数学分析7-习题课

则在 U ( 1 , | 1 |

2
) 外至多有
S 的有限个偶数项， S 的有限个奇数项，
则在 U ( 1 , | ( 1 ) | 则在 U ( ,

2
) 外至多有

2
)内至多有
S 的有限项， 不是 S 的聚点。
P168.7.
{ x n } 单调 .证明 : 若 { x n } 存在聚点
k
{ xn }单调且有界， { xn }收敛。 且 lim xn .
n
故{xn}一定有界，从而有确界。
由单调有界定理的证明可知：sup{
若 也是 { x n }的聚点，则
xn } ,
{ x n }的子列收敛于
，
而 { x n }收敛于 ，所以 { x n }的任意子列必收敛于
f ( x ) 在 ( a , b ) 有界 . 成立。 界。
则 F ( x ) 在 [ a , b ]连续，从而有界， 当 ( a , b )为无限区间时，结论不
如： f ( x ) x 在（ ， ）一致连续，但显然无
P172.3 证
lim sin x x sin x x sin x x | | sin x x | | x
x [ 1 , 2 ]Q , 有理数 r x , 使 2 x r x , x r x ), （
*
令 H {( x r x , x r x ) | x [ 1 , 2 ]Q }, 则 H 是 [ 1 , 2 ]Q 的一个开覆盖，
任取 H 的有限个元素，构成集 H
则 F ( x ) 在 [ 0， M ]连续，从而一致连续，

sin x x
综上 在（0, M ]一致连续。
sin x x
在（ 0 , ）一致连续。
P172.3
显然
证法2
sin x x 在（ 0 , ）连续。
( 0 , ) ( 0 ,1 ] [ 1 , )
lim sin x x
设为 1 , 则（ 0， ）这部分将不能被盖住 N 1 N 1 1 。
数列的上下极限概念
定义 有界数列(点列) {xn}的最大聚点 A 与最小聚点A分别 称为{xn}的上极限与下极限,记作
A lim x n
n
A lim x n
n Baidu Nhomakorabea
f(x)一致连续的判定：
1. 在（a，b）上的连续函数 f 为一致连续的充要条 件是 f（a+0）与f（b-0）都存在。不适合无限开区间
第七章习题课
关于实数完备性的6个基本定理
1. 确界原理（定理1.1）；
2. 单调有界定理（定理2.9） 3. 区间套定理（定理7.1）； 4. 有限覆盖定理（定理7.3） 5. 聚点定理（定理7.2） 6. 柯西收敛准则（定理2.10）； 在实数系中这六个命题是相互等价的 。
；
在有理数系中这六个命题不成立 。
x 0
1,
lim
sin x x
x1
sin 1 ,
x
lim
sin x x
0,

sin x x 从而
在 ( 0，] 和 [ 1， ) 分别一致连续， 1
sin x x
在（ 0 , ）一致连续。
住 [ 1 , 2 ]Q .
2 之间所有有理数都在上
即 H 的任意有限覆盖不能盖
5. 聚点定理
实数系中的任意有界无限点集至少有一个聚点。
1 n
反例：
S {( 1
) | n Z },
n
S是有界的无限有理点集，在实数域内的聚点为e,
因而在有理数域没有聚点。
5.1 致密性定理：
在实数系中，有界数列必含有收敛子列。
反例：
{( 1
1 n
) }是满足 Cauchy 条件的有理数列，
e.
n
但其极限是无理数
即柯西收敛准则在有理数域不成立。
几个概念：
区间套（闭区间套）， 聚点（3个等价定义及其等价性的证明）， 开覆盖（有限开覆盖）。 举例说明闭区间套定理中将闭区间换成开区间 结论不成立。
如 1 （ 0， ）是前一个包含后一个， { } n 且 lim (
x
0, 0, M 0, x M ,有 |
sin x x
| .
x , x M , 有 |
sin x
| 2 .
即
sin x x
在（M ,）一致连续。
x 0 x (0, M ]
1, 令 F ( x ) sin x , x
2 . 若 f ( x ) 在 [ a , ) 连续， lim f ( x ) 存在，
x
则 f ( x ) 在 [ a ， ) 一致连续。
3. 闭区间上连续的函数必一致连续。
4. 0, ( ) 0, x , x I , 只要 x x , 就有 f ( x ) f ( x ) .
n
但其极限是无理数e .
即数列的单调有界定理在有理数域不成立。
3. 区间套定理
若{[ a , b ]}是一个区间套，则在实数系中存在唯一的点
n n
, 使 [an , bn ], n 1,2,
反例： 取单调递增有理数列
取单调递减有理数列
则
{ a n }, 使 a n { b n }, 使 b n
反例： { x n }
{( 1 1 n ) }是有理数系中的有界无
n
穷数列 ,
其极限为无理数e,从而任一子列均收敛于e。
故{xn}在有理数域内没有收敛的子列。
6. 柯西收敛准则
在实数系中， {an }收敛
0, N , m , n N , 有 an am .
2, 2,
有理数域内构成闭区间
套 [ a n , b n ]Q ，
其在实数系内唯一的公
共点为
2 Q.
所以区间套定理在有理数系不成立。
4. 有限覆盖定理 在实数系中，闭区间[a, b]的任一开覆盖H，必 可从H中选出有限个开区间覆盖[a, b]。 2 反例： 设 [ 1 , 2 ]Q 表示 [ 1， ]中所有有理数的集合，
, 则必是唯一的
, 且为 { x n }的确界 .
证法1： 不妨设{xn}单调增加。 若{xn}无界或{xn}是常数列， 则{xn}一定没有聚点。 不合题意。 故{xn}必为有界数列且不是常数列。 从而{xn}一定有确界， 设 sup{
xn } ,
由单调有界定理的证明可知： lim n
故 是 { x n }的聚点。 若 也是 { x n }的聚点，则
5. 若f(x)在有限区间I上无界，则f(x)在I上必不一致连续。
P168.1. 解答
S （ 1） {
n
1 n
}的奇子列收敛于
1，偶子列收敛于
1，
1， 1 是 S 的聚点。 1， 1，
取 min{| 1 |, | ( 1 ) |},
n
1 n
0) 0,
但不存在属于所有开区间的公共点。
举例说明有限覆盖定理中将闭区间换成开区 间结论不成立。
如开区间集合 {( 1 n1 ,1 )}， n 1 , 2 ,
构成了开区间（0， 1）的一个开覆盖 ，
但不能从中选出有限个开区间盖住（0， 1）。
因为右端点始终为1，左端点有限个中必有一个最小者，
，
.
P172.2 有限区间I上一致连续的函数必有界。 证 若I为闭区间，则结论显然。 下面假设I为开区间（a, b）。
f 在 ( a , b ) 一致连续， f ( a 0 ), f ( b 0 ) 都存在，
令
x a f ( a 0 ), F ( x ) f ( x ), a x b f ( b 0 ), x b
*
合H ,
{( x 1 r1 , x 1 r1 ), ( x 2 r2 , x 2 r2 ) ( x n rn , x n rn )}
*
由于 H 中的开区间都不含 设这 2 n 个有理数中与
则在 r 与
2，且 2 n 个端点都是有理数， 2 最靠近的数为 r,
述 n 个区间之外。
xn ,
{ x n }的子列收敛于
，
而 { x n }收敛于 ，所以 { x n }的任意子列必收敛于
，
.
证法2： 设 是 { x n }的一个聚点，
则 { x n }的子列 { x n }收敛于 ，
k
若无界, 则 xn , xn , 矛盾！ { xn }单调，
1. 确界原理 在实数系中，任意非空有上（下）界的数集 必有上（下）确界。
反例 ： S { x | x
2
2 , x Q }, sup S
2,
inf S
2,
即 S 在有理数集没有确界。
确界原理在有理数域不
成立。
2. 单调有界定理
；
在实数系中，单调有界数列必有极限。
反例： 1 {( 1 n ) }是单调有界有理数列，