解析】该几何体为如图所示的几何体11EFB C ABCD -，是从棱长为2的正方体中截取去两个三棱锥后的剩余部分，其体积111111131111211212273232A B C D ABCD A A EF D D BC V V V V ---=--=-创创-创创=，故选C. 12.已知过点(,0)A a 作曲线:x C y x e =?的切线有且仅有两条，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()(--4)0+ト?，，B. ()0+¥， C. ()(--1)1+ト?，， D. ()--1¥， 【答案】A 【解析】 【分析】设出切点，对函数求导得到切点处的斜率，由点斜式得到切线方程，化简为2001x a x =+，整理得到方程2000x ax a --=有两个解即可，240a a D=+>解出不等式即可.【详解】设切点为()00,x x x e ，(1)x y x e =+¢，000(1)x x x y x e =\=+?¢，则切线方程为：()00000=1()x x y x e x e x x -+?，切线过点(,0)A a 代入得：()00000=1()x x x e x e a x -+?， 2001x a x \=+，即方程2000x ax a --=有两个解，则有2400a a a D=+>?或4a <-. 故答案为:A.【点睛】这个题目考查了函数的导函数的求法，以及过某一点的切线方程的求法，其中应用到导数的几何意义，一般过某一点求切线方程的步骤为：一：设切点，求导并且表示在切点处的斜率；二：根据点斜式写切点处的切线方程；三：将所过的点代入切线方程，求出切点坐标；四：将切点代入切线方程，得到具体的表达式.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量,a b 的夹角为45°，且1,2a b ==，则a b -=__________ 【答案】1【分析】先利用平面向量的运算法则以及平面向量的数量积公式求出a b -平方的值，再开平方即可得结果. 【详解】因为向量,a b 的夹角为45°，1,2a b ==，()2222a ba b a b -=+-?222cos 45a b a b °=+-?21221212=+-创?，可得1a b -=，故答案为1.【点睛】本题主要考查平面向量的运算法则以及平面向量的数量积公式，属于简单题. 向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式cos a ba b q?；二是向量的平方等于向量模的平方22a a =.14.已知423401234(2x a a x a x a x a x =++++，则2202413()()a a aa a ++-+=__________． 【答案】1 【解析】令1x =，得401234(2a a a a a =++++； 令1x =-，得401234(2a a a a a -=-+-+；两式相加得22024130123402413()()()()a a a a a a a a aa a a a a a++-+=++++?+--444(2(2(1)1=?=-=．点睛： “赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如2(),()(,)n n ax b ax bx c a b +++?R 的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法， 只需令1x =即可；对形如()(,)n ax by a b +?R 的式子求其展开式各项系数之和，只需令1x y ==即可.15.已知实数,x y 满足203500x y x y x y ì-?ïï-+?ïí>ïï>ïî，则11()()42x y z =的最小值为__________．【解析】试题分析：不等式组20{350x y x y -?-+?表示的平面区域如下图所示，目标函数2111()()()422x y x y z +==，设2t x y =+，令20x y +=得到如上图中的虚线，向上平移20x y +=易知在点()1,2A 处取得最小值，min 4t =，所以目标函数4min 11()216z ==. 考点：线性规划.16.在四面体P ABC -中，1PA PB PC BC ====，则该四面体体积的最大值为________．【解析】由于平面PBC 是边长为1的正三角形，P ABC A PBC V V --= ，底面面积固定，要使体积最大，只需高最大，故当PA ^平面PBC 时体积最大，21113V =?三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-23题为选考题，考生根据要求作答.17.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222cos cos sin sin sin B C A A B -=+. （1）求角C 的大小；（2）若A=6p，△ABC 的面积为M 为BC 的中点，求AM.【答案】(1) 2;3C p=(2) 【解析】（1）利用正弦定理，结合同角三角函数的关系化简已知的等式，得到三边的关系式，再利用余弦定理表示出cos C 的值，可求角C 的大小；（2）求得()6B AC A pp =-+==，ABC D为等腰三角形，由三角形面积公式可求出CB CM 、的值，再利用余弦定理可得出AM 的值. 【详解】(1)∵222cos cos sin sin sin B C A A B -=+∴()2221sin 1sin sin sin sin B C A A B ---=+（） ∴222sin sin sin sin sin C B A A B -=+由正弦定理得：222c b a ab -=+即222a b c ab +-=-∴22211cos 222a b c C ab +-=-=-即∵C 为三角形的内角，∴23C p= (2)由（1）知23C p =，∴()6B AC A pp =-+== ∴△ABC 为等腰三角形，即CA=CB 又∵M 为CB 中点 ∴CM=BM 设CA=CB=2x 则CM=BM=x1sin 2CABSCA CB C =鬃=∴1222x x 鬃x=2∴CA=4,CM=2由余弦定理得：=.【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理以及三角形的面积公式，属于中档题. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．18.某企业对设备进行升级改造，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项指标值落在[20,40)内的产品视为合格品，否则为不合格品，图1是设备改造前样本的频率分布直方图，表1是设备改造后的频数分布表.表1，设备改造后样本的频数分布表:（1）请估计该企业在设备改造前的产品质量指标的平均数；（2）企业将不合格品全部销毁后，并对合格品进行等级细分，质量指标值落在[25，30)内的定为一等品，每件售价240元，质量指标值落在[20，25)或[30，35)内的定为二等品，每件售价180元，其它的合格品定为三等品，每件售价120元.根据表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率，现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为X （单位：元），求X得分布列和数学期望.【答案】(1) 30.2；(2)分布列见解析， 400.【解析】【分析】（1）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标、组距相乘后求和可得平均值；（2）X的可能取值为：240，300，360, 420, 480，根据直方图求出样本中一、二、三等品的频率分别为111，利用独立事件与互斥,,236事件概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得X的数学期望.【详解】(1)样本的质量指标平均值为=.30??????0.0417.50.162.5根据样本质量指标平均值估计总体质量指标平均值为30.2 .（2）根据样本频率分布估计总体分布，样本中一、二、三等品的频率分别为111,,236， 故从所有产品中随机抽一件，是一、二、三等品的概率分别为111,,236， 随机变量X 的取值为：240， 300，360, 420, 480，()()12111111240;3006636369P X P X C ==?==创=；()()112211115111360;420263318233P X C P X C ==创+?==创=， ()111480224P X ==?， 所以随机变量X 的分布列为：()115112403003604204804003691834E X \=?????.【点睛】本题主要考查直方图的应用，互斥事件的概率公式、独立事件同时发生的概率公式以及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题. 求解数学期望问题，首先要正确理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关.19.如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为矩形，二面角A-CD-F 为60°，DE ∥CF ，CD ⊥DE ，AD=2，DE=DC=3，CF=6.（1）求证：BF ∥平面ADE ；（2）在线段CF 上求一点G ，使锐二面角B-EG-D 的余弦值为14. 【答案】（1）详见解析；（2）点G 满足32CG =. 【解析】 【分析】（1）先证明//BC 平面ADE ，//CF 平面ADE ，可得平面//BCF 平面ADE ，从而可得结果；（2）作AO DE ^于点O ，则AO ^平面CDEF ，以平行于DC 的直线为x 轴，DE 所在直线为y 轴，OA 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，设()3,,0,15G t t-＃，利用向量垂直数量积为零列方程组求得平面BEG 的法向量，结合面DEG 的一个法向量为()0,0,1n =，利用空间向量夹角余弦公式列方程解得12t =，从而可得结果.【详解】（1）因为ABCD 是矩形，所以BC ∥AD ， 又因为BC 不包含于平面ADE ， 所以BC ∥平面ADE ，因为DE ∥CF ，CF 不包含于平面ADE ， 所以CF ∥平面ADE ，又因为BC ∩CF ＝C ，所以平面BCF ∥平面ADF ， 而BF ⊂平面BCF ，所以BF ∥平面ADE ．（2）∵CD ⊥AD ，CD ⊥DE∴∠ADE 为二面角A-CD-F 的平面角 ∴∠ADE=60° ∵CD ⊥面ADE\平面CDEF ^平面ADE ，作AO DE ^于点O ，则AO ^平面CDEF ，由2,3AD DE ==，得1,2DO EO ==，以O 为原点，平行于DC 的直线为x 轴，DE 所在直线为y 轴，OA 所在直线为z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则(()()()(),3,1,0,0,1,0,0,2,0,3,5,0A C D E F --，(OB OA AB OA DC =+=+=，设()3,,0,15G t t-＃，则()(3,2,3,0,,BE BG t =--=-，设平面BEG 的法向量为(),,m x y z =，则由00m BEm BG ì?ïí?ïî，得3200x y tyì-+-=ïíï-=î，取23x ty z ì=-ïï=íïï=î， 得平面BEG 的一个法向量为()2m t =-， 又面DEG 的一个法向量为()0,0,1n =，2cos ,4m n m n m n t ×\==，314t\=， 解得12t =或1322t =-（舍去），此时14CG CF =，得1342CG CF ==，即所求线段CF 上的点G 满足32CG =.【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理、空间向量的应用，属于难题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.20.已知椭圆C：22221(0,0)x y a b a b +=>>的离心率为12，点P 在C 上.（1）求椭圆C 的方程；（2）设12,F F 分别为椭圆C 的左右焦点，过2F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A 、B ，求△1F AB 的内切圆的半径的最大值.【答案】（1） 22143x y += ；(2) 最大值为34.【解析】 【分析】 (1) 根据离心率为12，点2在椭圆上，结合性质222a b c =+ ，列出关于a 、b 、c 的方程组，求出a 、b ，即可得结果；（2）可设直线l 的方程为1x my =+，与椭圆方程联立，可得()2234690m ymy ++-=，结合韦达定理、弦长公式，利用三角形面积公式可得1121212F ABS F F y y D =-，换元后利用导数可得1F AB S D 的最大值为3，再结11442F AB S a rr D =?可得结果.【详解】（1）依题意有22222123314c a a b c a b ì=ïïï=+íïï+=ïî，解得21a b c ì=ïï=íï=ïî，故椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）设()()1122,,,A x y B x y ，设1F AB D 的内切圆半径为r ，1F AB D 的周长为121248AF AF BF BF a +++==，11442F AB S a rr D \=?，根据题意知，直线l 的斜率不为零， 可设直线l 的方程为1x my =+，由221431x y x my ìï+=íï=+ïî，得()2234690m y my ++-=， ()()22636340,m m m R D=++>?，由韦达定理得12122269,3434m y y y y m m --+==++，1121221234F ABS F F y y m D \=-==+，令t ，则1t ³，121241313F AB t S t t tD \==++， 令()13f t t t =+，则当1t ³时，()()21'10,3f t f t t=->单调递增，()()141,33F AB f t f S D \??，即当1,0t m ==时，1F AB S D 的最大值为3，此时max 34r =，故当直线l 的方程为1x =时，1F AB D 内切圆半径的最大值为34.【点睛】本题主要考查待定系数求椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系，属于难题. 用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程()222210x y a b a b +=>>或22221x y b a+= ()0a b >>；③找关系：根据已知条件，建立关于a 、b 、c 的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求. 21.已知函数21()(2ln ),x f x a x x a R x-=-+?. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 的有两个零点，求实数a 的取值范围.【答案】(1) 当a≤0，()f x 在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）递减；当104a <<，()f x 在（0，2）和+?）上单调递增，在（2a=14，()f x 在（0，+∞）递增；当a ＞14，()f x 在（02，+2）递减；(2) ()1,081ln2a 骣琪?琪-桫.【解析】 【分析】（1）求出()'f x ，分四种情况讨论a 的范围，在定义域内，分别令()'0f x >求得x 的范围，可得函数()f x增区间，()'0f x <求得x 的范围，可得函数()f x 的减区间；（2）由（1）知当0a <时，()f x 单调递增区间为()0,2，单调递减区间为()2,+?，又()10f a =<，取01max ,5x a 禳镲=-睚镲铪，可证明()()000222000111112l n 0fx a x x ax x x x x =-+-?-?<，()f x 有两个零点等价于()()1222ln 204f a =-+>，得188ln 2a >--，可证明，当14a =时与当0a >且14a ¹时，至多一个零点，综合讨论结果可得结论. 【详解】（1）()f x 的定义域为()0,+?，()()()2332122'1x ax x f x a xx x --骣-琪=-+=琪桫， （i ）当0a £时，210ax -<恒成立，()0,2x Î时，()()'0,f x f x >在()0,2上单调递增； ()2,x ??时，()()'0,f x f x <在()2,+?上单调递减.（ii ）当0a >时，由()'0f x =得，1232,x x x ==-（舍去）， ①当12x x =，即14a =时，()0f x ³恒成立，()f x 在()0,+?上单调递增；②当12x x >，即14a >时，x 骣琪Î琪桫或()2,x ??，()'0f x >恒成立，()f x在(),2,骣琪+?琪桫上单调递增；x 骣Î时，()'0f x <恒成立，()f x在2骣上单调递减.③当12x x <，即104a <<时，x 骣??或()0,2x Î时，()'0f x >恒成立，()f x 在()0,2,骣+?单调递增，x 骣琪Î琪桫时，()'0f x <恒成立，()f x在骣琪琪桫上单调递减. 综上，当0a £时，()f x 单调递增区间为()0,2，单调递减区间为()2,+?；当14a =时，()f x 单调递增区间为()0,+?，无单调递减区间为；当14a >时，()f x单调递增区间为(),2,骣琪+?琪桫，单调递减区间为2骣. （2）由（1）知当0a <时，()f x 单调递增区间为()0,2，单调递减区间为()2,+?，又()10f a =<，取01max ,5x a禳镲=-睚镲铪，令()()1212ln ,f x x x f x x =-=， 则()12'10f x x=->在()2,+?成立，故()12ln f x x x =-单调递增，()()1052ln5122ln51f x ?=+->，()()00022200000111112ln 0f x a x x a x x x x x =-+-?-?<， ()f x \有两个零点等价于()()1222ln 204f a =-+>，得188ln 2a >--， 1088ln 2a \>>--， 当0a =时，()21x f x x-=，只有一个零点，不符合题意；当14a =时，()f x 在()0,+?单调递增，至多只有一个零点，不符合题意；当0a >且14a ¹时，()f x 有两个极值，()()1222ln 20,ln 4f a f a a a 骣=-+>=-， 记()ln g x x x x =-，()()'1ln 1ln g x x x =++-， 令()ln h x x =+，则()32211'22h x x x x =-+当14x >时，()()'0,'h x g x >在1,4骣琪+?琪桫单调递增；当104x <<时，()()'0,'h x g x <在10,4骣琪琪桫单调递减， 故()()1''=22ln 20,4g x g g x 骣琪>->琪桫在()0,+?单调递增，0x ®时，()0g x ®，故ln 0f a a a 骣=->，又()()1222ln 204f a =-+>， 由（1）知，()f x 至多只有一个零点，不符合题意， 综上，实数a 的取值范围为1,088ln 2骣琪-琪-桫.【点睛】本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值、零点等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.（二）选考题：共10分，请在22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C的极坐标方程为2sin r q q +，直线1:()6l p q r =?R ，直线 2:()3l pq r =?R ．以极点O 为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系． （1）求直线1l ，2l 的直角坐标方程以及曲线C 的参数方程；（2）已知直线1l 与曲线C 交于,O A 两点，直线2l 与曲线C 交于,O B 两点，求AOB D 的面积．【答案】（1）1:3l y x = ；2:l y；2,12x cos y sin q qqìïíï=+î 为参数；（2）【解析】【分析】（1）利用极角的定义、直线的倾斜角的定义以及两直线过原点，可得到直线1l 与直线2l 的直角坐标方程；曲线C 的极坐标方程两边同乘以r 利用222,cos ,sin x y x y rr q r q =+== 即可得其直角坐标方程，然后化为参数方程即可；（2）联立62sin p q r q qì=ïïíï=+ïî，得14OA r ==，同理2OB r ==用三角形面积公式可得结果.【详解】（1）依题意，直线1l直角的坐标方程为3y x =， 直线2l直角的坐标方程为y =，由2sin r q q =+得2cos 2sin rq r q =+，222,cos ,x y x sin y r r q r q =+==，(()22214x y r \=-+-=，\曲线C的参数方程为2cos (12x y sin a aaì=ïíï=+î为参数）.（2）联立62sin pq r q qì=ïïíï=+ïî，得14OA r ==，同理2OB r ==6AOBp?，1114222AOB S OA OB sin AOB D \=?创即AOB D的面积为【点睛】本题主要考查极坐标方程化为直角坐标方程与参数方程，属于中档题. 利用关系式cos sin x y r q r qì=ïí=ïî，222tan x y yxr q ì+=ïíï=ïî可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程. 23.选修4－5：不等式选讲已知函数()()13f x x a a R =-?． （1）当2a =时，解不等式()113x f x -+?； （2）设不等式()13x f x x -+?的解集为M ，若11,32M 轾Í犏犏臌，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）{|0x x £或1}x ³；（2）14,23轾-犏犏臌. 【解析】试题分析：（1）分段去绝对值求解即可；（2）不等式的解集包含11,32轾犏犏臌，所以不等式313x x a x -+-?在11,32轾犏犏臌恒成立，可得1x a -?，即11a x a -＃+，所以113{112a a -?+?，求解即可. 试题解析：（1）当2a =时，原不等式可化为3123x x -+-?. ①当13x £时，原不等式可化为3123x x -++-?,解得0x £，此时得不等式的解集为{|0}x x £.② 当123x <<时，原不等式可化为3123x x ++-?,解得1x ³，此时得不等式的解集为{|12}x x ＃.③当2x ³时，原不等式可化为3123x x ---?,解得32x ³，此时得不等式的解集为{|2}x x ³.综上所述，当2a =时，不等式可化为()11133x f x -+?，的解集为{|0x x £或1}x ³. （2）不等式()1131333x f x x x x a x -+［-+-?，因为不等式的解集包含11,32轾犏犏臌，所以不等式313x x a x -+-?在11,32轾犏犏臌，所以不等式313313x x a x x x a x -+-［-+-?，所以可得1x a -?，即11a x a -＃+，所以113{112a a -?+?，解得1423a -＃，求实数a 的取值范围是14,23轾-犏犏臌.。
2019届广州市高三调研测试理科数学试题(含答案)(K12教育文档)
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秘密 ★ 启用前 试卷类型： A2019届广州市高三年级调研测试理科数学2018.12 本试卷共5页，23小题,满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项:1．答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号.2．作答选择题时,选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案,然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}|02M x x =≤<，{}2|230N x x x =--<，则集合M N = A ．{}|02x x ≤< B ．{}|03x x ≤< C ．{}|12x x -<< D ．{}|01x x ≤<2．若复数i1ia z +=-(i 是虚数单位)为纯虚数，则实数a 的值为A ．2-B ．1-C ．1D ．2 3．已知{}n a 为等差数列,其前n 项和为n S ，若336,12a S ==，则公差d 等于A ．1B ．53C ．2D ．34．若点(1,1)P 为圆2260x y x +-=的弦MN 的中点,则弦MN 所在直线方程为A ．230x y +-=B ．210x y -+=C ．230x y +-=D ．210x y --= 5．已知实数ln 22a =，22ln 2b =+，()2ln 2c =，则,,a b c 的大小关系是A ．c b a <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．a c b << 6．下列命题中，真命题的是 A ．00,0x x R e ∃∈≤B ．2,2x x R x ∀∈>C ．0a b +=的充要条件是1ab=- D ．若,x y R ∈，且2x y +>，则,x y 中至少有一个大于17．由()y f x =的图象向左平移3π个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到1sin 36y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，则()f x =A ．31sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭B ．1sin 66x π⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．31sin 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．1sin 63x π⎛⎫+⎪⎝⎭ 8. 已知甲袋中有1个黄球和1个红球，乙袋中有2个黄球和2个红球．现随机地从甲袋中取出1个球放入乙袋中， 再从乙袋中随机取出1个球, 则从乙袋中取出的球是红球的概率为A ．13B ．12C ．59D ．299．已知抛物线()220y px p =>与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>有相同的焦点F ，点A是两曲线的一个交点,且AF x ⊥轴,则双曲线的离心率为A 21B 31C 51D 22+10. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若37S =，663S =,则数列{}n na 的前n 项和为 A ．3(1)2n n -++⨯ B ．3(1)2n n ++⨯ C ．1(1)2n n ++⨯ D ．1(1)2n n +-⨯ 11．如图为一个多面体的三视图,则该多面体的体积为 A ．6 B ．7 C ．223 D ．23312．已知过点(,0)A a 作曲线:x C y x e =⋅的切线有且仅有两条，则实数a 的取值范围是 A ．()(),40+-∞-∞，B ．()0+∞，C ．()(),1+-∞-∞1，D ．(),1-∞-二、填空题：本题共4小题，每小题5分,共20分．13．已知向量,a b 的夹角为45︒，且1,2a b ==，则a b -=____________．14．已知(42340123422x a a x a x a x a x +=++++,则()()2202413a a a a a ++-+= ．15．已知实数x ， y 满足20,350,0,0,x y x y x y -≤⎧⎪-+≥⎪⎨>⎪>⎪⎩则1142x yz ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为____________．16．已知在四面体A BCD -中，1AD DB AC CB ====，则该四面体的体积的最大值为___________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答． （一）必考题:共60分．17．(本小题满分12分)在ABC ∆中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ，c ，且 B A A C B sin sin sin cos cos 222+=-。
广东省广州市2019届高三12月调研测试数学(理)试题
秘密 ★ 启用前 试卷类型： A2019届广州市高三年级调研测试理科数学2018.12 本试卷共5页，23小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}|02M x x =≤<，{}2|230N x x x =--<，则集合MN =A ．{}|02x x ≤<B ．{}|03x x ≤<C ．{}|12x x -<<D ．{}|01x x ≤<2．若复数i1ia z +=-(i 是虚数单位)为纯虚数，则实数a 的值为 A ．2- B ．1- C ．1 D ．2 3．已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若336,12a S ==，则公差d 等于A ．1B ．53 C ．2 D ．3 4．若点(1,1)P 为圆2260x y x +-=的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线方程为A ．230x y +-=B ．210x y -+=C ．230x y +-=D ．210x y --= 5．已知实数ln 22a =，22ln 2b =+，()2ln 2c =，则,,a b c 的大小关系是A ．c b a <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．a c b << 6．下列命题中，真命题的是 A ．00,0x x R e∃∈≤B ．2,2x x R x ∀∈>C ．0a b +=的充要条件是1ab=- D ．若,x y R ∈，且2x y +>，则,x y 中至少有一个大于1 7．由()y f x =的图象向左平移3π个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到1sin 36y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，则()f x = A ．31sin 26x π⎛⎫+⎪⎝⎭ B ．1sin 66x π⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．31sin 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ D ．1sin 63x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭8. 已知甲袋中有1个黄球和1个红球，乙袋中有2个黄球和2个红球．现随机地从甲袋中 取出1个球放入乙袋中, 再从乙袋中随机取出1个球, 则从乙袋中取出的球是红球的概率为 A ．13 B ．12 C ．59 D ．299．已知抛物线()220y px p =>与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>有相同的焦点F ，点A是两曲线的一个交点，且AF x ⊥轴，则双曲线的离心率为A 1B 1C 1+D 2+10. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若37S =，663S =，则数列{}n na 的前n 项和为 A ．3(1)2nn -++⨯ B ．3(1)2nn ++⨯ C ．1(1)2nn ++⨯ D ．1(1)2nn +-⨯11．如图为一个多面体的三视图，则该多面体的体积为 A ．6 B ．7 C ．223 D ．23312．已知过点(,0)A a 作曲线:xC y x e =⋅的切线有且仅有两条， 则实数a 的取值范围是 A ．()(),40+-∞-∞，B ．()0+∞，C ．()(),1+-∞-∞1，D ．(),1-∞-图1：设备改造前样本的频率分布直方图二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量,a b r r 的夹角为45︒，且1,a b ==r r a b -=r r ____________．14．已知(4234012342x a a x a x a x a x +=++++，则()()2202413a a a a a ++-+= ．15．已知实数x , y 满足20,350,0,0,x y x y x y -≤⎧⎪-+≥⎪⎨>⎪>⎪⎩则1142x y z ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为____________．16．已知在四面体A BCD -中，1AD DB AC CB ====，则该四面体的体积的最大值 为___________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答． （一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且B A AC B sin sin sin cos cos 222+=-.（1）求角C 的大小； （2）若6A π=，ABC ∆的面积为34，M 为BC 的中点，求AM ．18．（本小题满分12分）某企业对设备进行升级改造，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在[20,40)内的产品视为合格品，否则为不合格品．图1是设备改造前样本的频率分布直方图，表1是设备改造后样本的频数分布表．FDECBA表1：设备改造后样本的频数分布表（1）请估计该企业在设备改造前的产品质量指标的平均值;（2）企业将不合格品全部销毁后，并对合格品进行等级细分，质量指标值落在[25,30)内的定为一等品，每件售价240元；质量指标值落在[20,25)或[30,35)内的定为二等品，每件售价180元；其它的合格品定为三等品，每件售价120元．根据表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率．现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为X （单位：元），求X 的分布列和数学期望．19. （本小题满分12分）如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为矩形，二面角A CD F --为60︒，DE CF ∥，,2CD DE AD ⊥=，3DE DC ==，6CF =．（1）求证：BF ∥平面ADE ；（2）在线段CF 上求一点G ，使锐二面角B EG D --的余弦值为14．20．（本题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，点P ⎭在C 上．（1）求椭圆C 的方程；（2）设12,F F 分别是椭圆C 的左, 右焦点，过2F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点,A B ，求1F AB ∆的内切圆的半径的最大值．21．（本小题满分12分） 已知函数()()212ln ,x f x a x x a x-=-+∈R . （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围．（二）选考题：共10分. 请考生在第22、23题中任选一题做答, 如果多做, 则按所做的第一题计分.22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程为2sin ρθθ+，直线1:()6l πθρ=∈R ，直线2:()3l πθρ=∈R ．以极点O 为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系．（1）求直线12,l l 的直角坐标方程以及曲线C 的参数方程；（2）若直线1l 与曲线C 交于,O A 两点，直线2l 与曲线C 交于,O B 两点，求AOB ∆的面积．23.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲（1）当2a =时，解不等式()113x f x -+≥； （2）设不等式()13x f x x -+≤的解集为M ，若11,32M ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦，求实数a 的取值范围．2019届广州市高三年级调研测试 理科数学试题参考答案及评分标准评分说明:1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题不给中间分．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．1 14．16 15．116 16三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．解：(1) 由B A A C B sin sin sin cos cos 222+=-，得B A A B C sin sin sin sin sin 222+=-． ……………………………………………2分 由正弦定理，得ab a b c +=-222，即ab c b a -=-+222， …………………………3分所以2122cos 222-=-=-+=ab ab ab c b a C ． ………………………………………………5分因为0C π<<，所以23C π=． ……………………………………………………6分 (2) 因为6A π=，所以6B π=． ……………………………………………………7分所以ABC ∆为等腰三角形，且顶角23C π=． 因为3443sin 212===∆a C ab S ABC ， ………………………………………………8分 所以4=a ． ………………………………………………………………9分 在MAC ∆中，24,2,3AC CM C π===， 所以22212cos 164224282AM AC CM AC CM C =+-⋅⋅=++⨯⨯⨯=． ………11分 解得72=AM ．…………………………………………………………………………12分 18．解：（1）根据图1可知，设备改造前样本的频数分布表如下417.51622.54027.51232.51837.51042.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 100 2.541516204025123018351040=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯3020=． ……………………………………………………………………………1分样本的质量指标平均值为302030.2100=． ……………………………………………2分 根据样本质量指标平均值估计总体质量指标平均值为30.2． ………………………3分 （2）根据样本频率分布估计总体分布，样本中一、二、三等品的频率分别为12，13，16， 故从所有产品中随机抽一件，是一、二、三等品的概率分别为12，13，16． …………4分 随机变量X 的取值为：240，300，360，420，480．………………………………………5分111(240)6636P X ==⨯=， 12111(300)369P X C ==⨯⨯=，1211115(360)263318P X C ==⨯⨯+⨯=， 12111(420)233P X C ==⨯⨯=，111(480)224P X ==⨯=，…………………………………………………………………10分所以随机变量X 的分布列为：…………………………………………………………………11分所以11511()2403003604204804003691834E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．………………12分 19．解：（1）因为四边形ABCD 为矩形，所以BC AD ∥.因为AD ⊂平面ADE ，BC ⊄平面ADE ，所以BC ∥平面ADE ． ………………………………………………………………1分 同理CF ∥平面ADE ． ……………………………………………………………2分 又因为BCCF C =，所以平面BCF ∥平面ADE ． …………………………3分因为BF ⊂平面BCF ，所以BF ∥平面ADE ． …………………………………4分 （2）法一：因为,CD AD CD DE ⊥⊥，所以ADE ∠是二面角A CD F --的平面角，即60ADE ∠=︒． ………………5分 因为ADDE D =，所以CD ⊥平面ADE .因为CD ⊂平面CDEF , 所以平面CDEF ⊥平面ADE .作AO DE ⊥于点O ，则AO ⊥平面CDEF . ………………6分 由2,3AD DE ==, 得1DO =，2EO =．以O 为原点，平行于DC 的直线为x 轴，DE 所在直线为y 轴，OA 所在直线为z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则OMHABCEDFG(()(),3,1,0,0,1,0,(0,2,0),(3,5,0)A C D E F --，(OB OA AB OA DC =+=+=，……7分设()30G t ，，，15t -≤≤，则()32BE =-，，，()0BG t =，， 设平面BEG 的法向量为() x y z =，，m ，则由0,0,m BE m BG ⎧=⎨=⎩得320,0,x y ty ⎧-+-=⎪⎨=⎪⎩，取2,3,,x t y z ⎧=-⎪=⎨⎪=⎩得平面BEG的一个法向量为()2t =-m ， ……………………………8分 又平面DEG 的一个法向量为(0,0,1)=n ， ……………………………………9分所以cos ⋅<==，m n m n >m n…………………………10分14，解得12t =或1322t =-（舍去）， ……………………………………………11分 此时14CG CF =，得1342CG CF ==.即所求线段CF 上的点G 满足32CG =．…………………………………………12分 法二：作BO CF ⊥于点O ，作OH EG ⊥的延长线于点H ，连结BH ．因为,,CD BC CD CF BCCF C ⊥⊥=，所以CD ⊥平面BCF ， ……………………………………………………………5分BCF ∠为二面角A CD F --的平面角，60BCF ∠=︒． ……………………6分所以CD BO ⊥． 因为CDCF C =，所以BO ⊥平面CDF ，BO EH ⊥．…7分 因为,OH EH OHBO O ⊥=，所以EH ⊥平面BOH ．……8分所以EH BH ⊥，BHO ∠为二面角B EG D --的平面角． ……………………9分 在Rt BCO ∆中，2,60BC BCO =∠=︒，所以1BO CO ==． 又因为1cos 4BHO ∠=，所以tan BO BHO OH ∠==OH =．…………10分 作EM CF ⊥于M ，则OGH EGM ∆∆，3,3EM CD CM DE ====，设OG x =，则OH EM OG EG =，即5x =， …………………11分 解得12x =，即所求线段CF 上的点G 满足32CG =． ………………………12分 20．解：（1）依题意有222221,2,331,4c a a b c a b⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪+=⎪⎩解得2,1.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩ ………………………………3分故椭圆C 的方程为22143x y +=． ………………………………………………………4分 （2）设()1122(,),,A x y B x y ，设1F AB ∆的内切圆半径为r ， 1F AB ∆的周长为121248AF AF BF BF a +++==，所以11442F AB S a r r ∆=⨯⋅=．……………………………………………………………5分 解法一：根据题意知，直线l 的斜率不为零，可设直线l 的方程为1x my =+，………………6分 由221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得22(34)690m y my ++-=………………………………………7分 ()22(6)36340m m ∆=++>，m R ∈，由韦达定理得12122269,3434m y y y y m m --+==++，……………………………………8分112121221234F ABS F F y y y ym∆∴=-=-==+，………10分令t=1t≥，121241313F ABtSt tt∆∴==++．令1()3f t tt=+，则当1t≥时，21'()103f tt=->，()f t单调递增，4()(1)3f t f∴≥=，13F ABS∆≤，……………………………………………………11分即当1,0t m==时，1F ABS∆的最大值为3，此时max34r=．故当直线l的方程为1x=时，1F AB∆内切圆半径的最大值为34．………………12分解法二：当直线l x⊥轴时，331,,1,,22A B⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭112132F ABS F F AB∆==. .……………………6分当直线l不垂直于x轴时，设直线l的方程为(1)y k x=-，由22143(1)x yy k x⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得2222(43)84120k x k x k+-+-=. …………………………………7分()()()22222(8)44341214410k k k k∆=-+-=+>，由韦达定理得221212228412,4343k kx x x xk k-+==++，………………………………………8分1121212121()2F ABS F F y y y y k x x∆∴=-=-=-==……………………………10分令243t k=+，则3t≥，113t<≤,1F AB S ∆∴====3<=. 综上，当直线l 的方程为1x =时，1F AB S ∆的最大值为3，1F AB ∆内切圆半径的最大值为34． ……………………………12分21．解：(1) ()f x 的定义域为()0,+∞，()233(2)122()1x ax x f x a x x x ---⎛⎫'=-+= ⎪⎝⎭. ………………………………………1分 (i)当0a ≤时，210ax -<恒成立，()0,2x ∈时，'()0f x >，()f x 在()0,2上单调递增；()2,x ∈+∞时，'()0f x <，()f x 在()2,+∞上单调递减； ……………………2分 (ii) 当0a >时，由()0f x'=得，1232,x x x ===（舍去）， ①当12x x =，即14a =时，()0f x '≥恒成立，()f x 在(0,)+∞上单调递增；……3分 ②当12x x >，即14a>时， x ⎛∈ ⎝或()2,x ∈+∞时，()0f x '>恒成立，()f x 在⎛ ⎝，()2,+∞单调递增；x ⎫∈⎪⎭时，()0f x '<恒成立，()f x 在⎫⎪⎭上单调递减；……………4分 ③当12x x <即104a <<时， x ⎫∈+∞⎪⎭或()0,2x ∈时，()0f x '>恒成立，()f x 在(0,2),⎫+∞⎪⎭单调递增； x ⎛∈ ⎝时，()0f x '<恒成立，()f x 在⎛ ⎝上单调递减；……………5分综上，当0a ≤时，()f x 单调递增区间为()0,2，单调递减区间为()2,+∞； 当14a =时，()f x 单调递增区间为()0,+∞，无单调递减区间； 当14a >时，()f x单调递增区间为⎛ ⎝，()2,+∞，单调递减区间为⎫⎪⎭； 当104a <<时，()f x单调递增区间为(0,2),⎫+∞⎪⎭，单调递减区间为⎛ ⎝． …………………………………………………6分(2)由(1)知，当0a <时，()f x 单调递增区间为(0,2)，单调递减区间为(2,)+∞，又因为()10f a =<， …………………………………7分 取01max{,5}x a =-，令1()2ln f x x x =-，21()f x x =，则12'()10f x x=-> 在(2,)+∞成立，故1()2ln f x x x =-单调递增，10()52ln 512(2ln 5)1f x ≥-=+->， 0002220000011111()(2ln )0f x a x x a x x x x x =-+-≤+-≤-<， （注：此处若写“当x →+∞时，()f x →-∞”也给分）所以()f x 有两个零点等价于1(2)(22ln 2)04f a =-+>，得188ln 2a >--， 所以1088ln 2a >>--．……………………………………………………………8分 当0a =时，21()x f x x-=，只有一个零点，不符合题意； 当14a =时，()f x 在(0,)+∞单调递增，至多只有一个零点，不符合题意；………9分 当0a >且14a ≠时，()f x 有两个极值， 1(2)(22ln 2)04f a =-+>，ln f a a a =-，记()ln g x x x x =-， …………………………………10分'()(1ln )1ln g x x x =++-=+，令()ln h x x =+，则()3221122h x x x x '=-+=. 当14x >时，()0h x '>，'()g x 在1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增； 当104x <<时，()0h x '<，'()g x 在10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减． 故1()22ln 204g x g ⎛⎫''>=-> ⎪⎝⎭，()g x 在(0,)+∞单调递增．0x →时，()0g x →，故ln 0f a a a =->．……………………11分 又1(2)(22ln 2)04f a =-+>，由(1)知，()f x 至多只有一个零点，不符合题意． 综上，实数a 的取值范围为1,088ln 2⎛⎫- ⎪-⎝⎭. ……………………………………12分（二）选考题：共10分．请在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．解：(1) 依题意，直线1l的直角坐标方程为y x =，2l的直角坐标方程为y =． …………………………………………………2分由2sin ρθθ+得2cos 2sin ρθρθ+，因为222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==，………………………………………3分所以22((1)4x y +-=，………………………………………………………4分 所以曲线C的参数方程为2cos 12sin x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩（α为参数）． ……………………5分（2）联立62sin πθρθθ⎧=⎪⎨⎪+⎩得14OA ρ==， ……………………………6分同理，2OB ρ==分 又6AOB π∠=， ………………………………………………………………………8分所以111sin 4222AOB S OA OB AOB ∆=∠=⨯⨯= …………………9分 即AOB ∆的面积为 ……………………………………………………………10分23．解：（1）当2a =时，原不等式可化为3123x x -+-≥， ……………………1分 ①当13x ≤时，1323x x -+-≥，解得0x ≤，所以0x ≤； …………………………2分 ②当123x <<时，3123x x -+-≥，解得1x ≥，所以12x ≤<； …………………3分 ③当2x ≥时，3123x x -+-≥，解得32x ≥，所以2x ≥． …………………………4分 综上所述，当2a =时，不等式的解集为{}|01x x x ≤≥或． …………………………5分（2）不等式()13x f x x -+≤可化为313x x a x -+-≤， 依题意不等式313x x a x -+-≤在11,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立， ……………………………6分 所以313x x a x -+-≤，即1x a -≤，即11a x a -≤≤+，…………………………8分 所以113112a a ⎧-≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，解得1423a -≤≤， 故所求实数a 的取值范围是14,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． ………………………………10分。
精品解析：【市级联考】广东省广州市2019届高三年级第一学期调研考试(一模)理科数学试题(原卷版)
2019届广州市高三年级调研测试理科数学本试卷共5页，23小题，满分150分，考试用时120分钟 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
1.设集合M=2{|02},{|230},x x N x x x ?=--<则集合M N Ç=（ ）A. {|02}x x ?B. {|03}x x ?C. {|12}x x -<<D. {|01}x x ?2.若复数(1a iz i i+=-是虚数单位）为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 23.已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若36a =，312S =，则公差d 等于（ ）． A. 1 B.53C. 2D.3 4.若点(1,1)P 为圆2260x y x +-=的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线的方程为( ) A. 230x y +-= B. 210x y -+= C. 230x y +-= D. 210x y --= 5.已知实数ln 222,22ln 2,(ln 2)a b c ==+=，则,,a b c 的大小关系是 A. c b a << B. c a b << C. b a c << D. a c b << 6.下列命题中，真命题的是（ ） A. 00,0x x R e $危B. 2,2xx R x "?C. 0a b +=的充要条件是1ab=- D. 若,x y R Î，且2x y +>，则,x y 中至少有一个大于1 7.由()y f x =的图象向左平移3p个单位，再把图象上所有点横坐标伸长到原来的2倍得到sin 36y x p骣琪=-琪桫的图象，则()f x =（ ）A. 3sin 26x p 骣琪+琪桫 B. sin 66x p 骣琪-琪桫 C. 3sin 23x p骣琪+琪桫D. sin 63x p 骣琪+琪桫 8. 已知甲袋中有1个黄球和2个红球，乙袋中有2个黄球和2个红球，现随机地从甲袋中取出两个球放入乙袋中，然后从乙袋中随机取出1个球，则从乙袋中取出红球的概率为（ ） A.13 B. 12 C. 59 D. 299.已知抛物线22(0)y px p =>为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为（ ） A.21 B. 31 C. 51 D. 2210.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若367,63S S ==，则数列{}n na 的前n 项和为（ ） A. 3(1)2n n -++? B. 3(1)2n n ++? C. 1(1)2n n ++? D. 1(1)2n n +-?11.如图为一个多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）A.203 B. 7 C. 223 D. 23312.已知过点(,0)A a 作曲线:x C y x e =?的切线有且仅有两条，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()(--4)0+ト?，，B. ()0+¥， C. ()(--1)1+ト?，， D. ()--1¥， 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量,a b 的夹角为45°，且1,2a b ==，则a b -=__________14.已知423401234(23)x a a x a x a x a x +=++++，则2202413()()a a a a a ++-+=__________．15.已知实数,x y 满足203500x y x y x y ì-?ïï-+?ïí>ïï>ïî，则11()()42x y z =的最小值为__________．16.在四面体P ABC -中，1PA PB PC BC ====，则该四面体体积的最大值为________．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-23题为选考题，考生根据要求作答.17.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222cos cos sin sin sin B C A A B -=+. （1）求角C 的大小； （2）若A=6p ，△ABC的面积为3M 为BC 的中点，求AM. 18.某企业对设备进行升级改造，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项指标值落在[20,40)内的产品视为合格品，否则为不合格品，图1是设备改造前样本的频率分布直方图，表1是设备改造后的频数分布表.表1，设备改造后样本的频数分布表: 质量指标值 [)15,20[)20,25[)25,30[)30,35[)35,40[)40,45频数 2184814162（1）请估计该企业在设备改造前的产品质量指标的平均数；（2）企业将不合格品全部销毁后，并对合格品进行等级细分，质量指标值落在[25，30)内的定为一等品，每件售价240元，质量指标值落在[20，25)或[30，35)内的定为二等品，每件售价180元，其它的合格品定为三等品，每件售价120元.根据表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率，现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为X （单位：元），求X 得分布列和数学期望.19.如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为矩形，二面角A-CD-F 为60°，DE ∥CF ，CD ⊥DE ，AD=2，DE=DC=3，CF=6.（1）求证：BF ∥平面ADE ；（2）在线段CF 上求一点G ，使锐二面角B-EG-D 的余弦值为14.20.已知椭圆C ：22221(0,0)x y a b a b +=>>的离心率为12，点P 3(3,在C 上.（1）求椭圆C 的方程；（2）设12,F F 分别为椭圆C 的左右焦点，过2F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A 、B ，求△1F AB 的内切圆的半径的最大值.21.已知函数21()(2ln ),x f x a x x a R x-=-+?. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 的有两个零点，求实数a 的取值范围.（二）选考题：共10分，请在22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.已知曲线C 的极坐标方程为3cos 2sin r q q =+，直线()1:6l R p q r =?，直线()2:3l R pq r =?，设极点O 为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系. （1）求直线12,l l 的直角坐标系方程以及曲线C 的参数方程；（2）若直线1l 与曲线C 交于O 、A 两点，直线2l 与曲线C 交于O 、B 两点，求△AOB 的面积. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()()13f x x a a R =-?. （1）当2a =时，解不等式()113x f x -+?；（2）设不等式()13x f x x -+?的解集为M ，若11[,]32M Í，求实数a 的取值范围．。
2019届广东省广州市高三上学期调研考试(零模)理科数学试题
以 O 为原点，平行于 DC 的直线为 x 轴， DE 所在直线为 y 轴， OA 所在直线为 z 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系 O - xyz ，
2019 届广州市高三年级调研测试 理科数学
本试卷共 5 页，23 小题，满分 150 分，考试用时 120 分钟 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。
1.设集合 M={x | 0 £ x < 2}, N = {x | x 2 - 2x - 3 < 0}, 则集合 M Ç N =（ ）
{ } 3.已知 an 为等差数列，其前 n 项和为 Sn ，若 a3 = 6 ， S3 = 12 ，则公差 d 等于（ ）．
A. 1
B. 5 3
C. 2
D. 3
【答案】C
4.若点 P(1,1) 为圆 x2 + y2 - 6x = 0 的弦 MN 的中点，则弦 MN 所在直线的方程为(
)
A. 2x + y - 3 = 0 B. x - 2 y +1 = 0 C. x + 2 y - 3 = 0 D. 2x - y -1 = 0
3
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理，结合同角三角函数的关系化简已知的等式，得到三边的关系式，再利用余弦定理表示
( ) 出 cosC 的值，可求角 C 的大小；（2）求得 B = p -
A+C
p = = A ， DABC 为等腰三角形，由三角形面
6
积公式可求出 CB、CM 的值，再利用余弦定理可得出 AM 的值.
2019届广州市高三调研测试理科数学(解析版)
1
1
切线，故 t 1，所以 a t t
t 1 (t 1) 2 ，
t 1
t 1
t 1
t 1
1
4
作出函数 y (t 1) 2 的图象如图所示，由图可知，
t 1
2
1 当 a 0 或 a 4 时，直线 y a 与函数 y (t 1) 2 的图象
t 1
5
5
有两个交点．
2
4
2ab
2ab 2
2 因为 0 C ，所以 C ． ……………………………………………………6 分
3
(2) 因为 A ，所以 B ．
6
6
……………………………………………………7 分
2 所以△ABC 为等腰三角形，且顶角 C ．
3
1 因为 S△ABC 2 ab sin C
3 a2 4 4
4
(a0 a2 a4 )2 (a1 a3 )2 (a0 a1 a2 a3 a4 )(a0 a1 a2 a3 a4 ) (2 2)(2 2) 24 16 ．
数学(理科)试题 A 第 4 页 共 16 页
2x y ≤ 0,
x 3y 5≥ 0,
x
y
1 1
15．已知实数 x , y 满足 x 0,
6
8
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．已知向量 a, b 的夹角为 45 ，且 a 1, b 2 ，则 a b ____________．
13．答案：1
2
解析： a b
a b
2
a
2
2 2a b b
a
2
2
a
b
cos 45
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秘密 ★ 启用前 试卷类型： A
2019届广州市高三年级调研测试
理科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合{}|02M x x =≤<，{}
2|230N x x x =--<，则集合M N I =
A ．{}|02x x ≤<
B ．{}|03x x ≤<
C ．{}|12x x -<<
D ．{}|01x x ≤<
2．若复数i
1i
a z +=
-(i 是虚数单位)为纯虚数，则实数a 的值为 A ．2- B ．1- C ．1 D ．2 3．已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若336,12a S ==，则公差d 等于
A ．1
B ．
5
3
C ．2
D ．3 4．若点(1,1)P 为圆2
2
60x y x +-=的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线方程为
A ．230x y +-=
B ．210x y -+=
C ．230x y +-=
D ．210x y --=
5．已知实数ln 2
2
a =，22ln 2
b =+，()2
ln 2c =，则,,a b c 的大小关系是
A ．c b a <<
B ．c a b <<
C ．b a c <<
D ．a c b <<
6．下列命题中，真命题的是
A ．0
0,0x x R e
∃∈≤ B ．2,2x x R x ∀∈>
C ．0a b +=的充要条件是
1a
b
=- D ．若,x y R ∈，且2x y +>，则,x y 中至少有一个大于1 7．由()y f x =的图象向左平移
3
π
个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到
1sin 36y x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的图象，则()f x =
A ．31sin 26x π⎛⎫+
⎪⎝⎭ B ．1sin 66x π⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．31sin 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ D ．1sin 63x π⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭
8. 已知甲袋中有1个黄球和1个红球，乙袋中有2个黄球和2个红球．现随机地从甲袋中
取出1个球放入乙袋中, 再从乙袋中随机取出1个球, 则从乙袋中取出的球是红球的概率为
A ．
13 B ．12 C ．59 D ．2
9
9．已知抛物线()2
20y px p =>与双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>有相同的焦点F ，点A
是两曲线的一个交点，且AF x ⊥轴，则双曲线的离心率为
A 21
B 31+
C 51
D 22
10. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若37S =，663S =，则数列{}n na 的前n 项和为
A ．3(1)2n
n -++⨯ B ．3(1)2n
n ++⨯ C ．1(1)2n
n ++⨯ D ．1(1)2n
n +-⨯
11．如图为一个多面体的三视图，则该多面体的体积为
A ．6
B ．7
C ．
223 D ．233
12．已知过点(,0)A a 作曲线:x
C y x e =⋅的切线有且仅有两条，则实数a 的取值范围是 A ．()(),40+-∞-∞U ， B ．()0+∞， C ．()(),1+-∞-∞U 1，
D ．(),1-∞-
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知向量,a b r r 的夹角为45︒
，且1,2a b ==r r a b -=r r ____________．
14．已知(4
2340123422
x a a x a x a x a x +=++++，则()()22
02413a a a a a ++-+= ．
15．已知实数x , y 满足20,
350,0,0,
x y x y x y -≤⎧⎪-+≥⎪⎨>⎪>⎪⎩ 则1142x y
z ⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为____________．
16．已知在四面体A BCD -中，1AD DB AC CB ====，则该四面体的体积的最大值
为___________．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必
须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答．
（一）必考题：共60分．
17．（本小题满分12分）
在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且B A A C B sin sin sin cos cos 2
2
2
+=-.
（1）求角C 的大小；
（2）若6
A π
=
，ABC ∆的面积为34，M 为BC 的中点，求AM ．
图1：设备改造前样本的频率分布直方图
18．（本小题满分12分）
某企业对设备进行升级改造，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在[20,40)内的产品视为合格品，否则为不合格品．图1是设备改造前样本的频率分布直方图，表1是设备改造后样本的频数分布表．
表1：设备改造后样本的频数分布表
质量指标值[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)[40,45)
频数 2 18 48 14 16 2
（2）企业将不合格品全部销毁后，并对合格品进行等级细分，质量指标值落在[25,30)内的定为一等品，每件售价240元；质量指标值落在[20,25)或[30,35)内的定为二等品，每件售价180元；其它的合格品定为三等品，每件售价120元．根据表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率．现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为X（单位：元），求X的分布。