高中数学 第三章 直线与方程章末归纳总结课件 新人教A版必修2

[探究] 对于(1)，由题意列出关于a，b的方程组求解；对
于(2)，先得出关于a，b的关系，再由原点到l1，l2的距离相等 求解．
[解析] (1)∵l1⊥l2，∴a(a－1)＋(－b)＝0，即 a2－a－b＝
0. ①
又点(－3，－1)在 l1 上，∴－3a＋b＋4＝0.
②
由①②解得 a＝2，b＝2.
(1)求 a 的值； (2)能否找到一点 P，使得 P 点同时满足下列三个条件： ①P 是第一象限的点； ②P 点到 l1 的距离是 P 点到 l2 的距离的12； ③P 点到 l1 的距离与 P 点到 l3 的距离之比是 2∶ 5.若能， 求出 P 点坐标；若不能，说明理由．
By＋C1＝0；与其垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋C2＝0.
已知两条直线l1：ax－by＋4＝0 和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，分别求满足下列条件的a，b的值．
(1)直线l1过点(－3，－1)，并且直线l1与直线l2垂直； (2) 直 线 l1 与 直 线 l2 平 行 ， 并 且 坐 标 原 点 到 l1 ， l2 的 距 离 相 等．
(2)∵l1∥l2 且 l2 的斜率为 1－a，
∴l1 的斜率Βιβλιοθήκη 存在，ab＝1－a，b＝1－a a，
故 l1 与 l2 的方程分别为 l1：(a－1)x＋y＋4aa－1＝0，l2：(a－1)x＋y＋1－a a＝0. ∵坐标原点到 l1，l2 的距离相等， ∴4|a－a 1|＝|1－a a|，a＝2 或 a＝23.
(4)当直线垂直于坐标轴时画图求解即可，不必用公式． 求点到直线的距离时，要注意把直线方程化成一般式的形 式；求两条平行线间的距离时，先把平行线方程中 x，y 的对应 项系数转化为相等的形式，再利用距离公式求解，也可转化成 点到直线的距离求解．
已知三条直线 l1：2x－y＋a＝0(a>0)，直线 l2： －4x＋2y＋1＝0 和直线 l3：x＋y－1＝0，且 l1 与 l2 的距离是170 5.
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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
直线与方程 第三章
章末归纳总结 第三章
1
知识结构
2
专题突破
知识结构
专题突破
专题一 直线的倾斜角与斜率 直线的倾斜角和斜率是直线方程中最基本的两个概念，它 们从“形”与“数”两个方面刻画了直线的倾斜程度． (1)倾斜角的范围是[0°，180°)． (2)倾斜角与斜率的对应关系 ①α≠90°时，k＝tanα； ②α＝90°时，斜率不存在．
已知直线l过点P(1,1)且与以A(－ 1,0)、B(3，－4)为端点的线段相交，求直线l的斜率的取值范 围．
[探究] 利用数形结合思想，观察直线的变化情况，根据 斜率公式及范围求解，要特别注意当直线与x轴垂直时的情 形．
[解析] 如图所示，直线PA的斜率
kPA＝1－1－－01＝12， 直线 PB 的斜率 kPB＝1－1－－34＝－52. 当直线 l 绕着点 P 由 PA 旋转到与 y 轴平行的位置 PC 时， 它的斜率变化范围是[12，＋∞)， 当直线 l 绕着点 P 由 PC 旋转到 PB 的位置时，它的斜率的 变化范围是(－∞，－52]． ∴直线 l 的斜率的取值范围是(－∞，－52]∪[12，＋∞)．
∴AC 的中点 E 的坐标为(t，t＋2 3)． ∵点 E 在中线 BE：y＝1 上， ∴t＋2 3＝1，∴t＝－1. ∴点 C 的坐标为(－3，－1)， ∴△ABC 各边所在直线的方程为 AB：x＋2y－7＝0；BC： x－4y－1＝0，AC：x－y＋2＝0.
专题三 两条直线的位置关系
(1)已知直线的斜截式方程：l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋ b2，则l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2；
因此ab＝ ＝2－，2，
或a＝23， b＝2.
专题四 点、直线间的距离 (1) 两 点 P1(x1 ， y1) ， P2(x2 ， y2) 间 的 距 离 公 式 |P1P2| ＝ x1－x22＋y1－y22. (2)点 P(x0，y0)到直线 l：Ax＋By＋C＝0 的距离为 d＝ |Ax0＋A2B＋y0B＋2 C|. (3)两平行直线 l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝ 0(C1≠C2)之间的距离为 d＝ |CA1－2＋CB2|2.
l1⊥l2⇔k1k2＝－1； l1与l2相交⇔k1≠k2.
(2)已知直线的一般式方程：
l1：A1x＋B1y＋C1＝0， l2：A2x＋B2y＋C2＝0， 则：l1∥l2⇔A1B2＝A2B1且A1C2≠A2C1； l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0； l1与l2相交⇔A1B2≠A2B1. (3)与直线l：Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程可设为Ax＋
(3)倾斜角与斜率的单调性问题 当直线 l 的倾斜角 α 从 0°增大到 90°时，直线 l 的斜率从 0 增大到＋∞；当直线 l 的倾斜角 α 从 90°增大到 180°时，直线 l 的斜率从－∞增大到 0. (4)斜率公式：经过 A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)两点的直线 的斜率公式 k＝yx22－－yx11(x1≠x2)，应用时注意其适用的条件 x1≠x2， 当 x1＝x2 时，直线的斜率不存在．
规律总结：借助数形结合思想既 可以定性地分析倾斜角与斜率的关系，也可以定量地求解倾斜 角与斜率的取值范围，此外在特殊位置处应利用分类讨论的思 想方法．
专题二 直线方程的五种形式的应用问题 已知△ABC中，A(1,3)，AB、AC
边上中线方程为x－2y＋1＝0和y－1＝0，求△ABC各边所在的 直线方程．
[探究] 本题利用中线的特点(即AB的中点D在AB边的中线 上)可解出各顶点的坐标，然后利用两点式可求出各边的方程．
[解析] 设AB、AC边的中线分别为CD、BE，其中D、E为 中点，
∵点B在中线y－1＝0上， ∴设点B的坐标为(xB,1)．
∵点 D 为 AB 的中点，又点 A 的坐标为(1,3)， ∴点 D 的坐标为(xB＋2 1，2)． ∵点 D 在中线 CD：x－2y＋1＝0 上， ∴xB＋2 1－2×2＋1＝0，∴xB＝5. ∴点 B 的坐标为(5,1)． ∵点 C 在直线 x－2y＋1＝0 上， ∴设点 C 的坐标为(2t－1，t)．