圆的参数方程

y
(1)求x 的最小值与最大值 (2)求x－y的最大值与最小值
例6 参数法求轨迹 已知点A(2, 0),P是x2+y2=1上任一点, AOP 的平分 线交PA于Q点,求Q点的轨迹.
AQ:QP=2:1
练习
x 2 cos
1
P(x,
y)是曲线
y
sin
(α为参数)上任意一点,则
(x 5)2 ( y 4)2 的最大值为( A )
x y
3 sin
cos .
,
(
为参数)
例3 已知x、y满足( x 1)2 ( y 2)2 4 ,求 S 3x y
的最大值和最小值．
x
解：由已知圆的参数方程为 y
1 2
2 cos , 2 sin
.
(
为参数)
所以S 3x y
3(1 2 cos ) (2 2 sin )
5 6 cos 2 sin 5 2 10 cos( ) (tan 1)
是x轴上的定点，M是PQ的中点，当点P绕O作匀速圆周 运动时，求点M的轨迹的参数方程。 y P
解：设点M的坐标是(x, y),
xOP 则点P的坐标是(2cosθ,2sinθ).
M
Q
o
x
由中点坐标公式可得
x 2 cos 6 3 cos , y 2 sin sin
2
2
因此，点M的轨迹的参数方程是
怎样刻画运动中点 的位置呢？
y
r
o
M(x, y)
M0
x
如果在时刻t，点M转过的角度是θ，坐标是M(x, y)，
那么θ=ωt. 设|OM|=r，那么由三角函数定义，有
cost x , sin t y
r
r
即 x r cost
y
r
sin t
(t为参数)
这就是圆心在原点O，半径为r 的圆的参数方程
b
P ry
半径为r 的圆的参数方程
Байду номын сангаас
v
x y
a b
r r
cos sin
(为
参
数)
O
ax
x
一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，
另外，要注明参数及参数的取值范围。
例1 已知圆方程x2+y2+2x-6y+9=0,将它化为参数方程。
解： x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程, (x+1)2+(y-3)2=1
A．36
B．6
C．26 D．25
2
点P(x,
x
y)是曲线 y
cos sin
2
(
为参数)上任意一点，则
y x
的最大值为( D )
A1 B2 C 3
3
D3
3 圆 x2 y2 4Rx cos 4Ry sin 3R2 0(R 0)
的圆心的轨迹是( A )
A．圆 B．直线 C．椭圆 D．双曲线
则点P的坐标是(4cosθ,4sinθ). ∵2|PM|=|MA|, ∴由题设
AM 2 AP 3
∴(x-12,
y)=
2 3
(4 cos
12, 4 sin )
x 4 8 cos , y 8 sin
3
3
. 因此，点M的轨迹的参数方程是
x y
4 8 3
8 sin 3
cos
.
,
(
为参数)
参数 t 有物理意义(质点作匀速圆周运动的时刻)
考虑到θ=ωt，也可以取θ为参数，于是有
x r cos
y
r
sin
( 为参数)
圆心为原点半径为r 的圆的参数方程.
x r cos
y
r
sin
( 为参数)
其中参数θ的几何意义是OM0绕点O逆时针旋转到
OM的位置时，OM0转过的角度
y
圆心为O1(a, b) ，
∴参数方程为
x 1 cos
y
3
sin
(θ为参数)
练习：判 断 点A(2,0), B( 2, 3 2 ), C(1,3)是 否 在 曲 线
2
x
y
2 cos (为 参 数,0 3 sin
2
)上, 若 在 曲 线 上,求
出 它 对 应 的 参 数 值.
例2 如图,圆O的半径为2，P是圆上的动点，Q(6,0)
第二讲：参数方程
参数方程求法:
（1）建立直角坐标系, 设曲线上任一点P坐标为; （2）选取适当的参数;
（3）根据已知条件和图形的几何性质, 物理意义, 建 立点P坐标与参数的函数式;
（4）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程.
圆的参数方程
圆周运动中，当物 体绕定轴作匀速运动 时，物体上的各个点 都作匀速圆周运动，
3
Smax 5 2 10, Smin 5 2 10
例4 (1)点P(m,n)在圆x2+y2=1上运动,求点Q(m+n, 2mn) 的轨迹方程;
(2)方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0.若该方 程表示一个圆, 求m的取值范围和圆心的轨迹方程.
例5 最值问题 已知P(x, y)圆C：x2+y2－6x－4y+12=0上的点。
x 2 cos 1
4 点P(x, y)是曲线 y 2sin 1( 为参数)上任意一点,则
x2 y2 的最大值为 2 2 .
5 已知点P是圆 x2 y2 16 上一个动点,定点A(12, 0)，
点M在线段PA上，且2|PM|=|MA|，当点P在圆上运动
时，求点M的轨迹．
解：设点M的坐标是(x, y), xOP