几何中的最值问题专题复习PPT课件
合集下载
公开课解三角形中的最值及取值范围问题(一)ppt课件
16 b2 c2 2bc cos
6 整理得16 b2 c2 3 bc
2
对称：b c，bc, b2 c2 非对称： 3b c,2b 3c
例5.(2014陕西理科）在ABC中，角A, B,C的对边分别为a,b, c. （1）若a,b, c成等差数列，证明：sin A sin C 2sin(A C)
正弦边化角： a 2Rsin A,b 2Rsin B, c 2R sin C
（2）余弦定理： c2=a2+b2-2abcosC
余弦定理推论 cos A b2 c2 a2 , 2bc
cos B a2 c2 b2 , cosC a2 b2 c2 ,
2ac
2ab
3
（3）重要不等式：a2 b2 2ab (4)基本不等式：a b a（ b a 0,b 0) 2 (5)变形：ab ( a b )2 2 当且仅当a b时，等号成立。
1.利用余弦定理及基本不 等式建立不等关系。 2.标明取等条件。
注：1.正弦定理化为三角函数为通法。 2.所求式为边的对称式：bc或b c或b2 c2 一般用余弦定理 不等式； 非对称式: 如 3b c,2b 3c, 一般用正弦定理 三角函数。
思考题：在锐角ABC中，角A, B,C的对边分别为a,b, c. 已知：3b 2a sin B, （1）求角A的大小； (2)若a 2,求b c的取值范围。
6
)
1 2
,1
2 3 sin(C ) 3,2 3
6
b c的取值范围为 3,2 3
例4.(2018 湖北八校联考）在 ABC中，角A, B,C的对边分别为 a,b, c
(2)若a 3, A ,求b c的取值范围。
3
解：余弦定理 a2 b2 c2 2bc cos A得，3 b2 c2 2bc cos
2024年中考数学一轮复习专题四++几何最值问题+课件
返回类型清单
5.如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx-4与x轴交于A,B两点(B
在A的右侧),与y轴交于点C,已知OA=1,OB=4OA,连接BC.
专题四 几何最值问题— 两点之间线段最短问题
(1)求抛物线的解析式;
由OA=1,得A(-1,0).∵OB=4OA=4.∴B(4,0).
∵NM⊥BC,∴∠NMC=90°,
∴∠CNM=90°-∠NCM=90°-∠OCB=45°,
∴△NCM为等腰直角三角形,
返回类型清单
专题四 几何最值问题— 两点之间线段最短问题
∴NM=NC·sin 45°=
NC,∴AN+ CN=AN+NM≥AH,
当A,N,M三点共线时,AN+NM最小值=AH,
返回类型清单
3.(2022·唐山迁安二模)如图,AB是半圆形量角器的直径,点O为半圆的圆
心,DA与半圆O相切于点A,点P在半圆上,且点P对应的示数为120°(60°),
点C是上一点(不与点P重合).连接DO交半圆O于点E,点E对应的示数为
60°(120°).
专题四 几何最值问题— 两点之间线段最短问题
=75°,
°−∠
∠AED=∠ADE=
=75°,
∴∠HBE=∠HEB=180°-60°-75°=45°,
∴HE=HB,∠H=90°,
∵∠ABD=∠ADB=45°,
返回类型清单
专题四 几何最值问题— 两点之间线段最短问题
返回类型清单
∴∠BDH=∠ADE-∠ADB=30°,
∵BD= + = + =6 ,
人教版数学九年级上册22.3实际问题与二次函数(几何面积最值问题)课件
解：(1)设矩形一边长为x，则另一边长为（6-x), S=x(6-x)=-x2+6x,其中0＜x<6.
(2)请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并 求出这个费用.
解：(2)S=-x2+6x=-(x-3)2+9; 当x=3时，即矩形的一边长为3m时，矩形 面积最大，为9m2.
这时设计费最多，为9×1000=9000（元）
.
b 2a
时，二次函数有最小
考点探究 利用二次函数求几何图形的面积的最值
例1 用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面 积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少时，场 地的面积S最大？
问题1 矩形面积公式是什么？ 问题2 如何用l表示另一边？ 问题3 面积S的函数关系式是什么？
用总长为60m的篱笆围城一个矩形场地，矩形面积S随矩 形一边长l的变化而变化.当l是多少米时，场地的面积S最大？
4
1 2
x(1
x
)
2
x
1 2
2
1 2
(0
x 1)
当x 12时, y有最小值12.
即当E位于AB中点时，正方形EFGH面积最小.
4. 某小区在一块一边靠墙(墙长25m)的空地上修建一个矩形
绿化带ABCD，绿化带一边靠墙， 另三边用总长为40m的栅
栏围住．设绿化带的边长BC为xm，绿化带的面积为ym²．
解： 矩形场地的周长是60m,一边长为lm,
所以另一边长为（60 l）m.
l
场地的面积
2
S=l(30-l)
S
即S=-l2+30l (0<l<30)
因此，当
l
b 2a
30 2 (ห้องสมุดไป่ตู้)
(2)请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并 求出这个费用.
解：(2)S=-x2+6x=-(x-3)2+9; 当x=3时，即矩形的一边长为3m时，矩形 面积最大，为9m2.
这时设计费最多，为9×1000=9000（元）
.
b 2a
时，二次函数有最小
考点探究 利用二次函数求几何图形的面积的最值
例1 用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面 积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少时，场 地的面积S最大？
问题1 矩形面积公式是什么？ 问题2 如何用l表示另一边？ 问题3 面积S的函数关系式是什么？
用总长为60m的篱笆围城一个矩形场地，矩形面积S随矩 形一边长l的变化而变化.当l是多少米时，场地的面积S最大？
4
1 2
x(1
x
)
2
x
1 2
2
1 2
(0
x 1)
当x 12时, y有最小值12.
即当E位于AB中点时，正方形EFGH面积最小.
4. 某小区在一块一边靠墙(墙长25m)的空地上修建一个矩形
绿化带ABCD，绿化带一边靠墙， 另三边用总长为40m的栅
栏围住．设绿化带的边长BC为xm，绿化带的面积为ym²．
解： 矩形场地的周长是60m,一边长为lm,
所以另一边长为（60 l）m.
l
场地的面积
2
S=l(30-l)
S
即S=-l2+30l (0<l<30)
因此，当
l
b 2a
30 2 (ห้องสมุดไป่ตู้)
二次函数中几何图形周长的最值问题题型及解法演示文稿(实用资料)ppt
作E点关于X轴的对称点对称点E’ 链接CM与BD的交点就是我们做要求的H点的位置 一个动点在抛物线上求三角形周长的最大值
例:（2）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2﹣2x+3与轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．
作若若A点不点P存在关在点于，Q直请左线2说边O明.，M理的当根由对矩；称形据点对称我点A市1 现目前考试题型来看，该部分是个重点，也是个难点，
过D点做DN//y轴,设BD与AC相交于点K
根据直线BD与AC易求出 K（-1， 8）， N（-1， 2） 33
NK
所以，
352 C △ PM Q P Q PM Q M 3 PQ
2. 四边形周长最大值转化为线段最大值
例2：（3）如图，抛物线 y=-x2-2x+3的图象与x轴交于A、B两点
（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点.
再加上思路不清晰，会花大量的时间思考，所以这部分学生就选 线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过
根据历年重庆中考试卷分析来看，目前二次函数中几何图形周长的最值问题是必考部分，主要是考查学生点在抛物线上求几何图形的周长最大值的能力，以及点在直线上求几何图 形的周长的最小值的能力（“将军饮马”模型的应用能力）。
二次函数中几何图形周长的最值问题题型及解法演示文稿
目录
一． 二次函数中几何图形周长的最值问题考法分析以及学生对该题 的态度
二． 基本题型及解法 1 一个动点在抛物线上求三角形周长的最大值
含有45°角的直角三角形周长最大值的求法 含有30°（或60°）角的直角三角形周长最大值的求法 任意角的直角三角形周长最大值的求法
原理：两点之间线段最短.
河
中考数学《二次函数-几何最值问题》课件
两
动
l1
l2
两
M B
平
N A
行
l1
l2
B M N
A
A1
线 逆向 对称 顺向 连接
一、透过“前世”知本源
【造桥选址问题】如图，A、B两地在一条河的两岸，现要在河上造一 座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（取定河的两岸 是平行的直线，桥要与河岸垂直）
知本源 【模型2】
造
类型1：直线l1， l2且l1∥l2 ,点A，B分别在直线l1、
两
动
l1
l2
l1
l2
两
平
A
行
B
N M
B
N M A
线
顺向 连接
知本源 【模型1】
两
类型3：如图已知直线l1 ， l2及两点A ，B，在直线l 2 上作一点N，在l1上作点M.
定 （2）点A ，B在两直线两外侧 使AN+NM+MB最小
两
动
l1
l2
l1
l2
两 平 行
M A
B N
B1 M
A
B N
A1
线
逆向 对称
一、透过“前世”知本源
（2014•重庆中考B卷）如图，已知抛物线 y= -x2 +2x+3 与x轴交于A、B两点（点A在
点B的左边），与y轴交于点C，连接BC．
（1）求A、B、C三点的坐标； （2）若点P为线段BC上的一点（不与B、C 重合），PM∥y轴，且PM交抛物线于点M， 交x轴于点N，当△BCM的面积最大时，求 △BPN的周长； （3）在（2）的条件下，当BCM的面积最 大时，在抛物线的对称轴上存在点Q，使得 △CNQ为直角三角形，求点Q的坐标．
二次函数中的几何最值问题(共10张PPT)
(1, 4)
（2）有一条固定线段（固定线段两端点为动点）
2个原理，2种手段，1种思想
利用作“平移”将其转化为一条线段求之。 （2）如图，M为y轴上一动点， 求BM+DM最小值.
(0, 3)
Байду номын сангаас
(2, 3)
（1）求三条线段之和最短；
（3）如图，M为 y轴上一动点， N为抛物线对称轴上一动点，
（3）如图，M为 y轴上一动点， N为抛物线对称轴上一动点，
二次函数中的几何最值问题
1. 在学过的几何中，有哪些与线段最值相关的定理？
1. 所有两点的连线中，线段最短。
2. 直线外一点与直线上各点连接的线段中，垂线段最短。
2. 如图，已知线段AB，点C 为平面内任一点，比较大小
AC+BC
AB
若求两条（或多条）线
段之和最短时，常将其
A
B
转化为一条线段求之。
3. 求几何最值有哪些常见方法呢？
如图，已知线段AB，点C 为平面内任一点，比较大小
（4）如图，M为 x 轴上一动点， 求
的最小值.
（1）求三条线段之和最短；
求几何最值有哪些常见方法呢？
对称 + 垂线
利用作“对称”将其转化为一条线段求之。
Q 变式：如图，M为 y 轴上一动点， N为抛物线对称轴上一动点，
C M AC+BC
AB
解决方法：
对称 + 垂线
2
（1）两点之间，线段最短；（2）垂线段最短。
2
（1）轴对称； （2）平移。
转化的思想
M
解决方法：
Q
构造角 + 垂线
利用作“平移”将其转化为一条线段求之。
课件解三角形中的最值及取值范围
边的取值范围
总结词
边的取值范围受到角度的取值范围以及三角形的性质影响。
详细描述
在任何三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。因此，边的取值范围受到角度的取值范 围以及三角形的形状的影响。对于直角三角形，斜边是最长边，其长度大于其他两边之和。对于钝角三角形，最 长边大于其他两边之和，但不能超过其他两边之和的两倍。
引入其他数学工具
为了更深入地研究三角形最值及取值范围问题，可以考虑引入其他数学工具，如微积分、 线性代数等，以期取得更多突破性成果。
拓展应用领域
除航海、航空、地理测量等领域外，三角形最值及取值范围还可以应用于其他领域，如建 筑设计、机械制造等。未来可以加强与其他学科的合作，拓展其应用领域。
THANKS
03
三角形中的取值范围问题
角度的取值范围
总结词
角度的取值范围是三角形中一个重要的问题，它受到三角形内角和为180度以及三角形的形状限制。
详细描述
在任何三角形中，三个内角的和总是等于180度。因此，每个角的取值范围是0度到180度。对于直角 三角形，一个角是90度，其他两个角的角度和为90度，所以每个角的角度范围是0度到90度。对于钝 角三角形，最大的角度大于90度，但不能超过180度。
高的取值范围
总结词
高的取值范围受到角度的取值范围以及 三角形的形状影响。
VS
详细描述
在任何三角形中，高是从顶点垂直到对边 的线段。因此，高的取值范围受到角度的 取值范围以及三角形的形状的影响。对于 锐角三角形，所有的高都大于零。对于直 角三角形，斜边上的高等于另一条直角边 。对于钝角三角形，有两条高在三角形内 部，另一条高在三角形外部。
感谢观看
04
《求几何面积的最值问题》PPT课件
4a
知1－讲
1．二次函数在自变量x取任意实数时的最值情况：
当a>0时，函数在 x b 处取得最小值 4ac b2 ，
2a
无最大值；当a<0时，函数在
x
b
4a
处取得最大
值 4ac b2 ，无最小值．
2a
4a
2．二次函数在自变量x的给定范围内，对应的图象是
抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数
4ac b2 302 45. 也就是说，小球运动的时间是
4a 4 (5)
3 s时，小球最高．小球运动中的最大高度是45 m.
归纳
知1－导
一般地，当a>0(a<0)时，抛物线y＝ax2＋bx＋c
的顶点是最低(高)点，也就是说，当x＝ b 时，
2a
二次函数y＝ax2＋bx＋c有最小(大)值 4ac b2 .
可以借助函数图象解决这个问题．画出函 数h＝30t－5t2(0≤t≤6)的图象(如图)．
知1－导
可以看出，这个函数的图象是一条抛物线的一部 分．这条抛物线的顶点是这个函数的图象的最高 点，也就是说，当t取顶点的横坐标时，这个函数 有最大值． 因此，当t＝ b 30 3 时，h有最大值
2a 2 (5)
此页为防盗标记页（下载后可删）
1、谢谢大家听得这么专心。 2、大家对这些内容这么感兴趣，真让我高兴。 3、你们专注听讲的表情，使我快乐，给我鼓励。 4、我从你们的姿态上感觉到，你们听明白了。 5、我不知道我这样说是否合适。 6、不知我说清了没有，说明白了没有。 7、我的解释不知是否令你们满意，课后让我们大家再去找有关的书来读读。 8、你们的眼神告诉我，你们还是没有明白，想不想让我再讲一遍？ 9、会“听”也是会学习的表现。我希望大家认真听好我下面要说的一段话。 10、从听课的情况反映出，我们是一个素质良好的集体。 1、谢谢你，你说的很正确，很清楚。 2、虽然你说的不完全正确，但我还是要感谢你的勇气。 3、你很有创见，这非常可贵。请再响亮地说一遍。 4、××说得还不完全，请哪一位再补充。 5、老师知道你心里已经明白，但是嘴上说不出，我把你的意思转述出来，然后再请你学说一遍。 6、说，是用嘴来写，无论是一句话，还是一段话，首先要说清楚，想好了再说，把自己要说的话在心里整理一下就能说清楚。 7、对！说得很好，我很高兴你有这样的认识，很高兴你能说得这么好！ 8、我们今天的讨论很热烈，参与的人数也多，说得很有质量，我为你们感到骄傲。 9、说话，是把自己心里的想法表达出来，与别人交流。说时要想想，别人听得明白吗？ 10、说话，是与别人交流，所以要注意仪态，身要正，不扭动，眼要正视对方。对！就是这样！人在小时候容易纠正不良习惯，经常 注意哦。
知1－讲
1．二次函数在自变量x取任意实数时的最值情况：
当a>0时，函数在 x b 处取得最小值 4ac b2 ，
2a
无最大值；当a<0时，函数在
x
b
4a
处取得最大
值 4ac b2 ，无最小值．
2a
4a
2．二次函数在自变量x的给定范围内，对应的图象是
抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数
4ac b2 302 45. 也就是说，小球运动的时间是
4a 4 (5)
3 s时，小球最高．小球运动中的最大高度是45 m.
归纳
知1－导
一般地，当a>0(a<0)时，抛物线y＝ax2＋bx＋c
的顶点是最低(高)点，也就是说，当x＝ b 时，
2a
二次函数y＝ax2＋bx＋c有最小(大)值 4ac b2 .
可以借助函数图象解决这个问题．画出函 数h＝30t－5t2(0≤t≤6)的图象(如图)．
知1－导
可以看出，这个函数的图象是一条抛物线的一部 分．这条抛物线的顶点是这个函数的图象的最高 点，也就是说，当t取顶点的横坐标时，这个函数 有最大值． 因此，当t＝ b 30 3 时，h有最大值
2a 2 (5)
此页为防盗标记页（下载后可删）
1、谢谢大家听得这么专心。 2、大家对这些内容这么感兴趣，真让我高兴。 3、你们专注听讲的表情，使我快乐，给我鼓励。 4、我从你们的姿态上感觉到，你们听明白了。 5、我不知道我这样说是否合适。 6、不知我说清了没有，说明白了没有。 7、我的解释不知是否令你们满意，课后让我们大家再去找有关的书来读读。 8、你们的眼神告诉我，你们还是没有明白，想不想让我再讲一遍？ 9、会“听”也是会学习的表现。我希望大家认真听好我下面要说的一段话。 10、从听课的情况反映出，我们是一个素质良好的集体。 1、谢谢你，你说的很正确，很清楚。 2、虽然你说的不完全正确，但我还是要感谢你的勇气。 3、你很有创见，这非常可贵。请再响亮地说一遍。 4、××说得还不完全，请哪一位再补充。 5、老师知道你心里已经明白，但是嘴上说不出，我把你的意思转述出来，然后再请你学说一遍。 6、说，是用嘴来写，无论是一句话，还是一段话，首先要说清楚，想好了再说，把自己要说的话在心里整理一下就能说清楚。 7、对！说得很好，我很高兴你有这样的认识，很高兴你能说得这么好！ 8、我们今天的讨论很热烈，参与的人数也多，说得很有质量，我为你们感到骄傲。 9、说话，是把自己心里的想法表达出来，与别人交流。说时要想想，别人听得明白吗？ 10、说话，是与别人交流，所以要注意仪态，身要正，不扭动，眼要正视对方。对！就是这样！人在小时候容易纠正不良习惯，经常 注意哦。
中考数学复习《几何最值---胡不归》例题复习讲义PPT课件
，记 k
V1 V2
，
即求 BC+kAC 的最小值． 构造射线 AD 使得 sin∠DAN=k，CH/AC=k，CH=kAC．
将问题转化为求 BC+CH 最小值，过 B 点作 BH⊥AD 交 MN 于点 C，交 AD 于 H 点，此时 BC+CH 取到最小值，即 BC+kAC 最小．
在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与 kPB 相等的线段，将“PA+kPB”型 问题转化为“PA+PC”型．
中考数学复习《几何最值---胡不归》例 题复习讲义PPT课件
胡不归模型问题解题步骤如下；
1、将所求线段和改写为“PA+ b PB”的形式（ b <1），若 b >1，提取系数，转化为小于 1
a
a
a
的形式解决。
2、在 PB 的一侧，PA 的异侧，构造一个角度α，使得 sinα= b a
3、最后利用两点之间线段最短及垂线段最短解题
1.如图，△ABC 中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC 于点 E，D 是线段 BE 上的一个动点，则
CD 5 BD 的最小值是(
)
5
【答案】B
【详解】 如图，作 DH⊥AB 于 H，CM⊥A
∵tanA= BE =2，设 AE=a，BE=2a， AE
∴DH= 5 BD， 5
∴CD+ 5 BD=CD+DH， 5
∴CD+DH≥CM，
∴CD+ 5 BD≥4 5 ，
5
∴CD+ 5 BD 的最小值为 4 5 ．
5 故选 B．
• 本课结束
【模型展示】 如图，一动点 P 在直线 MN 外的运动速度为 V1，在直线 MN 上运动的速度为 V2，且 V1<V2，A、 B 为定点，点 C 在直线 MN 上，确定点 C 的位置使 AC BC 的值最小．
初中数学几何最值问题 PPT课件 图文
线段最短确定在点共线的情形下取得最值．
2 模型思想
2．1 建立方程模型 例4 已知△ XYZ是直角边长为1的等腰直角三角形( ∠Z=90 。)，它的三
个顶点分别在等腰Rt△ ABC(∠ C=90。)的三边上．
求△ ABC直角边长的最大可能值．
谢谢！ 学妹给我打电话，说她又换工作了，这次是销售。电话里，她絮絮叨叨说着一年多来工作上的不如意，她说工作一点都不开心，找不到半点成就感。 末了，她问我：学姐，为什么想 找一份 自己热 爱的工 作这么 难呢？ 我问她上一份工作干了多久，她 说不到 三个月 ，做的 还是行 政助理 的工作 ，工作 内容枯 燥乏味 不说， 还特别 容易得 罪人， 实在不 是自己 的理想 型。 我又问了她前几份工作辞职的原 因，结 果都是 大同小 异，不 是因为 工作乏 味，就 是同事 不好相 处，再 者就是 薪水太 低，发 展前景 堪忧。 粗略估计，这姑娘毕业不到一年 ，工作 却已经 换了四 五份， 还跨了 三个行 业。 但即使如此频繁的跳槽，她也仍 然没有 找不到 自己满 意的工 作。 2 我问她，心目中理想型的工作是 什么样 子的。 她说， 姐，你 知道苏 明玉吗 ？就是 《都挺 好》电 视剧里 的女老 大，我 就喜欢 她样子 的工作 ，有挑 战有成 就感， 有钱有 权，生 活自由 ，如果 给我那 样的工 作，我 会投入 我全部 的热情 。 听她说完，我尴尬的笑了笑。 其实每一个人都向往这样的成功 ，但这 姑娘却 本末倒 置了， 并不是 有了钱 有了权 有了成 就以后 才全力 以赴的 工作， 而是全 力以赴 工作， 投入了 自己的 全部以 后，才 有了地 位名望 钱财。 你要先投入，才会有收获，当你 真正投 入做一 件事后 ，会明 白两件 事：首 先你会 明白， 把一件 事认认 真真做 好，所 获得的 收益远 大于同 时做很 多事；
2 模型思想
2．1 建立方程模型 例4 已知△ XYZ是直角边长为1的等腰直角三角形( ∠Z=90 。)，它的三
个顶点分别在等腰Rt△ ABC(∠ C=90。)的三边上．
求△ ABC直角边长的最大可能值．
谢谢！ 学妹给我打电话，说她又换工作了，这次是销售。电话里，她絮絮叨叨说着一年多来工作上的不如意，她说工作一点都不开心，找不到半点成就感。 末了，她问我：学姐，为什么想 找一份 自己热 爱的工 作这么 难呢？ 我问她上一份工作干了多久，她 说不到 三个月 ，做的 还是行 政助理 的工作 ，工作 内容枯 燥乏味 不说， 还特别 容易得 罪人， 实在不 是自己 的理想 型。 我又问了她前几份工作辞职的原 因，结 果都是 大同小 异，不 是因为 工作乏 味，就 是同事 不好相 处，再 者就是 薪水太 低，发 展前景 堪忧。 粗略估计，这姑娘毕业不到一年 ，工作 却已经 换了四 五份， 还跨了 三个行 业。 但即使如此频繁的跳槽，她也仍 然没有 找不到 自己满 意的工 作。 2 我问她，心目中理想型的工作是 什么样 子的。 她说， 姐，你 知道苏 明玉吗 ？就是 《都挺 好》电 视剧里 的女老 大，我 就喜欢 她样子 的工作 ，有挑 战有成 就感， 有钱有 权，生 活自由 ，如果 给我那 样的工 作，我 会投入 我全部 的热情 。 听她说完，我尴尬的笑了笑。 其实每一个人都向往这样的成功 ，但这 姑娘却 本末倒 置了， 并不是 有了钱 有了权 有了成 就以后 才全力 以赴的 工作， 而是全 力以赴 工作， 投入了 自己的 全部以 后，才 有了地 位名望 钱财。 你要先投入，才会有收获，当你 真正投 入做一 件事后 ，会明 白两件 事：首 先你会 明白， 把一件 事认认 真真做 好，所 获得的 收益远 大于同 时做很 多事；
几何最值问题动点在圆上ppt课件
拓展
【2016考试说明（二） 12题】
如图，边长为3的等边△ABC的顶点A在x轴的正半
轴上移动，∠AOD=30°，顶点B在射线OD上随之
移动，则顶点C到原点O的最大距离是( C )
A. 6
B. 8 C. 3 3 3 D. 3 3 2
C′
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
E
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
小组合作
你能将上题中的矩形改换成其他 多边形，并设置数据，编制出一道 上述类型的题目吗？
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
练习
如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是 AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在 的直线翻折得到△A′MN，连接A′C. 则A′C长度的
最小值是 7 -1 .
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
例1
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3， P是AB边上的动点（不与点B重合），将△BCP 沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，
则B′A长度的最小值是__1____ ．
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
【2016考试说明（二） 12题】
如图，边长为3的等边△ABC的顶点A在x轴的正半
轴上移动，∠AOD=30°，顶点B在射线OD上随之
移动，则顶点C到原点O的最大距离是( C )
A. 6
B. 8 C. 3 3 3 D. 3 3 2
C′
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
E
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
小组合作
你能将上题中的矩形改换成其他 多边形，并设置数据，编制出一道 上述类型的题目吗？
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
练习
如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是 AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在 的直线翻折得到△A′MN，连接A′C. 则A′C长度的
最小值是 7 -1 .
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
例1
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3， P是AB边上的动点（不与点B重合），将△BCP 沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，
则B′A长度的最小值是__1____ ．
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
高中数学《解三角形复习(最值问题)》PPT教学课件
例1 (1)锐角ABC中，b 1, c 2,
则边a的取值范围是__3_，__5_ .
(2)若2a 1, a,2a 1为钝角三角形的三边长，
则实数a的取值范围是_(_2_,8_)__ .
(3)锐角ABC中，若C＝2B,
则
c
2, 3
的取值范围是____
.
b
(4ห้องสมุดไป่ตู้在ABC中，若 b c 1,
解三角形复习
（最值问题）
你对三角形知多少？
A
1、 内角和定理: A B C
c
b
B
sin( A B) sinC,cos(A B) cos C
aC
sin A B cos C ,cos A B sin C
2
2
2
2
2、 大边对大角: a b A B sin A sin B
(1)求 cos C的值； (2)求ABC的面积的最大值.
巩固作业的参考答案
2 3
1.(1)A 6
(2)Smax
16
2.(1)A (2) 2 2,2 2 4
3.(1)A (2)b c 3,2 3 3
3
32
4.(1)cosC 5
(2)Smax 25
(1)求角A的大小； (2)求ABC的面积的最大值.
巩固作业：
2.在锐角ABC 中，内角A，B，C所对的边分别
为a, b, c， 且 b2
a2
c2
cos(A C ) ,
ac
sin Acos A
(1)求 角A;
(2)若a 2,求bc的取值范围.
中考数学专题复习几何中的最值与定值问题公开课PPT课件
A
A
P
图（2-1） P
图（2-2）
P1
BC BC源自解：把△APB绕点A顺时针旋转600，使AB与AC重合，得△ACP1，连结 PP1，则△APP1是正三角形，PP1=AP=AP1=2，P1C=PB=3，当P、P1、 C不在一直线上时， PC<PP1+P1C=2+3=5，只有当P、P1、C在一直线 上时，PC之间的距离在到最大值，这个最大值是PP1＋P1C=5。
例5. 如图，在ΔABC中，D、E分别是BC、
AB上的点，且∠1=∠2=∠3 ，如果ΔABC、
求Δ证E：BD的、最Δ小A值DC是的5周。长依次为m,m1,m2,
4
A
E
3
2
1
j
B
D
C
图（1-1）
课后练习
1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC ＝BC＝2，以BC为直径的半圆交AB于 点D，P是CD上的一个动点，连结AP， 则AP的最小值是_______．
例 3. 如图，在△ABC中，BC=5，AC=12， AB=13，在边AB、AC上分别取点D、E，使 线段DE将△ABC分成面积相等的两部分，试求 这样线段的最小长度．
例4.已知△XYZ是直角边长为1的等腰直角三角形 (∠Z=90°)，它的三个顶点分别在等腰 Rt△ABC(∠C=90°)的三边上，求△ABC直角边长的 最大可能值．
D B
E
当C、A、E三点共线 时，CD的值最大。 CD的最大值是a＋b.
A
图（6-1）
D
C
F E
k O
A
图 （ 6-2）
j
B
C
例2 如图,正方形ABCD的边长为1,•点P为边BC上任意 一点(可与点B或点C重合),分别过点B、C、D作射线AP 的垂线,•垂足分别为点B′、C′、D′.求BB′+CC′+DD′的 最大值和最小值.
中考数学最值问题ppt课件
选编辑ppt
Q
9
求两点间距离的最值，常依据两点间线段最短 （三角形两边之和大于第三边）
精选编辑ppt
10
求直线上动点到两定点距离和的最值， 常将两定点变化到直线异侧，再利用 对称的性质解决。本题是几何方法求 最值较经典的例题，依据是三角形两 边之和大于第三边（两点间线段最短）
精选编辑ppt
精选编辑ppt
14
求直线上动点到两定点距离差的最值， 常将两定点变化到直线同侧，再利用 对称的性质解决。依据是三角形两 边之差小于第三边
精选编辑ppt
15
【例】（2016•成都）如图，面积为6的平行四边形纸片ABCD中，AB＝3，∠BAD＝ 45°，按下列步骤进行裁剪和拼图：
第一步：如图①，将平行四边形纸片沿对角线BD剪开，得到△ABD和△BCD纸片，再 将△ABD纸片沿AE剪开（E为BD上任意一点），得到△ABE和△ADE纸片；
第二步：如图②，将△ABE纸片平移至△DCF处，将△ADE纸片平移至△BCG处；
第三步：如图③，将△DCF纸片翻转过来使其背面朝上置于△PQM处（边PQ与DC重 合，△PQM与△DCF在CD同侧），将△BCG纸片翻转过来使其背面朝上置于△PRN 处（边PR与BC重合，△PRN与△BCG在BC同侧）。
33将直尺以每秒2个单位的速度沿x轴向左平移设平移的时间为t秒平移后的直尺为wxyz其中边xy所在的直线与x轴交于点m与抛物线的其中一个交点为点n请直接写出当t为何值时可使得以cdmn为顶点的四边形是平行四边形
最值问题
精选编辑ppt
1
最值问题是初中数学的重要内容，从难度上看，既可以是很简 单的小题，也可以是综合性较强的大题，一直是中考命题的热 点，在压轴题和选择填空题中都经常出现。
Q
9
求两点间距离的最值，常依据两点间线段最短 （三角形两边之和大于第三边）
精选编辑ppt
10
求直线上动点到两定点距离和的最值， 常将两定点变化到直线异侧，再利用 对称的性质解决。本题是几何方法求 最值较经典的例题，依据是三角形两 边之和大于第三边（两点间线段最短）
精选编辑ppt
精选编辑ppt
14
求直线上动点到两定点距离差的最值， 常将两定点变化到直线同侧，再利用 对称的性质解决。依据是三角形两 边之差小于第三边
精选编辑ppt
15
【例】（2016•成都）如图，面积为6的平行四边形纸片ABCD中，AB＝3，∠BAD＝ 45°，按下列步骤进行裁剪和拼图：
第一步：如图①，将平行四边形纸片沿对角线BD剪开，得到△ABD和△BCD纸片，再 将△ABD纸片沿AE剪开（E为BD上任意一点），得到△ABE和△ADE纸片；
第二步：如图②，将△ABE纸片平移至△DCF处，将△ADE纸片平移至△BCG处；
第三步：如图③，将△DCF纸片翻转过来使其背面朝上置于△PQM处（边PQ与DC重 合，△PQM与△DCF在CD同侧），将△BCG纸片翻转过来使其背面朝上置于△PRN 处（边PR与BC重合，△PRN与△BCG在BC同侧）。
33将直尺以每秒2个单位的速度沿x轴向左平移设平移的时间为t秒平移后的直尺为wxyz其中边xy所在的直线与x轴交于点m与抛物线的其中一个交点为点n请直接写出当t为何值时可使得以cdmn为顶点的四边形是平行四边形
最值问题
精选编辑ppt
1
最值问题是初中数学的重要内容，从难度上看，既可以是很简 单的小题，也可以是综合性较强的大题，一直是中考命题的热 点，在压轴题和选择填空题中都经常出现。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
问题情境
1.乌龟与兔子想从点A到点B，走那条路线最短？ ③. 根据是 两点之间，线段最.短
①
② ③
A
B
④
问题情境
2.如图，污水处理厂要从A处把处理过的水引入排水 沟PQ，应如何铺设排水管道，才能使用料最省？试 画出铺设管道的路线？并说明理由。
Q A
B
P
理由：垂线段最短
问题情境
3a＜14 ㎝ .
真题示例1
（2016·福建龙岩）如图，在周长为12的菱形ABCD 中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点， 则EP+FP的最小值为（ C ） A．1 B．2 C.3 D．4
P F/
EP+FP= EP+F / P = EF /
【题型特征】利用轴对称求最短路线问题
基本模型
·B
·A
·P ·P
依据：三角形两边之差小于第三边，两边之和大于第三边.
4.已知圆外一点P到圆⊙O上最近点的距离是5㎝， ⊙O 的半径是2㎝，则这点到圆上最远点的距离是 9 ㎝ .
圆外一点与圆心的连线上，该点和此直线与圆
依据： 的近交点距离最短、远交点距离最长
.
知识回顾
①两点之间线段最短； ②垂线段最短； ③三角形的三边关系：三角形两边之差小于第三边， 两边之和大于第三边 ④圆外一点与圆心的连线上，该点和此直线与圆的近 交点距离最短、远交点距离最长
小河
·A′
（一）
此时，PA+PB
= PA ′+PB
= BA ′
最小值为BA ′的长.
·A1 草地
M
·A N ·A2 河流
（二）
此时，MA+MN+NA
=MA1+MN+NA2 = A1A2
最小值为A1A2 的长.
真题示例2
（2016·四川内江）如图所示，已知点C(1，0)， 直线y＝－x＋7与两坐标轴分别交于A，B两点， D，E分别是AB，OA上的动点，则△CDE周长 的最小值是______1．0
真题示例3
A
E
O
F
B
D
C
【解题思路、方法】
【解题策略】
1.综合分析题中已知条件，归纳发现动态过程 1.变化中寻找不变性 ；
中的不变元素、不变关系、内在联系；
2.化动为静，根据内在联系转化相关线段. 2.化动为静，化归转化.
【知识源】
真题示例4
（2013宿迁）在平面直角坐标系xOy中，已知点 A（0，1），B（1，2），点P在x轴上运动，当 点P到A、B两点距离之差的绝对值最大时，点P
【知识源】圆外一点与圆心的连线上，该点和此直线与圆
的近交点距离最短、远交点距离最长
真题示例7 （2016江苏常州）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次
函数y=x与二次函数y=x2+bx的图象相交于O、A两点， 点A（3，3），点M为抛物线的顶点．
（1）求二次函数的表达式；y=x2-2x
（2）长度为2 的线段PQ在线段OA（不包括端点）上 滑动，分别过点P、Q作x轴的垂线交抛物线于点P1、Q1， 求四边形PQQ1P1面积的最大值；
E
C1 ·
D ·C2
△CDE周长=CD+CE+DE=C1C2
基本模型
·B ·A
·P ·A′
（一）
小河
·A1 草地
M
·A N ·A2
（二）
河流
【解题思路、方法】
1.利用轴对称画出取最小值时点的位置， 建立相关模型；
2.把线段之和转化在同一条直线上．
【解题策略】
1.画图建模
2.化归转化
试题原创
（原创）如图，在周长为16的菱形ABCD中， ∠A=120°，E、F为边AB、CD上的动点，若P为
对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为 2 3 .
【知识源】
1.两点之间线段最短 2.垂线段最短
EP+FP= EP+F / P = EF /
当EF /与边AB垂直时 EF /的值最小
真题示例3
（2012浙江宁波）如图，△ABC中， ∠BAC=60°， ∠B=45° ，AB= 2 2 ，D是 线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分 别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长 度的最小值为 .
命题预测
1.综合性逐渐增强，如多个知识源、知识点的 相互整合渗透；
2.注重对基本技能和基本思维方法的考查，注 重了初、高中知识的衔接；
3.最值问题“逆” 呈现，如在最值条件下求其 他相关问题.
E
E
【解题策略】 1.树立坐标意识，通过坐标表示相关线段长度、面积； 2.运用函数思想，构建函数模型，通过二次函数的性质求
出相应的最值.
专题总结
结合题意，画图尝试，动中觅静； 分析总结图形在运动过程中不变元素 ； 探寻运动变化中隐含的不变关系与内在联系 ； 建立相关模型实现最值转化 .
的坐标是（-1,0） ．
当A、B、P三点不共线时， |PA﹣PB|＜AB
当A、B、P三点共线时，
·P
·P
|PA﹣PB|=AB
|PA﹣PB|≤AB
变式: 在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，
-1），B（1，2），点P在x轴上运动，当
|PA﹣PB|最大时，点P的坐标是（3,0）．
·A′
P·
P·
PA=P A′ |PA﹣PB|= |PA ′ ﹣PB|
≤A ′ B
当A ′、B、P三点共线时， |PA﹣PB|最大
真题示例5
（2016四川眉山 ）26．已知如图，在平面直角坐标系xOy中，
点A、B、C分别为坐标轴上的三个点，且OA=1，OB=3，OC=4，
（（（（1212C））））、求在PP坐为经平标顶过面为点直A（、的角5B四坐，、边标3C）形系三为x点O菱的y中形抛是？物否若线存存的在在解一，析点请式P求；，出使点得P以的以坐点标A；、B、
A（1，0），B（1﹣a，0），C（1+a，0）（a＞0），
点P在以D（4，4）为圆心，1为半径的圆上运动，且
始终满足∠BPC=90°，则a的最大值是
.
真题示例6
【解题思路、方法】
1. 综合已知条件，分析其中不变元素及不变关系，恰当转化； 2.根据点的运动轨迹，找出与定点距离最远时的位置，化动为静 .
（3）若点M为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出当
|PM﹣AM|的最大值时点M的坐标，并直接写出|PM﹣AM|的最
大值．
y
B
P
A
C
O
x
M
真题示例4、5
P·′
·P
·A′
P·
P·
【解题思路、方法】
作图尝试，结合已知定点，利用三角形的三边关系，找出特 殊位置解决线段之差最大问题.
真题示例6
(2016四川泸州)如图，在平面直角坐标系中，已知点
1.乌龟与兔子想从点A到点B，走那条路线最短？ ③. 根据是 两点之间，线段最.短
①
② ③
A
B
④
问题情境
2.如图，污水处理厂要从A处把处理过的水引入排水 沟PQ，应如何铺设排水管道，才能使用料最省？试 画出铺设管道的路线？并说明理由。
Q A
B
P
理由：垂线段最短
问题情境
3a＜14 ㎝ .
真题示例1
（2016·福建龙岩）如图，在周长为12的菱形ABCD 中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点， 则EP+FP的最小值为（ C ） A．1 B．2 C.3 D．4
P F/
EP+FP= EP+F / P = EF /
【题型特征】利用轴对称求最短路线问题
基本模型
·B
·A
·P ·P
依据：三角形两边之差小于第三边，两边之和大于第三边.
4.已知圆外一点P到圆⊙O上最近点的距离是5㎝， ⊙O 的半径是2㎝，则这点到圆上最远点的距离是 9 ㎝ .
圆外一点与圆心的连线上，该点和此直线与圆
依据： 的近交点距离最短、远交点距离最长
.
知识回顾
①两点之间线段最短； ②垂线段最短； ③三角形的三边关系：三角形两边之差小于第三边， 两边之和大于第三边 ④圆外一点与圆心的连线上，该点和此直线与圆的近 交点距离最短、远交点距离最长
小河
·A′
（一）
此时，PA+PB
= PA ′+PB
= BA ′
最小值为BA ′的长.
·A1 草地
M
·A N ·A2 河流
（二）
此时，MA+MN+NA
=MA1+MN+NA2 = A1A2
最小值为A1A2 的长.
真题示例2
（2016·四川内江）如图所示，已知点C(1，0)， 直线y＝－x＋7与两坐标轴分别交于A，B两点， D，E分别是AB，OA上的动点，则△CDE周长 的最小值是______1．0
真题示例3
A
E
O
F
B
D
C
【解题思路、方法】
【解题策略】
1.综合分析题中已知条件，归纳发现动态过程 1.变化中寻找不变性 ；
中的不变元素、不变关系、内在联系；
2.化动为静，根据内在联系转化相关线段. 2.化动为静，化归转化.
【知识源】
真题示例4
（2013宿迁）在平面直角坐标系xOy中，已知点 A（0，1），B（1，2），点P在x轴上运动，当 点P到A、B两点距离之差的绝对值最大时，点P
【知识源】圆外一点与圆心的连线上，该点和此直线与圆
的近交点距离最短、远交点距离最长
真题示例7 （2016江苏常州）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次
函数y=x与二次函数y=x2+bx的图象相交于O、A两点， 点A（3，3），点M为抛物线的顶点．
（1）求二次函数的表达式；y=x2-2x
（2）长度为2 的线段PQ在线段OA（不包括端点）上 滑动，分别过点P、Q作x轴的垂线交抛物线于点P1、Q1， 求四边形PQQ1P1面积的最大值；
E
C1 ·
D ·C2
△CDE周长=CD+CE+DE=C1C2
基本模型
·B ·A
·P ·A′
（一）
小河
·A1 草地
M
·A N ·A2
（二）
河流
【解题思路、方法】
1.利用轴对称画出取最小值时点的位置， 建立相关模型；
2.把线段之和转化在同一条直线上．
【解题策略】
1.画图建模
2.化归转化
试题原创
（原创）如图，在周长为16的菱形ABCD中， ∠A=120°，E、F为边AB、CD上的动点，若P为
对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为 2 3 .
【知识源】
1.两点之间线段最短 2.垂线段最短
EP+FP= EP+F / P = EF /
当EF /与边AB垂直时 EF /的值最小
真题示例3
（2012浙江宁波）如图，△ABC中， ∠BAC=60°， ∠B=45° ，AB= 2 2 ，D是 线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分 别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长 度的最小值为 .
命题预测
1.综合性逐渐增强，如多个知识源、知识点的 相互整合渗透；
2.注重对基本技能和基本思维方法的考查，注 重了初、高中知识的衔接；
3.最值问题“逆” 呈现，如在最值条件下求其 他相关问题.
E
E
【解题策略】 1.树立坐标意识，通过坐标表示相关线段长度、面积； 2.运用函数思想，构建函数模型，通过二次函数的性质求
出相应的最值.
专题总结
结合题意，画图尝试，动中觅静； 分析总结图形在运动过程中不变元素 ； 探寻运动变化中隐含的不变关系与内在联系 ； 建立相关模型实现最值转化 .
的坐标是（-1,0） ．
当A、B、P三点不共线时， |PA﹣PB|＜AB
当A、B、P三点共线时，
·P
·P
|PA﹣PB|=AB
|PA﹣PB|≤AB
变式: 在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，
-1），B（1，2），点P在x轴上运动，当
|PA﹣PB|最大时，点P的坐标是（3,0）．
·A′
P·
P·
PA=P A′ |PA﹣PB|= |PA ′ ﹣PB|
≤A ′ B
当A ′、B、P三点共线时， |PA﹣PB|最大
真题示例5
（2016四川眉山 ）26．已知如图，在平面直角坐标系xOy中，
点A、B、C分别为坐标轴上的三个点，且OA=1，OB=3，OC=4，
（（（（1212C））））、求在PP坐为经平标顶过面为点直A（、的角5B四坐，、边标3C）形系三为x点O菱的y中形抛是？物否若线存存的在在解一，析点请式P求；，出使点得P以的以坐点标A；、B、
A（1，0），B（1﹣a，0），C（1+a，0）（a＞0），
点P在以D（4，4）为圆心，1为半径的圆上运动，且
始终满足∠BPC=90°，则a的最大值是
.
真题示例6
【解题思路、方法】
1. 综合已知条件，分析其中不变元素及不变关系，恰当转化； 2.根据点的运动轨迹，找出与定点距离最远时的位置，化动为静 .
（3）若点M为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出当
|PM﹣AM|的最大值时点M的坐标，并直接写出|PM﹣AM|的最
大值．
y
B
P
A
C
O
x
M
真题示例4、5
P·′
·P
·A′
P·
P·
【解题思路、方法】
作图尝试，结合已知定点，利用三角形的三边关系，找出特 殊位置解决线段之差最大问题.
真题示例6
(2016四川泸州)如图，在平面直角坐标系中，已知点