北京市朝阳区2017届高三上学期期中数学试卷(理科)含解析

2016-2017学年北京市朝阳区高三（上）期中数学试卷（理科）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．已知全集U=R，集合A={x|x2﹣2x＜0}，B={x|x﹣1≥0}，那么A∩∁U B=（）A．{x|0＜x＜1}B．{x|x＜0} C．{x|x＞2} D．{x|1＜x＜2}

2．下列函数中，在其定义域上既是偶函数又在（0，+∞）上单调递减的是（）

A．y=x2 B．y=x+1 C．y=﹣lg|x|D．y=﹣2x

3．若a=log2.10.6，b=2.10.6，c=log0.50.6，则a，b，c的大小关系是（）

A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．b＞a＞c

4．已知函数f（x）=ax2﹣x，若对任意x1，x2∈[2，+∞），且x1≠x2，不等式

＞0恒成立，则实数a的取值范围是（）

A．B．C．D．

5．设m∈R且m≠0，“不等式m+＞4”成立的一个充分不必要条件是（）

A．m＞0 B．m＞1 C．m＞2 D．m≥2

6．已知三角形ABC外接圆O的半径为1（O为圆心），且2++=0，||=2||，

则•等于（）

A．B．C．D．

7．已知函数f（x）=则函数g（x）=f（f（x））﹣的零点个数是（）

A．4 B．3 C．2 D．1

8．5个黑球和4个白球从左到右任意排成一排，下列说法正确的是（）

A．总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多

B．总存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多

C．总存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个

D．总存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．

9．设平面向量=（1，2），=（﹣2，y），若∥，则y=．

10．函数f（x）=cos2x﹣sin2x的单调递减区间为．

11．各项均为正数的等比数列{{a n}的前n项和为S n，若a3=2，S4=5S2，则a1的值为，S4的值为．

12．已知角A为三角形的一个内角，且，则tanA=，tan（A+）=．

13．已知函数f（x）=在（﹣∞，+∞）上是具有单调性，则实数m

的取值范围．

14．《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中有如下问题：“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢．”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是3000里，良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里，驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇．”试确定离开长安后的第天，两马相逢．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

15．已知数列{a n}（n∈N*）是公差不为0的等差数列，a1=1，且，，成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；

（Ⅱ）设数列{}的前n项和为T n，求证：T n＜1．

16．已知函数f（x）=asinx﹣cosx（a∈R）的图象经过点（，0）．

（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；

（Ⅱ）若x∈[，]，求f（x）的取值范围．

17．如图，已知A，B，C，D四点共面，且CD=1，BC=2，AB=4，∠ABC=120°，cos∠BDC=．

（Ⅰ）求sin∠DBC；

（Ⅱ）求AD．

18．已知函数f（x）=﹣ax+cosx（a∈R），x∈[﹣，]．

（Ⅰ）若函数f（x）是偶函数，试求a的值；

（Ⅱ）当a＞0时，求证：函数f（x）在（0，）上单调递减．

19．已知函数f（x）=e x（x2﹣a），a∈R．

（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；

（Ⅱ）若函数f（x）在（﹣3，0）上单调递减，试求a的取值范围；

（Ⅲ）若函数f（x）的最小值为﹣2e，试求a的值．

20．设a，b是正奇数，数列{c n}（n∈N*）定义如下：c1=a，c2=b，对任意n≥3，c n是c n

﹣1+c n﹣2的最大奇约数．数列{c n}中的所有项构成集合A．

（Ⅰ）若a=9，b=15，写出集合A ；

（Ⅱ）对k ≥1，令d k =max {c 2k ，c 2k ﹣1}（max {p ，q }表示p ，q 中的较大值），求证：d k +1≤d k ；

（Ⅲ）证明集合A 是有限集，并写出集合A 中的最小数．

2016-2017学年北京市朝阳区高三（上）期中数学试卷（理

科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．已知全集U=R，集合A={x|x2﹣2x＜0}，B={x|x﹣1≥0}，那么A∩∁U B=（）A．{x|0＜x＜1}B．{x|x＜0} C．{x|x＞2} D．{x|1＜x＜2}

【考点】交、并、补集的混合运算．

【分析】分别求出A与B中不等式的解集，确定出A与B，找出A与B补集的交集即可．【解答】解：由A中的不等式变形得：x（x﹣2）＜0，

解得：0＜x＜2，即A={x|0＜x＜2}，

由B中的不等式解得：x≥1，即B={x|x≥1}，

∵全集U=R，

∴∁U B={x|x＜1}，

则A∩（∁U B）={x|0＜x＜1}．

故选：A．

2．下列函数中，在其定义域上既是偶函数又在（0，+∞）上单调递减的是（）

A．y=x2 B．y=x+1 C．y=﹣lg|x|D．y=﹣2x

【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．

【分析】选项A：y=x2在（0，+∞）上单调递增，不符合条件；

选项B：代入特殊值x=±1，可知f（﹣1）≠f（1），且f（﹣1）≠﹣f（1），故y=x+1是非奇非偶函数，不符合条件；

选项C：先求出定义域，再根据奇偶性的定义，确定y=﹣lg|x|是偶函数，x＞0时，y=﹣lg|x|=﹣lgx单调递减，故符合条件；

选项D：代入特殊值x=±1，可知f（﹣1）≠f（1），且f（﹣1）≠﹣f（1），故y=x+1是非奇非偶函数，不符合条件；

【解答】解：选项A：f（x）=x2的定义域为R，又∵f（﹣x）=（﹣x）2=x2，∴f（﹣x）=f （x），即f（x）是偶函数．但y=x2在（0，+∞）上单调递增，故A不正确；

选项B：记f（x）=x+1，则f（1）=2，f（﹣1）=0，∵f（﹣1）≠f（1），且f（﹣1）≠﹣f （1），∴y=x+1是非奇非偶函数，故B不正确；

选项C：定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），记f（x）=﹣lg|x|，

∵f（﹣x）=﹣lg|﹣x|=﹣lg|x|，∴f（﹣x）=f（x），即f（x）是偶函数

当x∈（0，+∞）时，y=﹣lgx．∵y=lgx在（0，+∞）上单调递增，∴y=﹣lgx在（0，+∞）上单调递减故C正确；

选项D：记f（x）=﹣2x，则f（1）=﹣，f（﹣1）=﹣2，∵f（﹣1）≠f（1），且f（﹣1）

≠﹣f（1），∴y=﹣2x是非奇非偶函数，故D不正确．

故选：C．