第二节 菲涅耳衍射(圆孔和圆屏)
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• 还有关系
kλ ⎤ kλ 2 2 + ( )⎥ − r0 = kλr0 + ( ) ≈ kλr0 2 ⎦ 2
2
（2）
ρ k2 = R 2 − ( R − h) 2 = rk2 − (r0 + h) 2
2 Rh − h 2 = rk2 − r02 − 2r0 h − h 2 rk2 − r02 h= 2 ( R + r0 )
二、圆屏衍射
图2-7
•
我们讨论一下点光源发出的光通过圆屏边缘时的衍射现象。0为点光 源，光路上有一不透明的圆屏，现在先讨论P点的振幅。设圆屏遮蔽 了开始的k个带。于是从第k+1个带开始，所有其余的带发的次波都能 到达P点。把所有这些带的次波叠加起来，可得P点的合振幅为：
a k +1 A= 2
• 即不论圆屏的大小和位置怎样，圆屏几何影子的中心永远有光。不过 圆屏的面积越小时，被遮蔽的带的数目就越小，因而 k +1 就越大，到 达P点的光就越强。变更圆屏和光源之间或圆屏和P之间的距离时，k 也将因之改变，因而也将影响P点的光强。
ρ k = kλr0
• P点合振幅的大小取决于露出的带数k，而当波长及圆孔的位置和大小 都给定时，k取决于观察点P的位置，k为奇数相对应的那些点，合振 幅Ak较大，与k为偶数相对应的那些P点，Ak较小。这个结果很容易 用实验来证实。 • 如果不用光阑，相当于圆孔的半径为无限大， ak为无限小，此时P点的 a1 合振幅为 A ∞ = ，即没有遮蔽的整个波面对 P点的作用等于一个波带 2 在该点的作用的一半，因为波带的面积非常小。如：λ=5000Å， 1 3 2 mm γ R= 0=1m。第一个波带的面积约为 4 ，半径约为 2 mm 。所以没有遮 避的整个波面的光能的传播，几乎可以看作沿OP直线进行，这也是一 般把光视作直线传播的缘由。P点离开光源越远，a愈小，光强愈弱。 在此情况下屏沿着对称轴线前进时，不发生上述某些点较强某些点较 弱的现象。
根据以上的讨论，可以看到圆屏的作用能使点光源造成实象，可以设 想它和一块汇聚透镜相当。另一方面，从菲涅耳半波带的特征来看， 对于通过波带中心而与波带面垂直的轴上一点来说，圆孔露出半波带 的数目k可为奇数或偶数。如果设想制造这样一种屏，使它对于所考 查的点只让奇数半波带或只让偶数半波带透光。这样在考查点处振动 的振幅为
•
如果圆孔的半径具有一定的大小，观察点P的位置仅使波面上露出第 一个带，则 A1=a1 与没有光阑时比较，振幅是二倍，光强则增加到四倍。所以光在通过 圆孔以后到达任一点时的光强，不能够单独由光源到该点的距离来决 定，还取决于圆孔的位置及大小，只当圆孔足够大，使 a k 小到可以略 去不计时，才和光的直线传播概念所推得的结果一致。 2 • 所有这些讨论都假定0是理想的点光源，但实际的光源都有一定的大 小，光源的每点各自产生它自己的衍射花样，它们是不相干的，光源 的线度应小到使光源上某些点所产生的亮条纹不致落到另外一些点所 产生的暗条纹上去。否则由于不相干叠加，衍射花样就会完全模糊了， 通常情况不会产生衍射花样，正是由于这个缘故。
将（2）和（3）代入（1）
（3）
ρ 2 = ρ k2 = kλr0 −
r0 kλr0 r0 rR = kλr0 (1 − )=k 0 λ R + r0 ( R + r0 ) ( R + r0 )
ρ 2 ( R + r0 ) ρ 2 1 1 k= = ( + ) λr0 R λ r0 R
•
如果用平行光照射圆孔， R → ∞ 则
第二节 菲涅耳衍射（圆孔和圆屏）
一、圆孔衍射
将一束光投射在一个小圆孔上，在距孔1～2m处放置一块毛玻璃屏， 观察小圆孔的衍射花样。
图2-6
ρ k2 = rk2 − (r0 + h) 2 = rk2 − r02 − 2r0 h − h 2
≈ r − r − 2r0 h
2 k 2 0
（1）
⎡ rk2 − r02 = ⎢ r0 ⎣
图2-8
四、直线传播和衍射的关系
• 上一章讨论光的干涉现象时，仅注意到两束或多束相干光光波整束的 叠加，没有考略到每一光束中波面上所有各点发出的次波的叠加。当 时实际上是假定每束光是直线传播的。
• 按照惠—菲原理的方式进行。所以，衍射现象是光的波动 特性最基本的表现。光的直线传播不过是衍射现象的极限 表现而已。这样，通过惠—菲原理的解释，进一步揭示了 光的直线传播和衍射现象的内在联系。
a
•
如果圆屏足够小，只遮住中心带的一小部分，则光看起来可完全绕过 它，除了圆屏影子中心有亮点外没有其它影子。这个初看起来似乎是 荒谬的结论，是泊松于1818年在巴黎科学院研究菲涅耳的论文时把它 当作菲涅耳论点谬误的证据提出来的。但阿喇果做了相应的实验，证 实了菲涅耳的理论的正确性。
三、菲涅耳波带片
五、
0
菲涅耳直边衍射
• 迈干涉仪用λ = 5893 A的钠黄光观察，视场中心为亮点，此 外还能看到10个亮环。今移动一臂中的反射镜，发现有10 个亮环向中心收缩而消失，即中心级次减小10，此时视场 中除中央亮点外还剩5个亮环，求开始中央干涉级，移动 后最外干涉级。
图2-9
图2-10
Ak = a1 + a 3 + a 5 + a 7 + a 9 = 5a1
• •
这是不用光阑时振幅的10倍，光强则为100倍。如果以偶数个波带代 替，上述结果也成立。 由于波带片能使点光源成一实象，故它有类似于透镜成象的功用，其 物距R和象距r 0 所遵从的关系和透镜的物象公式相仿。
ρ2 1 1 k= ( + ) λ r0 R
1 1 1 + = R r0 ρ k2 ( ) kλ
• 和一般的汇聚透镜一样，波带片也有它的焦距，透镜的焦距就是发光 点在无限远时的象距。 ρ k2 f ′ =r 0 = 令 R→∞ ，得
kλ
即
1 1 1 + = R r0 f′
和薄透镜的物象公式完全相似。
•
波带片的焦距取决于波带片通光孔的半径 ρ k 、k 和 λ 。由于波带片的 ,LL 焦聚和光波波长有密切的关系，色差大。由于波带片尚有 f ′ 3, f ′ 5焦 距存在，波带片成象的情况与透镜成象的情况也有所不பைடு நூலகம்。对于给定 的物点，对应于不同的焦距，波带片可以给出多个象点。
Ak = Ak =
∑a ∑a
k k
2 k +1
2k
•
•
这样做成的光学元件叫做菲涅耳波带片。各菲涅耳半波带的半径正比 于序数k的平方根，所以波带片可按如下方法制作，先在绘图纸上画 出半径正比于序数k的平方根的一组同心圆，把相间的波带涂黑，然 后用照相机拍射在底片上，该底片即为波带片。还可做成长条形、方 形波带片。 如果某一点波带片对考查点露出前5个奇数半波带，则考查点的振幅 为
kλ ⎤ kλ 2 2 + ( )⎥ − r0 = kλr0 + ( ) ≈ kλr0 2 ⎦ 2
2
（2）
ρ k2 = R 2 − ( R − h) 2 = rk2 − (r0 + h) 2
2 Rh − h 2 = rk2 − r02 − 2r0 h − h 2 rk2 − r02 h= 2 ( R + r0 )
二、圆屏衍射
图2-7
•
我们讨论一下点光源发出的光通过圆屏边缘时的衍射现象。0为点光 源，光路上有一不透明的圆屏，现在先讨论P点的振幅。设圆屏遮蔽 了开始的k个带。于是从第k+1个带开始，所有其余的带发的次波都能 到达P点。把所有这些带的次波叠加起来，可得P点的合振幅为：
a k +1 A= 2
• 即不论圆屏的大小和位置怎样，圆屏几何影子的中心永远有光。不过 圆屏的面积越小时，被遮蔽的带的数目就越小，因而 k +1 就越大，到 达P点的光就越强。变更圆屏和光源之间或圆屏和P之间的距离时，k 也将因之改变，因而也将影响P点的光强。
ρ k = kλr0
• P点合振幅的大小取决于露出的带数k，而当波长及圆孔的位置和大小 都给定时，k取决于观察点P的位置，k为奇数相对应的那些点，合振 幅Ak较大，与k为偶数相对应的那些P点，Ak较小。这个结果很容易 用实验来证实。 • 如果不用光阑，相当于圆孔的半径为无限大， ak为无限小，此时P点的 a1 合振幅为 A ∞ = ，即没有遮蔽的整个波面对 P点的作用等于一个波带 2 在该点的作用的一半，因为波带的面积非常小。如：λ=5000Å， 1 3 2 mm γ R= 0=1m。第一个波带的面积约为 4 ，半径约为 2 mm 。所以没有遮 避的整个波面的光能的传播，几乎可以看作沿OP直线进行，这也是一 般把光视作直线传播的缘由。P点离开光源越远，a愈小，光强愈弱。 在此情况下屏沿着对称轴线前进时，不发生上述某些点较强某些点较 弱的现象。
根据以上的讨论，可以看到圆屏的作用能使点光源造成实象，可以设 想它和一块汇聚透镜相当。另一方面，从菲涅耳半波带的特征来看， 对于通过波带中心而与波带面垂直的轴上一点来说，圆孔露出半波带 的数目k可为奇数或偶数。如果设想制造这样一种屏，使它对于所考 查的点只让奇数半波带或只让偶数半波带透光。这样在考查点处振动 的振幅为
•
如果圆孔的半径具有一定的大小，观察点P的位置仅使波面上露出第 一个带，则 A1=a1 与没有光阑时比较，振幅是二倍，光强则增加到四倍。所以光在通过 圆孔以后到达任一点时的光强，不能够单独由光源到该点的距离来决 定，还取决于圆孔的位置及大小，只当圆孔足够大，使 a k 小到可以略 去不计时，才和光的直线传播概念所推得的结果一致。 2 • 所有这些讨论都假定0是理想的点光源，但实际的光源都有一定的大 小，光源的每点各自产生它自己的衍射花样，它们是不相干的，光源 的线度应小到使光源上某些点所产生的亮条纹不致落到另外一些点所 产生的暗条纹上去。否则由于不相干叠加，衍射花样就会完全模糊了， 通常情况不会产生衍射花样，正是由于这个缘故。
将（2）和（3）代入（1）
（3）
ρ 2 = ρ k2 = kλr0 −
r0 kλr0 r0 rR = kλr0 (1 − )=k 0 λ R + r0 ( R + r0 ) ( R + r0 )
ρ 2 ( R + r0 ) ρ 2 1 1 k= = ( + ) λr0 R λ r0 R
•
如果用平行光照射圆孔， R → ∞ 则
第二节 菲涅耳衍射（圆孔和圆屏）
一、圆孔衍射
将一束光投射在一个小圆孔上，在距孔1～2m处放置一块毛玻璃屏， 观察小圆孔的衍射花样。
图2-6
ρ k2 = rk2 − (r0 + h) 2 = rk2 − r02 − 2r0 h − h 2
≈ r − r − 2r0 h
2 k 2 0
（1）
⎡ rk2 − r02 = ⎢ r0 ⎣
图2-8
四、直线传播和衍射的关系
• 上一章讨论光的干涉现象时，仅注意到两束或多束相干光光波整束的 叠加，没有考略到每一光束中波面上所有各点发出的次波的叠加。当 时实际上是假定每束光是直线传播的。
• 按照惠—菲原理的方式进行。所以，衍射现象是光的波动 特性最基本的表现。光的直线传播不过是衍射现象的极限 表现而已。这样，通过惠—菲原理的解释，进一步揭示了 光的直线传播和衍射现象的内在联系。
a
•
如果圆屏足够小，只遮住中心带的一小部分，则光看起来可完全绕过 它，除了圆屏影子中心有亮点外没有其它影子。这个初看起来似乎是 荒谬的结论，是泊松于1818年在巴黎科学院研究菲涅耳的论文时把它 当作菲涅耳论点谬误的证据提出来的。但阿喇果做了相应的实验，证 实了菲涅耳的理论的正确性。
三、菲涅耳波带片
五、
0
菲涅耳直边衍射
• 迈干涉仪用λ = 5893 A的钠黄光观察，视场中心为亮点，此 外还能看到10个亮环。今移动一臂中的反射镜，发现有10 个亮环向中心收缩而消失，即中心级次减小10，此时视场 中除中央亮点外还剩5个亮环，求开始中央干涉级，移动 后最外干涉级。
图2-9
图2-10
Ak = a1 + a 3 + a 5 + a 7 + a 9 = 5a1
• •
这是不用光阑时振幅的10倍，光强则为100倍。如果以偶数个波带代 替，上述结果也成立。 由于波带片能使点光源成一实象，故它有类似于透镜成象的功用，其 物距R和象距r 0 所遵从的关系和透镜的物象公式相仿。
ρ2 1 1 k= ( + ) λ r0 R
1 1 1 + = R r0 ρ k2 ( ) kλ
• 和一般的汇聚透镜一样，波带片也有它的焦距，透镜的焦距就是发光 点在无限远时的象距。 ρ k2 f ′ =r 0 = 令 R→∞ ，得
kλ
即
1 1 1 + = R r0 f′
和薄透镜的物象公式完全相似。
•
波带片的焦距取决于波带片通光孔的半径 ρ k 、k 和 λ 。由于波带片的 ,LL 焦聚和光波波长有密切的关系，色差大。由于波带片尚有 f ′ 3, f ′ 5焦 距存在，波带片成象的情况与透镜成象的情况也有所不பைடு நூலகம்。对于给定 的物点，对应于不同的焦距，波带片可以给出多个象点。
Ak = Ak =
∑a ∑a
k k
2 k +1
2k
•
•
这样做成的光学元件叫做菲涅耳波带片。各菲涅耳半波带的半径正比 于序数k的平方根，所以波带片可按如下方法制作，先在绘图纸上画 出半径正比于序数k的平方根的一组同心圆，把相间的波带涂黑，然 后用照相机拍射在底片上，该底片即为波带片。还可做成长条形、方 形波带片。 如果某一点波带片对考查点露出前5个奇数半波带，则考查点的振幅 为