直线与平面的垂直关系
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在AE上求一点M，使得A1M⊥平面DAE.
（2）由于点M在线段AE上，所以可设AuuMuur =λAuuEur=λ(0,2,1) =(0,2λ,λ),可得M(2,2λ,λ)，于是 =（Auu1u0Mur，2λ， λ-2），要使A1M⊥平面DAE，需有A1M⊥AE ，即Auu1uMur ·AuuEur
=（0，2λ，λ-2）·（0，2，1）=5λ-2=0，得λ= 2.
5
故当AM=2 AE时，A1M⊥平面DAE.
5
2．三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个
平面的一条__斜__线__的___射__影___垂直，那么它也和这条斜线
垂直． 3．三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果
它和这个平面的一条__斜__线__垂直，那么它也和这条斜线
在平面内的射影垂直．
课堂互动讲练
考点突破
直线与平面垂直的有关概念
(3)垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边；
(4)过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂
直于a的平面内；
(5)如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条
直线垂直于另两条直线确定的平面．
A．1
B．2
C．3
D．4
来自百度文库
直线与平面垂直的判定
直线与平面垂直的判定定理告诉我们，可以 通过直线间的垂直来证明直线与平面垂 直．通常我们将其记为“线线垂直，则线面 垂直”．因此，处理线面垂直转化为处理线 线垂直来解决．也就是说，以后证明一条直 线和一个平面垂直，只要在这个平面内找到 两条相交直线和已知直线垂直即可．
课前自主学案
温故夯基
1．所谓直线的方向向量，就是指和这条直线所 对应的向量__平__行__(_或__共__线__) __的向量，一条直线 的方向向量有_无__数___个． 2．设直线l的方向向量为a＝(x1，y1，z1)，直线m 的方向向量为b＝(x2，y2，z2)，则 l⊥m⇔a⊥b⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0.
直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊 位置关系，可以理解为直线垂直于平面内的所 有直线，也可理解为直线与平面所成的角为 90°.
例1 下列命题中，真命题的个数为( )
(1)一条直线和一个平面平行，它就和这个平面
内的任何直线平行；
(2)如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，
那么这条直线和这个平面垂直；
例2 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分 别是棱B1C1、B1B的中点． 求证：CF⊥平面EAB.
三垂线定理(逆定理)的应用
关于定理的应用，首先是找出平面的垂线，至于 射影则是由垂足，斜足来确定的，因而是第二位 的，由此，我们可以得出三垂线定理证明a⊥b的 一个程序：一垂、二射、三证，即：第一：找平 面及平面的垂线；第二：找射影线(或斜线)，这 时a，b便成为平面内的一条直线及一条斜线(或 射影)；第三：证明射影(或斜线)与直线a垂直， 从而得出a，b垂直．
例3 如图所示，P是△ABC所在平面外一点， 且 PA ⊥ 平 面 A B C ， 若 O 、 Q 分 别 是 △ A B C 和 △PBC的垂心，求证：OQ⊥平面PBC. 【思路点拨】 欲证OQ⊥面PBC，只要证明 OQ与平面PBC内两条相交直线垂直即可，因为 O、Q均为三角形的垂心，由此联想到作三角 形的高线，应用三垂线定理及逆定理．
【证明】
O是△ABC的垂心⇒BC⊥AE
⇒
Q是△PBC的垂心⇒BC⊥PE
BC⊥平面 PAE.
∵OQ⊂平面 PAE，∴OQ⊥BC.
∵PA⊥平面 ABC，BF⊂平面 ABC，∴BF⊥PA.
又∵O 是△ABC 的垂心，∴BF⊥AC.
∴BF⊥平面PAC， 则FM是BM在平面PAC上的射影， ∵BM⊥PC，根据三垂线定理的逆定理， 得FM⊥PC，从而PC⊥平面BFM. 又OQ⊂面BFM，∴OQ⊥PC， 又PC∩BC＝C，∴OQ⊥平面PBC.
.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点 .
在AE上求一点M，使得A1M⊥平面DAE.
考点四、综合应用
作业1： 已知长方体AC1中，棱AB＝BC＝1，棱BB1＝2， 连接B1C，过B作B1C的垂线交CC1于E，交B1C于F.求证： A1C⊥平面EBD.
作业3.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的 中点.
知新益能
1．直线与平面垂直 (1)定义：如果一条直线l与一个平面α相交，并且 垂直于平面α内____所__有__的__直线，就称直线l与平 面α垂直，记作l⊥α. (2)判定定理 ①文字语言：如果一条直线垂直于一个平面内两 条__相__交____直线，那么这条直线就与这个平面垂 直． ②符号语言：若直线a⊂平面α，直线b⊂平面α， _____l_⊥__a_，__l⊥__b_，__a_∩__b_＝__O____，则l⊥α
（2）由于点M在线段AE上，所以可设AuuMuur =λAuuEur=λ(0,2,1) =(0,2λ,λ),可得M(2,2λ,λ)，于是 =（Auu1u0Mur，2λ， λ-2），要使A1M⊥平面DAE，需有A1M⊥AE ，即Auu1uMur ·AuuEur
=（0，2λ，λ-2）·（0，2，1）=5λ-2=0，得λ= 2.
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故当AM=2 AE时，A1M⊥平面DAE.
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2．三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个
平面的一条__斜__线__的___射__影___垂直，那么它也和这条斜线
垂直． 3．三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果
它和这个平面的一条__斜__线__垂直，那么它也和这条斜线
在平面内的射影垂直．
课堂互动讲练
考点突破
直线与平面垂直的有关概念
(3)垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边；
(4)过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂
直于a的平面内；
(5)如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条
直线垂直于另两条直线确定的平面．
A．1
B．2
C．3
D．4
来自百度文库
直线与平面垂直的判定
直线与平面垂直的判定定理告诉我们，可以 通过直线间的垂直来证明直线与平面垂 直．通常我们将其记为“线线垂直，则线面 垂直”．因此，处理线面垂直转化为处理线 线垂直来解决．也就是说，以后证明一条直 线和一个平面垂直，只要在这个平面内找到 两条相交直线和已知直线垂直即可．
课前自主学案
温故夯基
1．所谓直线的方向向量，就是指和这条直线所 对应的向量__平__行__(_或__共__线__) __的向量，一条直线 的方向向量有_无__数___个． 2．设直线l的方向向量为a＝(x1，y1，z1)，直线m 的方向向量为b＝(x2，y2，z2)，则 l⊥m⇔a⊥b⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0.
直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊 位置关系，可以理解为直线垂直于平面内的所 有直线，也可理解为直线与平面所成的角为 90°.
例1 下列命题中，真命题的个数为( )
(1)一条直线和一个平面平行，它就和这个平面
内的任何直线平行；
(2)如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，
那么这条直线和这个平面垂直；
例2 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分 别是棱B1C1、B1B的中点． 求证：CF⊥平面EAB.
三垂线定理(逆定理)的应用
关于定理的应用，首先是找出平面的垂线，至于 射影则是由垂足，斜足来确定的，因而是第二位 的，由此，我们可以得出三垂线定理证明a⊥b的 一个程序：一垂、二射、三证，即：第一：找平 面及平面的垂线；第二：找射影线(或斜线)，这 时a，b便成为平面内的一条直线及一条斜线(或 射影)；第三：证明射影(或斜线)与直线a垂直， 从而得出a，b垂直．
例3 如图所示，P是△ABC所在平面外一点， 且 PA ⊥ 平 面 A B C ， 若 O 、 Q 分 别 是 △ A B C 和 △PBC的垂心，求证：OQ⊥平面PBC. 【思路点拨】 欲证OQ⊥面PBC，只要证明 OQ与平面PBC内两条相交直线垂直即可，因为 O、Q均为三角形的垂心，由此联想到作三角 形的高线，应用三垂线定理及逆定理．
【证明】
O是△ABC的垂心⇒BC⊥AE
⇒
Q是△PBC的垂心⇒BC⊥PE
BC⊥平面 PAE.
∵OQ⊂平面 PAE，∴OQ⊥BC.
∵PA⊥平面 ABC，BF⊂平面 ABC，∴BF⊥PA.
又∵O 是△ABC 的垂心，∴BF⊥AC.
∴BF⊥平面PAC， 则FM是BM在平面PAC上的射影， ∵BM⊥PC，根据三垂线定理的逆定理， 得FM⊥PC，从而PC⊥平面BFM. 又OQ⊂面BFM，∴OQ⊥PC， 又PC∩BC＝C，∴OQ⊥平面PBC.
.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点 .
在AE上求一点M，使得A1M⊥平面DAE.
考点四、综合应用
作业1： 已知长方体AC1中，棱AB＝BC＝1，棱BB1＝2， 连接B1C，过B作B1C的垂线交CC1于E，交B1C于F.求证： A1C⊥平面EBD.
作业3.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的 中点.
知新益能
1．直线与平面垂直 (1)定义：如果一条直线l与一个平面α相交，并且 垂直于平面α内____所__有__的__直线，就称直线l与平 面α垂直，记作l⊥α. (2)判定定理 ①文字语言：如果一条直线垂直于一个平面内两 条__相__交____直线，那么这条直线就与这个平面垂 直． ②符号语言：若直线a⊂平面α，直线b⊂平面α， _____l_⊥__a_，__l⊥__b_，__a_∩__b_＝__O____，则l⊥α