分式函数的图像与性质
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高一数学选修课系列讲座（一）
-----------------分式函数的图像与性质
一、概念提出
1、分式函数的概念
形如22(,,,,,)ax bx c y a b c d e f R dx ex f ++=∈++的函数称为分式函数。如221x y x x +=+，212x y x +=-，41
3
x y x +=+等。
2、分式复合函数
形如22[()]()(,,,,,)[()]()a f x bf x c y a b c d e f R d f x ef x f ++=∈++的函数称为分式复合函数。如22112x x y +=-，sin 2
3sin 3x y x +=
-，12
x y -+=
等。
二、学习探究 探究任务一：函数(0)b
y ax ab x
=+≠的图像与性质 问题1：(,,,)ax b
y a b c d R cx d
+=
∈+的图像是怎样的？ 例1 画出函数21
1
x y x -=-的图像，依据函数图像，指出函数的单调区间、值域、对称中心。
小结：(,,,)ax b
y a b c d R cx d
+=
∈+的图像的绘制，可以经由反比例函数的图像平移得到，需要借助“分离常数”的处理方法。 分式函数(,,,)ax b
y a b c d R cx d
+=
∈+的图像与性质： （1）定义域： ； （2）值域： ；
（3）单调性：单调区间为 ；
（4）渐近线及对称中心：渐近线为直线 ，对称中心为点 ；
（5）奇偶性：当 时为奇函数； （6）图象：如图所示
x O y
x
O y
问题2：(0)
b
y ax ab
x
=+≠的图像是怎样的？
例2、根据y x
=与
1
y
x
=的函数图像，绘制函数
1
y x
x
=+的图像，并结合函数图像指出函数具有的性质。小结：分式函数(,0)
b
y ax a b
x
=+>的图像与性质：
（1）定义域：；（2）值域：；
（3）奇偶性：；
（4）单调性：在区间上是增函数，
在区间上为减函数；
（5）渐近线：以轴和直线为渐近线；
（6）图象：如右图所示
例3、根据y x
=与
1
y
x
=的函数图像，绘制函数
1
y x
x
=-的图像，并结合函数图像指出函数具有的性质。结合刚才的两个例子，思考
1
y x
x
=--与
1
y x
x
=-的图像又是怎样的呢？
思考
1
2+
y x
x
=与
2
3
y x
x
=-的图像是怎样的呢？(,,0)
b
y ax a b R ab
x
=+∈≠的图像呢？
小结：(,,0)
b
y ax a b R ab
x
=+∈≠的图像如下：
（i）(0,0)
b
y ax a b
=+>> (ii) (0,0)
b
y ax a b
=+>< (iii) (0,0)
b
y ax a b
=+<> (iv) (0,0)
b
y ax a b
x
=+<<
(,,0)b
y ax a b R ab x
=+∈≠的单调性、值域、奇偶性等，可以结合函数的图像研究。
探究任务二：函数22
(,,,,,)ax bx c
y a b c d e f R dx ex f
++=∈++的图像与性质 问题3：例4 函数221
1
x x y x ++=+的图像是怎样的？单调区间如何？
思考：函数21
21
x y x x +=
++的性质如何呢？单调区间是怎样的呢？
小结：对于分式函数22
(,,,,,)ax bx c
y a b c d e f R dx ex f
++=∈++而言，分子次数高于分母时，可以采用问题3中的方法，将函数表达式写成部分分式，再结合函数的图像的平移，由熟悉的四类分式函数的图像得到新的函数图像，再结合函数的图像研究函数的性质。对于分子的次数低于分母的次数的时候，可以考虑分子分母同时除以分子（确保分子不为0），再着力研究分母的性质与图像，间接地研究整个函数的性质。如：
22111
(1)221212(1)3
11
x y x x x x x x x x +=
==≠-++++++-++
巩固练习：
1、若,,3,x y R xy y +
∈+=则x y +的最小值是 ；
2、函数234
x
y
x =
+的值域是 ；
3、已知[)221
(),1,ax x f x x x
--=
∈+∞单调递减，则实数a 的取值围是 ； 4、不等式2
0x a x
-->的在[]2,1有实数解，则实数a 的取值围是 ； 5、不等式2
0x a x
-
->的在[]2,1恒成立，则实数a 的取值围是 ； 6、已知()a
f x x x
=-+
在区间[2,3)单调递减，求a 的取值围是 ；