北京市朝阳区2017届高三上学期期中数学试卷(理科)含解析

2016-2017学年北京市朝阳区高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集U=R，集合A={x|x2﹣2x＜0}，B={x|x﹣1≥0}，那么A∩∁U B=（）A．{x|0＜x＜1}B．{x|x＜0} C．{x|x＞2} D．{x|1＜x＜2}2．下列函数中，在其定义域上既是偶函数又在（0，+∞）上单调递减的是（）A．y=x2 B．y=x+1 C．y=﹣lg|x|D．y=﹣2x3．若a=log2.10.6，b=2.10.6，c=log0.50.6，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．b＞a＞c4．已知函数f（x）=ax2﹣x，若对任意x1，x2∈[2，+∞），且x1≠x2，不等式＞0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．5．设m∈R且m≠0，“不等式m+＞4”成立的一个充分不必要条件是（）A．m＞0 B．m＞1 C．m＞2 D．m≥26．已知三角形ABC外接圆O的半径为1（O为圆心），且2++=0，||=2||，则•等于（）A．B．C．D．7．已知函数f（x）=则函数g（x）=f（f（x））﹣的零点个数是（）A．4 B．3 C．2 D．18．5个黑球和4个白球从左到右任意排成一排，下列说法正确的是（）A．总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多B．总存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多C．总存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个D．总存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．设平面向量=（1，2），=（﹣2，y），若∥，则y=．10．函数f（x）=cos2x﹣sin2x的单调递减区间为．11．各项均为正数的等比数列{{a n}的前n项和为S n，若a3=2，S4=5S2，则a1的值为，S4的值为．12．已知角A为三角形的一个内角，且，则tanA=，tan（A+）=．13．已知函数f（x）=在（﹣∞，+∞）上是具有单调性，则实数m的取值范围．14．《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中有如下问题：“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢．”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是3000里，良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里，驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇．”试确定离开长安后的第天，两马相逢．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．已知数列{a n}（n∈N*）是公差不为0的等差数列，a1=1，且，，成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{}的前n项和为T n，求证：T n＜1．16．已知函数f（x）=asinx﹣cosx（a∈R）的图象经过点（，0）．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若x∈[，]，求f（x）的取值范围．17．如图，已知A，B，C，D四点共面，且CD=1，BC=2，AB=4，∠ABC=120°，cos∠BDC=．（Ⅰ）求sin∠DBC；（Ⅱ）求AD．18．已知函数f（x）=﹣ax+cosx（a∈R），x∈[﹣，]．（Ⅰ）若函数f（x）是偶函数，试求a的值；（Ⅱ）当a＞0时，求证：函数f（x）在（0，）上单调递减．19．已知函数f（x）=e x（x2﹣a），a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）若函数f（x）在（﹣3，0）上单调递减，试求a的取值范围；（Ⅲ）若函数f（x）的最小值为﹣2e，试求a的值．20．设a，b是正奇数，数列{c n}（n∈N*）定义如下：c1=a，c2=b，对任意n≥3，c n是c n﹣1+c n﹣2的最大奇约数．数列{c n}中的所有项构成集合A．（Ⅰ）若a=9，b=15，写出集合A ；（Ⅱ）对k ≥1，令d k =max {c 2k ，c 2k ﹣1}（max {p ，q }表示p ，q 中的较大值），求证：d k +1≤d k ；（Ⅲ）证明集合A 是有限集，并写出集合A 中的最小数．2016-2017学年北京市朝阳区高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集U=R，集合A={x|x2﹣2x＜0}，B={x|x﹣1≥0}，那么A∩∁U B=（）A．{x|0＜x＜1}B．{x|x＜0} C．{x|x＞2} D．{x|1＜x＜2}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】分别求出A与B中不等式的解集，确定出A与B，找出A与B补集的交集即可．【解答】解：由A中的不等式变形得：x（x﹣2）＜0，解得：0＜x＜2，即A={x|0＜x＜2}，由B中的不等式解得：x≥1，即B={x|x≥1}，∵全集U=R，∴∁U B={x|x＜1}，则A∩（∁U B）={x|0＜x＜1}．故选：A．2．下列函数中，在其定义域上既是偶函数又在（0，+∞）上单调递减的是（）A．y=x2 B．y=x+1 C．y=﹣lg|x|D．y=﹣2x【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【分析】选项A：y=x2在（0，+∞）上单调递增，不符合条件；选项B：代入特殊值x=±1，可知f（﹣1）≠f（1），且f（﹣1）≠﹣f（1），故y=x+1是非奇非偶函数，不符合条件；选项C：先求出定义域，再根据奇偶性的定义，确定y=﹣lg|x|是偶函数，x＞0时，y=﹣lg|x|=﹣lgx单调递减，故符合条件；选项D：代入特殊值x=±1，可知f（﹣1）≠f（1），且f（﹣1）≠﹣f（1），故y=x+1是非奇非偶函数，不符合条件；【解答】解：选项A：f（x）=x2的定义域为R，又∵f（﹣x）=（﹣x）2=x2，∴f（﹣x）=f （x），即f（x）是偶函数．但y=x2在（0，+∞）上单调递增，故A不正确；选项B：记f（x）=x+1，则f（1）=2，f（﹣1）=0，∵f（﹣1）≠f（1），且f（﹣1）≠﹣f （1），∴y=x+1是非奇非偶函数，故B不正确；选项C：定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），记f（x）=﹣lg|x|，∵f（﹣x）=﹣lg|﹣x|=﹣lg|x|，∴f（﹣x）=f（x），即f（x）是偶函数当x∈（0，+∞）时，y=﹣lgx．∵y=lgx在（0，+∞）上单调递增，∴y=﹣lgx在（0，+∞）上单调递减故C正确；选项D：记f（x）=﹣2x，则f（1）=﹣，f（﹣1）=﹣2，∵f（﹣1）≠f（1），且f（﹣1）≠﹣f（1），∴y=﹣2x是非奇非偶函数，故D不正确．故选：C．3．若a=log2.10.6，b=2.10.6，c=log0.50.6，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．b＞a＞c【考点】对数值大小的比较．【分析】直接利用中间量“0”，“1”判断三个数的大小即可．【解答】解：a=log2.10.6＜0，b=2.10.6＞1，0＜c=log0.50.6＜1∴b＞c＞a，故选：B．4．已知函数f（x）=ax2﹣x，若对任意x1，x2∈[2，+∞），且x1≠x2，不等式＞0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】对进行化简，转化为a（x1+x2）﹣1＞0恒成立，再将不等式变形，得到a＞，从而将恒成立问题转变成求的最大值，即可求出a的取值范围【解答】解：不妨设x2＞x1≥2，====a（x1+x2）﹣1，∵对任意x1，x2∈[2，+∞），且x1≠x2，＞0恒成立，∴x2＞x1≥2时，a（x1+x2）﹣1＞0，即a＞恒成立∵x2＞x1≥2∴∴a，即a的取值范围为[，+∞）故本题选D5．设m∈R且m≠0，“不等式m+＞4”成立的一个充分不必要条件是（）A．m＞0 B．m＞1 C．m＞2 D．m≥2【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据基本不等式的性质，结合充分不必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：当m＜0时，不等式m+＞4不成立，当m＞0时，m+≥2=4，当且仅当m=，即m=2时，取等号，A．当m=2时，满足m＞0，但不等式m+＞4不成立，不是充分条件，B．当m=2时，满足m＞1，但不等式m+＞4不成立，不是充分条件，C．当m＞2时，不等式m+＞4成立，反之不一定成立，是充分不必要条件，满足条件．D．当m=2时，满足m≥2，但不等式m+＞4不成立，不是充分条件，故选：C．6．已知三角形ABC外接圆O的半径为1（O为圆心），且2++=0，||=2||，则•等于（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意可得三角形是以角A为直角的直角三角形，解直角三角形求出相应的边和角，代入数量积公式得答案．【解答】解：三角形ABC外接圆O的半径为1（O为圆心），2++=0，∴O为BC的中点，故△ABC是直角三角形，∠A为直角．又||=2||，∴||=，||=2，∴||=，∴cosC===，∴•=﹣•=﹣×2×=﹣故选：A7．已知函数f（x）=则函数g（x）=f（f（x））﹣的零点个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】函数零点的判定定理．【分析】作出函数的图象，先求出f（x）=的根，然后利用数形结合转化为两个函数的交点个数即可．【解答】解：作出函数f（x）的图象如图：当x≤0时，由f（x）=得x+1=，即x=﹣1=﹣，当x＞0时，由f（x）=得log2x=，即x==，由g（x）=f（f（x））﹣=0得f（f（x））=，则f（x）=﹣或f（x）=，若f（x）=﹣，此时方程f（x）=﹣有两个交点，若f（x）=，此时方程f（x）=只有一个交点，则数g（x）=f（f（x））﹣的零点个数是3个，故选：B8．5个黑球和4个白球从左到右任意排成一排，下列说法正确的是（）A．总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多B．总存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多C．总存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个D．总存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个【考点】进行简单的合情推理．【分析】5个黑球和4个白球，5为奇数，4为偶数，分析即可得到答案．【解答】解：5为奇数，4为偶数，故总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多，故选：A二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．设平面向量=（1，2），=（﹣2，y），若∥，则y=﹣4．【考点】平行向量与共线向量．【分析】直接利用向量共线的坐标表示列式计算【解答】解：∵=（1，2），=（﹣2，y），∥，∴1×y=2×（﹣2）∴y=﹣4故答案为：﹣410．函数f（x）=cos2x﹣sin2x的单调递减区间为．【考点】二倍角的余弦；余弦函数的图象．【分析】由条件利用二倍角的余弦函数公式化简函数的解析式，再根据余弦函数的单调性求得函数的单调递减区间．【解答】解：对于函数y=cos2x﹣sin2x=cos2x，令2kπ≤2x≤2kπ+π，k∈Z，求得：kπ≤x≤kπ+，k∈Z，可得函数的单调递减区间是：．故答案为：．11．各项均为正数的等比数列{{a n}的前n项和为S n，若a3=2，S4=5S2，则a1的值为，S4的值为．【考点】等比数列的前n项和．【分析】经分析等比数列为非常数列，设出等比数列的公比，有给出的条件列方程组求出a1和q的值，则S4的值可求．【解答】解：若等比数列的公比等于1，由a3=2，则S4=4a3=4×2=8，5S2=5×2S3=5×2×2=20，与题意不符．设等比数列的公比为q（q≠1），由a3=2，S4=5S2，得：，整理得，解得，q=±2．因为数列{a n}的各项均为正数，所以q=2．则．故答案为；．12．已知角A为三角形的一个内角，且，则tanA=，tan（A+）=﹣7．【考点】两角和与差的正切函数；同角三角函数间的基本关系．【分析】利用同角三角函数的基本关系求得sinA的值，可得tanA的值，再利用两角和的正切公式求得tan（A+）的值．【解答】解：已知角A为三角形的一个内角，且，则sinA=，∴tanA==．∴tan（A+）===﹣7，故答案为，﹣7．13．已知函数f（x）=在（﹣∞，+∞）上是具有单调性，则实数m的取值范围（1，] ．【考点】函数单调性的性质．【分析】函数f（x）在（﹣∞，+∞）上是具有单调性，需要对m分类讨论，当m＞1，m＜﹣1，m=±1、0，﹣1＜m＜0，0＜m＜1分别判断分段函数的单调性．【解答】解：令h（x）=mx2+1，x≥0；g（x）=（m2﹣1）2x，x＜0；①当m＞1时，要使得f（x）在（﹣∞，+∞）上是具有单调性，即要满足m2﹣1≤1⇒﹣≤m≤故：1＜m≤；②当m＜﹣1时，h（x）在x≥0上递减，g（x）在x＜0上递增，所以，f（x）在R上不具有单调性，不符合题意；③当m=±1时，g（x）=0；当m=0时，h（x）=1；所以，f（x）在R上不具有单调性，不符合题意；④当﹣1＜m＜0 时，h（x）在x≥0上递减，g（x）在x＜0上递减，对于任意的x≥0，g（x）＜0；当x→0时，h（x）＞0；所以，f（x）在R上不具有单调性，不符合题意；⑤当0＜m＜1时，h（x）在x≥0上递增，g（x）在x＜0上递减；所以，f（x）在R上不具有单调性，不符合题意；故答案为：（1，]14．《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中有如下问题：“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢．”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是3000里，良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里，驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇．”试确定离开长安后的第20天，两马相逢．【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的求和公式与不等式的解法即可得出．【解答】解：由题意知，良马每日行的距离成等差数列，记为{a n}，其中a1=103，d=13；驽马每日行的距离成等差数列，记为{b n}，其中b1=97，d=﹣0.5；设第m天相逢，则a1+a2+…+a m+b1+b2+…+b m=103m++97m+=200m+×12.5≥2×3000，化为m2+31m﹣960≥0，解得m，取m=20．故答案为：20．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．已知数列{a n}（n∈N*）是公差不为0的等差数列，a1=1，且，，成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{}的前n项和为T n，求证：T n＜1．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）利用已知列出关于工程师了公差方程求出公差；得到通项公式；（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，将通项公式代入，利用裂项求和证明即可．【解答】解：（Ⅰ）设{a n}的公差为d．因为成等比数列，所以．即．化简得，即d2=a1d．又a1=1，且d≠0，解得d=1．所以有a n=a1+（n﹣1）d=n．…（Ⅱ）由（Ⅰ）得：．所以．因此，T n＜1．…16．已知函数f（x）=asinx﹣cosx（a∈R）的图象经过点（，0）．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若x∈[，]，求f（x）的取值范围．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）根据函数f（x）的图象过点，代入函数解析式求出a的值，从而写出函数解析式并求出最小正周期；（Ⅱ）根据x的取值范围，计算f（x）的最值，从而求出它的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）因为函数的图象经过点，所以，解得a=1；…所以，所以f（x）最小正周期为T=2π；…（Ⅱ）因为，所以；所以当，即时，f（x）取得最大值，最大值是2；当，即时，f（x）取得最小值，最小值是﹣1；所以f（x）的取值范围是[﹣1，2]．…17．如图，已知A，B，C，D四点共面，且CD=1，BC=2，AB=4，∠ABC=120°，cos∠BDC=．（Ⅰ）求sin∠DBC；（Ⅱ）求AD．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）利用已知及同角三角函数基本关系式可求，进而利用正弦定理即可求得sin∠DBC的值．（Ⅱ）在△BDC中，由余弦定理可求DB的值，利用同角三角函数基本关系式可求，进而利用两角差的余弦函数公式可求cos∠ABD的值，在△ABD中，由余弦定理可求AD的值．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）在△BDC中，因为，所以．由正弦定理得，．…（Ⅱ）在△BDC中，由BC2=DC2+DB2﹣2DC•DBcos∠BDC，得，．所以．解得或（舍）．由已知得∠DBC是锐角，又，所以．所以cos∠ABD=cos=cos120°•cos∠DBC+sin120°•sin∠DBC==．在△ABD中，因为AD2=AB2+BD2﹣2AB•BDcos∠ABD=，所以．…18．已知函数f（x）=﹣ax+cosx（a∈R），x∈[﹣，]．（Ⅰ）若函数f（x）是偶函数，试求a的值；（Ⅱ）当a＞0时，求证：函数f（x）在（0，）上单调递减．【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的性质．【分析】（Ⅰ）根据偶函数的定义，f（﹣x）=f（x）恒成立，求出a的值；（Ⅱ）利用导数大于0或小于0，判断函数f（x）是单调增函数单调减函数即可．【解答】解：（Ⅰ）因为函数f（x）是偶函数，所以f（﹣x）=﹣a（﹣x）+cos（﹣x）=+ax+cosx=f（x）=﹣ax+cosx恒成立，所以a=0；…（Ⅱ）由题意可知，设，则；注意到，a＞0；由g'（x）＜0，即，解得；由g'（x）＞0，即，解得；所以g（x）在上单调递减，上单调递增；所以当，g（x）＜g（0）=0﹣a＜0，所以f（x）在单调递减，当，，所以f（x）在单调递减，所以当a＞0时，函数f（x）在上单调递减．…19．已知函数f（x）=e x（x2﹣a），a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）若函数f（x）在（﹣3，0）上单调递减，试求a的取值范围；（Ⅲ）若函数f（x）的最小值为﹣2e，试求a的值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）利用导数求出x=0处的切线斜率，根据点斜式写出切线方程；（2）函数f（x）在（﹣3，0）上单调递减，即当x∈（﹣3，0）时，x2+2x﹣a≤0恒成立．要使得“当x∈（﹣3，0）时，x2+2x﹣a≤0恒成立”，等价于即所以a≥3．（3）根据函数的单调性，得出函数f（x）的最小值只能在处取得．【解答】解：由题意可知f'（x）=e x（x2+2x﹣a）．（Ⅰ）因为a=1，则f（0）=﹣1，f'（0）=﹣1，所以函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y﹣（﹣1）=﹣（x﹣0）．即x+y+1=0．（Ⅱ）因为函数f（x）在（﹣3，0）上单调递减，所以当x∈（﹣3，0）时，f'（x）=e x（x2+2x﹣a）≤0恒成立．即当x∈（﹣3，0）时，x2+2x﹣a≤0恒成立．显然，当x∈（﹣3，﹣1）时，函数g（x）=x2+2x﹣a单调递减，当x∈（﹣1，0）时，函数g（x）=x2+2x﹣a单调递增．所以要使得“当x∈（﹣3，0）时，x2+2x﹣a≤0恒成立”，等价于即所以a ≥3．（Ⅲ）设g （x ）=x 2+2x ﹣a ，则△=4+4a ．①当△=4+4a ≤0，即a ≤﹣1时，g （x ）≥0，所以f'（x ）≥0．所以函数f （x ）在（﹣∞，+∞）单增，所以函数f （x ）没有最小值．②当△=4+4a ＞0，即a ＞﹣1时，令f'（x ）=e x （x 2+2x ﹣a ）=0得x 2+2x ﹣a=0，解得xfx f'x当x ∈时，．所以．所以f （x ）=e x （x 2﹣a ）＞0．又因为函数f （x ）的最小值为﹣2e ＜0， 所以函数f （x ）的最小值只能在处取得．所以．所以．易得．解得a=3． 以下证明解的唯一性，仅供参考： 设因为a ＞0，所以，． 设，则． 设h （x ）=﹣xe x ，则h'（x ）=﹣e x （x +1）．当x ＞0时，h'（x ）＜0，从而易知g （a ）为减函数． 当a ∈（0，3），g （a ）＞0；当a ∈（3，+∞），g （a ）＜0． 所以方程只有唯一解a=3．20．设a ，b 是正奇数，数列{c n }（n ∈N *）定义如下：c 1=a ，c 2=b ，对任意n ≥3，c n 是c n ﹣1+c n ﹣2的最大奇约数．数列{c n }中的所有项构成集合A ． （Ⅰ）若a=9，b=15，写出集合A ；（Ⅱ）对k ≥1，令d k =max {c 2k ，c 2k ﹣1}（max {p ，q }表示p ，q 中的较大值），求证：d k +1≤d k ；（Ⅲ）证明集合A 是有限集，并写出集合A 中的最小数． 【考点】集合的表示法． 【分析】（Ⅰ）利用列举法写出数列{c n }，易得集合A ；（Ⅱ）由题设，对n ≥3，c n ﹣2，c n ﹣1都是奇数，所以c n ﹣1+c n ﹣2是偶数．从而c n ﹣1+c n ﹣2的最大奇约数，结合不等式的性质进行解答；（Ⅲ）有限集是指元素的个数是有限个的集合，从而确定答案． 【解答】解：（Ⅰ）数列{c n }为：9，15，3，9，3，3，3，…． 故集合A={9，15，3}．（Ⅱ）证明：由题设，对n ≥3，c n ﹣2，c n ﹣1都是奇数，所以c n ﹣1+c n ﹣2是偶数．从而c n ﹣1+c n ﹣2的最大奇约数，所以c n ≤max {c n ﹣1，c n ﹣2}，当且仅当c n ﹣1=c n ﹣2时等号成立． 所以，对k ≥1有c 2k +1≤max {c 2k ，c 2k ﹣1}=d k ， 且c 2k +2≤max {c 2k +1，c 2k }≤max {d k ，d k }=d k ．所以d k +1=max {c 2k +2，c 2k +1}≤d k ，当且仅当c 2k =c 2k ﹣1时等号成立． （Ⅲ）由（Ⅱ）知，当n ≥3时，有c n ≤max {c n ﹣1，c n ﹣2}． 所以对n ≥3，有c n ≤max {c 1，c 2}=max {a ，b }．又c n 是正奇数，且不超过max {a ，b }的正奇数是有限的， 所以数列{c n }中的不同项是有限的． 所以集合A 是有限集．集合A 中的最小数是a ，b 的最大公约数．2016年11月25日。