基本初等函数知识点总结

基本初等函数

一、指数函数

一指数与指数幂的运算

1．根式的概念：一般地,如果a x n =,那么x 叫做a 的n 次方根,其中n >1,且n ∈N ．

◆ 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0,记作00=n ;

当n 是奇数时,a a n n =,当n 是偶数时,⎩

⎨

⎧<≥-==)0()

0(||a a a a a a n n

2．分数指数幂

正数的分数指数幂的意义,规定：

)

1,,,0(*>∈>=n N n m a a a

n m n

m ,

)1,,,0(1

1*>∈>=

=

-

n N n m a a a

a

n

m

n

m n

m

◆ 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义

3．实数指数幂的运算性质 1r a ·s

r r a a += ),,0(R s r a ∈>；

2rs s r a a =)(

),,0(R s r a ∈>；

3

s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>．

二指数函数及其性质

1、指数函数的概念：一般地,函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域为R ． 注意：指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1．

2、指数函数的图象和性质

注意：利用函数的单调性,结合图象还可以看出： 1在a,b 上,)1a 0a (a )x (f x ≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [；

2对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且,总有a )1(f =； 二、对数函数 一对数

1．对数的概念：一般地,如果N a x =)1,0(≠>a a ,

那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数,记作：N x a log =a — 底数,N — 真数,N a log — 对数式

说明：错误! 注意底数的限制0>a ,且1≠a ；

错误! x N N a a x

=⇔=log ；

错误! 两个重要对数：

错误! 常用对数：以10为底的对数N lg ； 错误! 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ．

指数式与对数式的互化

幂值 真数

b ＝ N b

对数 二对数的运算性质

如果0>a ,且1≠a ,0>M ,0>N ,那么： 错误! M a (log ·=)N M a log ＋N a log ；

错误! =N M

a

log M a log －N a log ； 错误! n

a M log n =M a log )(R n ∈．

注意：换底公式

a

b

b c c a log log log =

0>a ,且1≠a ；0>c ,且1≠c ；0>b ． 利用换底公式推导下面的结论 1b m

n b a n a m

log log =；2a

b b a log 1

log =

． 二对数函数 1、对数函数的概念：函数0(log >=a x y a ,且)1≠a 叫做对数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是0,+∞．

注意：错误! 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别;如：x y 2log 2=,5

log 5

x y = 都

不是对数函数,而只能称其为对数型函数． 错误! 对数函数对底数的限制：0(>a ,且)1≠a ．

＞0

值域为R 值域为R 在R 上递

增

在R 上递减

函数图象

都过定点

1,0 函数图象都过

定点1,0

三幂函数

1、幂函数定义：一般地,形如αx y =)(R a ∈的函数称为幂函数,其中α为常数．

2、幂函数性质归纳．

1所有的幂函数在0,+∞都有定义并且图象都过点1,1；

20>α时,幂函数的图象通过原点,并且在区间

),0[+∞上是增函数．

特别地,当1>α时,幂函数的图象下凸；当10<<α时,幂函数的图象上凸； 30<α时,幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内,当x 从右边趋向原点时,图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴,当x 趋于∞+时,图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴． 例题：

1. 已知a>0,a 0,函数y=a x 与y=log a -x 的图象只能是

2.计算： 1 2

log 227log 553

125

+= ;

221343

101.016])2[()8

7(064

.075

.030++-+----- =

3.函数y=log 2

12x 2-3x+1的递减区间为

4.若函数)10(log )(<<=a x x f a

在区间]2,[a a 上的最大值是最小值的

3倍,

则a= 5.已知1()log (01)1a

x

f x a a x

+=>≠-且,1求()f x 的定义域2求使()0f x >的x 的取

值范围 6.

7． .